સ્વાધ્યાય 5.1
પ્રશ્ન ૨: નીચે આપેલાં પદોની વ્યાખ્યા આપો. શું તેના માટે કોઈ એવાં પદ છે જેને વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે ? એ કયા છે? અને તમે તેને કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરશો? (i) સમાંતર રેખાઓ (ii) લંબરેખાઓ (iii) રેખાખંડ (iv) વર્તુળની ત્રિજ્યા (v) ચોરસ.
ઉકેલ: હા, આ પદોની વ્યાખ્યા આપતા પહેલાં અન્ય કેટલાક પદોને સમજવા ખૂબ જરૂરી છે. યુક્લિડની ભૂમિતિ અનુસાર, તેમાંના કેટલાક પદો અવ્યાખ્યાયિત પદો છે (જેમ કે: બિંદુ, રેખા અને સમતલ), જેને આપણે સાહજિક રીતે જ સમજી શકીએ છીએ અને ભૂમિતિમાં તેમને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતા નથી.
આ ઉપરાંત અન્ય પદો જેમ કે ખૂણો, છેદતી રેખાઓ, ચતુષ્કોણ વગેરેને વ્યાખ્યાયિત કરવા પડે છે. માગેલા પદોની વ્યાખ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
૧. સમાંતર રેખાઓ: એક જ સમતલમાં આવેલી બે રેખાઓ જો પરસ્પર ક્યારેય છેદતી ન હોય (અનંત સુધી લંબાવવા છતાં), તો તેને સમાંતર રેખાઓ કહેવાય છે. (આ વ્યાખ્યા સમજવા માટે ‘રેખા’, ‘સમતલ’ અને ‘છેદતી રેખાઓ’નો ખ્યાલ હોવો જરૂરી છે).
૨. લંબરેખાઓ: જો બે રેખાઓ પરસ્પર એકબીજીને છેદતી હોય અને તેમની વચ્ચે બનતો ખૂણો કાટખૂણો (
) હોય, તો તે બે રેખાઓને લંબરેખાઓ કહેવાય છે. (આના માટે ‘રેખા’, ‘ખૂણો’ અને ‘કાટખૂણો’ સમજવા જરૂરી છે).
૩. રેખાખંડ: બે અંત્યબિંદુઓવાળા રેખાના ભાગને રેખાખંડ કહેવાય છે. (આના માટે ‘રેખા’ અને ‘બિંદુ’ સમજવા જરૂરી છે).
૪. વર્તુળની ત્રિજ્યા: વર્તુળના કેન્દ્રથી વર્તુળ પરના કોઈ પણ બિંદુને જોડતા રેખાખંડને વર્તુળની ત્રિજ્યા કહેવાય છે. (આના માટે ‘કેન્દ્ર’, ‘વર્તુળ’ અને ‘બિંદુ’ સમજવા જરૂરી છે).
૫. ચોરસ: એવો ચતુષ્કોણ કે જેની ચારેય બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય અને ચારેય ખૂણા કાટખૂણા () હોય, તેને ચોરસ કહેવાય છે. (આના માટે ‘ચતુષ્કોણ’, ‘બાજુ’, ‘ખૂણો’ અને ‘કાટખૂણો’ પદોની જાણકારી હોવી જોઈએ).
ચોક્કસ, ધોરણ 9 ના ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકના પ્રકરણ 5 ની સ્વાધ્યાય 5.1 ના પ્રશ્ન 3 થી 7 ના ઉકેલો નીચે મુજબ છે:
પ્રશ્ન ૩: નીચે આપેલ બે પૂર્વધારણાઓનો વિચાર કરો : (i) જો બે ભિન્ન બિંદુ A અને B આપ્યાં હોય, તો તેમની વચ્ચે હોય તેવું એક બિંદુ C મળે. (ii) એક રેખા પર ન આવેલાં હોય તેવાં ઓછામાં ઓછા ત્રણ બિંદુઓ મળે. શું આ પૂર્વધારણાઓમાં કોઈ અવ્યાખ્યાયિત પદ છે? શું આ પૂર્વધારણાઓ સુસંગત છે? શું આ પૂર્વધારણાઓ યુક્લિડની પૂર્વધારણામાંથી મળે છે? સ્પષ્ટ કરો.
- ઉકેલ:
- હા, આ પૂર્વધારણાઓમાં ‘બિંદુ’ અને ‘રેખા’ જેવાં કેટલાંક અવ્યાખ્યાયિત પદો છે, જેની વ્યાખ્યા આપી શકાતી નથી.
- હા, આ પૂર્વધારણાઓ સુસંગત છે કારણ કે તે બે અલગ અલગ પરિસ્થિતિઓ સાથે સંકળાયેલી છે.
- ના, આ પૂર્વધારણાઓ યુક્લિડની પૂર્વધારણાઓને સીધી રીતે અનુસરતી નથી, આમ છતાં તે સ્વયંસિદ્ધ સત્ય 5.1 (આપેલાં બે ભિન્ન બિંદુઓમાંથી પસાર થતી અનન્ય રેખા હોય છે) ને અનુસરે છે.
પ્રશ્ન ૪: જો 
થાય તેવું બિંદુ C બિંદુઓ A અને B ની વચ્ચે હોય, તો સાબિત કરો કે 
છે. આકૃતિ દોરીને તેને સ્પષ્ટ કરો.
- ઉકેલ: અહીં આપેલ છે કે બિંદુ C એ A અને B ની વચ્ચે છે અને છે. યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય (સમાનમાં સમાન ઉમેરતાં સરવાળા સમાન રહે છે) મુજબ બંને બાજુ
ઉમેરતાં: 
(કારણ કે આકૃતિ મુજબ 
થાય છે) તેથી, 
.
પ્રશ્ન ૫: પ્રશ્ન 4 માં, બિંદુ C રેખાખંડ AB નું એક મધ્યબિંદુ કહેવાય છે. સાબિત કરો કે દરેક રેખાખંડને એક અને માત્ર એક જ મધ્યબિંદુ હોય.
- ઉકેલ: હંગામી ધોરણે આપણે એવી ધારણા કરીએ કે રેખાખંડ AB ને બે ભિન્ન મધ્યબિંદુઓ C અને D છે. પ્રશ્ન 4 ના ઉકેલ મુજબ, જો C મધ્યબિંદુ હોય તો, થાય. તે જ રીતે, જો D મધ્યબિંદુ હોય તો,
થાય. હવે, યુક્લિડના પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય (એક વસ્તુને સમાન હોય તેવી વસ્તુઓ એકબીજીને સમાન થાય) અનુસાર: 
થશે. આ પરિસ્થિતિ માત્ર ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે બિંદુ C અને બિંદુ D એક જ સ્થાને (સંપાતી) હોય અને ભિન્ન બિંદુઓ ન હોય. આથી સાબિત થાય છે કે દરેક રેખાખંડને એક અને માત્ર એક જ મધ્યબિંદુ હોય છે.
પ્રશ્ન ૬: આકૃતિ 5.10 માં જો 
હોય, તો સાબિત કરો કે 
છે.
- ઉકેલ: આપેલ છે:
— (૧) આકૃતિ પરથી આપણે સ્પષ્ટ જોઈ શકીએ છીએ કે: 
(કારણ કે બિંદુ B, A અને C ની વચ્ચે આવેલ છે) — (૨) 
(કારણ કે બિંદુ C, B અને D ની વચ્ચે આવેલ છે) — (૩) હવે સમીકરણ (૨) અને (૩) ની કિંમત સમીકરણ (૧) માં મૂકતા: 
બંને બાજુથી સમાન વસ્તુ (BC) બાદ કરતાં (યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય: સમાનમાંથી સમાન બાદ કરીએ તો બાદબાકી સમાન રહે): 
સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન ૭: યુક્લિડનાં સ્વયંસિદ્ધ સત્યોની યાદીમાં આપેલ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય 5 એક સનાતન સત્ય કેમ માનવામાં આવે છે? (યાદ રાખો કે આ પ્રશ્ન પાંચમી પૂર્વધારણા સાથે સંબંધિત નથી.)
- ઉકેલ: યુક્લિડનું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય 5 જણાવે છે કે: “આખું તેના ભાગ કરતા મોટું હોય છે”. આ એક સનાતન સત્ય માનવામાં આવે છે કારણ કે આ હકીકત દુનિયાના કોઈપણ ભાગમાં અને કોઈપણ વસ્તુ માટે હંમેશાં સત્ય હોય છે. કોઈ પણ આખી વસ્તુ હોય, તેનો કોઈ પણ નાનો ભાગ હંમેશાં તે આખી વસ્તુ કરતાં નાનો જ રહેવાનો.