Chapter 2: બહુપદી

અવયવ પ્રમેય ની મદદ થી બહુપદી ના અવયવ પાડો: ઉદાહરણ 8

તમારો પ્રશ્ન ખૂબ જ વ્યાજબી છે. ઉદાહરણ 8 માં $ab = \frac{5}{6}$ સુધી સમજ્યા પછી, $a$ અને $b$ ની સંભવિત કિંમતો કેવી રીતે નક્કી કરવામાં આવી, તેની પાછળનું ગણિત નીચે મુજબ છે:

આપણી પાસે સમીકરણ છે: $ab = \frac{5}{6}$

આનો અર્થ એ થાય કે બે સંખ્યાઓ ( $a$ અને $b$ ) નો ગુણાકાર $\frac{5}{6}$ થાય છે. હવે આ સંખ્યાઓ કઈ હોઈ શકે તેનો અંદાજ લગાવવા માટે આપણે અંશ (5) અને છેદ (6) ના અવયવોનો વિચાર કરવો પડે.

1. અંશ (5) ના અવયવો: 1 અને 5 (કારણ કે 5 અવિભાજ્ય સંખ્યા છે). 2. છેદ (6) ના અવયવો: 1, 2, 3 અને 6.

હવે, $a$ અને $b$ એવા અપૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ, જેમના અંશ 5 ના અવયવો હોય અને છેદ 6 ના અવયવો હોય. તેથી, સંભવિત કિંમતો શોધવા માટે આપણે નીચે મુજબની જોડીઓ બનાવવી પડે:

સંભવિત કિંમતો = $\frac{\text{5 ના અવયવો}}{\text{6 ના અવયવો}}$

ચાલો આ જોડીઓ બનાવીએ (ધન અને ઋણ બંને કિંમતો $\pm$ ધ્યાનમાં લેવી પડે):

જો છેદમાં 2 લઈએ તો: $\pm\frac{1}{2}, \pm\frac{5}{2}$
જો છેદમાં 3 લઈએ તો: $\pm\frac{1}{3}, \pm\frac{5}{3}$
જો છેદમાં 1 લઈએ તો: $\pm\frac{1}{1}$ (એટલે કે $\pm1$ ), $\pm\frac{5}{1}$ (એટલે કે $\pm5$ )
જો છેદમાં 6 લઈએ તો: $\pm\frac{1}{6}, \pm\frac{5}{6}$

પુસ્તકમાં પેજ નંબર 30 અને 31 પર આ જ લોજિકના આધારે ટૂંકાવીને કેટલીક સંભવિત કિંમતો લખી છે: $\pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{5}{3}, \pm\frac{5}{2}, \pm1, \pm5$ વગેરે.

આ કિંમતો લખ્યા પછી શું કરવાનું હોય છે? આ બધી જ કિંમતો વારાફરતી બહુપદી $p(x)$ માં $x$ ની જગ્યાએ મૂકીને જોવાની હોય છે. જે કિંમત મૂકવાથી જવાબ શૂન્ય (0) આવે, તે આપણો સાચો અવયવ બને છે.

જેમ કે, પુસ્તકમાં $x = \frac{-1}{3}$ મૂક્યું, તો જવાબ શૂન્ય આવ્યો. તેનો અર્થ એ કે $(x + \frac{1}{3})$ એ બહુપદીનો એક અવયવ છે.
તે જ રીતે $x = \frac{-5}{2}$ મૂકવાથી પણ જવાબ 0 આવશે, એટલે $(x + \frac{5}{2})$ એ બીજો અવયવ છે.

આમ, અંશ અને છેદના અવયવોના ભાગાકારના કોમ્બિનેશન પરથી આ સંભવિત કિંમતોની યાદી સીધી લખવામાં આવી છે, જેથી આડેધડ સંખ્યાઓ ધારવાને બદલે માત્ર આ ચોક્કસ સંખ્યાઓ જ ચકાસવી પડે.

ઉદાહરણ 9

તમારો પ્રશ્ન ખૂબ જ સરસ અને બુદ્ધિગમ્ય છે! પ્રકરણ 2 (બહુપદીઓ) ના ઉદાહરણ 9 માં બહુપદી $p(y) = y^2 - 5y + 6$ ના અવયવ પાડવાના છે.

અહીં અચળ પદ 6 છે. 6 ના અવયવો ખરેખર $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ એમ ધન અને ઋણ બંને હોઈ શકે. પરંતુ, પુસ્તકમાં માત્ર ધન (+) અવયવો (1, 2, 3 અને 6) જ લખ્યા છે, તેની પાછળ એક સરળ ગાણિતિક લોજિક છુપાયેલું છે.

ચાલો સમજીએ કે ઋણ (-) અવયવો કેમ ન લીધા:

જો તમે બહુપદી $y^2 - 5y + 6$ ને ધ્યાનથી જુઓ: ૧. પ્રથમ પદ $y^2$ છે. ૨. મધ્યમ પદ $-5y$ છે. ૩. અંતિમ પદ $+6$ છે.

હવે, જો આપણે $y$ ની કિંમત ઋણ (-) લઈએ (દા.ત. -1, -2, -3 વગેરે), તો શું થાય?

ઋણ સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા ધન (+) થાય, તેથી $y^2$ ધન મળશે.
$-5y$ માં ઋણ કિંમત મૂકવાથી ઋણ અને ઋણનો ગુણાકાર ધન થઈ જાય (જેમ કે $-5 \times -2 = +10$ ).
છેલ્લું પદ 6 પહેલેથી જ ધન છે.

પરિણામ: જો $y$ ની કિંમત ઋણ મૂકીએ, તો બહુપદીનાં ત્રણેય પદો ધન થઈ જશે. અને ત્રણ ધન સંખ્યાઓનો સરવાળો ક્યારેય શૂન્ય (0) ન મળી શકે! (ઉદાહરણ તરીકે: જો $y = -2$ મૂકીએ તો $p(-2) = (-2)^2 - 5(-2) + 6 = 4 + 10 + 6 = 20 \neq 0$ ).

આપણી શરત એ છે કે $y$ ની કિંમત મૂકવાથી જવાબ શૂન્ય (0) આવવો જોઈએ, જેથી તે અવયવ બને. ઉપરના કારણથી એ સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ ઋણ કિંમત મૂકવાથી ક્યારેય 0 મળશે જ નહીં. આથી, ઋણ અવયવો ચકાસવાની કોઈ જરૂર જ રહેતી નથી અને તમારો સમય બચે છે.

આ જ કારણથી પુસ્તકમાં સીધા જ 6 ના માત્ર ધન અવયવો (1, 2, 3 અને 6) જ લીધા છે. તેમાંથી વારાફરતી કિંમતો ચકાસતાં $p(2) = 0$ અને $p(3) = 0$ મળે છે, તેથી $(y - 2)$ અને $(y - 3)$ એ બહુપદીના અવયવો સાબિત થાય છે.

ટૂંકમાં કહીએ તો, બહુપદીનાં ચિહ્નો (+ – +) જોઈને જ અંદાજ લગાવી શકાય છે કે તેના ઉકેલ માત્ર ધન સંખ્યાઓ જ હશે, તેથી ઋણ સંખ્યાઓ ચકાસવાનું ટાળવામાં આવ્યું છે.

📐 ધોરણ 9 ગણિત: બહુપદીઓ (વિગતવાર ઉકેલ)

પ્રશ્ન 10: અવયવ પાડો

(i) 27y³ + 125z³

સૌથી પહેલા પદોને ઘન સ્વરૂપે લખીએ:
= (3y)³ + (5z)³

હવે સૂત્ર a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) નો ઉપયોગ કરતા, (જ્યાં a = 3y અને b = 5z):
= (3y + 5z) [ (3y)² – (3y)(5z) + (5z)² ]
= (3y + 5z) ( 9y² – 15yz + 25z² )

જવાબ: (3y + 5z)(9y² – 15yz + 25z²)

(ii) 64m³ – 343n³

પદોને ઘન સ્વરૂપે લખીએ:
= (4m)³ – (7n)³

હવે સૂત્ર a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) નો ઉપયોગ કરતા, (જ્યાં a = 4m અને b = 7n):
= (4m – 7n) [ (4m)² + (4m)(7n) + (7n)² ]
= (4m – 7n) ( 16m² + 28mn + 49n² )

જવાબ: (4m – 7n)(16m² + 28mn + 49n²)

પ્રશ્ન 11: અવયવ પાડો

27x³ + y³ + z³ – 9xyz

પદોને ઘન સ્વરૂપે લખીએ:
= (3x)³ + (y)³ + (z)³ – 3(3x)(y)(z)

નિત્યસમ a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca) મુજબ ગોઠવતા:
= (3x + y + z) [ (3x)² + (y)² + (z)² – (3x)(y) – (y)(z) – (z)(3x) ]
= (3x + y + z) ( 9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3zx )

જવાબ: (3x + y + z)(9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3zx)

પ્રશ્ન 13: સાબિતી

જો x + y + z = 0 તો સાબિત કરો કે x³ + y³ + z³ = 3xyz

આપણે નિત્યસમ જાણીએ છીએ કે:
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx)

હવે રકમ મુજબ (x + y + z) ની કિંમત 0 મુકતા:
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (0) × (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
0 સાથે ગુણાકાર થવાથી જમણી બાજુ શૂન્ય થઈ જશે:
x³ + y³ + z³ – 3xyz = 0
હવે -3xyz ને બરાબરની સામેની બાજુ લઈ જતાં:
x³ + y³ + z³ = 3xyz

સાબિત થાય છે: x³ + y³ + z³ = 3xyz

પ્રશ્ન 14: ઘનનું મૂલ્ય મેળવ્યા સિવાય કિંમત શોધો

(સૂચન: જો a + b + c = 0 હોય, તો a³ + b³ + c³ = 3abc થાય)

(i) (-12)³ + (7)³ + (5)³

અહીં ધારો કે a = -12, b = 7, અને c = 5 છે.
ચકાસીએ: a + b + c = -12 + 7 + 5 = -12 + 12 = 0.
તેથી, કિંમત = 3abc થશે.
= 3 × (-12) × (7) × (5)
= -36 × 35
= -1260

જવાબ: -1260

(ii) (28)³ + (-15)³ + (-13)³

અહીં ધારો કે a = 28, b = -15, અને c = -13 છે.
ચકાસીએ: a + b + c = 28 + (-15) + (-13) = 28 – 28 = 0.
તેથી, કિંમત = 3abc થશે.
= 3 × (28) × (-15) × (-13)
= 84 × 195
= 16380

જવાબ: 16380

પ્રશ્ન 15: ક્ષેત્રફળ પરથી સંભવિત પરિમાણ શોધો

(i) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = 25a² – 35a + 12

લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ × પહોળાઈ. આથી આપણે અવયવ પાડીશું.
મધ્યમ પદના ભાગ પાડીએ (ગુણાકાર 300, સરવાળો -35). ભાગ પડશે -20 અને -15.
= 25a² – 20a – 15a + 12
= 5a(5a – 4) – 3(5a – 4)
= (5a – 4)(5a – 3)

સંભવિત લંબાઈ અને પહોળાઈ: (5a – 4) અને (5a – 3)

(ii) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = 35y² + 13y – 12

મધ્યમ પદના ભાગ પાડીએ (ગુણાકાર -420, સરવાળો 13). ભાગ પડશે +28 અને -15.
= 35y² + 28y – 15y – 12
= 7y(5y + 4) – 3(5y + 4)
= (5y + 4)(7y – 3)

સંભવિત લંબાઈ અને પહોળાઈ: (5y + 4) અને (7y – 3)

પ્રશ્ન 16: ઘનફળ પરથી શક્ય પરિમાણ શોધો

(i) લંબઘનનું ઘનફળ = 3x² – 12x

લંબઘનનું ઘનફળ = લંબાઈ × પહોળાઈ × ઊંચાઈ. આથી આપણે 3 અવયવ પાડીશું.
બંને પદોમાંથી 3x સામાન્ય કાઢતા:
= 3x(x – 4)
આને 3 અલગ ભાગમાં દર્શાવી શકાય: 3 × x × (x – 4)

શક્ય પરિમાણ: 3, x, અને (x – 4)

(ii) લંબઘનનું ઘનફળ = 12ky² + 8ky – 20k

બધા પદોમાંથી સામાન્ય 4k કાઢતા:
= 4k [ 3y² + 2y – 5 ]
હવે કૌંસમાં રહેલી બહુપદીના અવયવ પાડીએ (ગુણાકાર -15, સરવાળો 2). ભાગ +5 અને -3.
= 4k [ 3y² + 5y – 3y – 5 ]
= 4k [ y(3y + 5) – 1(3y + 5) ]
= 4k (3y + 5) (y – 1)

શક્ય પરિમાણ: 4k, (3y + 5), અને (y – 1)

અવયવ પ્રમેય ની મદદ થી બહુપદી ના અવયવ પાડો: ઉદાહરણ 8

ઉદાહરણ 9

Leave a Comment Cancel Reply