પ્રશ્ન 1: 5 સેમી અને 3 સેમી ત્રિજ્યાવાળાં બે વર્તુળો બે બિંદુમાં છેદે છે અને તેમના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર 4 સેમી છે. સામાન્ય જીવાની લંબાઈ શોધો.
આકૃતિ: સામાન્ય જીવા AB અને વર્તુળના કેન્દ્રો O અને O’
સ્ટેપ 1: ધારો કે…
ધારો કે મોટા વર્તુળનું કેન્દ્ર O અને તેની ત્રિજ્યા (OA) = 5 સેમી છે.
નાના વર્તુળનું કેન્દ્ર O’ અને તેની ત્રિજ્યા (O’A) = 3 સેમી છે.
બંને કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર (OO’) = 4 સેમી છે.
ધારો કે બંને વર્તુળો A અને B બિંદુમાં છેદે છે, તેથી AB એ સામાન્ય જીવા છે.
સ્ટેપ 2: ત્રિકોણની ચકાસણી (પાયથાગોરસ)
હવે, ત્રિકોણ ΔAOO’ માં ત્રણેય બાજુઓના માપ 3, 4 અને 5 છે. આપણે જાણીએ છીએ કે:
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ મુજબ, જો બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના વર્ગ બરાબર થાય, તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે. અહીં સૌથી મોટી બાજુ OA છે, તેથી તેની સામેનો ખૂણો ∠OO’A = 90° થશે.
સ્ટેપ 3: સામાન્ય જીવાનો સિદ્ધાંત
આપણે જાણીએ છીએ કે “બે વર્તુળોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા એ સામાન્ય જીવાનો લંબદ્વિભાજક હોય છે”.
અહીં ∠OO’A = 90° હોવાથી, નાના વર્તુળનું કેન્દ્ર O’ એ સામાન્ય જીવા AB પર જ આવેલું છે!
સ્ટેપ 4: જીવાની લંબાઈ
કારણ કે સામાન્ય જીવા નાના વર્તુળના કેન્દ્ર (O’) માંથી પસાર થાય છે, તે નાના વર્તુળનો વ્યાસ બની જાય છે.
સામાન્ય જીવા (AB) ની લંબાઈ = 2 × નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા
= 2 × 3 સેમી
= 6 સેમી
✅ સામાન્ય જીવાની લંબાઈ 6 સેમી છે.
🎯 વર્તુળના અગત્યના દાખલાઓનો ઉકેલ
પ્રશ્ન 5: 5 મી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પર રેશ્મા (R), સલમા (S) અને મનદીપ (M) ઉભા છે. જો RS = 6 મીટર અને SM = 6 મીટર હોય, તો રેશ્મા અને મનદીપ વચ્ચેનું અંતર (RM) શોધો.
આકૃતિ: વર્તુળ પર રેશ્મા (R), સલમા (S), મનદીપ (M) અને કેન્દ્ર (O)
સ્ટેપ 1: ત્રિકોણ ORS નું ક્ષેત્રફળ (Area)
ધારો કે O વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. અહીં ત્રિજ્યા OR = OS = 5 મીટર છે. રેશ્મા અને સલમા વચ્ચેનું અંતર RS = 6 મીટર છે.
કેન્દ્ર O માંથી જીવા RS પર લંબ (Perpendicular) દોરો જે L માં છેદે. લંબ જીવાને દુભાગે છે, તેથી RL = 3 મીટર થાય.
અહીં RS = SM હોવાથી, કેન્દ્ર O અને S ને જોડતી રેખા (OS) એ જીવા RM નો લંબદ્વિભાજક બને છે. ધારો કે OS અને RM બિંદુ K માં છેદે છે.
તો ΔORS માં પાયો OS અને વેધ RK લઈ ફરીથી ક્ષેત્રફળ મુકીએ:
અહીં OS લંબદ્વિભાજક હોવાથી, RM ની કુલ લંબાઈ RK કરતાં બમણી થશે.
RM = 2 × RK = 2 × 4.8 = 9.6 મીટર
✅ રેશ્મા અને મનદીપ વચ્ચેનું અંતર 9.6 મીટર હશે.
પ્રશ્ન 6: 20 મીટર ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળની સીમા પર અંકુર (A), સૈયદ (S) અને ડેવિડ (D) સરખા અંતરે બેઠા છે. દરેકના ટેલિફોનની દોરીની લંબાઈ શોધો.
આકૃતિ: સમબાજુ ત્રિકોણ ASD અને કેન્દ્ર O
સ્ટેપ 1: સમબાજુ ત્રિકોણનો નિયમ
અહીં ત્રણેય છોકરાઓ વર્તુળની સીમા પર સરખા અંતરે બેઠા હોવાથી ત્રિકોણ ΔASD સમબાજુ ત્રિકોણ બને છે.
ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ a છે. (એટલે કે AS = SD = DA = a)
સ્ટેપ 2: મધ્યગા (Median) નું વિભાજન
ધારો કે A માંથી બાજુ SD પર દોરેલી મધ્યગા AM છે. સમબાજુ ત્રિકોણમાં, વર્તુળનું કેન્દ્ર (O) એ મધ્યગાનું 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. એટલે કે AO : OM = 2 : 1.
અહીં વર્તુળની ત્રિજ્યા AO = 20 મીટર છે.
તેથી, OM = AO / 2 = 20 / 2 = 10 મીટર.
કુલ લંબાઈ (AM) = AO + OM = 20 + 10 = 30 મીટર.
સ્ટેપ 3: પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ
સમબાજુ ત્રિકોણમાં મધ્યગા એ જ વેધ (લંબ) હોય છે, તેથી ΔAMS કાટકોણ ત્રિકોણ બને છે.
અહીં કર્ણ AS = a, અને પાયો MS = a/2 થશે (કારણ કે M એ SD નું મધ્યબિંદુ છે).
હવે a2/4 ને ડાબી બાજુ લાવતા:
a2 – a24 = 900 3a24 = 900
3a2 = 3600
a2 = 1200
a = √1200 = √(400 × 3) = 20√3 મીટર
✅ દરેક છોકરાના ટેલિફોનની દોરીની લંબાઈ 20√3 મીટર હશે.
સ્વાધ્યાય 9.3 ના ઉકેલ (પ્રશ્ન 1 થી 4)
આકૃતિ 9.23
1. આકૃતિ 9.23 માં O કેન્દ્રવાળા વર્તુળ પર બિંદુઓ A, B અને C એવી રીતે આવેલાં છે કે જેથી ∠BOC = 30° અને ∠AOB = 60° થાય. જો ચાપ ABC સિવાયના વર્તુળ પર બિંદુ D હોય, તો ∠ADC શોધો.
ઉકેલ:
આપેલ છે કે, ∠AOB = 60° અને ∠BOC = 30°
કેન્દ્ર O આગળ ચાપ ABC દ્વારા આંતરેલો કુલ ખૂણો:
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
∠AOC = 60° + 30° = 90°
પ્રમેય મુજબ: વર્તુળના ચાપે કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો, તે ચાપે વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
∠ADC = ½ ∠AOC
∠ADC = ½ × 90°
✅ ∠ADC = 45°
(સમજૂતી આકૃતિ)
2. એક વર્તુળની જીવા અને તેની ત્રિજ્યા સમાન છે. આ જીવાએ લઘુચાપ પરના બિંદુ આગળ અને ગુરુચાપ પરના બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે O કેન્દ્રવાળા વર્તુળમાં જીવા AB એ ત્રિજ્યા જેટલી લંબાઈ ધરાવે છે. (અહીં AB = OA = OB).
તેથી, ΔOAB એ સમબાજુ ત્રિકોણ બને છે. પરિણામે કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો ∠AOB = 60° થાય.
ધારો કે P ગુરુચાપ પરનું બિંદુ છે. તો પ્રમેય મુજબ:
∠APB = ½ ∠AOB = ½ × 60° = 30°.
હવે ધારો કે Q લઘુચાપ પરનું બિંદુ છે. અહીં APBQ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ બને છે. ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાનો સરવાળો 180° થાય.