Std 9 Math’s Revision

પ્રકરણ 1 “સંખ્યા પદ્ધતિ” (Number System)

૧. સંખ્યાઓના પ્રકાર (Types of Numbers):

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ (N – Natural Numbers): 1, 2, 3, 4… થી શરૂ થતી ગણતરીની સંખ્યાઓ.
પૂર્ણ સંખ્યાઓ (W – Whole Numbers): જો પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં શૂન્ય (0) ઉમેરવામાં આવે, તો પૂર્ણ સંખ્યાઓ (0, 1, 2, 3…) બને છે.
પૂર્ણાંકો (Z – Integers): બધી ઋણ સંખ્યાઓ, શૂન્ય અને ધન સંખ્યાઓનો સમૂહ (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…).
સંમેય સંખ્યાઓ (Q – Rational Numbers): જે સંખ્યાને $p/q$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય (જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક હોય અને $q \neq 0$ ), તેને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે. (દા.ત. 1/2, -25/1, 3/4).
મહત્વનો મુદ્દો: કોઈપણ બે આપેલી સંમેય સંખ્યાઓ વચ્ચે અનંત સંમેય સંખ્યાઓ આવેલી હોય છે.

૨. અસંમેય અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (Irrational and Real Numbers):

અસંમેય સંખ્યાઓ (Irrational): જે સંખ્યાને $p/q$ સ્વરૂપમાં ન લખી શકાય, તેને અસંમેય સંખ્યા કહે છે. તેનાં ઉદાહરણો છે: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi$ , અને 0.10110111011110… જેવી સંખ્યાઓ.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (R – Real Numbers): સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાઓ ભેગી મળીને વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ બનાવે છે. સંખ્યારેખા પરનું પ્રત્યેક બિંદુ એક અનન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા દર્શાવે છે, તેથી તેને વાસ્તવિક સંખ્યારેખા પણ કહે છે.
દાખલા માટે: પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યારેખા પર $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ દર્શાવવાના દાખલા પૂછાઈ શકે છે.

૩. દશાંશ-અભિવ્યક્તિ (Decimal Expansion):

સંમેય સંખ્યાઓ માટે: સંમેય સંખ્યાની દશાંશ-અભિવ્યક્તિ કાં તો સાન્ત (Terminating – એટલે કે અમુક અંકો પછી શેષ 0 થઈ જાય, દા.ત. 0.875) હોય છે, અથવા અનંત આવૃત (Non-terminating Recurring – એટલે કે અંકોનું પુનરાવર્તન થતું હોય, દા.ત. 0.333… જેને $0.\overline{3}$ લખાય) હોય છે.
અસંમેય સંખ્યાઓ માટે: અસંમેય સંખ્યાની દશાંશ-અભિવ્યક્તિ હંમેશા અનંત અનાવૃત (Non-terminating Non-recurring – એટલે કે ક્યારેય અંકો રિપીટ ન થાય કે અંત ન આવે) હોય છે.
દાખલા માટે: અનંત આવૃત દશાંશને (જેમ કે $0.\overline{27}$ ) $p/q$ સ્વરૂપમાં ફેરવવાના દાખલા પરીક્ષામાં માટે ખૂબ જ મહત્વના છે (જેમાં $x$ ધારીને 10 કે 100 વડે ગુણવાની રીત વપરાય છે).

૪. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પરની ગાણિતિક પ્રક્રિયાઓ:

એક સંમેય અને એક અસંમેય સંખ્યાનો સરવાળો, તફાવત, ગુણાકાર કે ભાગાકાર હંમેશા અસંમેય સંખ્યા જ મળે છે.
બે અસંમેય સંખ્યાઓનો સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર કે ભાગાકાર સંમેય અથવા અસંમેય બંનેમાંથી કંઈ પણ હોઈ શકે છે.
વર્ગમૂળના અગત્યના નિત્યસમો: દાખલા ગણવા માટે આ સૂત્રો યાદ રાખો:
- $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$
- $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
- $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$
- $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b$
- $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$

૫. છેદનું સંમેયીકરણ (Rationalising the Denominator):

જ્યારે છેદમાં અસંમેય સંખ્યા હોય, ત્યારે છેદને સંમેય બનાવવાની પ્રક્રિયાને છેદનું સંમેયીકરણ કહેવાય છે.
દા.ત., $\frac{1}{\sqrt{a} + b}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે અંશ અને છેદને $\sqrt{a} - b$ વડે ગુણવા પડે છે. આ રીતના દાખલા પરીક્ષામાં 100% પૂછાઈ શકે.

૬. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે ઘાતાંકના નિયમો (Laws of Exponents):

જો હોય અને સંમેય સંખ્યાઓ હોય તો ઘાતાંકના નિયમો નીચે મુજબ છે:
- ગુણાકારમાં ઘાતનો સરવાળો: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$
- ઘાતની ઘાતનો ગુણાકાર: $(a^p)^q = a^{pq}$
- ભાગાકારમાં ઘાતની બાદબાકી: $\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$
- અલગ અલગ આધાર પણ સમાન ઘાત: $a^p \cdot b^p = (ab)^p$
ફ્રેક્શનલ ઘાતાંકનો અર્થ: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ થાય છે.

ટિપ્સ: પરીક્ષા માટે છેદનું સંમેયીકરણ, $0.\overline{35}$ જેવી સંખ્યાને $p/q$ માં ફેરવવી, અને ઘાતાંકના નિયમોના ઉપયોગથી કિંમત શોધવાના દાખલા (સ્વાધ્યાય 1.5) ખાસ તૈયાર કરી લેવા.

જો તમે આ પ્રકરણ પાકું કરવા માટે ફ્લેશકાર્ડ્સ (Flashcards) અથવા પ્રેક્ટિસ માટે ક્વિઝ (Quiz) ઈચ્છતા હોવ તો મને કહો, હું તમારા માટે તે બનાવી આપીશ! શૈક્ષણિક તૈયારી માટે ખૂબ ખૂબ શુભેચ્છાઓ.

પ્રકરણ 1 “સંખ્યા પદ્ધતિ” (Number System)

Leave a Comment Cancel Reply