સ્વાધ્યાય 3.3
📝 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ : કૂટપ્રશ્નોના ઉકેલ
(iii) બે અંકોની સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 9 છે. વળી સંખ્યાના નવ ગણા કરતાં મળતી સંખ્યા એ અંકોની અદલાબદલી કરતાં મળતી સંખ્યા કરતાં બે ગણી છે, તો તે સંખ્યા શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે માગેલ બે અંકોની સંખ્યાનો દશકનો અંક x અને એકમનો અંક y છે.
તેથી, મૂળ સંખ્યા = 10x + y
અંકોની અદલાબદલી કરતાં મળતી નવી સંખ્યા = 10y + x
શરત 1: અંકોનો સરવાળો 9 છે.
x + y = 9 — (સમીકરણ 1)
x + y = 9 — (સમીકરણ 1)
શરત 2: મૂળ સંખ્યાના 9 ગણા એ નવી સંખ્યાના 2 ગણા બરાબર છે.
9(10x + y) = 2(10y + x)
90x + 9y = 20y + 2x
88x – 11y = 0
(બંને બાજુ 11 વડે ભાગતા)
8x – y = 0 — (સમીકરણ 2)
9(10x + y) = 2(10y + x)
90x + 9y = 20y + 2x
88x – 11y = 0
(બંને બાજુ 11 વડે ભાગતા)
8x – y = 0 — (સમીકરણ 2)
હવે સમીકરણ (1) અને (2) નો સરવાળો કરતા:
(x + y) + (8x – y) = 9 + 0
9x = 9 ⇒ x = 1
9x = 9 ⇒ x = 1
x = 1 ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મુકતા:
1 + y = 9 ⇒ y = 8
✅ માગેલ મૂળ સંખ્યા = 10(1) + 8 = 10 + 8 = 18
(iv) મીના ₹ 2000 ઉપાડવા બેન્કમાં ગઈ હતી. તેણે કેશિયરને કહ્યું હતું કે મને માત્ર ₹ 50 અને ₹ 100 ની નોટો જ જોઈએ છે. મીનાને કુલ 25 નોટો મળી હતી. તો તેણે ₹ 50 અને ₹ 100 ની પ્રત્યેકની કેટલી કેટલી નોટો મેળવી હશે?
ઉકેલ:
ધારો કે મીનાને મળેલી ₹ 50 ની નોટોની સંખ્યા x અને ₹ 100 ની નોટોની સંખ્યા y છે.
શરત 1: મીનાને કુલ 25 નોટો મળી.
x + y = 25 — (સમીકરણ 1)
x + y = 25 — (સમીકરણ 1)
શરત 2: કુલ રકમ ₹ 2000 છે.
50x + 100y = 2000
(બંને બાજુ 50 વડે ભાગતા)
x + 2y = 40 — (સમીકરણ 2)
50x + 100y = 2000
(બંને બાજુ 50 વડે ભાગતા)
x + 2y = 40 — (સમીકરણ 2)
હવે સમીકરણ (2) માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતા:
(x + 2y) – (x + y) = 40 – 25
y = 15
y = 15
y = 15 ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મુકતા:
x + 15 = 25 ⇒ x = 10
✅ મીનાને ₹ 50 ની 10 નોટો અને ₹ 100 ની 15 નોટો મળી હશે.
(v) એક પ્રતિષ્ઠિત પુસ્તકાલય પ્રથમ ત્રણ દિવસનું એક પુસ્તકનું નિશ્ચિત ભાડું લે છે અને પછીના પ્રત્યેક દિવસ દીઠ અતિરિક્ત ભાડું લે છે. સરિતા સાત દિવસ પુસ્તક રાખવાના ₹ 27 ચૂકવે છે. સુસી પાંચ દિવસ પુસ્તક રાખવાના ₹ 21 ચૂકવે છે, તો નિશ્ચિત ભાડું અને પ્રત્યેક વધારાના દિવસનું ભાડું શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે પ્રથમ 3 દિવસનું નિશ્ચિત ભાડું ₹ x છે અને પછીના પ્રત્યેક વધારાના દિવસનું ભાડું ₹ y છે.
શરત 1: સરિતા 7 દિવસ માટે (3 નિશ્ચિત દિવસ + 4 વધારાના દિવસ) ₹ 27 ચૂકવે છે.
x + 4y = 27 — (સમીકરણ 1)
x + 4y = 27 — (સમીકરણ 1)
શરત 2: સુસી 5 દિવસ માટે (3 નિશ્ચિત દિવસ + 2 વધારાના દિવસ) ₹ 21 ચૂકવે છે.
x + 2y = 21 — (સમીકરણ 2)
x + 2y = 21 — (સમીકરણ 2)
હવે સમીકરણ (1) માંથી સમીકરણ (2) બાદ કરતા (લોપની રીત):
(x + 4y) – (x + 2y) = 27 – 21
2y = 6 ⇒ y = 3
2y = 6 ⇒ y = 3
y = 3 ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મુકતા:
x + 2(3) = 21
x + 6 = 21 ⇒ x = 15
x + 6 = 21 ⇒ x = 15
✅ નિશ્ચિત ભાડું (પ્રથમ 3 દિવસનું) = ₹ 15
✅ પ્રત્યેક વધારાના દિવસનું ભાડું = ₹ 3
✅ પ્રત્યેક વધારાના દિવસનું ભાડું = ₹ 3