ધોરણ 11 ગણિત: પ્રકરણ 2 – સંબંધ અને વિધેયો (Relations and Functions)

૧. ઐતિહાસિક માહિતી (Historical Note)

FUNCTION (વિધેય) શબ્દ સૌપ્રથમ 1673 માં ગોટફ્રાઈડ વિલ્હેમ લાઈબ્નીત્ઝ (Gottfried Wilhelm Leibnitz) ના લેટિન લખાણમાં જોવા મળ્યો હતો.
લાઈબ્નીત્ઝે આ શબ્દનો ઉપયોગ ગણિતના એક કામ (Mathematical job) તરીકે કર્યો હતો, જ્યાં વક્ર (Curve) એક કર્મચારી જેવું કામ કરતો હતો.
5 જુલાઈ 1698 ના રોજ જોહાન બર્નોલી (Johan Bernoulli) એ લાઈબ્નીત્ઝને લખેલા પત્રમાં પહેલીવાર વિધેય શબ્દનો ઉપયોગ ગાણિતિક અને વિશ્લેષણાત્મક (Analytical) અર્થમાં કર્યો.
અંગ્રેજી ભાષામાં આ શબ્દ 1779 માં ચેમ્બર્સ સાયક્લોપીડિયા (Chambers Cyclopaedia) માં જોવા મળ્યો હતો.

૨. ક્રમયુક્ત જોડ અને કાર્તેઝિય ગુણાકાર (Ordered Pair & Cartesian Product)

ક્રમયુક્ત જોડ (Ordered Pair): કોઈ ચોક્કસ ક્રમમાં બનાવેલી વસ્તુઓની જોડ (જેમ કે સમતલમાં બિંદુના યામ). જો (a, b) = (x, y) હોય, તો a = x અને b = y જ થાય.
કાર્તેઝિય ગુણાકાર (Cartesian Product): બે ખાલી ન હોય તેવા ગણો P અને Q માટે, P અને Q ની તમામ ક્રમયુક્ત જોડના ગણને તેમનો કાર્તેઝિય ગુણાકાર કહે છે. તેને P × Q વડે દર્શાવાય છે.
સૂત્ર: P × Q = {(p, q) : p ∈ P, q ∈ Q}.
જો P અથવા Q માંથી એક પણ ગણ ખાલીગણ (φ) હોય, તો તેમનો ગુણાકાર પણ ખાલીગણ થાય.
જો ગણ A ના સભ્યોની સંખ્યા p અને B ના સભ્યોની સંખ્યા q હોય, તો (A × B) ના સભ્યોની સંખ્યા pq થાય. એટલે કે, n(A) = p અને n(B) = q હોય તો n(A × B) = pq.
જો A અને B માંથી કોઈ એક અનંત ગણ (Infinite Set) હોય, તો A × B પણ અનંત ગણ થાય.
ત્રિપુટી (Triplet): A × A × A = {(a, b, c) : a, b, c ∈ A}. અહી (a, b, c) ને ક્રમયુક્ત ત્રય અથવા ત્રિપુટી કહે છે.

૩. સંબંધ (Relation)

વ્યાખ્યા: ખાલી ન હોય તેવા ગણો A અને B માટે, A × B ના કોઈપણ ઉપગણ (Subset) ને A થી B નો સંબંધ કહે છે. તેને R વડે દર્શાવાય છે.
પ્રતિબિંબ (Image): જો ક્રમયુક્ત જોડ (x, y) સંબંધ R માં હોય, તો બીજા ઘટક y ને પ્રથમ ઘટક x નું પ્રતિબિંબ કહે છે.
પ્રદેશ (Domain): સંબંધ R ની પ્રત્યેક જોડના પ્રથમ ઘટકથી બનતા ગણને પ્રદેશ કહે છે.
વિસ્તાર (Range): સંબંધ R ની પ્રત્યેક જોડના બીજા ઘટકથી બનતા ગણને વિસ્તાર કહે છે.
સહપ્રદેશ (Codomain): ગણ B ને સંબંધ R નો સહપ્રદેશ કહે છે. (વિસ્તાર એ હંમેશા સહપ્રદેશનો ઉપગણ હોય છે).
કુલ સંબંધોની સંખ્યા: જો n(A) = p અને n(B) = q હોય, તો A થી B પરના કુલ સંબંધોની સંખ્યા 2^pq થાય.

૪. વિધેય (Function)

વ્યાખ્યા: જો ગણ A ના પ્રત્યેક ઘટકને ગણ B માં એક અને માત્ર એક જ (અનન્ય – Unique) પ્રતિબિંબ મળે, તો તેવા સંબંધને A થી B નું વિધેય કહે છે. તેને f: A → B લખાય છે.
જો સંબંધની કોઈપણ બે અલગ અલગ ક્રમયુક્ત જોડનો પહેલો ઘટક સમાન હોય, તો તે સંબંધ વિધેય નથી.
વાસ્તવિક વિધેય (Real Function): જો કોઈ વિધેયનો પ્રદેશ અને વિસ્તાર બંને વાસ્તવિક સંખ્યાનો ગણ (R) અથવા તેનો ઉપગણ હોય, તો તેને વાસ્તવિક વિધેય કહે છે.

૫. અગત્યના વિધેયો અને તેના પ્રકાર (Types of Functions)

તદેવ વિધેય (Identity Function): f(x) = x. પ્રદેશ = R, વિસ્તાર = R. તેનો આલેખ ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા હોય છે.
અચળ વિધેય (Constant Function): f(x) = c (જ્યાં c અચળ છે). પ્રદેશ = R, વિસ્તાર = {c}. આલેખ X-અક્ષને સમાંતર રેખા હોય છે.
બહુપદી વિધેય (Polynomial Function): f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ.
સંમેય વિધેય (Rational Function): f(x)/g(x), જ્યાં g(x) ≠ 0.
માનાંક વિધેય (Modulus Function): f(x) = |x|. આ વિધેય ધન માટે ધન અને ઋણ માટે ઋણ નિશાની દૂર કરી ધન કિંમત આપે છે. પ્રદેશ = R, વિસ્તાર = અનૃણ (ઋણ ન હોય તેવી) વાસ્તવિક સંખ્યાઓ.
ચિહ્ન વિધેય (Signum Function): f(x) ની કિંમત ધન માટે 1, શૂન્ય માટે 0 અને ઋણ માટે -1 હોય છે. પ્રદેશ = R, વિસ્તાર = {-1, 0, 1}.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય (Greatest Integer Function): f(x) = [x]. x થી નાના અથવા x ને સમાન હોય તેવા તમામ પૂર્ણાંકોમાં સૌથી મોટો પૂર્ણાંક. (દા.ત. [1.5] = 1, [-1.5] = -2).
સુરેખ વિધેય (Linear Function): f(x) = mx + c (જ્યાં m અને c અચળ છે, m ≠ 0).

૬. વિધેયો પરની બૈજિક ક્રિયાઓ (Algebra of Functions)

સરવાળો (Addition): (f + g)(x) = f(x) + g(x)
બાદબાકી (Subtraction): (f – g)(x) = f(x) – g(x)
ગુણાકાર (Multiplication): (fg)(x) = f(x) × g(x)
ભાગાકાર (Division): (f / g)(x) = f(x) / g(x), (જ્યાં g(x) ≠ 0 હોવું જોઈએ)
અદિશ સાથે ગુણાકાર (Scalar Multiplication): (kf)(x) = k × f(x) (જ્યાં k કોઈ અચળ સંખ્યા છે).

અધ્યાય 2: સંબંધ (Relations) અને વિધેયો (Functions)

સરળ અને મજેદાર રીતે શીખો – MCQ તૈયારી માટે પરફેક્ટ!

2.1 પ્રસ્તાવિક (Introduction)

મુખ્ય પોઈન્ટ્સ: ગણિતશાસ્ત્ર (mathematics) માં મોટેભાગે બદલાતી રાશિઓ વચ્ચેનો સંબંધ (relation) એટલે કે ભાત (ratio) શોધવામાં આવે છે. રોજિંદા જીવનમાં પિતા-પુત્ર, ભાઈ-બહેન, શિક્ષક-વિદ્યાર્થી જેવા સંબંધો (relations). ગણિતશાસ્ત્ર (mathematics) માં ‘સંખ્યા m, સંખ્યા n કરતા નાની છે’, ‘રેખા 1 એ રેખા m ને સમાંતર છે’, ‘ગણ (set) A એ ગણ (set) B નો ઉપગણ (subset) છે’ જેવા સંબંધો (relations). સંબંધ (relation) ચોક્કસ ક્રમમાં વસ્તુઓની જોડનો સમાવેશ કરે છે.
ઐતિહાસિક મહત્વ: જી.ડબ્લ્યુ. લેઈબ્નિઝ (G.W. Leibnitz) (1646–1716) – વિધેય (function) શબ્દનો પ્રથમ વપરાશ. વિધેય (function) એક યાદ રાશિની બીજી યાદ રાશિ સાથે ગાણિતિક દૃષ્ટિએ ચોક્કસ સંગતતા આપે છે.

MCQ ટિપ: સંબંધ (relation) માં ક્રમ (order) મહત્વનો છે. – લેઈબ્નિઝ (Leibnitz) નું યોગદાન.

2.2 ગણો (Sets) નો કાર્તઝિય ગુણાકાર (Cartesian Product)

વ્યાખ્યા

A × B = {(a, b) : a ∈ A અને b ∈ B}. અર્થ: A અને B ના દરેક ઘટક (element) ની ક્રમયુક્ત જોડી (ordered pair).

સંખ્યા: n(A × B) = n(A) × n(B) (કાર્ડિનલિટી (cardinality) નું ગુણન).

ઉદાહરણો

A = {લાલ, વાદળી (red, blue)}, B = {બોલ, પેન (pen, pencil)} → A × B = {(લાલ, બોલ), (લાલ, પેન), (વાદળી, બોલ), (વાદળી, પેન), …} (6 જોડીઓ (pairs)).
A = {1,2,3}, B = {a,b} → A × B = 6 જોડીઓ (ordered pairs).

ગુણધર્મ (Property)	વર્ણન (Description)
A × B ≠ B × A (સામાન્ય રીતે)	ક્રમ (order) મહત્વનો (not commutative).
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)	વિતરણ નિયમ (distributive law).
n(A × B) = n(A) × n(B)	સૌથી મહત્વનું (cardinality product).

સબ-ટોપિક: કાર્તઝિય ગુણાકાર (Cartesian product) માં જોડી (pair) (x,y) ≠ (y,x).

2.3 સંબંધ (Relation)

વ્યાખ્યા: R ⊆ A × B → સંબંધ (relation) R.
ડોમેન (Domain): R ના પ્રથમ ઘટકો (first components) નો ગણ (set).
રેન્જ (Range): R ના બીજા ઘટકો (second components) નો ગણ (set).
કોડોમેન (Codomain): B (જેમાંથી R લેવામાં આવ્યો).

સંબંધોના પ્રકારો (Types of Relations)

પ્રકાર (Type)	વ્યાખ્યા (Definition)	ઉદાહરણ (Example)	MCQ નોંધ
ખાલી સંબંધ (Empty Relation)	R = φ.	R = {}.	કોઈ જોડી (pair) નથી.
સાર્વત્રિક સંબંધ (Universal Relation)	R = A × B.	બધી જોડીઓ (pairs).	A × B જેટલો મોટો.
સમાનતા સંબંધ (Identity Relation)	R = {(x,x) : x ∈ A}.	I = {(1,1), (2,2)}.	ડાયાગોનલ જોડીઓ (diagonal pairs).
પ્રતિસમ (Reflexive)	(x,x) ∈ R ∀x ∈ A.	“=” સંબંધ (equality).	બધા (x,x) હોવા જોઈએ.
સમમિત (Symmetric)	(x,y) ∈ R ⇒ (y,x) ∈ R.	“<->” (if and only if).	જો (x,y) તો (y,x).
સંક્રમણ (Transitive)	(x,y) ∈ R અને (y,z) ∈ R ⇒ (x,z) ∈ R.	“<” (less than).	ચેઈન (chain) જેવું.
સમાનતા સંબંધ (Equivalence Relation)	પ્રતિસમ (reflexive) + સમમિત (symmetric) + સંક્રમણ (transitive).	“=” અથવા “≡” (congruence).	બધા ત્રણ ગુણધર્મ (properties).

MCQ ટિપ: આરો ડાયાગ્રામ (Arrow Diagram) માં ડોમેન (domain), રેન્જ (range), કોડોમેન (codomain) દર્શાવો.

2.4 વિધેયો (Functions)

વ્યાખ્યા: f: A → B જેમાં ∀x ∈ A, એક જ y ∈ B હોય.
ડોમેન (Domain): A. રેન્જ (Range): f(A). કોડોમેન (Codomain): B.

વિધેયોના મુખ્ય પ્રકારો (Important Types of Functions)

પ્રકાર (Type)	વ્યાખ્યા / સૂત્ર (Definition / Formula)	ઉદાહરણ / ગ્રાફ (Example / Graph)
તદ્દેવ વિધેય (Identity Function)	f(x) = x.	y = x (45° રેખા (straight line)).
અચલ વિધેય (Constant Function)	f(x) = c.	સપાટ રેખા (horizontal line).
બહુપદી વિધેય (Polynomial Function)	f(x) = aₙxⁿ + … + a₀.	y = x² (પેરાબોલા (parabola)).
સંમેય વિધેય (Rational Function)	f(x) = p(x)/q(x), q(x) ≠ 0.	y = 1/x (હાઈપરબોલા (hyperbola)).
મોડ્યુલસ વિધેય (Modulus Function)	f(x) = \|x\|.	V આકાર (V-shape).
સહી વિધેય (Signum Function)	f(x) = {1 if x>0, 0 if x=0, -1 if x<0}.	સીધી રેખાઓ (step lines).

વિધેયો પર ક્રિયાઓ (Operations on Functions)

(f + g)(x) = f(x) + g(x) (જોડ (addition)).
(f – g)(x) = f(x) – g(x) (બિયાડ (subtraction)).
(fg)(x) = f(x) · g(x) (ગુણન (multiplication)).
(f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x) ≠ 0 (ભાગ (division)).

MCQ ટિપ: વિધેય (function) માં દરેક x માટે એક જ y (one-to-one mapping).

સ્વાધ્યાય અને MCQ તૈયારી માટે ટિપ્સ

બધા ઉદાહરણો પ્રેક્ટિસ કરો: કાર્તઝિય ગુણાકાર (Cartesian product) માં જોડીઓ (pairs), સંબંધ (relation) માં આરો ડાયાગ્રામ (arrow diagram).
સંકેતો યાદ રાખો: × (Cartesian product), ⊆ (subset for relation), → (function mapping).
સમાનતા સંબંધ (Equivalence Relation): ત્રણ ગુણધર્મ (properties) – reflexive, symmetric, transitive.
ગ્રાફ્સ: તદ્દેવ (identity), અચલ (constant), મોડ્યુલસ (modulus) ના આકારો.
ડોમેન/રેન્જ: વિધેય (function) અને સંબંધ (relation) માં તફાવત.

આ મટિરિયલથી બધું આવરી લેવાયું છે. વધુ મદદ માટે કોમેન્ટ કરો! 😊

પ્રશ્ન 1: સંબંધ f એ

f(x) = x², 0 ≤ x ≤ 3
f(x) = 3x, 3 ≤ x ≤ 10

થી વ્યાખ્યાયિત છે અને સંબંધ g એ

g(x) = x², 0 ≤ x ≤ 2
g(x) = 3x, 2 ≤ x ≤ 10

થી વ્યાખ્યાયિત છે, તો સાબિત કરો કે f એ વિધેય છે અને g વિધેય નથી.

ઉકેલ:
વિધેયનો નિયમ છે કે એક ઇનપુટ માટે એક જ આઉટપુટ મળવું જોઈએ.

f(x) માટે ચકાસીએ: શરતો x = 3 આગળ ભેગી થાય છે. તેથી x = 3 મૂકતાં,

f(3) = 3² = 9 (પહેલા નિયમ મુજબ)
f(3) = 3(3) = 9 (બીજા નિયમ મુજબ)

અહીં એક ઇનપુટ માટે એક જ સમાન આઉટપુટ (9) મળે છે. તેથી, f એ વિધેય છે.

g(x) માટે ચકાસીએ: શરતો x = 2 આગળ ભેગી થાય છે. તેથી x = 2 મૂકતાં,

g(2) = 2² = 4 (પહેલા નિયમ મુજબ)
g(2) = 3(2) = 6 (બીજા નિયમ મુજબ)

અહીં એક જ ઇનપુટ (2) માટે બે અલગ-અલગ આઉટપુટ (4 અને 6) મળ્યા. તેથી, g એ વિધેય નથી.

પ્રશ્ન 2: જો f(x) = x², તો

f(1.1) – f(1)

(1.1 – 1)

શોધો.

ઉકેલ:
અહીં, f(1.1) = (1.1)² = 1.21 અને f(1) = (1)² = 1. કિંમતો મૂકતાં:

1.21 – 1

1.1 – 1

0.21

0.1

જવાબ = 2.1

પ્રશ્ન 3: વિધેય f(x) =

x² + 2x + 1

x² – 8x + 12

નો પ્રદેશ શોધો.

ઉકેલ:
કોઈપણ અપૂર્ણાંકમાં છેદ શૂન્ય (0) ના હોવો જોઈએ, નહીંતર જવાબ અવ્યાખ્યાયિત થઈ જાય. છેદ શૂન્ય ક્યારે થાય તે શોધીએ:

x² – 8x + 12 = 0
(x – 6)(x – 2) = 0
તેથી, x = 6 અથવા x = 2

આ બે કિંમતો (2 અને 6) માટે વિધેય વ્યાખ્યાયિત નથી. તેથી તેને વાસ્તવિક સંખ્યા ગણ (R) માંથી બાદ કરવા પડે.

પ્રદેશ = R – {2, 6}

પ્રશ્ન 4: f(x) = √(x – 1) થી વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક વિધેય f નો પ્રદેશ અને વિસ્તાર શોધો.

ઉકેલ:
પ્રદેશ (Domain): વર્ગમૂળની અંદરની સંખ્યા ક્યારેય ઋણ ના હોઈ શકે. તેથી:

x – 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1

પ્રદેશ = [1, ∞)

વિસ્તાર (Range): વર્ગમૂળનું પરિણામ હંમેશા ધન અથવા શૂન્ય જ હોય છે (f(x) ≥ 0). સૌથી નાનો જવાબ 0 મળશે.

વિસ્તાર = [0, ∞)

પ્રશ્ન 5: f(x) = |x – 1| થી વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક વિધેય f નો પ્રદેશ અને વિસ્તાર શોધો.

ઉકેલ:
પ્રદેશ: માનાંકમાં x ની જગ્યાએ કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા મૂકી શકાય.

પ્રદેશ = R

વિસ્તાર: માનાંકનો જવાબ ક્યારેય ઋણ આવતો નથી (હંમેશા 0 અથવા ધન).

વિસ્તાર = [0, ∞)

પ્રશ્ન 6: જો f = {(x,

x²

1 + x²

) : x ∈ R} એ R થી R નું વિધેય હોય, તો તે વિધેય f નો વિસ્તાર શોધો.

ઉકેલ:
અહીં આઉટપુટ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:

y =

x²

1 + x²

કોઈપણ સંખ્યાનો વર્ગ (x²) હંમેશા 0 અથવા ધન હોય છે. અહી છેદ (1 + x²) એ અંશ (x²) કરતાં હંમેશા 1 જેટલો મોટો જ હશે. જ્યારે છેદ મોટો હોય, ત્યારે જવાબ હંમેશા 1 કરતા નાનો જ આવે, પરંતુ 0 આવી શકે.

વિસ્તાર = [0, 1)

પ્રશ્ન 7: f, g : R → R, f(x) = x + 1, g(x) = 2x – 3 થી વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે, તો f + g, f – g અને

શોધો.

ઉકેલ:

1) સરવાળો: (f + g)(x) = (x + 1) + (2x – 3) = 3x – 2

2) બાદબાકી: (f – g)(x) = (x + 1) – (2x – 3) = -x + 4

3) ભાગાકાર:

(x) =

x + 1

2x – 3

(જ્યાં છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ, તેથી x ≠ 3/2)

પ્રશ્ન 8: જો f = {(1, 1), (2, 3), (0, -1), (-1, -3)} એ f(x) = ax + b, થી વ્યાખ્યાયિત સંબંધ હોય, તો a અને b શોધો.

ઉકેલ:
આપણને આપેલ છે કે f(x) = ax + b.

સૌથી સહેલું બિંદુ (0, -1) લેતાં (x = 0, જવાબ = -1):

-1 = a(0) + b
b = -1

હવે બીજું બિંદુ (1, 1) લેતાં (x = 1, જવાબ = 1):

1 = a(1) + b
1 = a – 1 (b ની કિંમત મૂકતાં)
1 + 1 = a
a = 2

જવાબ: a = 2 અને b = -1

પ્રશ્ન 9: R એ N થી N નો સંબંધ છે. R = {(a, b) : a, b ∈ N અને a = b²} થાય તે રીતે વ્યાખ્યાયિત છે, તો શું નીચેનાં વિધાનો સત્ય છે?

(i) પ્રત્યેક a ∈ N માટે (a, a) ∈ R
(ii) જો (a, b) ∈ R, તો (b, a) ∈ R
(iii) જો (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R તો (a, c) ∈ R

પ્રત્યેક વિધાનની તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસો.

ઉકેલ:
અહીં સંબંધનો નિયમ છે: પ્રથમ સંખ્યા = (બીજી સંખ્યા)² એટલે કે a = b²

(i) ચકાસીએ: શું (a, a) ∈ R સત્ય છે?
જો (a, a) સંબંધમાં હોય, તો a = a² થવું જોઈએ.
ધારો કે a = 2 લઈએ (કારણ કે 2 ∈ N). તો શું 2 = 2² થાય? ના, 2 ≠ 4.

વિધાન (i) અસત્ય છે.

(ii) ચકાસીએ: શું (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R સત્ય છે?
ધારો કે a = 4 અને b = 2 લઈએ.
અહીં 4 = 2² છે, તેથી (4, 2) ∈ R સાચું છે.
પરંતુ, શું ઊલટું સાચું છે? શું 2 = 4² થાય? ના, 2 ≠ 16. તેથી (2, 4) ∉ R.

વિધાન (ii) અસત્ય છે.

(iii) ચકાસીએ: શું (a, b) અને (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R સત્ય છે?
ધારો કે a = 16, b = 4, અને c = 2 લઈએ.
અહીં 16 = 4² છે તેથી (16, 4) ∈ R.
અને 4 = 2² છે તેથી (4, 2) ∈ R.
પરંતુ, શું a અને c નો સંબંધ બને છે? શું 16 = 2² થાય? ના, 16 ≠ 4. તેથી (16, 2) ∉ R.

વિધાન (iii) અસત્ય છે.

પ્રશ્ન 10: A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 5, 9, 11, 15, 16} અને f = {(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)}, તો શું નીચેનાં વિધાનો સત્ય છે?

(i) f એ A થી B નો સંબંધ છે.
(ii) f એ A થી B પરનું વિધેય છે.

પ્રત્યેક કિસ્સામાં તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસો.

ઉકેલ:

(i) ચકાસીએ: શું f એ A થી B નો સંબંધ છે?
કોઈપણ ગણ A થી B નો સંબંધ ત્યારે જ કહેવાય જ્યારે ક્રમયુક્ત જોડનો પ્રથમ ઘટક A માંથી હોય અને બીજો ઘટક B માંથી હોય.
અહીં f ની તમામ જોડોમાં પ્રથમ ઘટકો {1, 2, 3, 4, 2} એ ગણ A માં છે અને બીજા ઘટકો {5, 9, 1, 5, 11} એ ગણ B માં છે.
એટલે કે f એ A × B નો ઉપગણ (Subset) છે.

હા, વિધાન (i) સત્ય છે. f એ સંબંધ છે.

(ii) ચકાસીએ: શું f એ વિધેય છે?
વિધેયનો નિયમ છે કે ગણ A ના પ્રત્યેક સભ્યને ગણ B માં માત્ર એક જ (અનન્ય) પ્રતિબિંબ મળવું જોઈએ.
અહીં ધ્યાનથી જુઓ: જોડ (2, 9) અને (2, 11) f માં છે.
એટલે કે એક જ ઇનપુટ ‘2’ માટે આપણને બે અલગ અલગ આઉટપુટ ‘9’ અને ’11’ મળે છે. આવું ક્યારેય ના ચાલે!

ના, વિધાન (ii) અસત્ય છે. f એ વિધેય નથી.

પ્રશ્ન 11: f એ Z × Z નો ઉપગણ છે. જો f = {(ab, a + b) : a, b ∈ Z} થી વ્યાખ્યાયિત છે, તો શું f એ Z થી Z નું વિધેય છે? તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસો.

ઉકેલ:
અહીં ઇનપુટ (x) = ab (ગુણાકાર) છે અને આઉટપુટ (y) = a + b (સરવાળો) છે.
વિધેય હોવા માટે એક જ ઇનપુટના બે અલગ-અલગ આઉટપુટ ન મળવા જોઈએ. ચાલો ઉદાહરણથી ચકાસીએ:

ધારો કે a = 1 અને b = 6 લઈએ (બંને પૂર્ણાંકો Z માં છે).
ઇનપુટ (ab) = 1 × 6 = 6
આઉટપુટ (a + b) = 1 + 6 = 7
તેથી, જોડ (6, 7) f માં છે.

હવે ધારો કે a = 2 અને b = 3 લઈએ.
ઇનપુટ (ab) = 2 × 3 = 6
આઉટપુટ (a + b) = 2 + 3 = 5
તેથી, જોડ (6, 5) f માં છે.

અહીં એક જ ઇનપુટ (6) માટે બે અલગ-અલગ આઉટપુટ (7 અને 5) મળે છે.

તેથી, f એ Z થી Z પરનું વિધેય નથી.

પ્રશ્ન 12: A = {9, 10, 11, 12, 13} અને f : A → N, f(n) = n નો મહત્તમ અવિભાજ્ય અવયવ છે. f નો વિસ્તાર મેળવો.

ઉકેલ:
અહીં આપણો નિયમ (વિધેય) એવો છે કે આપેલી સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડવાના, અને તેમાં જે સૌથી મોટો (મહત્તમ) અવયવ હોય તે આપણો જવાબ કહેવાશે.

ચાલો ગણ A ના પ્રત્યેક સભ્ય માટે ચકાસીએ:

n = 9: 9 ના અવયવો = 3 × 3. મહત્તમ અવિભાજ્ય અવયવ = 3
n = 10: 10 ના અવયવો = 2 × 5. મહત્તમ અવિભાજ્ય અવયવ = 5
n = 11: 11 પોતે જ અવિભાજ્ય છે = 11 × 1. મહત્તમ અવિભાજ્ય અવયવ = 11
n = 12: 12 ના અવયવો = 2 × 2 × 3. મહત્તમ અવિભાજ્ય અવયવ = 3
n = 13: 13 પોતે જ અવિભાજ્ય છે = 13 × 1. મહત્તમ અવિભાજ્ય અવયવ = 13

આપણને મળેલા જવાબો (આઉટપુટ) નું લિસ્ટ {3, 5, 11, 3, 13} છે. ગણની ભાષામાં કોઈ સભ્ય બીજીવાર લખાતો નથી.

તેથી, f નો વિસ્તાર = {3, 5, 11, 13}

Chapter 2: સંબંધ અને વિધેય (Relation and Function)