સ્વાધ્યાય 1.3 નો 7

પ્રશ્ન 7: નીચેનાં વિધાનો માટે તમે કયા ગણને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે પસંદ કરશો :

(i) કાટકોણ ત્રિકોણોનો ગણ
(ii) સમદ્વિભુજ ત્રિકોણોનો ગણ

સમજૂતી અને કારણ:

સાર્વત્રિક ગણ (Universal Set – U) એટલે એક એવો મોટો ગણ કે જેમાં ચર્ચા હેઠળના આપેલા તમામ ગણોના સભ્યો સંપૂર્ણપણે સમાવિષ્ટ થઈ જતા હોય.

અહીં આપણને બે ગણ આપેલા છે:

કાટકોણ ત્રિકોણ: જેનો એક ખૂણો 90° હોય.
સમદ્વિભુજ ત્રિકોણ: જેની કોઈપણ બે બાજુઓ સમાન હોય.

આ બંને ગણ મૂળભૂત રીતે ‘ત્રિકોણ’ ના જ પ્રકારો છે. જો આપણે કોઈ એવો ગણ લઈએ જેમાં દુનિયાના (કે સમતલના) તમામ પ્રકારના ત્રિકોણો આવી જતા હોય, તો આ કાટકોણ અને સમદ્વિભુજ ત્રિકોણો તે મોટા ગણનો જ એક ભાગ (ઉપગણ) બની જશે.

✅ ફાઇનલ જવાબ:

આ બંને વિધાનો માટે “સમતલમાં આવેલા તમામ ત્રિકોણોનો ગણ” (Set of all triangles in a plane) ને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે પસંદ કરી શકાય.

(નોંધ: તમે “સમતલના તમામ બહુકોણોનો ગણ” પણ સાર્વત્રિક ગણ તરીકે લઈ શકો છો, પરંતુ “તમામ ત્રિકોણોનો ગણ” એ સૌથી યોગ્ય અને નજીકનો સાર્વત્રિક ગણ છે.)

ધોરણ 11 ગણિત: પ્રકરણ 1 – ગણ (Sets) – સંપૂર્ણ માહિતી

૧. ઐતિહાસિક માહિતી (Historical Note)

ગણના ખ્યાલની શોધ જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી જ્યોર્જ કૅન્ટર (Georg Cantor) એ કરી હતી.
જ્યોર્જ કૅન્ટરને ગણનો વિચાર ત્યારે આવ્યો જ્યારે તેઓ ત્રિકોણમિતિય શ્રેઢીઓ (Trigonometric series) ના કોયડા ઉકેલતા હતા.
રિચાર્ડ ડેડેકિન્ડ (Richard Dedekind) એ કૅન્ટરના કામનો સ્વીકાર કર્યો.
ક્રોનેકર (Kronecker) એ કૅન્ટરનો સખત વિરોધ કર્યો.
ગોટલોબ ફ્રેગે (Gottlob Frege) એ ગણને તર્કશાસ્ત્ર (Logic) ના સિદ્ધાંત તરીકે રજૂ કર્યો.
અંગ્રેજ તત્ત્વચિંતક બર્ટ્રાન્ડ રસેલ (Bertrand Russell) એ 1902 માં રસેલનો વિરોધાભાસ (Russell’s Paradox) આપ્યો.
પૉલ આર. હેલ્મોસ (Paul R. Halmos) ના પુસ્તકનું નામ “Naive Set Theory” છે, જેમાં લખ્યું છે કે “કંઈ પણ બધું જ સમાવતું નથી”.
ગણ સિદ્ધાંતને પૂર્વધારણા (Axiom) સ્વરૂપે રજૂ કરનાર: અર્ન્સ્ટ ઝર્મેલો (Ernst Zermelo – 1908) અને અબ્રાહમ ફ્રેન્કેલ (Abraham Fraenkel – 1922).
નિયમિતતાની પૂર્વધારણા (Axiom of regularity) જ્હોન વૉન ન્યુમેન (John Von Neumann – 1925) એ આપી.

૨. ગણ એટલે શું? (Understanding Sets)

ગણ એટલે ચોક્કસ અને સ્પષ્ટપણે નક્કી કરી શકાય તેવો વસ્તુઓનો સમૂહ (સુવ્યાખ્યાયિત સમૂહ).
ગણને હંમેશા અંગ્રેજીના મોટા અક્ષરો (A, B, C…) વડે દર્શાવાય છે.
ગણની અંદર આવેલા સભ્યોને નાના અક્ષરો (a, b, c…) વડે દર્શાવાય છે.
a ∈ A ને “a એ ગણ A નો સભ્ય છે” (belongs to) વંચાય છે.
b ∉ A ને “b એ ગણ A નો સભ્ય નથી” વંચાય છે.

૩. સંખ્યાઓના પ્રમાણિત ગણ (Standard Number Sets)

N : બધી જ પ્રાકૃતિક (Natural) સંખ્યાઓનો ગણ.
Z : બધી જ પૂર્ણાંક (Integer) સંખ્યાઓનો ગણ.
Z+ : ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ.
Q : બધી જ સંમેય (Rational) સંખ્યાઓનો ગણ.
Q+ : ધન સંમેય સંખ્યાઓનો ગણ.
R : બધી જ વાસ્તવિક (Real) સંખ્યાઓનો ગણ.
R+ : ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ.
T : બધી જ અસંમેય (Irrational) સંખ્યાઓનો ગણ.

૪. ગણ દર્શાવવાની બે રીતો (Methods of Representing Sets)

યાદીની રીત (Roster form) : બધા જ સભ્યોને ધનુષ્કૌંસ { } માં અલ્પવિરામથી છૂટા પાડીને લખાય છે. આમાં ક્રમનું મહત્ત્વ નથી અને સભ્યોનું પુનરાવર્તન થતું નથી.
ગુણધર્મની રીત (Set-builder form) : સભ્યોના સામાન્ય ગુણધર્મના આધારે લખાય છે.

૫. ગણના મુખ્ય પ્રકારો (Types of Sets)

ખાલીગણ (Empty Set) : જેમાં એક પણ સભ્ય ન હોય તે ગણ. તેને φ અથવા { } સંકેતથી દર્શાવાય છે.
એકાકી ગણ (Singleton Set) : જેમાં માત્ર એક જ સભ્ય હોય તેવો ગણ.
સાન્ત ગણ (Finite Set) : જે ગણ ખાલી હોય અથવા તેના સભ્યોની સંખ્યા નિશ્ચિત હોય.
અનંત ગણ (Infinite Set) : જેના સભ્યોની સંખ્યા સીમિત ન હોય (અનંત સુધી ચાલતી હોય).
સમાન ગણ (Equal Sets) : બે ગણ A અને B માં બરાબર એકસરખા જ સભ્યો હોય તો તેને સમાન ગણ (A = B) કહેવાય.

૬. ઉપગણ (Subset) અને અંતરાલ (Interval)

જો ગણ A નો દરેક સભ્ય ગણ B માં પણ હોય, તો A ને B નો ઉપગણ કહેવાય, સંકેતમાં A ⊂ B લખાય.
દરેક ગણ પોતે પોતાનો ઉપગણ છે (A ⊂ A). ખાલીગણ (φ) એ દરેક ગણનો ઉપગણ છે.
સંખ્યાઓ માટેનો સંબંધ: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
વિવૃત્ત અંતરાલ (Open interval) (a, b) : a અને b વચ્ચેની સંખ્યાઓ, જેમાં a અને b નો સમાવેશ થતો નથી.
સંવૃત્ત અંતરાલ (Closed interval) [a, b] : જેમાં a અને b બંનેનો સમાવેશ થાય છે.
સંવૃત્ત-વિવૃત્ત અંતરાલ [a, b) : જેમાં a નો સમાવેશ થાય છે, પણ b નો સમાવેશ થતો નથી.
વિવૃત્ત-સંવૃત્ત અંતરાલ (a, b] : જેમાં a નો સમાવેશ થતો નથી, પણ b નો સમાવેશ થાય છે.
અંતરાલની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર (b – a) છે.

૭. અગત્યના સંકેતો (Important Symbols)

n(S) : ગણ S ના સભ્યોની સંખ્યા.
⇔ : “તો અને તો જ” (દ્વિપ્રેરણ – Two way implication).
⇒ : “પ્રેરણ” (Implies).

૮. ગણ પરની પ્રક્રિયાઓ (Operations on Sets)

સાર્વત્રિક ગણ (Universal Set) U : બધા જ ગણોને સમાવતો મોટો મૂળભૂત ગણ.
વેન-આકૃતિ (Venn Diagram) : જ્હોન વેન ના નામ પરથી. આકૃતિમાં સાર્વત્રિક ગણને લંબચોરસ અને તેના ઉપગણોને વર્તુળથી દોરવામાં આવે છે.
યોગગણ (Union) A ∪ B : ગણ A અથવા ગણ B માં હોય તેવા બધા જ સભ્યોનો ગણ.
છેદગણ (Intersection) A ∩ B : ગણ A અને ગણ B બંનેમાં હોય (સામાન્ય હોય) તેવા સભ્યોથી બનતો ગણ.
અલગગણ (Disjoint sets) : જો બે ગણમાં એક પણ સભ્ય સરખો ન હોય (A ∩ B = φ), તો તેને અલગગણ કહેવાય.
તફાવત ગણ (Difference Set) A – B : ગણ A માં હોય પરંતુ ગણ B માં ન હોય તેવા સભ્યોનો ગણ.
પૂરકગણ (Complement Set) A’ : સાર્વત્રિક ગણ U માં હોય પણ ગણ A માં ન હોય તેવા સભ્યોના ગણને પૂરકગણ કહે છે (U – A).
તફાવત ગણનો ગુણધર્મ : ગણ A – B, A ∩ B અને B – A હંમેશા પરસ્પર અલગગણ હોય છે.

૯. ગણિતના અગત્યના નિયમો (Important Mathematical Laws)

ક્રમનો નિયમ (Commutative) : A ∪ B = B ∪ A અને A ∩ B = B ∩ A.
જૂથનો નિયમ (Associative) : (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
સ્વયંઘાતી નિયમ (Idempotent) : A ∪ A = A અને A ∩ A = A.
વિભાજનનો નિયમ (Distributive) : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
પૂરક ગણના નિયમો : A ∪ A’ = U અને A ∩ A’ = φ.
દ્વિપૂરક ગણનો નિયમ : પૂરકગણનો પૂરકગણ મૂળ ગણ જ મળે છે, એટલે કે (A’)’ = A.
ખાલીગણ અને સાર્વત્રિક ગણના નિયમો : φ’ = U અને U’ = φ.
દ-મોર્ગનના નિયમો (De Morgan’s Laws) : (1) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ અને (2) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’.

અધ્યાય 1: ગણ (Sets)

સરળ અને મજેદાર રીતે શીખો – MCQ તૈયારી માટે પરફેક્ટ!

1.1 પ્રારનાવિક (Introduction)

મુખ્ય પોઈન્ટ્સ: ગણ (sets) ની સંકલ્પના એ આધુનિક ગણિત (mathematics) નો મૂળભૂત ભાગ છે. આજે આ સંકલ્પનાનો ગણિત (mathematics) ની લગભગ બધી જ શાખાઓમાં ઉપયોગ થાય છે. સંબંધ (relations) અને વિધેયો (functions) ના સિદ્ધાંતો વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ગણ (sets) નો ઉપયોગ થાય છે. ભૂમિતિ (geometry), શ્રેણીઓ (sequences), સંભાવના (probability) વગેરેના અભ્યાસ માટે ગણ (sets) નું જ્ઞાન જરૂરી છે.
ઐતિહાસિક મહત્વ: જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી જ્યોર્જ કેન્ટર (Georg Cantor) (1845-1918) એ ગણ (sets) ની સંકલ્પનાનો સૈદ્ધાંતિક વિકાસ કર્યો. તેમણે ત્રિકોણમિતિવ્ય (trigonometric) શ્રેણીઓ (series) ના કોપડાઓ (convergence) ના ઉકેલ માટે પ્રથમ વખત ગણ (sets) નો ઉપયોગ કર્યો.

MCQ ટિપ: કોણે ગણ (sets) ની સંકલ્પના વિકસાવી? – જ્યોર્જ કેન્ટર (Georg Cantor).

1.2 ગણ (Sets) અને તેમનું નિરૂપણ (Representation)

વ્યાખ્યા 1: ગણ (Set)

વિશિષ્ટ (distinct) વસ્તુઓનો સમૂહ, જેમાં દરેક વસ્તુને ઘટક (Element) કહેવાય છે. સંકેત: મોટા અક્ષરો (A, B, C) થી દર્શાવાય છે. અર્થ: ગણ (set) એ વસ્તુઓની એકજૂથ છે જેમાં પુનરાવર્તન (repetition) નથી.

ઘટક (Element): ગણ (set) નો એક ભાગ. સંકેત: ∈ (belongs to) – x ∈ A (x ગણ A માં છે). ∉ (does not belong to) – x ∉ A.

નિરૂપણના પ્રકારો (Representations)

યાદીની રીતે (Roster Form): ઘટકો (elements) ને કોમા વચ્ચે લખવા, કુશળક (braces) {} માં. ઉદા.: A = {1, 2, 3}. અર્થ: સરળ રીતે લિસ્ટિંગ, પણ અનંત ગણ (infinite set) માટે અયોગ્ય.
ગુણધર્મની રીતે (Set-Builder Form): {x : property}. ઉદા.: A = {x : x પ્રાકૃતિક સંખ્યા (natural number), 1 ≤ x ≤ 3}. અર્થ: વિશેષતા આધારે, અનંત ગણ (infinite set) માટે ઉપયોગી. વાંચન: “x જેવા કે…”

ઇમ્પોર્ટન્ટ ઉદાહરણો (MCQ માટે):

{x : x² + x – 2 = 0} = {1, -2}.
{x : x² < 40, x > 0} = {1,2,3,4,5,6}.
{1,4,9,16,…} = {x : x = n², n ∈ N}.
{1,2,3,4,5,6} = {x : x = n/(n+1), 1 ≤ n ≤ 6}.

સબ-ટોપિક: વાંચનની રીત – {x : 3 < x < 10, x ∈ N} = "x જેવા કે પ્રાકૃતિક સંખ્યા (natural numbers) અને 3-10 વચ્ચે" → {4,5,6,7,8,9}.

1.3 ગણોના પ્રકારો (Types of Sets) – ભાગ 1

પ્રકાર (Type)	વ્યાખ્યા (Definition)	ઉદાહરણ (Example)	MCQ નોંધ
સીમિત ગણ (Finite Set)	ઘટકો (elements) ની સંખ્યા ગણી શકાય.	A = {1,2,3} (3 ઘટકો (elements)).	n(A) = કાર્ડિનલિટી (cardinality).
અસીમિત/અનંત ગણ (Infinite Set)	ઘટકો (elements) અનંત.	N = {1,2,3,…}.	N અને Z બંને અનંત, પણ N ⊂ Z.
ખાલી ગણ (Empty Set / Void Set / Null Set)	કોઈ ઘટક (element) નથી. સંકેત: φ, {}.	φ = {x : x > 1 અને x < 1}.	φ ⊂ દરેક ગણ (set), પણ કોઈ ગણ (set) ⊂ φ નથી.
એકલ ગણ (Singleton Set)	એક જ ઘટક (element).	{3} અથવા {p}.	{a,b} ≠ {{a}}.

ઇમ્પોર્ટન્ટ ગુણધર્મો: φ ⊂ A ⊂ P(A) ⊂ P(P(A)) ⊂ … (અનંત શ્રેણી (infinite chain)).

1.3 ગણોના પ્રકારો (Types of Sets) – ભાગ 2

પ્રકાર (Type)	વ્યાખ્યા (Definition)	ઉદાહરણ (Example)	MCQ નોંધ
સમાન ગણ (Equal Sets)	બંનેમાં વહેલા-વહેલા બધા ઘટકો (elements).	A = {1,2}, B = {2,1} → A = B.	ક્રમ (order) અને પુનરાવર્તન (repetition) અલગ.
ઉપગણ (Subset)	A ના બધા ઘટકો (elements) B માં. સંકેત: ⊂ અથવા ⊆.	{1,2} ⊂ {1,2,3}.	A ⊂ A (સ્વ-ઉપગણ (self-subset)).
યોગ્ય ઉપગણ (Proper Subset)	A ⊂ B અને A ≠ B. સંકેત: ⊂ (કેટલીક પુસ્તકોમાં).	{1} ⊂ {1,2}.	B ⊂ A ⇏ A = B.
મહાગણ / સુપરસેટ (Superset)	B ⊂ A → A સુપરસેટ (superset).	{1,2,3} સુપરસેટ (superset) {1,2} નું.	–
સાર્વત્રિક ગણ (Universal Set)	બધા ગણો (sets) નો આધાર. સંકેત: U.	U = N (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ (natural numbers) માટે).	દરેક A ⊂ U.
પાવર સેટ (Power Set)	A ના બધા ઉપગણો (subsets) નો ગણ (set). સંકેત: P(A).	A = {1,2} → P(A) = {φ, {1}, {2}, {1,2}} (2^n ઘટકો (elements)).	n(A) = 2 → n(P(A)) = 4.

MCQ ટિપ: પાવર સેટ (power set) ની કાર્ડિનલિટી (cardinality) = 2^{n(A)}.

1.5 ગણો (Sets) પર ક્રિયાઓ (Operations)

1.5.1 યોગગણ (Union)

A ∪ B = {x : x ∈ A અથવા x ∈ B}. અર્થ: બંનેના બધા ઘટકો (elements) (પુનરાવર્તન (repetition) વિના).

ગુણધર્મ: Commutative (A ∪ B = B ∪ A), Associative, A ∪ φ = A, A ∪ U = U, De Morgan: (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’.
ઉદા.: {1,2} ∪ {2,3} = {1,2,3}.

1.5.2 છેદગણ (Intersection)

A ∩ B = {x : x ∈ A અને x ∈ B}. અર્થ: સામાન્ય ઘટકો (elements).

ગુણધર્મ: Commutative, Associative, A ∩ φ = φ, A ∩ U = A, De Morgan: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’.
ઉદા.: {1,2,3} ∩ {2,3,4} = {2,3}.

1.5.3 તફાવત ગણ (Difference)

A – B = {x : x ∈ A અને x ∉ B}. અર્થ: A માંથી B ના ઘટકો (elements) કાઢવા.

ગુણધર્મ: A – B ≠ B – A, A – A = φ, A – φ = A.
ઉદા.: {1,2,3,4,5,6} – {2,4,6,8} = {1,3,5}.

1.9.3 હિમાણી (Lemma): A – B, A ∩ B, B – A પરસ્પર અલગ (disjoint) – તેમના કોઈપણ બેનો ∩ = φ. MCQ ટિપ: Venn Diagram વાપરીને દર્શાવો.

1.6 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (Real Numbers) ના ગણ (Sets) ના ઉપગણો (Subsets)

ગણ (Set)	વ્યાખ્યા (Definition)	ઉદાહરણ (Example)	સંબંધ (Relation)
N (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ (Natural Numbers))	{1,2,3,…}	1,2,3.	N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Z (પૂર્ણાક સંખ્યાઓ (Integers))	{…,-2,-1,0,1,2,…}	-1,0,1.	–
Q (સંમેય સંખ્યાઓ (Rational Numbers))	{p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}	1/2, -3/4, 3.5=7/2.	Q ⊂ R, T = R – Q.
R (વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (Real Numbers))	બધી વાસ્તવિક (Q + T).	√2, π.	–
T (અસંમેય સંખ્યાઓ (Irrational Numbers))	{x ∈ R : x ∉ Q}	√2, √5, π.	T ⊂ R, N ⊂ T? ના.

ગુણધર્મ: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, Q ∪ T = R, Q ∩ T = φ. MCQ: -5 ∈ Q? હા ( -5/1 ). √2 ∈ Q? ના.

1.6.2 R ના ઉપગણ (Subsets) તરીકે અંતરાલ (Intervals)

પ્રકાર (Type)	વ્યાખ્યા (Definition)	નિરૂપણ (Notation)	અર્થ (Meaning)
વિવૃત્ત અંતરાલ (Open Interval)	{y : a < y < b} (a,b બંને બહાર).	(a,b)	અંત્યબિંદુઓ (endpoints) સમાવેશ નથી.
સંવૃત્ત અંતરાલ (Closed Interval)	{x : a ≤ x ≤ b} (a,b સમાવેશ).	[a,b]	અંત્યબિંદુઓ (endpoints) સમાવેશ.
અર્ધ-સંવૃત્ત (Half-Open Interval)	[a,b) = {x : a ≤ x < b}; (a,b] = {x : a < x ≤ b}.	[a,b) અથવા (a,b]	એક અંત (end) સમાવેશ, બીજો નહીં.

ઉદા.: (0,1) = {x : 0 < x < 1}, [0,1] = {x : 0 ≤ x ≤ 1}. MCQ: 0 ∈ [0,1]? હા. 0 ∈ (0,1)? ના.

1.10 પૂરકગણ (Complement)

વ્યાખ્યા 7: પૂરક ગણ (Complement)

U માંથી A ના ઘટકો (elements) કાઢીને બનેલો ગણ (set). સંકેત: A’ = U – A = {x : x ∈ U, x ∉ A}. અર્થ: A ની વિરુદ્ધ U માં. A’ પણ U નો ઉપગણ (subset).

ગુણધર્મો: (A’)’ = A. (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (De Morgan). (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’. A ∪ A’ = U, A ∩ A’ = φ.
ઉદા.: U = {1..10}, A = {1,3,5,7,9} → A’ = {2,4,6,8,10}.

MCQ: A’ ∪ A = ? U.

સ્વાધ્યાય અને MCQ તૈયારી માટે ટિપ્સ

બધા ઉદાહરણો પ્રેક્ટિસ કરો: જેમ કે પૂર્વ-વ્યાસ 1.1 થી 1.4 (યોગગણ (union)/છેદગણ (intersection)/તફાવત ગણ (difference)).
સંકેતો યાદ રાખો: ∈, ∉, ⊂, ∪, ∩, -, ‘, φ, U, P(A).
De Morgan ના કાયદા: MCQ માં આવે (ઉદા.: (A ∪ B)’ = ?).
Venn Diagram: યોગગણ (union)/છેદગણ (intersection)/તફાવત ગણ (difference)/પૂરકગણ (complement) દર્શાવવા માટે.
અંતરાલ (Intervals): વિવૃત્ત અંતરાલ (open interval)/સંવૃત્ત અંતરાલ (closed interval)/અર્ધ-સંવૃત્ત (half-open) ના તફાવત.

આ મટિરિયલથી બધું આવરી લેવાયું છે. વધુ મદદ માટે કોમેન્ટ કરો! 😊

પ્રશ્ન 1: નીચે આપેલ ગણો પૈકી કયા ગણ આપેલ ગણો પૈકી કયા ગણના ઉપગણ છે તે નક્કી કરો :
A = { x : x ∈ R અને x એ સમીકરણ x² – 8x + 12 = 0 નું સમાધાન કરે છે }
B = { 2, 4, 6 }, C = { 2, 4, 6, 8, … }, D = { 6 }

ઉકેલ:
સૌપ્રથમ ગણ A ના સભ્યો શોધીએ:
સમીકરણ: x² – 8x + 12 = 0
અવયવ પાડતાં: (x – 6)(x – 2) = 0 ⇒ x = 6 અથવા x = 2

તેથી, A = { 2, 6 }
B = { 2, 4, 6 }
C = { 2, 4, 6, 8, … }
D = { 6 }

હવે કયો ગણ કોનો ઉપગણ છે તે ચકાસીએ (જે ગણના તમામ સભ્યો બીજા ગણમાં હોય તે તેનો ઉપગણ કહેવાય):

D ⊂ A, D ⊂ B, D ⊂ C
A ⊂ B, A ⊂ C
B ⊂ C

પ્રશ્ન 2: નીચેના પૈકી દરેક વિધાનમાંથી કયું સત્ય અને કયું અસત્ય છે તે નક્કી કરો :
(i) જો x ∈ A અને A ∈ B, તો x ∈ B
(ii) જો A ⊂ B અને B ∈ C, તો A ∈ C
(iii) જો A ⊂ B અને B ⊂ C, તો A ⊂ C
(iv) જો A ⊄ B અને B ⊄ C, તો A ⊄ C
(v) જો x ∈ A અને A ⊄ B, તો x ∈ B
(vi) જો A ⊂ B અને x ∉ B, તો x ∉ A

ઉકેલ:

(i) ધારો કે A = {1} અને B = {{1}, 2}. અહીં 1 ∈ A અને A ∈ B છે, પરંતુ 1 એ B નો સભ્ય નથી (ગણ {1} એ B નો સભ્ય છે).

વિધાન (i) અસત્ય છે.

(ii) ધારો કે A = {1}, B = {1, 2} અને C = {{1, 2}, 3}. અહીં A ⊂ B અને B ∈ C છે, પરંતુ ગણ A એ C નો સભ્ય નથી.

વિધાન (ii) અસત્ય છે.

(iii) જો A ના તમામ સભ્યો B માં હોય (A ⊂ B) અને B ના તમામ સભ્યો C માં હોય (B ⊂ C), તો સ્વાભાવિક છે કે A ના તમામ સભ્યો C માં પણ હશે જ.

વિધાન (iii) સત્ય છે.

(iv) ધારો કે A = {1, 2}, B = {2, 3} અને C = {1, 2, 4}. અહીં A ⊄ B અને B ⊄ C છે, પરંતુ A ના તમામ સભ્યો C માં છે, તેથી A ⊂ C થાય છે.

વિધાન (iv) અસત્ય છે.

(v) ધારો કે A = {1, 2} અને B = {2, 3}. અહીં 1 ∈ A અને A ⊄ B છે. પરંતુ 1 એ B માં નથી.

વિધાન (v) અસત્ય છે.

(vi) જો A ના તમામ સભ્યો B માં હોય (A ⊂ B) અને કોઈ સભ્ય x જો મોટા ગણ B માં જ ના હોય, તો તે નાના ગણ A માં હોઈ જ ના શકે.

વિધાન (vi) સત્ય છે.

પ્રશ્ન 3: ગણ A, B અને C માટે A ∪ B = A ∪ C અને A ∩ B = A ∩ C છે. સાબિત કરો કે, B = C.

ઉકેલ:
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ગણ B માટે, B = B ∩ (A ∪ B) થાય.

B = B ∩ (A ∪ C) [કારણ કે A ∪ B = A ∪ C]
B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ C) [વિભાજનનો નિયમ]
B = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) [કારણ કે A ∩ B = A ∩ C] — (પરિણામ 1)

તેવી જ રીતે ગણ C માટે, C = C ∩ (A ∪ C)

C = C ∩ (A ∪ B) [કારણ કે A ∪ C = A ∪ B]
C = (C ∩ A) ∪ (C ∩ B) [વિભાજનનો નિયમ]
C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) — (પરિણામ 2)

પરિણામ 1 અને 2 પરથી સ્પષ્ટ છે કે: B = C

પ્રશ્ન 4: સાબિત કરો કે નીચે આપેલી ચારેય શરતો સમકક્ષ છે :
(i) A ⊂ B (ii) A – B = ∅ (iii) A ∪ B = B (iv) A ∩ B = A

ઉકેલ:
આપણે (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (i) સાબિત કરીશું.

(i) ⇒ (ii): જો A ⊂ B હોય, તો A ના બધા સભ્યો B માં છે. તેથી એવો કોઈ સભ્ય નથી જે A માં હોય પણ B માં ન હોય. માટે A – B = ∅.

(ii) ⇒ (iii): જો A – B = ∅, તેનો અર્થ કે A નો કોઈ સભ્ય B ની બહાર નથી. તેથી A અને B નો યોગગણ કરીએ તો તે ગણ B જ બને. માટે A ∪ B = B.

(iii) ⇒ (iv): જો A ∪ B = B હોય, તો A એ B ની અંદર જ સમાયેલો છે. તેથી બંનેનો છેદગણ માત્ર ગણ A જ થાય. માટે A ∩ B = A.

(iv) ⇒ (i): જો A ∩ B = A હોય, તો A ના તમામ સભ્યો એ ગણ B ના પણ સભ્યો છે, જે ઉપગણની વ્યાખ્યા છે. માટે A ⊂ B.

તેથી ચારેય શરતો સમકક્ષ છે.

પ્રશ્ન 5: સાબિત કરો કે જો A ⊂ B, તો (C – B) ⊂ (C – A)

ઉકેલ:
આપણને A ⊂ B આપેલ છે. (એટલે કે જો x ∈ A હોય, તો x ∈ B થાય).
ધારો કે x ∈ (C – B) છે.

⇒ x ∈ C અને x ∉ B

હવે જો x એ ગણ B માં જ ન હોય, અને A તો B ની અંદર (ઉપગણ) છે, તો x એ ગણ A માં પણ ન જ હોય.

⇒ x ∈ C અને x ∉ A
⇒ x ∈ (C – A)

આપણે શરૂઆત x ∈ (C – B) થી કરી હતી અને પરિણામ x ∈ (C – A) મળ્યું.

તેથી, (C – B) ⊂ (C – A)

પ્રશ્ન 6: કોઈ પણ ગણ A અને B માટે સાબિત કરો કે,
A = (A ∩ B) ∪ (A – B) અને A ∪ (B – A) = (A ∪ B).

ઉકેલ 1: A = (A ∩ B) ∪ (A – B)
આપણે જાણીએ છીએ કે A – B = A ∩ B’ (જ્યાં B’ એ B નો પૂરક ગણ છે). જમણી બાજુ (RHS) લેતાં:

= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B’)
= A ∩ (B ∪ B’) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
= A ∩ U [જ્યાં U સાર્વત્રિક ગણ છે]
= A (ડાબી બાજુ)

ઉકેલ 2: A ∪ (B – A) = (A ∪ B)
અહીં પણ B – A = B ∩ A’ નો ઉપયોગ કરતા, ડાબી બાજુ (LHS) લેતાં:

= A ∪ (B ∩ A’)
= (A ∪ B) ∩ (A ∪ A’) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
= (A ∪ B) ∩ U [કારણ કે A ∪ A’ = U]
= (A ∪ B) (જમણી બાજુ)

બંને પરિણામો સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 7: ગણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે
(i) A ∪ (A ∩ B) = A (ii) A ∩ (A ∪ B) = A.

ઉકેલ (i): A ∪ (A ∩ B) = A
આપણે A ને (A ∩ U) લખી શકીએ. ડાબી બાજુ (LHS) લેતાં:

= (A ∩ U) ∪ (A ∩ B)
= A ∩ (U ∪ B) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
= A ∩ U [કોઈપણ ગણનો સાર્વત્રિક ગણ સાથેનો યોગગણ U જ થાય]
= A (જમણી બાજુ)

ઉકેલ (ii): A ∩ (A ∪ B) = A
આપણે A ને (A ∪ ∅) લખી શકીએ. ડાબી બાજુ (LHS) લેતાં:

= (A ∪ ∅) ∩ (A ∪ B)
= A ∪ (∅ ∩ B) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
= A ∪ ∅ [ખાલીગણ સાથેનો છેદગણ ∅ જ થાય]
= A (જમણી બાજુ)

બંને પરિણામો સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 8: સાબિત કરો કે A ∩ B = A ∩ C પરથી B = C કહી શકાય નહિ.

ઉકેલ:
આને સાબિત કરવા આપણે એક ઉદાહરણ લઈશું (Counter-example):
ધારો કે A = {1, 2}, B = {1, 3} અને C = {1, 4}.

અહીં, A ∩ B = {1}
અને A ∩ C = {1}

આમ, અહીં A ∩ B = A ∩ C શરતનું પાલન થાય છે.
પરંતુ, ગણ B = {1, 3} અને ગણ C = {1, 4} બંને સમાન નથી.

તેથી, માત્ર A ∩ B = A ∩ C હોવાથી B = C કહી શકાય નહિ.

પ્રશ્ન 9: A અને B ગણો છે. કોઈ ગણ X માટે જો A ∩ X = B ∩ X = ∅ અને A ∪ X = B ∪ X તો સાબિત કરો કે A = B.
(સૂચન: A = A ∩ (A ∪ X), B = B ∩ (B ∪ X) અને વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરો.)

ઉકેલ:
સૂચન મુજબ ગણ A માટે ગણતરી શરૂ કરીએ:

A = A ∩ (A ∪ X)
A = A ∩ (B ∪ X) [કારણ કે A ∪ X = B ∪ X આપેલ છે]
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ X) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
A = (A ∩ B) ∪ ∅ [કારણ કે A ∩ X = ∅ આપેલ છે]
A = A ∩ B — (પરિણામ 1)

હવે તે જ રીતે ગણ B માટે ગણતરી કરીએ:

B = B ∩ (B ∪ X)
B = B ∩ (A ∪ X) [કારણ કે B ∪ X = A ∪ X આપેલ છે]
B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ X) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
B = (A ∩ B) ∪ ∅ [કારણ કે B ∩ X = ∅ આપેલ છે]
B = A ∩ B — (પરિણામ 2)

પરિણામ 1 અને 2 બંને (A ∩ B) દર્શાવે છે. તેથી, A = B.

પ્રશ્ન 10: ગણ A, B અને C એવા શોધો કે જેથી A ∩ B, B ∩ C અને A ∩ C અરિક્ત ગણો થાય અને A ∩ B ∩ C = ∅ બને.

ઉકેલ:
આ શરત સંતોષવા આપણે એવા ગણ ધારવા પડે જેમાં કોઈ પણ બે ગણ વચ્ચે એક સભ્ય સામાન્ય (કોમન) હોય, પણ ત્રણેય ગણમાં કોઈ સભ્ય કોમન ન હોય.

ધારો કે: A = {1, 2}, B = {2, 3} અને C = {1, 3}. હવે ચકાસીએ:

A ∩ B = {2} (અરિક્ત ગણ છે)
B ∩ C = {3} (અરિક્ત ગણ છે)
A ∩ C = {1} (અરિક્ત ગણ છે)

પરંતુ જો ત્રણેયનો છેદગણ લઈએ:

A ∩ B ∩ C = ∅

કારણ કે ત્રણેય ગણમાં એક સાથે હાજર હોય તેવો કોઈ સભ્ય નથી. આપણી પસંદગી સાચી છે.

Chapter 1 ગણ (Set)