પ્રશ્ન 1: નીચે આપેલ ગણો પૈકી કયા ગણ આપેલ ગણો પૈકી કયા ગણના ઉપગણ છે તે નક્કી કરો :
A = { x : x ∈ R અને x એ સમીકરણ x2 – 8x + 12 = 0 નું સમાધાન કરે છે }
B = { 2, 4, 6 }, C = { 2, 4, 6, 8, … }, D = { 6 }
A = { x : x ∈ R અને x એ સમીકરણ x2 – 8x + 12 = 0 નું સમાધાન કરે છે }
B = { 2, 4, 6 }, C = { 2, 4, 6, 8, … }, D = { 6 }
ઉકેલ:
સૌપ્રથમ ગણ A ના સભ્યો શોધીએ:
સમીકરણ: x2 – 8x + 12 = 0
અવયવ પાડતાં: (x – 6)(x – 2) = 0 ⇒ x = 6 અથવા x = 2
સૌપ્રથમ ગણ A ના સભ્યો શોધીએ:
સમીકરણ: x2 – 8x + 12 = 0
અવયવ પાડતાં: (x – 6)(x – 2) = 0 ⇒ x = 6 અથવા x = 2
તેથી, A = { 2, 6 }
B = { 2, 4, 6 }
C = { 2, 4, 6, 8, … }
D = { 6 }
B = { 2, 4, 6 }
C = { 2, 4, 6, 8, … }
D = { 6 }
હવે કયો ગણ કોનો ઉપગણ છે તે ચકાસીએ (જે ગણના તમામ સભ્યો બીજા ગણમાં હોય તે તેનો ઉપગણ કહેવાય):
D ⊂ A, D ⊂ B, D ⊂ C
A ⊂ B, A ⊂ C
B ⊂ C
A ⊂ B, A ⊂ C
B ⊂ C
પ્રશ્ન 2: નીચેના પૈકી દરેક વિધાનમાંથી કયું સત્ય અને કયું અસત્ય છે તે નક્કી કરો :
(i) જો x ∈ A અને A ∈ B, તો x ∈ B
(ii) જો A ⊂ B અને B ∈ C, તો A ∈ C
(iii) જો A ⊂ B અને B ⊂ C, તો A ⊂ C
(iv) જો A ⊄ B અને B ⊄ C, તો A ⊄ C
(v) જો x ∈ A અને A ⊄ B, તો x ∈ B
(vi) જો A ⊂ B અને x ∉ B, તો x ∉ A
(i) જો x ∈ A અને A ∈ B, તો x ∈ B
(ii) જો A ⊂ B અને B ∈ C, તો A ∈ C
(iii) જો A ⊂ B અને B ⊂ C, તો A ⊂ C
(iv) જો A ⊄ B અને B ⊄ C, તો A ⊄ C
(v) જો x ∈ A અને A ⊄ B, તો x ∈ B
(vi) જો A ⊂ B અને x ∉ B, તો x ∉ A
ઉકેલ:
(i) ધારો કે A = {1} અને B = {{1}, 2}. અહીં 1 ∈ A અને A ∈ B છે, પરંતુ 1 એ B નો સભ્ય નથી (ગણ {1} એ B નો સભ્ય છે).
વિધાન (i) અસત્ય છે.
(ii) ધારો કે A = {1}, B = {1, 2} અને C = {{1, 2}, 3}. અહીં A ⊂ B અને B ∈ C છે, પરંતુ ગણ A એ C નો સભ્ય નથી.
વિધાન (ii) અસત્ય છે.
(iii) જો A ના તમામ સભ્યો B માં હોય (A ⊂ B) અને B ના તમામ સભ્યો C માં હોય (B ⊂ C), તો સ્વાભાવિક છે કે A ના તમામ સભ્યો C માં પણ હશે જ.
વિધાન (iii) સત્ય છે.
(iv) ધારો કે A = {1, 2}, B = {2, 3} અને C = {1, 2, 4}. અહીં A ⊄ B અને B ⊄ C છે, પરંતુ A ના તમામ સભ્યો C માં છે, તેથી A ⊂ C થાય છે.
વિધાન (iv) અસત્ય છે.
(v) ધારો કે A = {1, 2} અને B = {2, 3}. અહીં 1 ∈ A અને A ⊄ B છે. પરંતુ 1 એ B માં નથી.
વિધાન (v) અસત્ય છે.
(vi) જો A ના તમામ સભ્યો B માં હોય (A ⊂ B) અને કોઈ સભ્ય x જો મોટા ગણ B માં જ ના હોય, તો તે નાના ગણ A માં હોઈ જ ના શકે.
વિધાન (vi) સત્ય છે.
પ્રશ્ન 3: ગણ A, B અને C માટે A ∪ B = A ∪ C અને A ∩ B = A ∩ C છે. સાબિત કરો કે, B = C.
ઉકેલ:
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ગણ B માટે, B = B ∩ (A ∪ B) થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ગણ B માટે, B = B ∩ (A ∪ B) થાય.
B = B ∩ (A ∪ C) [કારણ કે A ∪ B = A ∪ C]
B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ C) [વિભાજનનો નિયમ]
B = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) [કારણ કે A ∩ B = A ∩ C] — (પરિણામ 1)
B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ C) [વિભાજનનો નિયમ]
B = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) [કારણ કે A ∩ B = A ∩ C] — (પરિણામ 1)
તેવી જ રીતે ગણ C માટે, C = C ∩ (A ∪ C)
C = C ∩ (A ∪ B) [કારણ કે A ∪ C = A ∪ B]
C = (C ∩ A) ∪ (C ∩ B) [વિભાજનનો નિયમ]
C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) — (પરિણામ 2)
C = (C ∩ A) ∪ (C ∩ B) [વિભાજનનો નિયમ]
C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) — (પરિણામ 2)
પરિણામ 1 અને 2 પરથી સ્પષ્ટ છે કે: B = C
પ્રશ્ન 4: સાબિત કરો કે નીચે આપેલી ચારેય શરતો સમકક્ષ છે :
(i) A ⊂ B (ii) A – B = ∅ (iii) A ∪ B = B (iv) A ∩ B = A
(i) A ⊂ B (ii) A – B = ∅ (iii) A ∪ B = B (iv) A ∩ B = A
ઉકેલ:
આપણે (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (i) સાબિત કરીશું.
આપણે (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (i) સાબિત કરીશું.
(i) ⇒ (ii): જો A ⊂ B હોય, તો A ના બધા સભ્યો B માં છે. તેથી એવો કોઈ સભ્ય નથી જે A માં હોય પણ B માં ન હોય. માટે A – B = ∅.
(ii) ⇒ (iii): જો A – B = ∅, તેનો અર્થ કે A નો કોઈ સભ્ય B ની બહાર નથી. તેથી A અને B નો યોગગણ કરીએ તો તે ગણ B જ બને. માટે A ∪ B = B.
(iii) ⇒ (iv): જો A ∪ B = B હોય, તો A એ B ની અંદર જ સમાયેલો છે. તેથી બંનેનો છેદગણ માત્ર ગણ A જ થાય. માટે A ∩ B = A.
(iv) ⇒ (i): જો A ∩ B = A હોય, તો A ના તમામ સભ્યો એ ગણ B ના પણ સભ્યો છે, જે ઉપગણની વ્યાખ્યા છે. માટે A ⊂ B.
(ii) ⇒ (iii): જો A – B = ∅, તેનો અર્થ કે A નો કોઈ સભ્ય B ની બહાર નથી. તેથી A અને B નો યોગગણ કરીએ તો તે ગણ B જ બને. માટે A ∪ B = B.
(iii) ⇒ (iv): જો A ∪ B = B હોય, તો A એ B ની અંદર જ સમાયેલો છે. તેથી બંનેનો છેદગણ માત્ર ગણ A જ થાય. માટે A ∩ B = A.
(iv) ⇒ (i): જો A ∩ B = A હોય, તો A ના તમામ સભ્યો એ ગણ B ના પણ સભ્યો છે, જે ઉપગણની વ્યાખ્યા છે. માટે A ⊂ B.
તેથી ચારેય શરતો સમકક્ષ છે.
પ્રશ્ન 5: સાબિત કરો કે જો A ⊂ B, તો (C – B) ⊂ (C – A)
ઉકેલ:
આપણને A ⊂ B આપેલ છે. (એટલે કે જો x ∈ A હોય, તો x ∈ B થાય).
ધારો કે x ∈ (C – B) છે.
આપણને A ⊂ B આપેલ છે. (એટલે કે જો x ∈ A હોય, તો x ∈ B થાય).
ધારો કે x ∈ (C – B) છે.
⇒ x ∈ C અને x ∉ B
હવે જો x એ ગણ B માં જ ન હોય, અને A તો B ની અંદર (ઉપગણ) છે, તો x એ ગણ A માં પણ ન જ હોય.
⇒ x ∈ C અને x ∉ A
⇒ x ∈ (C – A)
⇒ x ∈ (C – A)
આપણે શરૂઆત x ∈ (C – B) થી કરી હતી અને પરિણામ x ∈ (C – A) મળ્યું.
તેથી, (C – B) ⊂ (C – A)
પ્રશ્ન 6: કોઈ પણ ગણ A અને B માટે સાબિત કરો કે,
A = (A ∩ B) ∪ (A – B) અને A ∪ (B – A) = (A ∪ B).
A = (A ∩ B) ∪ (A – B) અને A ∪ (B – A) = (A ∪ B).
ઉકેલ 1: A = (A ∩ B) ∪ (A – B)
આપણે જાણીએ છીએ કે A – B = A ∩ B’ (જ્યાં B’ એ B નો પૂરક ગણ છે). જમણી બાજુ (RHS) લેતાં:
આપણે જાણીએ છીએ કે A – B = A ∩ B’ (જ્યાં B’ એ B નો પૂરક ગણ છે). જમણી બાજુ (RHS) લેતાં:
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B’)
= A ∩ (B ∪ B’) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
= A ∩ U [જ્યાં U સાર્વત્રિક ગણ છે]
= A (ડાબી બાજુ)
= A ∩ (B ∪ B’) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
= A ∩ U [જ્યાં U સાર્વત્રિક ગણ છે]
= A (ડાબી બાજુ)
ઉકેલ 2: A ∪ (B – A) = (A ∪ B)
અહીં પણ B – A = B ∩ A’ નો ઉપયોગ કરતા, ડાબી બાજુ (LHS) લેતાં:
અહીં પણ B – A = B ∩ A’ નો ઉપયોગ કરતા, ડાબી બાજુ (LHS) લેતાં:
= A ∪ (B ∩ A’)
= (A ∪ B) ∩ (A ∪ A’) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
= (A ∪ B) ∩ U [કારણ કે A ∪ A’ = U]
= (A ∪ B) (જમણી બાજુ)
= (A ∪ B) ∩ (A ∪ A’) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
= (A ∪ B) ∩ U [કારણ કે A ∪ A’ = U]
= (A ∪ B) (જમણી બાજુ)
બંને પરિણામો સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 7: ગણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે
(i) A ∪ (A ∩ B) = A (ii) A ∩ (A ∪ B) = A.
(i) A ∪ (A ∩ B) = A (ii) A ∩ (A ∪ B) = A.
ઉકેલ (i): A ∪ (A ∩ B) = A
આપણે A ને (A ∩ U) લખી શકીએ. ડાબી બાજુ (LHS) લેતાં:
આપણે A ને (A ∩ U) લખી શકીએ. ડાબી બાજુ (LHS) લેતાં:
= (A ∩ U) ∪ (A ∩ B)
= A ∩ (U ∪ B) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
= A ∩ U [કોઈપણ ગણનો સાર્વત્રિક ગણ સાથેનો યોગગણ U જ થાય]
= A (જમણી બાજુ)
= A ∩ (U ∪ B) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
= A ∩ U [કોઈપણ ગણનો સાર્વત્રિક ગણ સાથેનો યોગગણ U જ થાય]
= A (જમણી બાજુ)
ઉકેલ (ii): A ∩ (A ∪ B) = A
આપણે A ને (A ∪ ∅) લખી શકીએ. ડાબી બાજુ (LHS) લેતાં:
આપણે A ને (A ∪ ∅) લખી શકીએ. ડાબી બાજુ (LHS) લેતાં:
= (A ∪ ∅) ∩ (A ∪ B)
= A ∪ (∅ ∩ B) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
= A ∪ ∅ [ખાલીગણ સાથેનો છેદગણ ∅ જ થાય]
= A (જમણી બાજુ)
= A ∪ (∅ ∩ B) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
= A ∪ ∅ [ખાલીગણ સાથેનો છેદગણ ∅ જ થાય]
= A (જમણી બાજુ)
બંને પરિણામો સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 8: સાબિત કરો કે A ∩ B = A ∩ C પરથી B = C કહી શકાય નહિ.
ઉકેલ:
આને સાબિત કરવા આપણે એક ઉદાહરણ લઈશું (Counter-example):
ધારો કે A = {1, 2}, B = {1, 3} અને C = {1, 4}.
આને સાબિત કરવા આપણે એક ઉદાહરણ લઈશું (Counter-example):
ધારો કે A = {1, 2}, B = {1, 3} અને C = {1, 4}.
અહીં, A ∩ B = {1}
અને A ∩ C = {1}
અને A ∩ C = {1}
આમ, અહીં A ∩ B = A ∩ C શરતનું પાલન થાય છે.
પરંતુ, ગણ B = {1, 3} અને ગણ C = {1, 4} બંને સમાન નથી.
પરંતુ, ગણ B = {1, 3} અને ગણ C = {1, 4} બંને સમાન નથી.
તેથી, માત્ર A ∩ B = A ∩ C હોવાથી B = C કહી શકાય નહિ.
પ્રશ્ન 9: A અને B ગણો છે. કોઈ ગણ X માટે જો A ∩ X = B ∩ X = ∅ અને A ∪ X = B ∪ X તો સાબિત કરો કે A = B.
(સૂચન: A = A ∩ (A ∪ X), B = B ∩ (B ∪ X) અને વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરો.)
(સૂચન: A = A ∩ (A ∪ X), B = B ∩ (B ∪ X) અને વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરો.)
ઉકેલ:
સૂચન મુજબ ગણ A માટે ગણતરી શરૂ કરીએ:
સૂચન મુજબ ગણ A માટે ગણતરી શરૂ કરીએ:
A = A ∩ (A ∪ X)
A = A ∩ (B ∪ X) [કારણ કે A ∪ X = B ∪ X આપેલ છે]
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ X) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
A = (A ∩ B) ∪ ∅ [કારણ કે A ∩ X = ∅ આપેલ છે]
A = A ∩ B — (પરિણામ 1)
A = A ∩ (B ∪ X) [કારણ કે A ∪ X = B ∪ X આપેલ છે]
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ X) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
A = (A ∩ B) ∪ ∅ [કારણ કે A ∩ X = ∅ આપેલ છે]
A = A ∩ B — (પરિણામ 1)
હવે તે જ રીતે ગણ B માટે ગણતરી કરીએ:
B = B ∩ (B ∪ X)
B = B ∩ (A ∪ X) [કારણ કે B ∪ X = A ∪ X આપેલ છે]
B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ X) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
B = (A ∩ B) ∪ ∅ [કારણ કે B ∩ X = ∅ આપેલ છે]
B = A ∩ B — (પરિણામ 2)
B = B ∩ (A ∪ X) [કારણ કે B ∪ X = A ∪ X આપેલ છે]
B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ X) [વિભાજનના નિયમ મુજબ]
B = (A ∩ B) ∪ ∅ [કારણ કે B ∩ X = ∅ આપેલ છે]
B = A ∩ B — (પરિણામ 2)
પરિણામ 1 અને 2 બંને (A ∩ B) દર્શાવે છે. તેથી, A = B.
પ્રશ્ન 10: ગણ A, B અને C એવા શોધો કે જેથી A ∩ B, B ∩ C અને A ∩ C અરિક્ત ગણો થાય અને A ∩ B ∩ C = ∅ બને.
ઉકેલ:
આ શરત સંતોષવા આપણે એવા ગણ ધારવા પડે જેમાં કોઈ પણ બે ગણ વચ્ચે એક સભ્ય સામાન્ય (કોમન) હોય, પણ ત્રણેય ગણમાં કોઈ સભ્ય કોમન ન હોય.
ધારો કે: A = {1, 2}, B = {2, 3} અને C = {1, 3}. હવે ચકાસીએ:
આ શરત સંતોષવા આપણે એવા ગણ ધારવા પડે જેમાં કોઈ પણ બે ગણ વચ્ચે એક સભ્ય સામાન્ય (કોમન) હોય, પણ ત્રણેય ગણમાં કોઈ સભ્ય કોમન ન હોય.
ધારો કે: A = {1, 2}, B = {2, 3} અને C = {1, 3}. હવે ચકાસીએ:
A ∩ B = {2} (અરિક્ત ગણ છે)
B ∩ C = {3} (અરિક્ત ગણ છે)
A ∩ C = {1} (અરિક્ત ગણ છે)
B ∩ C = {3} (અરિક્ત ગણ છે)
A ∩ C = {1} (અરિક્ત ગણ છે)
પરંતુ જો ત્રણેયનો છેદગણ લઈએ:
A ∩ B ∩ C = ∅
કારણ કે ત્રણેય ગણમાં એક સાથે હાજર હોય તેવો કોઈ સભ્ય નથી. આપણી પસંદગી સાચી છે.