આકૃતિ: સામાન્ય જીવા AB અને વર્તુળના કેન્દ્રો O અને O’
ધારો કે મોટા વર્તુળનું કેન્દ્ર O અને તેની ત્રિજ્યા (OA) = 5 સેમી છે.
નાના વર્તુળનું કેન્દ્ર O’ અને તેની ત્રિજ્યા (O’A) = 3 સેમી છે.
બંને કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર (OO’) = 4 સેમી છે.
ધારો કે બંને વર્તુળો A અને B બિંદુમાં છેદે છે, તેથી AB એ સામાન્ય જીવા છે.
હવે, ત્રિકોણ ΔAOO’ માં ત્રણેય બાજુઓના માપ 3, 4 અને 5 છે. આપણે જાણીએ છીએ કે:
અને (5)2 = 25
તેથી, (O’A)2 + (OO’)2 = (OA)2
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ મુજબ, જો બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના વર્ગ બરાબર થાય, તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે. અહીં સૌથી મોટી બાજુ OA છે, તેથી તેની સામેનો ખૂણો ∠OO’A = 90° થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે “બે વર્તુળોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા એ સામાન્ય જીવાનો લંબદ્વિભાજક હોય છે”.
અહીં ∠OO’A = 90° હોવાથી, નાના વર્તુળનું કેન્દ્ર O’ એ સામાન્ય જીવા AB પર જ આવેલું છે!
કારણ કે સામાન્ય જીવા નાના વર્તુળના કેન્દ્ર (O’) માંથી પસાર થાય છે, તે નાના વર્તુળનો વ્યાસ બની જાય છે.
= 2 × 3 સેમી
= 6 સેમી
આકૃતિ: વર્તુળ પર રેશ્મા (R), સલમા (S), મનદીપ (M) અને કેન્દ્ર (O)
ધારો કે O વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. અહીં ત્રિજ્યા OR = OS = 5 મીટર છે. રેશ્મા અને સલમા વચ્ચેનું અંતર RS = 6 મીટર છે.
કેન્દ્ર O માંથી જીવા RS પર લંબ (Perpendicular) દોરો જે L માં છેદે. લંબ જીવાને દુભાગે છે, તેથી RL = 3 મીટર થાય.
OL2 + RL2 = OR2
OL2 + (3)2 = (5)2
OL = √(25 – 9) = √16 = 4 મીટર
હવે, ΔORS નું ક્ષેત્રફળ = ½ × પાયો (RS) × વેધ (OL)
= ½ × 6 × 4 = 12 ચો.મી.
અહીં RS = SM હોવાથી, કેન્દ્ર O અને S ને જોડતી રેખા (OS) એ જીવા RM નો લંબદ્વિભાજક બને છે. ધારો કે OS અને RM બિંદુ K માં છેદે છે.
તો ΔORS માં પાયો OS અને વેધ RK લઈ ફરીથી ક્ષેત્રફળ મુકીએ:
12 = ½ × 5 × RK
RK = (12 × 2) / 5
RK = 24 / 5 = 4.8 મીટર
અહીં OS લંબદ્વિભાજક હોવાથી, RM ની કુલ લંબાઈ RK કરતાં બમણી થશે.
આકૃતિ: સમબાજુ ત્રિકોણ ASD અને કેન્દ્ર O
અહીં ત્રણેય છોકરાઓ વર્તુળની સીમા પર સરખા અંતરે બેઠા હોવાથી ત્રિકોણ ΔASD સમબાજુ ત્રિકોણ બને છે.
ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ a છે. (એટલે કે AS = SD = DA = a)
ધારો કે A માંથી બાજુ SD પર દોરેલી મધ્યગા AM છે. સમબાજુ ત્રિકોણમાં, વર્તુળનું કેન્દ્ર (O) એ મધ્યગાનું 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. એટલે કે AO : OM = 2 : 1.
તેથી, OM = AO / 2 = 20 / 2 = 10 મીટર.
કુલ લંબાઈ (AM) = AO + OM = 20 + 10 = 30 મીટર.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં મધ્યગા એ જ વેધ (લંબ) હોય છે, તેથી ΔAMS કાટકોણ ત્રિકોણ બને છે.
અહીં કર્ણ AS = a, અને પાયો MS = a/2 થશે (કારણ કે M એ SD નું મધ્યબિંદુ છે).
AS2 = AM2 + MS2
a2 = (30)2 + a22
a2 = 900 + a24
હવે a2/4 ને ડાબી બાજુ લાવતા:
a2 – a24 = 900
3a24 = 900
3a2 = 3600
a2 = 1200
a = √1200 = √(400 × 3) = 20√3 મીટર