📐 ધોરણ 9 ગણિત: બહુપદીઓ (વિગતવાર ઉકેલ)
પ્રશ્ન 10: અવયવ પાડો
(i) 27y3 + 125z3
સૌથી પહેલા પદોને ઘન સ્વરૂપે લખીએ:
= (3y)3 + (5z)3
હવે સૂત્ર a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) નો ઉપયોગ કરતા, (જ્યાં a = 3y અને b = 5z):
= (3y + 5z) [ (3y)2 – (3y)(5z) + (5z)2 ]
= (3y + 5z) ( 9y2 – 15yz + 25z2 )
= (3y)3 + (5z)3
હવે સૂત્ર a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) નો ઉપયોગ કરતા, (જ્યાં a = 3y અને b = 5z):
= (3y + 5z) [ (3y)2 – (3y)(5z) + (5z)2 ]
= (3y + 5z) ( 9y2 – 15yz + 25z2 )
જવાબ: (3y + 5z)(9y2 – 15yz + 25z2)
(ii) 64m3 – 343n3
પદોને ઘન સ્વરૂપે લખીએ:
= (4m)3 – (7n)3
હવે સૂત્ર a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) નો ઉપયોગ કરતા, (જ્યાં a = 4m અને b = 7n):
= (4m – 7n) [ (4m)2 + (4m)(7n) + (7n)2 ]
= (4m – 7n) ( 16m2 + 28mn + 49n2 )
= (4m)3 – (7n)3
હવે સૂત્ર a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) નો ઉપયોગ કરતા, (જ્યાં a = 4m અને b = 7n):
= (4m – 7n) [ (4m)2 + (4m)(7n) + (7n)2 ]
= (4m – 7n) ( 16m2 + 28mn + 49n2 )
જવાબ: (4m – 7n)(16m2 + 28mn + 49n2)
પ્રશ્ન 11: અવયવ પાડો
27x3 + y3 + z3 – 9xyz
પદોને ઘન સ્વરૂપે લખીએ:
= (3x)3 + (y)3 + (z)3 – 3(3x)(y)(z)
નિત્યસમ a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) મુજબ ગોઠવતા:
= (3x + y + z) [ (3x)2 + (y)2 + (z)2 – (3x)(y) – (y)(z) – (z)(3x) ]
= (3x + y + z) ( 9x2 + y2 + z2 – 3xy – yz – 3zx )
= (3x)3 + (y)3 + (z)3 – 3(3x)(y)(z)
નિત્યસમ a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) મુજબ ગોઠવતા:
= (3x + y + z) [ (3x)2 + (y)2 + (z)2 – (3x)(y) – (y)(z) – (z)(3x) ]
= (3x + y + z) ( 9x2 + y2 + z2 – 3xy – yz – 3zx )
જવાબ: (3x + y + z)(9x2 + y2 + z2 – 3xy – yz – 3zx)
પ્રશ્ન 13: સાબિતી
જો x + y + z = 0 તો સાબિત કરો કે x3 + y3 + z3 = 3xyz
આપણે નિત્યસમ જાણીએ છીએ કે:
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
હવે રકમ મુજબ (x + y + z) ની કિંમત 0 મુકતા:
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (0) × (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
0 સાથે ગુણાકાર થવાથી જમણી બાજુ શૂન્ય થઈ જશે:
x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0
હવે -3xyz ને બરાબરની સામેની બાજુ લઈ જતાં:
x3 + y3 + z3 = 3xyz
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
હવે રકમ મુજબ (x + y + z) ની કિંમત 0 મુકતા:
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (0) × (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
0 સાથે ગુણાકાર થવાથી જમણી બાજુ શૂન્ય થઈ જશે:
x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0
હવે -3xyz ને બરાબરની સામેની બાજુ લઈ જતાં:
x3 + y3 + z3 = 3xyz
સાબિત થાય છે: x3 + y3 + z3 = 3xyz
પ્રશ્ન 14: ઘનનું મૂલ્ય મેળવ્યા સિવાય કિંમત શોધો
(સૂચન: જો a + b + c = 0 હોય, તો a3 + b3 + c3 = 3abc થાય)
(i) (-12)3 + (7)3 + (5)3
અહીં ધારો કે a = -12, b = 7, અને c = 5 છે.
ચકાસીએ: a + b + c = -12 + 7 + 5 = -12 + 12 = 0.
તેથી, કિંમત = 3abc થશે.
= 3 × (-12) × (7) × (5)
= -36 × 35
= -1260
ચકાસીએ: a + b + c = -12 + 7 + 5 = -12 + 12 = 0.
તેથી, કિંમત = 3abc થશે.
= 3 × (-12) × (7) × (5)
= -36 × 35
= -1260
જવાબ: -1260
(ii) (28)3 + (-15)3 + (-13)3
અહીં ધારો કે a = 28, b = -15, અને c = -13 છે.
ચકાસીએ: a + b + c = 28 + (-15) + (-13) = 28 – 28 = 0.
તેથી, કિંમત = 3abc થશે.
= 3 × (28) × (-15) × (-13)
= 84 × 195
= 16380
ચકાસીએ: a + b + c = 28 + (-15) + (-13) = 28 – 28 = 0.
તેથી, કિંમત = 3abc થશે.
= 3 × (28) × (-15) × (-13)
= 84 × 195
= 16380
જવાબ: 16380
પ્રશ્ન 15: ક્ષેત્રફળ પરથી સંભવિત પરિમાણ શોધો
(i) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = 25a2 – 35a + 12
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ × પહોળાઈ. આથી આપણે અવયવ પાડીશું.
મધ્યમ પદના ભાગ પાડીએ (ગુણાકાર 300, સરવાળો -35). ભાગ પડશે -20 અને -15.
= 25a2 – 20a – 15a + 12
= 5a(5a – 4) – 3(5a – 4)
= (5a – 4)(5a – 3)
મધ્યમ પદના ભાગ પાડીએ (ગુણાકાર 300, સરવાળો -35). ભાગ પડશે -20 અને -15.
= 25a2 – 20a – 15a + 12
= 5a(5a – 4) – 3(5a – 4)
= (5a – 4)(5a – 3)
સંભવિત લંબાઈ અને પહોળાઈ: (5a – 4) અને (5a – 3)
(ii) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = 35y2 + 13y – 12
મધ્યમ પદના ભાગ પાડીએ (ગુણાકાર -420, સરવાળો 13). ભાગ પડશે +28 અને -15.
= 35y2 + 28y – 15y – 12
= 7y(5y + 4) – 3(5y + 4)
= (5y + 4)(7y – 3)
= 35y2 + 28y – 15y – 12
= 7y(5y + 4) – 3(5y + 4)
= (5y + 4)(7y – 3)
સંભવિત લંબાઈ અને પહોળાઈ: (5y + 4) અને (7y – 3)
પ્રશ્ન 16: ઘનફળ પરથી શક્ય પરિમાણ શોધો
(i) લંબઘનનું ઘનફળ = 3x2 – 12x
લંબઘનનું ઘનફળ = લંબાઈ × પહોળાઈ × ઊંચાઈ. આથી આપણે 3 અવયવ પાડીશું.
બંને પદોમાંથી 3x સામાન્ય કાઢતા:
= 3x(x – 4)
આને 3 અલગ ભાગમાં દર્શાવી શકાય: 3 × x × (x – 4)
બંને પદોમાંથી 3x સામાન્ય કાઢતા:
= 3x(x – 4)
આને 3 અલગ ભાગમાં દર્શાવી શકાય: 3 × x × (x – 4)
શક્ય પરિમાણ: 3, x, અને (x – 4)
(ii) લંબઘનનું ઘનફળ = 12ky2 + 8ky – 20k
બધા પદોમાંથી સામાન્ય 4k કાઢતા:
= 4k [ 3y2 + 2y – 5 ]
હવે કૌંસમાં રહેલી બહુપદીના અવયવ પાડીએ (ગુણાકાર -15, સરવાળો 2). ભાગ +5 અને -3.
= 4k [ 3y2 + 5y – 3y – 5 ]
= 4k [ y(3y + 5) – 1(3y + 5) ]
= 4k (3y + 5) (y – 1)
= 4k [ 3y2 + 2y – 5 ]
હવે કૌંસમાં રહેલી બહુપદીના અવયવ પાડીએ (ગુણાકાર -15, સરવાળો 2). ભાગ +5 અને -3.
= 4k [ 3y2 + 5y – 3y – 5 ]
= 4k [ y(3y + 5) – 1(3y + 5) ]
= 4k (3y + 5) (y – 1)
શક્ય પરિમાણ: 4k, (3y + 5), અને (y – 1)