Chapter 9: વિકલ સમીકરણ

Leave a Comment / By /
વિકલ સમીકરણ: કક્ષા (Order) અને પરિમાણ (Degree)
૧. વિકલ સમીકરણની કક્ષા (Order)

વ્યાખ્યા: આપેલા વિકલ સમીકરણમાં રહેલા ઉચ્ચતમ કક્ષાના વિકલિત (Highest order derivative) ની કક્ષાને તે વિકલ સમીકરણની કક્ષા કહે છે.

સરળ ભાષામાં: સમીકરણમાં વધુમાં વધુ કેટલી વાર વિકલન થયેલું છે તે જોવાનું.

  • જો
    dy
    dx
    કે y’ હોય, તો કક્ષા = 1
  • જો
    d2y
    dx2
    કે y” હોય, તો કક્ષા = 2
  • જો
    d3y
    dx3
    કે y”’ હોય, તો કક્ષા = 3

નોંધ: કક્ષા નક્કી કરવા માટે કોઈ ખાસ શરત નથી હોતી, બસ સમીકરણમાં સૌથી મોટું વિકલિત શોધી કાઢો!

૨. વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ (Degree)

વ્યાખ્યા: વિકલ સમીકરણ જ્યારે વિકલિતોની બહુપદી (Polynomial in derivatives) સ્વરૂપે હોય, ત્યારે તેમાં રહેલા ઉચ્ચતમ કક્ષાના વિકલિતની મહત્તમ ઘાત (Power) ને વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ કહે છે.

સરળ ભાષામાં: જે પદ પરથી તમે “કક્ષા” નક્કી કરી છે, તે જ પદની આખા કૌંસની ઉપર કેટલી ઘાત છે તે જુઓ. તે ઘાત એટલે પરિમાણ.

⚠️ પરિમાણ નક્કી કરવા માટેની 2 કડક શરતો (આ સૌથી અગત્યનું છે!):

શરત 1: સમીકરણ વિકલિતોની બહુપદી હોવું જોઈએ. એટલે કે વિકલિત (dy/dx વગેરે) કોઈ વિધેયની અંદર ફસાયેલો ન હોવો જોઈએ.
જેમ કે, sin(dy/dx) , edy/dx , log(dy/dx) વગેરે આવે તો સમીકરણ બહુપદી નથી. આવા કિસ્સામાં પરિમાણ “અવ્યાખ્યાયિત (Not defined)” ગણાય છે.

શરત 2: વિકલિતોની ઘાત અપૂર્ણાંક (જેમ કે 1/2, 3/2) ન હોવી જોઈએ. જો વર્ગમૂળ કે ઘનમૂળ હોય, તો બંને બાજુ વર્ગ કે ઘન કરીને સાદુંરૂપ આપ્યા પછી જ પરિમાણ નક્કી કરાય છે.
ઉદાહરણો દ્વારા સ્પષ્ટતા:
વિકલ સમીકરણ કક્ષા પરિમાણ કારણ
dy
dx
– cos x = 0
 1 1 સૌથી મોટું વિકલિત dy/dx છે અને તેની ઘાત 1 છે.
x(
d2y
dx2
)1 + (
dy
dx
)3 + y = 0
 2 1 અહીં (dy/dx) ની 3 ઘાત છે, પણ આપણે ઉચ્ચતમ વિકલિત (d²y/dx²) ની જ ઘાત જોવાની છે, જે 1 છે.
d3y
dx3
+ y2 + e
dy
dx
 = 0
 3 અવ્યાખ્યાયિત અહીં edy/dx છે. વિકલિત ઘાતાંકમાં ફસાયેલું છે. તેથી બહુપદી નથી.
d2y
dx2
+ cos(
dy
dx
) = 0
 2 અવ્યાખ્યાયિત વિકલિત cos ની અંદર (ખૂણા તરીકે) ફસાયેલું છે.
√[ 1 + (
dy
dx
)2 ] =
d2y
dx2
 2 2 વર્ગમૂળ દૂર કરવા બંને બાજુ વર્ગ કરતાં: 1 + (dy/dx)² = (d²y/dx²)² બને છે.
ગોલ્ડન રૂલ: પિતા (કક્ષા) ઘરનો મોભી હોય છે, એટલે પરિમાણ હંમેશા પિતા (સૌથી મોટા વિકલિત) નું જ જોવાય, ભલે બાજુમાં રહેલા નાના બાળકની (નાના વિકલિતની) ઘાત ગમે તેટલી મોટી કેમ ન હોય!

9.2

સ્વાધ્યાય 9.2 : વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ
સૂચના (પ્રશ્ન 1 થી 10): આપેલ વિધેયને (સ્પષ્ટ અથવા ગૂઢ રીતે) અનુરૂપ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે તેમ ચકાસો.
પ્રશ્ન 1: y = ex + 1      :      y” – y’ = 0
ઉકેલ: આપેલ વિધેય: y = ex + 1
x ની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન કરતાં:
y’ = ex
ફરીથી વિકલન કરતાં (દ્વિતીય વિકલિત):
y” = ex
વિકલ સમીકરણની ડાબી બાજુ (LHS) માં કિંમતો મૂકતાં:
LHS = y” – y’ = ex – ex = 0 = RHS
✅ આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.
પ્રશ્ન 2: y = x2 + 2x + C      :      y’ – 2x – 2 = 0
ઉકેલ: આપેલ વિધેય: y = x2 + 2x + C
x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:
y’ = 2x + 2
વિકલ સમીકરણની ડાબી બાજુ (LHS) માં કિંમત મૂકતાં:
LHS = y’ – 2x – 2 = (2x + 2) – 2x – 2 = 0 = RHS
✅ આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.
પ્રશ્ન 3: y = cos x + C      :      y’ + sin x = 0
ઉકેલ: આપેલ વિધેય: y = cos x + C
x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:
y’ = -sin x
LHS માં કિંમત મૂકતાં:
LHS = y’ + sin x = -sin x + sin x = 0 = RHS
✅ આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.
પ્રશ્ન 4: y = √(1 + x2)      :      y’ =
xy
1 + x2
ઉકેલ: આપેલ વિધેય: y = √(1 + x2)
સાંકળના નિયમથી વિકલન કરતાં:
y’ =
1
2√(1 + x2)
· (2x) =
x
√(1 + x2)
હવે વિકલ સમીકરણની જમણી બાજુ (RHS) જોઈએ:
RHS =
xy
1 + x2
RHS માં y = √(1 + x2) મૂકતાં:
RHS =
x √(1 + x2)
1 + x2
=
x
√(1 + x2)
અહીં LHS (y’) = RHS.
✅ આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.
પ્રશ્ન 5: y = Ax      :      xy’ = y    (x ≠ 0)
ઉકેલ: આપેલ વિધેય: y = Ax
વિકલન કરતાં:
y’ = A
LHS માં કિંમત મૂકતાં:
LHS = xy’ = x(A) = Ax
પરંતુ y = Ax છે, તેથી:
LHS = y = RHS
✅ આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.
પ્રશ્ન 6: y = x sin x      :      xy’ = y + x√(x2 – y2)
ઉકેલ: આપેલ વિધેય: y = x sin x
ગુણાકારના નિયમથી વિકલન કરતાં:
y’ = (1)sin x + x(cos x) = sin x + x cos x
હવે LHS = xy’ શોધીએ:
LHS = x(sin x + x cos x) = x sin x + x2 cos x
હવે RHS શોધીએ: RHS = y + x√(x2 – y2)
RHS માં y = x sin x મૂકતાં:
RHS = x sin x + x√(x2 – (x sin x)2)
RHS = x sin x + x√(x2 – x2 sin2 x)
RHS = x sin x + x√[x2(1 – sin2 x)]
RHS = x sin x + x√(x2 cos2 x) = x sin x + x(x cos x)
RHS = x sin x + x2 cos x
અહીં LHS = RHS છે.
✅ આપેલ વિધેય એ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.
પ્રશ્ન 7: xy = log y + C      :      y’ =
y2
1 – xy
ઉકેલ: આપેલ ગૂઢ વિધેય: xy = log y + C
બંને બાજુ x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:
(1)y + xy’ =
1
y
y’
y’ વાળા પદોને એક બાજુ ભેગા કરતાં:
y =
1
y
y’ – xy’
y = y’ (
1
y
– x )
y = y’ (
1 – xy
y
)
y’ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતાં:
y’ =
y · y
1 – xy
=
y2
1 – xy
✅ સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 8: y – cos y = x      :      (y sin y + cos y + x)y’ = y
ઉકેલ: આપેલ વિધેય: y – cos y = x
x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:
y’ – (-sin y)y’ = 1
y’ (1 + sin y) = 1    ⇒    y’ =
1
1 + sin y
હવે વિકલ સમીકરણનું LHS લઈએ: LHS = (y sin y + cos y + x)y’
અહીં x ની કિંમત (y – cos y) મૂકતાં:
LHS = (y sin y + cos y + y – cos y) y’
LHS = (y sin y + y) y’ = y(sin y + 1) y’
હવે y’ ની કિંમત મૂકતાં:
LHS = y(1 + sin y) ·
1
1 + sin y
= y = RHS
✅ સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 9: x + y = tan-1 y      :      y2y’ + y2 + 1 = 0
ઉકેલ: આપેલ વિધેય: x + y = tan-1 y
બંને બાજુ x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:
1 + y’ =
1
1 + y2
· y’
બંને બાજુ (1 + y2) વડે ગુણતાં:
(1 + y’)(1 + y2) = y’
1 + y2 + y’ + y2y’ = y’
બંને બાજુથી y’ ઉડી જશે:
1 + y2 + y2y’ = 0
y2y’ + y2 + 1 = 0
✅ સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 10: y = √(a2 – x2)      :      x + y
dy
dx
= 0
ઉકેલ: આપેલ વિધેય: y = √(a2 – x2)
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં (ગણતરી સહેલી કરવા):
y2 = a2 – x2
x2 + y2 = a2
x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:
2x + 2y
dy
dx
= 0
બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં:
x + y
dy
dx
= 0
✅ સાબિત થાય છે.
સૂચના: પ્રશ્નો 11 તથા 12 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો.
પ્રશ્ન 11: ચતુર્થ કક્ષાના વિકલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલમાં સ્વૈર અચળની સંખ્યા ……… હશે.

(A) 0          (B) 2          (C) 3          (D) 4
નિયમ: કોઈપણ વિકલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલ (General Solution) માં સ્વૈર અચળાંકો (Arbitrary Constants) ની સંખ્યા તે વિકલ સમીકરણની કક્ષા (Order) જેટલી જ હોય છે.
અહીં સમીકરણ ચતુર્થ કક્ષાનું (Order 4) છે, તેથી સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા 4 હશે.
✅ સાચો વિકલ્પ: (D) 4
પ્રશ્ન 12: તૃતીય કક્ષાના વિકલ સમીકરણના વિશિષ્ટ ઉકેલમાં સ્વૈર અચળની સંખ્યા ……… હશે.

(A) 3          (B) 2          (C) 1          (D) 0
નિયમ: કોઈપણ વિકલ સમીકરણના વિશિષ્ટ ઉકેલ (Particular Solution) માં એક પણ સ્વૈર અચળાંક હોતો નથી. તેમાં અચળાંકોની ચોક્કસ કિંમતો મૂકી દેવામાં આવેલી હોય છે. સમીકરણની કક્ષા ગમે તે હોય, વિશિષ્ટ ઉકેલમાં સ્વૈર અચળની સંખ્યા હંમેશા 0 જ હોય છે.
✅ સાચો વિકલ્પ: (D) 0

9.3

વિયોજનીય ચલની રીતથી વિકલ સમીકરણોના વ્યાપક ઉકેલ મેળવો
પ્રશ્ન 1:
dy
dx
=
1 – cos x
1 + cos x
ઉકેલ: ત્રિકોણમિતિના અર્ધખૂણાના સૂત્રો વાપરતાં:
1 – cos x = 2 sin2(x/2) અને 1 + cos x = 2 cos2(x/2)
dy
dx
=
2 sin2(x/2)
2 cos2(x/2)
= tan2(x/2)
dx ને જમણી બાજુ લઈ જતાં: dy = tan2(x/2) dx
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫ dy = ∫ tan2(x/2) dx
tan2 θ = sec2 θ – 1 હોવાથી:
y = ∫ [ sec2(x/2) – 1 ] dx
y =
tan(x/2)
1/2
– x + C
✅ જવાબ: y = 2 tan(x/2) – x + C
પ્રશ્ન 2:
dy
dx
= √4 – y2      (જ્યાં -2 < y < 2)
ઉકેલ: ચલને અલગ (Separate) કરતાં:
dy
√4 – y2
= dx
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫
1
√22 – y2
dy = ∫ 1 dx
સૂત્ર ∫
1
√(a2-x2)
dx = sin-1(x/a) મુજબ:
sin-1(
y
2
) = x + C
y
2
= sin(x + C)
✅ જવાબ: y = 2 sin(x + C)
પ્રશ્ન 3:
dy
dx
+ y = 1      (y ≠ 1)
ઉકેલ: y ને જમણી બાજુ લઈ જતાં:
dy
dx
= 1 – y  ⇒ 
dy
1 – y
= dx
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫
1
1 – y
dy = ∫ 1 dx
(નોંધ: 1-y નું વિકલન -1 થાય છે, તેથી છેદનું વિકલન અંશમાં ગોઠવવા -1 વડે ગુણવું પડે):
– log|1 – y| = x + C  ⇒  log|1 – y| = –x – C
લઘુગુણક દૂર કરતા:
1 – y = ± e-x-C = e-x · e-C
અહીં ± e-C ને નવો અચળાંક A ધારીએ:
1 – y = A e-x  ⇒  y = 1 – A e-x
✅ જવાબ: y = 1 + A e-x   (જ્યાં નવો અચળાંક A = -A લઈ શકાય)
પ્રશ્ન 4: sec2 x tan y dx + sec2 y tan x dy = 0
ઉકેલ: આખા સમીકરણને tan x · tan y વડે ભાગતા ચલો અલગ પડશે:
sec2 x tan y
tan x tan y
dx +
sec2 y tan x
tan x tan y
dy = 0
sec2 x
tan x
dx +
sec2 y
tan y
dy = 0
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫
sec2 x
tan x
dx + ∫
sec2 y
tan y
dy = 0
બંને પદોમાં છેદનું વિકલન અંશમાં હાજર છે. (d/dx(tan x) = sec2 x).
તેથી સંકલન થશે (અચળાંકને પણ log C ધારીએ):
log|tan x| + log|tan y| = log|C|
log|tan x · tan y| = log|C|
✅ જવાબ: tan x · tan y = C
પ્રશ્ન 5: (ex + e-x) dy – (ex – e-x) dx = 0
ઉકેલ: ચલને અલગ કરતાં dx વાળું પદ જમણી બાજુ લઈ જઈએ:
(ex + e-x) dy = (ex – e-x) dx
dy =
ex – e-x
ex + e-x
dx
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫ dy = ∫
ex – e-x
ex + e-x
dx
અહીં છેદ (ex + e-x) નું વિકલન (ex – e-x) થાય છે, જે અંશમાં છે.
✅ જવાબ: y = log(ex + e-x) + C
પ્રશ્ન 6:
dy
dx
= (1 + x2) (1 + y2)
ઉકેલ: y અને x વાળા પદો અલગ કરતા:
dy
1 + y2
= (1 + x2) dx
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫
1
1 + y2
dy = ∫ (1 + x2) dx
tan-1 y = x +
x3
3
+ C
✅ જવાબ: tan-1 y = x +
x3
3
+ C
પ્રશ્ન 7: y log y dx – x dy = 0
ઉકેલ: પદોને ડાબી-જમણી બાજુ ગોઠવતા:
y log y dx = x dy  ⇒ 
dx
x
=
dy
y log y
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫
1
x
dx = ∫
1/y
log y
dy
જમણી બાજુ છેદમાં log y છે અને તેનું વિકલન 1/y અંશમાં છે.
log|x| + log|C| = log|log y|
log|Cx| = log|log y|  ⇒  log y = Cx
લઘુગુણક દૂર કરતા:
✅ જવાબ: y = eCx
પ્રશ્ન 8: x5
dy
dx
= – y5
ઉકેલ: ચલ અલગ કરતા:
dy
y5
= –
dx
x5
 ⇒  y-5 dy = – x-5 dx
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫ y-5 dy = – ∫ x-5 dx
y-4
-4
= – (
x-4
-4
) + C
–
1
4y4
=
1
4x4
+ C  ⇒ 
1
x4
+
1
y4
= -4C
નવો અચળાંક C’ લેતાં:
✅ જવાબ: x-4 + y-4 = C
પ્રશ્ન 9:
dy
dx
= sin-1 x
ઉકેલ: dy = sin-1 x dx. બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫ dy = ∫ sin-1 x · 1 dx
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) વાપરતા: u = sin-1 x અને v = 1.
y = sin-1 x · x – ∫ [
1
√1 – x2
· x ] dx
બીજા પદમાં છેદનું વિકલન -2x થાય છે, તેથી 2 વડે ગુણી-ભાગીશું:
y = x sin-1 x +
1
2
∫
-2x
√1 – x2
dx
સૂત્ર ∫
f'(x)
√f(x)
dx = 2√f(x) મુજબ:
y = x sin-1 x +
1
2
[ 2√1 – x2 ] + C
✅ જવાબ: y = x sin-1 x + √1 – x2 + C
પ્રશ્ન 10: ex tan y dx + (1 – ex) sec2 y dy = 0
ઉકેલ: ચલ અલગ કરવા પદોને tan y (1 – ex) વડે ભાગતાં:
ex
1 – ex
dx +
sec2 y
tan y
dy = 0
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫
ex
1 – ex
dx + ∫
sec2 y
tan y
dy = 0
પ્રથમ પદમાં છેદ 1-ex નું વિકલન –ex થાય છે (તેથી માઇનસ વડે ગુણીશું) અને બીજા પદમાં છેદ tan y નું વિકલન sec2 y અંશમાં છે:
– ∫
–ex
1 – ex
dx + ∫
sec2 y
tan y
dy = log C
– log|1 – ex| + log|tan y| = log C
log |
tan y
1 – ex
| = log C
✅ જવાબ: tan y = C (1 – ex)
આપેલ શરતને આધીન વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ મેળવો
પ્રશ્ન 11: (x3 + x2 + x + 1)
dy
dx
= 2x2 + x ; જ્યારે x = 0 ત્યારે y = 1.
ઉકેલ: સૌથી પહેલા ચલને અલગ કરીએ (Variable Separable):
dy =
2x2 + x
x3 + x2 + x + 1
dx
છેદના અવયવ પાડીએ: x2(x + 1) + 1(x + 1) = (x + 1)(x2 + 1)
dy =
2x2 + x
(x + 1)(x2 + 1)
dx
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫ dy = ∫
2x2 + x
(x + 1)(x2 + 1)
dx
આંશિક અપૂર્ણાંક લેતાં:
2x2 + x
(x + 1)(x2 + 1)
=
A
x + 1
+
Bx + C
x2 + 1
2x2 + x = A(x2 + 1) + (Bx + C)(x + 1)
A, B અને C ની કિંમતો શોધવા:
  • જો x = -1 મૂકીએ: 2(1) – 1 = A(2)  ⇒  1 = 2A  ⇒  A = 1/2
  • x2 ના સહગુણકો સરખાવતાં: 2 = A + B  ⇒  2 = 1/2 + B  ⇒  B = 3/2
  • અચળ પદો સરખાવતાં (x = 0): 0 = A + C  ⇒  0 = 1/2 + C  ⇒  C = -1/2
હવે સંકલનમાં કિંમતો મૂકતાં:
y = ∫ [
1/2
x + 1
+
(3/2)x – 1/2
x2 + 1
] dx
y =
1
2
∫
1
x + 1
dx +
3
4
∫
2x
x2 + 1
dx –
1
2
∫
1
x2 + 1
dx
(નોંધ: બીજા પદમાં છેદનું વિકલન 2x થાય છે, તેથી 2 વડે ગુણી અને ભાગ્યા છે).
y =
1
2
log|x + 1| +
3
4
log|x2 + 1| –
1
2
tan-1 x + c     …….. (પરિણામ 1)
શરતનો ઉપયોગ:
આપેલ છે કે જ્યારે x = 0 હોય, ત્યારે y = 1 છે. આ કિંમતો પરિણામ (1) માં મૂકતાં:
1 =
1
2
log(1) +
3
4
log(1) –
1
2
tan-1(0) + c
આપણે જાણીએ છીએ કે log(1) = 0 અને tan-1(0) = 0 થાય છે.
1 = 0 + 0 – 0 + c  ⇒  c = 1
c ની આ કિંમત પરિણામ (1) માં પાછી મૂકતા માંગેલ વિશિષ્ટ ઉકેલ મળશે:
✅ જવાબ: y =
1
2
log|x + 1| +
3
4
log(x2 + 1) –
1
2
tan-1 x + 1
પ્રશ્ન 12: x (x2 – 1)
dy
dx
= 1 ; જ્યારે x = 2 ત્યારે y = 0.
ઉકેલ: ચલને અલગ કરતા (Variable Separable):
dy =
1
x (x2 – 1)
dx =
1
x (x – 1) (x + 1)
dx
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫ dy = ∫
1
x (x – 1) (x + 1)
dx
આંશિક અપૂર્ણાંક લેતાં:
1
x (x – 1) (x + 1)
=
A
x
+
B
x – 1
+
C
x + 1
1 = A(x – 1)(x + 1) + B(x)(x + 1) + C(x)(x – 1)
A, B અને C ની કિંમતો શોધવા:
  • જો x = 0 મૂકીએ: 1 = A(-1)(1)  ⇒  -A = 1  ⇒  A = -1
  • જો x = 1 મૂકીએ: 1 = B(1)(2)  ⇒  2B = 1  ⇒  B = 1/2
  • જો x = -1 મૂકીએ: 1 = C(-1)(-2)  ⇒  2C = 1  ⇒  C = 1/2
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતાં:
y = ∫ [ –
1
x
+
1/2
x – 1
+
1/2
x + 1
] dx
y = – log|x| +
1
2
log|x – 1| +
1
2
log|x + 1| + c
લઘુગુણકના નિયમોનો ઉપયોગ કરી સાદુંરૂપ આપતા:
y =
1
2
[ log|x – 1| + log|x + 1| – 2 log|x| ] + c
y =
1
2
log |
(x – 1)(x + 1)
x2
| + c =
1
2
log |
x2 – 1
x2
| + c     …….. (પરિણામ 1)
શરતનો ઉપયોગ:
આપેલ છે કે જ્યારે x = 2 હોય, ત્યારે y = 0 છે.
0 =
1
2
log |
22 – 1
22
| + c
0 =
1
2
log (
3
4
) + c  ⇒  c = –
1
2
log (
3
4
)
c ની કિંમત પાછી મૂકતા:
y =
1
2
log |
x2 – 1
x2
| –
1
2
log (
3
4
)
જોઈએ તો તેને ભેગું પણ કરી શકાય: y =
1
2
log |
4(x2 – 1)
3x2
|
✅ જવાબ: y =
1
2
log |
x2 – 1
x2
| –
1
2
log (
3
4
)
વિકલ સમીકરણ : વિશિષ્ટ ઉકેલ અને કૂટપ્રશ્નો (પ્રશ્ન 13 થી 22)
પ્રશ્ન 13: cos(
dy
dx
) = a (a ∈ [-1, 1]); જ્યારે x = 0 ત્યારે y = 2.
ઉકેલ: આપેલ સમીકરણ: cos(
dy
dx
) = a
dy
dx
= cos-1(a)
ચલ છૂટા પાડતાં:
dy = cos-1(a) dx
બંને બાજુ સંકલન કરતાં (અહીં cos-1(a) અચળ છે):
∫ 1 dy = cos-1(a) ∫ 1 dx
y = x cos-1(a) + C   … (સમીકરણ 1)
આપેલ શરત મુજબ x = 0 ત્યારે y = 2 મૂકતાં:
2 = 0 · cos-1(a) + C  ⇒  C = 2
C ની કિંમત સમીકરણ 1 માં મૂકતાં:
y = x cos-1(a) + 2
y – 2 = x cos-1(a)
y – 2
x
= cos-1(a)
✅ જવાબ: cos(
y – 2
x
) = a
પ્રશ્ન 14:
dy
dx
= y tan x ; જ્યારે x = 0 ત્યારે y = 1.
ઉકેલ: ચલ છૂટા પાડતાં:
dy
y
= tan x dx
બંને બાજુ સંકલન કરતાં:
∫
1
y
dy = ∫ tan x dx
log|y| = log|sec x| + C   … (સમીકરણ 1)
આપેલ શરત મુજબ x = 0 ત્યારે y = 1 મૂકતાં:
log|1| = log|sec 0| + C
0 = log|1| + C  ⇒  0 = 0 + C  ⇒  C = 0
C ની કિંમત સમીકરણ 1 માં મૂકતાં:
log|y| = log|sec x|
y = sec x
✅ જવાબ: y = sec x
પ્રશ્ન 15: જેનું વિકલ સમીકરણ y’ = ex sin x હોય તેવા બિંદુ (0, 0) માંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શોધો.
ઉકેલ: આપેલ સમીકરણ y’ = ex sin x એટલે કે dy = ex sin x dx.
બંને બાજુ સંકલન કરતાં:
y = ∫ ex sin x dx
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) નો ઉપયોગ કરતાં. ધારો કે I = ∫ ex sin x dx.
I = sin x · ex – ∫ (cos x) ex dx
ફરીથી ખંડશઃ સંકલન લેતાં:
I = ex sin x – [ cos x · ex – ∫ (-sin x) ex dx ]
I = ex sin x – ex cos x – ∫ ex sin x dx
I = ex (sin x – cos x) – I
2I = ex (sin x – cos x)  ⇒  I =
ex
2
(sin x – cos x)
તેથી વ્યાપક ઉકેલ: y =
ex
2
(sin x – cos x) + C
વક્ર (0, 0) માંથી પસાર થાય છે, તેથી x = 0, y = 0 મૂકતાં:
0 =
e0
2
(sin 0 – cos 0) + C
0 =
1
2
(0 – 1) + C  ⇒  C =
1
2
✅ જવાબ: y =
ex
2
(sin x – cos x) +
1
2
 ⇒  2y = ex(sin x – cos x) + 1
પ્રશ્ન 16: બિંદુ (1, -1) માંથી પસાર થતો વિકલ સમીકરણ xy
dy
dx
= (x + 2)(y + 2) નો ઉકેલ વક્ર શોધો.
ઉકેલ: ચલ છૂટા પાડતાં:
y
y + 2
dy =
x + 2
x
dx
અંશમાં પદ ગોઠવતાં:
(y + 2) – 2
y + 2
dy = ( 1 +
2
x
) dx

( 1 –
2
y + 2
) dy = ( 1 +
2
x
) dx
બંને બાજુ સંકલન કરતાં:
y – 2 log|y + 2| = x + 2 log|x| + C   … (સમીકરણ 1)
વક્ર (1, -1) માંથી પસાર થાય છે, તેથી x = 1, y = -1 મૂકતાં:
-1 – 2 log|-1 + 2| = 1 + 2 log|1| + C
-1 – 2 log(1) = 1 + 0 + C
-1 – 0 = 1 + C  ⇒  C = -2
C ની કિંમત સમીકરણ 1 માં મૂકતાં:
y – 2 log|y + 2| = x + 2 log|x| – 2
y – x + 2 = 2 log|x| + 2 log|y + 2|
✅ જવાબ: y – x + 2 = 2 log|x(y + 2)|
પ્રશ્ન 17: જે વક્રના કોઈ પણ બિંદુ (x, y) આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ અને તે બિંદુના y યામનો ગુણાકાર તે બિંદુના x યામ જેટલો હોય, તથા (0, -2) માંથી પસાર થાય તો તે વક્રનું સમીકરણ શોધો.
ઉકેલ: સ્પર્શકનો ઢાળ =
dy
dx
. પ્રશ્ન મુજબ:
y ·
dy
dx
= x
ચલ છૂટા પાડતાં અને સંકલન કરતાં:
∫ y dy = ∫ x dx
y2
2
=
x2
2
+ C
y2 – x2 = 2C
વક્ર (0, -2) માંથી પસાર થાય છે:
(-2)2 – (0)2 = 2C  ⇒  4 = 2C
2C = 4 ને સમીકરણમાં મૂકતાં:
✅ જવાબ: y2 – x2 = 4
પ્રશ્ન 18: વક્રના કોઈ પણ બિંદુ (x, y) આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ એ સ્પર્શબિંદુ અને બિંદુ (-4, -3) માંથી પસાર થતી રેખાના ઢાળ કરતાં બમણો છે. વક્ર (-2, 1) માંથી પસાર થતો હોય, તો આ વક્રનું સમીકરણ શોધો.
ઉકેલ: સ્પર્શકનો ઢાળ =
dy
dx
.
(x, y) અને (-4, -3) ને જોડતી રેખાનો ઢાળ =
y – (-3)
x – (-4)
=
y + 3
x + 4
.
શરત મુજબ:
dy
dx
= 2 (
y + 3
x + 4
)
ચલ છૂટા પાડતાં:
dy
y + 3
= 2
dx
x + 4
સંકલન કરતાં:
log|y + 3| = 2 log|x + 4| + log C
log|y + 3| = log(x + 4)2 + log C
log|y + 3| = log( C(x + 4)2 )
y + 3 = C(x + 4)2   … (સમીકરણ 1)
વક્ર (-2, 1) માંથી પસાર થાય છે:
1 + 3 = C(-2 + 4)2  ⇒  4 = C(2)2  ⇒  4 = 4C  ⇒  C = 1
C = 1 મૂકતાં:
✅ જવાબ: y + 3 = (x + 4)2
પ્રશ્ન 19: ગોળાકાર બલૂનમાં એવી રીતે હવા ભરવામાં આવે છે કે, તેનું ઘનફળ ચોક્કસ દરથી વધે છે. જો શરૂઆતમાં તેની ત્રિજ્યા 3 એકમ હોય અને 3 સેકન્ડ પછી તે 6 એકમ હોય તો t સેકન્ડ પછી બલૂનની ત્રિજ્યા શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે ઘનફળ V છે. ઘનફળ ચોક્કસ દરથી વધે છે તેથી
dV
dt
= k (જ્યાં k અચળ છે).
બલૂન ગોળાકાર હોવાથી V =
4
3
π r3.
d
dt
(
4
3
π r3 ) = k

4
3
π (3r2)
dr
dt
= k  ⇒  4π r2 dr = k dt
સંકલન કરતાં:
4π
r3
3
= kt + C   … (સમીકરણ 1)
શરત 1: શરૂઆતમાં (t = 0), ત્રિજ્યા r = 3.
4π(3)3
3
= k(0) + C  ⇒ 
4π(27)
3
= C  ⇒  C = 36π
શરત 2: 3 સેકન્ડ પછી (t = 3), ત્રિજ્યા r = 6.
4π(6)3
3
= k(3) + 36π  ⇒ 
4π(216)
3
= 3k + 36π
288π = 3k + 36π  ⇒  3k = 252π  ⇒  k = 84π
C અને k ની કિંમત સમીકરણ 1 માં મૂકતાં:
4π r3
3
= 84π t + 36π
બંને બાજુ 4π વડે ભાગતાં:
r3
3
= 21t + 9  ⇒  r3 = 63t + 27
✅ જવાબ: r = (63t + 27)1/3
પ્રશ્ન 20: બેન્કમાં રાખેલ મુદ્દલ વાર્ષિક r % ના દરે સતત વધી રહ્યું છે. જો 10 વર્ષમાં બેન્કમાં મૂકેલા ₹ 100 બમણા થતા હોય તો r ની કિંમત શોધો. (loge 2 = 0.6931)
ઉકેલ: ધારો કે કોઈપણ સમયે t (વર્ષમાં) બેન્કમાં રહેલ મુદ્દલ P છે.
આપેલ શરત મુજબ મુદ્દલના વધવાનો દર વાર્ષિક r % છે. વિકલ સમીકરણના સ્વરૂપમાં લખતાં:
dP
dt
=
r
100
× P
વિઓજનીય ચલની રીતથી ચલ અલગ કરતા:
dP
P
=
r
100
dt
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫
1
P
dP = ∫
r
100
dt
loge P =
r · t
100
+ C     …….. (સમીકરણ 1)
શરત 1 નો ઉપયોગ:
શરૂઆતમાં (જ્યારે t = 0 હોય), ત્યારે મુદ્દલ P = 100 છે. આ કિંમતો સમીકરણ (1) માં મૂકતાં:
loge(100) =
r(0)
100
+ C  ⇒  C = loge(100)
C ની આ કિંમત સમીકરણ (1) માં પાછી મૂકતા:
loge P =
r · t
100
+ loge(100)
loge P – loge 100 =
r · t
100
 ⇒  loge (
P
100
) =
r · t
100
    …….. (સમીકરણ 2)
શરત 2 નો ઉપયોગ:
10 વર્ષ પછી (એટલે કે t = 10), મુદ્દલ બમણું થાય છે એટલે કે P = 200 થશે. આ કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતાં:
loge (
200
100
) =
r × 10
100
loge(2) =
r
10
રકમમાં આપેલ છે કે loge 2 = 0.6931. તેથી:
0.6931 =
r
10
 ⇒  r = 0.6931 × 10
✅ જવાબ: r = 6.931 %
પ્રશ્ન 21: બેન્કમાં રાખેલ મુદ્દલ વાર્ષિક 5 % ના દરે સતત વધી રહ્યું છે. બેન્કમાં ₹ 1000 થાપણ તરીકે મૂક્યા છે, તો 10 વર્ષ પછી તે કેટલા થશે ? (e0.5 = 1.648)
ઉકેલ: ધારો કે સમયે t બેન્કમાં રહેલ મુદ્દલ P છે.
મુદ્દલ વધવાનો દર 5 % છે, તેથી વિકલ સમીકરણ:
dP
dt
=
5
100
P = 0.05 P
ચલ અલગ કરીને સંકલન કરતા:
dP
P
= 0.05 dt  ⇒  ∫
1
P
dP = ∫ 0.05 dt
loge P = 0.05 t + C
લઘુગુણક દૂર કરતા (ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા):
P = e0.05 t + C = e0.05 t · eC
અચળાંક eC ને A ધારી લઈએ:
P = A e0.05 t     …….. (સમીકરણ 1)
શરૂઆતની શરત:
થાપણ તરીકે ₹ 1000 મૂક્યા છે, એટલે કે t = 0 સમયે P = 1000.
1000 = A · e0.05(0)  ⇒  1000 = A · e0  ⇒  A = 1000
તેથી સમીકરણ થશે: P = 1000 e0.05 t
10 વર્ષ પછીની ગણતરી:
જ્યારે t = 10 વર્ષ હોય, ત્યારે મુદ્દલ P કેટલું?
P = 1000 · e0.05 × 10
P = 1000 · e0.5
રકમમાં આપેલ છે કે e0.5 = 1.648. આ કિંમત મૂકતાં:
P = 1000 × 1.648 = 1648
✅ જવાબ: 10 વર્ષ પછી બેન્કમાં ₹ 1648 થશે.
પ્રશ્ન 22: એક સંવર્ધન કેન્દ્રમાં બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા 1,00,000 છે. 2 કલાકમાં તેની સંખ્યા 10 % ના દરે વધે છે. જો બૅક્ટેરિયાનો વૃદ્ધિ-દર કોઈ પણ સમયે હાજર બૅક્ટેરિયાની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય, તો કેટલા કલાકમાં તેની સંખ્યા 2,00,000 થશે ?
ઉકેલ: ધારો કે સમય t એ બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા N છે. વૃદ્ધિ-દર N ના પ્રમાણમાં છે:
dN
dt
= k N
સંકલન કરતાં:
log N = k t + C  ⇒  N = N0 ek t (જ્યાં N0 એ t=0 સમયે સંખ્યા છે).
આપેલ છે: શરૂઆતમાં N0 = 1,00,000.
2 કલાક પછી (t = 2), સંખ્યામાં 10% નો વધારો થાય છે. 1,00,000 ના 10% = 10,000. તેથી નવી સંખ્યા N = 1,10,000.
110000 = 100000 e2k
11
10
= e2k  ⇒  2k = loge(1.1)  ⇒  k =
1
2
loge(1.1)
હવે આપણે એ સમય t શોધવાનો છે જ્યારે N = 2,00,000 થાય.
200000 = 100000 ek t
2 = ek t  ⇒  kt = loge 2
k ની કિંમત મૂકતાં:
[
1
2
loge(1.1) ] t = loge 2
t =
2 loge 2
loge(1.1)
✅ જવાબ: t =
2 loge 2
loge(1.1)
કલાકમાં બૅક્ટેરિયા 2,00,000 થશે.
💡 સમીકરણ કેવી રીતે બને છે? (વિગતવાર સમજૂતી)
દાખલાની રકમમાં એક ખૂબ જ અગત્યનું વાક્ય આપેલું છે: “બૅન્કમાં રાખેલ મુદ્દલ વાર્ષિક r % ના દરે સતત વધી રહ્યું છે.”
ચાલો આ વાક્યના બે ભાગ પાડીએ અને તેને ગણિતની ભાષામાં લખીએ:
  • ભાગ 1: “સતત વધી રહ્યું છે” (ફેરફારનો દર)
    વિકલનના નિયમ મુજબ, જ્યારે પણ કોઈ વસ્તુ સમય (t) ની સાથે બદલાતી હોય (વધતી કે ઘટતી હોય), ત્યારે તેને આપણે વિકલિત d/dt વડે દર્શાવીએ છીએ.
    અહીં બેંકમાં રહેલું મુદ્દલ (પ્રિન્સિપલ – P) સમય સાથે વધે છે.
    તેથી, મુદ્દલ વધવાનો દર =
    dP
    dt
     થશે.
  • ભાગ 2: “વાર્ષિક r % ના દરે” (કેટલું વધે છે?)
    બેંકમાં વ્યાજ હંમેશા તમારા ખાતામાં રહેલી હાલની રકમ (એટલે કે P) પર જ મળે છે. જો વ્યાજનો દર r % હોય, તો તમને P ના r ટકા જેટલા પૈસા મળશે.
    P ના r % = P ×
    r
    100
હવે આ બંને ભાગને સરખાવી દઈએ! કારણ કે, મુદ્દલ જે દરે વધે છે (dP/dt), તે ખરેખર તો મળતું વ્યાજ (P ના r%) જ છે.
dP
dt
=
r
100
P
બસ! આ રીતે આપણું પ્રથમ વિકલ સમીકરણ બને છે. દાખલા 20 માં r શોધવાનો છે અને દાખલા 21 માં r = 5 સીધું આપી દીધું છે.
પ્રશ્ન 20: બૅન્કમાં રાખેલ મુદ્દલ વાર્ષિક r % ના દરે સતત વધી રહ્યું છે. જો 10 વર્ષમાં બૅન્કમાં મૂકેલા ₹ 100 બમણા થતા હોય તો r ની કિંમત શોધો. (loge 2 = 0.6931)
ઉકેલ: ધારો કે મુદ્દલ P છે. તે r % ના દરે વધે છે. આપણે ઉપર સમજ્યા તે મુજબ વિકલ સમીકરણ:
dP
dt
=
r
100
P
હવે P વાળા પદો ડાબી બાજુ અને t વાળા પદો જમણી બાજુ લઈ જઈએ (ચલ વિયોજનીય રીત):
1
P
dP =
r
100
dt
બંને બાજુ સંકલન કરતાં:
∫
1
P
dP = ∫
r
100
dt
અહીં r/100 અચળ છે, 1/P નું સંકલન log P થાય:
log P =
r t
100
+ C   … (સમીકરણ 1)
શરત 1 નો ઉપયોગ:
શરૂઆતમાં (સમય t = 0), બૅન્કમાં ₹ 100 મૂક્યા છે (એટલે P = 100).
log 100 =
r (0)
100
+ C  ⇒  C = log 100
આ C ની કિંમત સમીકરણ 1 માં પાછી મૂકીએ:
log P =
r t
100
+ log 100

log P – log 100 =
r t
100
લોગના નિયમ મુજબ (log A – log B = log(A/B)):
log (
P
100
) =
r t
100
શરત 2 નો ઉપયોગ:
10 વર્ષમાં (t = 10), મુદ્દલ બમણું થાય છે એટલે 100 ના ₹ 200 થાય છે (P = 200).
log (
200
100
) =
r (10)
100


log 2 =
r
10
રકમમાં log 2 = 0.6931 આપેલું છે:
0.6931 =
r
10
 ⇒  r = 0.6931 × 10 = 6.931
✅ જવાબ: r ની કિંમત 6.931 % છે.
પ્રશ્ન 21: બૅન્કમાં રાખેલ મુદ્દલ વાર્ષિક 5 % ના દરે સતત વધી રહ્યું છે. બૅન્કમાં ₹ 1000 થાપણ તરીકે મૂક્યા છે, તો 10 વર્ષ પછી તે કેટલા થશે ? (e0.5 = 1.648)
ઉકેલ: અહીં આપણને વ્યાજનો દર r = 5 આપી દીધો છે. આપણું પાયાનું સમીકરણ વાપરીએ:
dP
dt
=
5
100
P = 0.05 P
ચલ છૂટા પાડી સંકલન કરતાં:
1
P
dP = 0.05 dt

∫
1
P
dP = ∫ 0.05 dt

log P = 0.05 t + C   … (સમીકરણ 1)
શરત 1 નો ઉપયોગ:
શરૂઆતમાં (t = 0), બૅન્કમાં ₹ 1000 મૂક્યા છે (P = 1000).
log 1000 = 0.05(0) + C  ⇒  C = log 1000
આ સમીકરણ 1 માં મૂકીએ:
log P = 0.05 t + log 1000

log P – log 1000 = 0.05 t

log (
P
1000
) = 0.05 t
લઘુગણક (log) ને સામેની બાજુ મોકલીએ તો તે e ની ઘાત બની જાય છે:
P
1000
= e0.05 t  ⇒  P = 1000 e0.05 t
શરત 2 નો ઉપયોગ:
10 વર્ષ પછી એટલે કે t = 10 મૂકતાં:
P = 1000 e0.05(10)

P = 1000 e0.5
રકમમાં e0.5 = 1.648 આપેલું છે, તે કિંમત મૂકતાં:
P = 1000 × 1.648 = 1648
✅ જવાબ: 10 વર્ષ પછી મુદ્દલ ₹ 1648 થશે.

સ્વાધ્યાય 9.4

સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણો (પ્રશ્નો 1 થી 4)
સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણની રીત:
આપેલ સમીકરણને
dy
dx
= f(x, y) સ્વરૂપે લખો. જો f(λx, λy) = λ0 f(x, y) થાય, તો તે સમપરિમાણ (Homogeneous) કહેવાય.
તેના ઉકેલ માટે y = vx આદેશ લેવામાં આવે છે, જેથી
dy
dx
= v + x
dv
dx
 થાય.
પ્રશ્ન 1: (x2 + xy) dy = (x2 + y2) dx
ઉકેલ: આપેલ સમીકરણને
dy
dx
ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
dy
dx
=
x2 + y2
x2 + xy
    …….. (1)
અહીં અંશ અને છેદ દરેક પદની ઘાત સમાન (2) હોવાથી આ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે y = vx. x પ્રત્યે વિકલન કરતા:
dy
dx
= v + x
dv
dx
આ કિંમતો સમીકરણ (1) માં મૂકતાં:
v + x
dv
dx
 =
x2 + (vx)2
x2 + x(vx)
=
x2(1 + v2)
x2(1 + v)
=
1 + v2
1 + v
v ને જમણી બાજુ લઈ જતા:
x
dv
dx
 =
1 + v2
1 + v
– v =
1 + v2 – v – v2
1 + v
=
1 – v
1 + v
ચલ અલગ કરતા (Variable Separable):
1 + v
1 – v
dv =
dx
x
ડાબી બાજુ અંશને ગોઠવતા: 1 + v = – (1 – v) + 2
[
2
1 – v
– 1 ] dv =
dx
x
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫ [
2
1 – v
– 1 ] dv = ∫
1
x
dx
ધ્યાન આપો કે (1 – v) નું વિકલન -1 થાય, તેથી -2 આવશે:
-2 log|1 – v| – v = log|x| + C
હવે v ની જગ્યાએ
y
x
પાછું મૂકતાં:
-2 log| 1 –
y
x
| –
y
x
= log|x| + C
-2 log|
x – y
x
| –
y
x
= log|x| + C
-2 log|x – y| + 2 log|x| –
y
x
= log|x| + C
✅ જવાબ: log|x| – 2 log|x – y| –
y
x
= C
પ્રશ્ન 2: y’ =
x + y
x
ઉકેલ: સમીકરણને
dy
dx
ના સ્વરૂપમાં લખતા:
dy
dx
=
x
x
+
y
x
= 1 +
y
x
આ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે y = vx  ⇒ 
dy
dx
= v + x
dv
dx
v + x
dv
dx
 = 1 + v
x
dv
dx
 = 1  ⇒  dv =
dx
x
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫ dv = ∫
1
x
dx
v = log|x| + C
v ની કિંમત
y
x
પાછી મૂકતાં:
y
x
= log|x| + C
✅ જવાબ: y = x log|x| + Cx
પ્રશ્ન 3: (x – y) dy – (x + y) dx = 0
ઉકેલ: પદોને ગોઠવતા:
(x – y) dy = (x + y) dx  ⇒ 
dy
dx
=
x + y
x – y
આ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે y = vx  ⇒ 
dy
dx
= v + x
dv
dx
v + x
dv
dx
 =
x + vx
x – vx
=
1 + v
1 – v
x
dv
dx
 =
1 + v
1 – v
– v =
1 + v – v + v2
1 – v
=
1 + v2
1 – v
ચલ અલગ કરતા:
1 – v
1 + v2
dv =
dx
x
[
1
1 + v2
–
v
1 + v2
] dv =
dx
x
બંને બાજુ સંકલન કરતા (બીજા પદ માટે છેદનું વિકલન 2v સેટ કરવા 2 વડે ભાગીશું):
tan-1 v –
1
2
log(1 + v2) = log|x| + C
v ની કિંમત
y
x
પાછી મૂકતાં:
tan-1(
y
x
) –
1
2
log( 1 +
y2
x2
) = log|x| + C
tan-1(
y
x
) –
1
2
log(
x2 + y2
x2
) = log|x| + C
tan-1(
y
x
) –
1
2
log(x2 + y2) + log|x| = log|x| + C
✅ જવાબ: tan-1(
y
x
) =
1
2
log(x2 + y2) + C
પ્રશ્ન 4: (x2 – y2) dx + 2xy dy = 0
ઉકેલ: પદોને ગોઠવતા:
2xy dy = -(x2 – y2) dx = (y2 – x2) dx
dy
dx
=
y2 – x2
2xy
આ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે y = vx  ⇒ 
dy
dx
= v + x
dv
dx
v + x
dv
dx
 =
v2x2 – x2
2x(vx)
=
v2 – 1
2v
x
dv
dx
 =
v2 – 1
2v
– v =
v2 – 1 – 2v2
2v
=
-1 – v2
2v
= –
v2 + 1
2v
ચલ અલગ કરતા:
2v
v2 + 1
dv = –
dx
x
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫
2v
v2 + 1
dv = – ∫
1
x
dx
log(v2 + 1) = – log|x| + log C
log(
y2
x2
+ 1) = log(
C
x
)
log(
x2 + y2
x2
) = log(
C
x
)
લઘુગુણક દૂર કરતા:
x2 + y2
x2
=
C
x
 ⇒  x2 + y2 = Cx
✅ જવાબ: x2 + y2 = Cx
પ્રશ્ન 5: x2
dy
dx
= x2 – 2y2 + xy
ઉકેલ: સમીકરણને
dy
dx
ના સ્વરૂપમાં લખતા:
dy
dx
=
x2 – 2y2 + xy
x2
દરેક પદને x2 વડે ભાગતાં:
dy
dx
= 1 – 2 (
y
x
)2 +
y
x
    …….. (1)
આ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે y = vx  ⇒ 
dy
dx
= v + x
dv
dx
આ કિંમતો સમીકરણ (1) માં મૂકતાં:
v + x
dv
dx
 = 1 – 2v2 + v
x
dv
dx
 = 1 – 2v2 + v – v  ⇒  x
dv
dx
 = 1 – 2v2
ચલ અલગ કરતા (Variable Separable):
1
1 – 2v2
dv =
dx
x
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫
1
1 – (√2v)2
dv = ∫
1
x
dx
સૂત્ર ∫
1
a2 – x2
dx =
1
2a
log|
a+x
a-x
| મુજબ (અહીં v નો સહગુણક √2 છે, તેથી તેના વડે ભાગવું પડશે):
1
√2
×
1
2(1)
log |
1 + √2 v
1 – √2 v
| = log|x| + C
1
2√2
log |
1 + √2 (y/x)
1 – √2 (y/x)
| = log|x| + C
લ.સા.અ. લેતાં:
✅ જવાબ:
1
2√2
log |
x + √2 y
x – √2 y
| = log|x| + C
પ્રશ્ન 6: x dy – y dx = √x2 + y2 dx
ઉકેલ: dx વાળા પદો ભેગા કરતા:
x dy = (y + √x2 + y2) dx
dy
dx
=
y + √x2 + y2
x
=
y
x
+ √ 1 + (
y
x
)2
આ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે y = vx  ⇒ 
dy
dx
= v + x
dv
dx
v + x
dv
dx
 = v + √1 + v2
x
dv
dx
 = √1 + v2
ચલ અલગ કરતા અને બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫
1
√v2 + 1
dv = ∫
1
x
dx
log | v + √v2 + 1 | = log|x| + log C
v ની કિંમત
y
x
પાછી મૂકતાં:
log |
y
x
+ √
y2
x2
+ 1 | = log|Cx|
log |
y + √y2 + x2
x
| = log|Cx|
બંને બાજુથી લઘુગુણક દૂર કરતા:
y + √x2 + y2
x
= Cx
✅ જવાબ: y + √x2 + y2 = Cx2
પ્રશ્ન 7: { x cos(y/x) + y sin(y/x) } y dx = { y sin(y/x) – x cos(y/x) } x dy
ઉકેલ: સમીકરણને
dy
dx
ના સ્વરૂપમાં લખતા:
dy
dx
=
y [ x cos(y/x) + y sin(y/x) ]
x [ y sin(y/x) – x cos(y/x) ]
અંશ અને છેદને x2 વડે ભાગતાં (અથવા કૌંસમાંથી x સામાન્ય કાઢતાં):
dy
dx
=
y
x
[ cos(y/x) +
y
x
sin(y/x) ]
[
y
x
sin(y/x) – cos(y/x) ]
આ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે y = vx  ⇒ 
dy
dx
= v + x
dv
dx
v + x
dv
dx
 =
v (cos v + v sin v)
v sin v – cos v
x
dv
dx
 =
v cos v + v2 sin v
v sin v – cos v
– v
x
dv
dx
 =
v cos v + v2 sin v – v2 sin v + v cos v
v sin v – cos v
=
2v cos v
v sin v – cos v
ચલ અલગ કરતા અને બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫
v sin v – cos v
v cos v
dv = ∫
2
x
dx
ડાબી બાજુ છેદ અલગ આપતા:
∫ (
sin v
cos v
–
1
v
) dv = 2 log|x| + log C
∫ tan v dv – ∫
1
v
dv = log(x2) + log C
– log|cos v| – log|v| = log(Cx2)
– log | v cos v | = log(Cx2)  ⇒  log |
1
v cos v
| = log(Cx2)
બંને બાજુથી લઘુગુણક દૂર કરતા:
1
v cos v
= Cx2  ⇒  v cos v · Cx2 = 1
v ની કિંમત
y
x
પાછી મૂકતાં:
(
y
x
) cos(y/x) · Cx2 = 1
Cxy cos(y/x) = 1
C ને જમણી બાજુ લઈ જતા નવો અચળાંક K = 1/C મળશે:
✅ જવાબ: xy cos(y/x) = K

પ્રકિર્ણ સ્વાધ્યાય MCQ 13, 14, 15

બહુવિકલ્પી પ્રશ્નો (MCQ 13 થી 15)
પ્રશ્ન 13: વિકલ સમીકરણ
y dx – x dy
y
= 0 નો વ્યાપક ઉકેલ ………

(A) xy = c            (B) x = cy2            (C) y = cx            (D) y = cx2
ઉકેલ: આપેલ સમીકરણ:
y dx – x dy
y
= 0
છેદના y ને જમણી બાજુ લઈ જતાં (0 સાથે ગુણાકાર 0 થશે):
y dx – x dy = 0  ⇒  y dx = x dy
ચલ અલગ કરતા (Variable Separable):
dy
y
=
dx
x
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
∫
1
y
dy = ∫
1
x
dx
log |y| = log |x| + log |c|
લઘુગુણકના નિયમ મુજબ:
log |y| = log |cx|  ⇒  y = cx
✅ સાચો વિકલ્પ: (C) y = cx
પ્રશ્ન 14:
dx
dy
+ P1x = Q1 પ્રકારના વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ ………

(A) y · e∫P1dy = ∫ (Q1 e∫P1dy) dy + c            (B) y · e∫P1dx = ∫ (Q1 e∫P1dx) dx + c

(C) x · e∫P1dy = ∫ (Q1 e∫P1dy) dy + c            (D) x · e∫P1dx = ∫ (Q1 e∫P1dx) dx + c
ઉકેલ: આ સુરેખ વિકલ સમીકરણ (Linear Differential Equation) નું પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે.
અહીં સમીકરણ
dx
dy
ના સ્વરૂપમાં છે, તેથી P1 અને Q1 એ y ના વિધેયો છે અથવા અચળ છે.
આવા સમીકરણ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor – IF) નીચે મુજબ મળે છે:
I.F. = e∫ P1 dy
આ સ્વરૂપના સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલનું સીધું સૂત્ર x · (I.F.) = ∫ (Q1 · I.F.) dy + c છે. તેમાં કિંમતો મૂકતાં:
x · e∫ P1 dy = ∫ ( Q1 e∫ P1 dy ) dy + c
✅ સાચો વિકલ્પ: (C) x · e∫P1dy = ∫ (Q1 e∫P1dy) dy + c
ધોરણ 12 ની 3 રીતો વડે દાખલા 15 નું વિશ્લેષણ
રકમ: ex dy + (y ex + 2x) dx = 0
રીત 1: વિયોજનીય ચલની રીત (Variable Separable) FAIL ❌
પ્રયત્ન: આપણે x વાળા પદો dx સાથે અને y વાળા પદો dy સાથે અલગ કરવાનો પ્રયત્ન કરીએ.
ex dy = -(y ex + 2x) dx
dy
dx
= – y –
2x
ex
dy = (- y – 2x e-x) dx
ભૂલ / સમસ્યા: જુઓ, જમણી બાજુના કૌંસમાં y અને x બંને ચલો સરવાળા/બાદબાકીથી જોડાયેલા છે. આપણે કોઈ પણ ગુણાકાર કે ભાગાકારની ક્રિયા વડે y ને dy બાજુ લઈ જઈ શકતા નથી. ચલો અલગ (Separate) થતા જ નથી! તેથી આ રીત અહીં કામ નહિ કરે.
રીત 2: સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ (Homogeneous DE) FAIL ❌
પ્રયત્ન: આપણે સમીકરણને
dy
dx
= f(x,y) સ્વરૂપમાં લખીએ.
dy
dx
=
– y ex – 2x
ex
ભૂલ / સમસ્યા: સમપરિમાણ હોવા માટે અંશ અને છેદના દરેક પદની ઘાત (Degree) સમાન હોવી જોઈએ. અહીં ex (ઘાતાંકીય વિધેય) હાજર છે, જે બહુપદી નથી. જો આપણે x ની જગ્યાએ λx અને y ની જગ્યાએ λy મૂકીએ, તો λ સામાન્ય (common) નીકળીને ઉડી જતો નથી. તેથી આ સમપરિમાણ સમીકરણ નથી અને y = vx ધારવાથી દાખલો નહિ થાય.
રીત 3: સુરેખ વિકલ સમીકરણ (Linear DE) PASS ✅
પ્રયત્ન: સમીકરણને
dy
dx
+ Py = Q સ્વરૂપમાં ગોઠવીએ.
ex
dy
dx
+ y ex + 2x = 0
દરેક પદને ex વડે ભાગતાં:
dy
dx
+ y +
2x
ex
= 0  ⇒ 
dy
dx
+ 1 · y = – 2x e-x
સફળતા: આ સમીકરણ બરાબર
dy
dx
+ Py = Q જેવું જ છે!
જ્યાં P = 1 અને Q = – 2x e-x છે.
ઉકેલના સ્ટેપ્સ:
સ્ટેપ 1: સંકલ્યકારક અવયવ (I.F.) શોધીએ:
I.F. = e∫ P dx = e∫ 1 dx = ex
સ્ટેપ 2: વ્યાપક ઉકેલનું સૂત્ર: y · (I.F.) = ∫ Q · (I.F.) dx + C
y · ex = ∫ (- 2x e-x) · ex dx + C
y ex = ∫ – 2x · (e0) dx + C = ∫ – 2x dx + C
y ex = – 2 (
x2
2
) + C
y ex = – x2 + C  ⇒  y ex + x2 = C
સ્માર્ટ શોર્ટકટ: સીધું વિકલન (Exact Differential)
જો MCQ માં પૂછાય તો આટલી લાંબી રીત કરવાની જરૂર નથી. સમીકરણ જુઓ:
ex dy + y ex dx + 2x dx = 0
પહેલા બે પદો એ ગુણાકારના નિયમ d(y ex) નું વિકલન છે!
d(y ex) + 2x dx = 0
સીધું જ બંને બાજુ સંકલન કરતાં:
y ex + x2 = C
આ માત્ર 2 સ્ટેપમાં જવાબ લાવી દે છે!

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *