સ્વાધ્યાય 7.1
પ્રશ્ન 13: બતાવો કે, ધન પૂર્ણાંક n માટે 9n+1 – 8n – 9 એ 64 વડે વિભાજ્ય છે.
ઉકેલ:
આ દાખલાને આપણે દ્વિપદી પ્રમેયની મદદથી ગણીશું.
આપણે 9 ને (1 + 8) તરીકે લખી શકીએ.
આ દાખલાને આપણે દ્વિપદી પ્રમેયની મદદથી ગણીશું.
આપણે 9 ને (1 + 8) તરીકે લખી શકીએ.
તેથી, 9n+1 = (1 + 8)n+1
હવે (1 + x)k નું વિસ્તરણ (Expansion – છૂટું પાડવું) કરવાનું સૂત્ર વાપરતાં:
(1 + 8)n+1 = n+1C0(8)0 + n+1C1(8)1 + n+1C2(8)2 + … + n+1Cn+1(8)n+1
આપણને ખબર છે કે n+1C0 = 1, (8)0 = 1 અને n+1C1 = n+1 થાય. આ કિંમતો મૂકતાં:
9n+1 = (1 × 1) + (n + 1)(8) + n+1C2(8)2 + n+1C3(8)3 + …
9n+1 = 1 + 8n + 8 + 82 [ n+1C2 + n+1C3(8) + … ]
9n+1 = 1 + 8n + 8 + 82 [ n+1C2 + n+1C3(8) + … ]
અહીં 1 + 8 = 9 થશે અને 82 = 64 થશે. કૌંસમાં રહેલી મોટી સંખ્યાને આપણે કોઈ એક પૂર્ણાંક ‘k’ માની લઈએ:
9n+1 = 8n + 9 + 64k
હવે આ કિંમત આપણા મૂળ પ્રશ્ન (9n+1 – 8n – 9) માં મૂકીએ:
= (8n + 9 + 64k) – 8n – 9
= 64k
= 64k
અહીં છેલ્લો જવાબ 64 ના ગુણાકારમાં આવે છે. કોઈપણ સંખ્યાને 64 વડે ગુણવામાં આવે તો તે હંમેશા 64 વડે ભાગી શકાય (વિભાજ્ય) હોય જ.
✅ જે સાબિત કરવાનું હતું તે મળી ગયું છે.
પ્રશ્ન 14: સાબિત કરો : ∑r=0n 3r × nCr = 4n
ઉકેલ:
આ દાખલો દ્વિપદી પ્રમેયના સામાન્ય સૂત્ર પરથી એકદમ સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.
આપણે (1 + x)n નું વિસ્તરણ કરવાનું સૂત્ર જાણીએ છીએ:
આ દાખલો દ્વિપદી પ્રમેયના સામાન્ય સૂત્ર પરથી એકદમ સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.
આપણે (1 + x)n નું વિસ્તરણ કરવાનું સૂત્ર જાણીએ છીએ:
(1 + x)n = nC0 + nC1x + nC2x2 + … + nCnxn
આ લાંબા સૂત્રને ટૂંકમાં સિગ્મા (∑ – એટલે કે બધા પદોનો સરવાળો) ની નિશાની વાપરીને આ રીતે લખી શકાય:
(1 + x)n = ∑r=0n nCr xr
હવે બંને બાજુ x = 3 મૂકતાં:
(1 + 3)n = ∑r=0n nCr (3)r
(4)n = ∑r=0n 3r × nCr
(4)n = ∑r=0n 3r × nCr
આપણે પદોને સહેજ આગળ-પાછળ કરીને લખીએ:
∑r=0n 3r × nCr = 4n
✅ જે સાબિત કરવાનું હતું તે મળી ગયું છે.
પ્રકીર્ણન સ્વાધ્યાય
પ્રશ્ન 1: જો a અને b ભિન્ન પૂર્ણાંક હોય, તો સાબિત કરો કે an – bn નો એક અવયવ a – b છે, જ્યાં n એ ધન પૂર્ણાંક છે.
[સૂચન: an = (a – b + b)n લઈ વિસ્તરણ કરો.]
[સૂચન: an = (a – b + b)n લઈ વિસ્તરણ કરો.]
ઉકેલ:
સૂચન મુજબ, આપણે a ને (a – b) + b સ્વરૂપે લખીશું અને દ્વિપદી પ્રમેયથી વિસ્તરણ કરીશું:
સૂચન મુજબ, આપણે a ને (a – b) + b સ્વરૂપે લખીશું અને દ્વિપદી પ્રમેયથી વિસ્તરણ કરીશું:
an = [ (a – b) + b ] n
an = nC0(a – b)nb0 + nC1(a – b)n-1b1 + … + nCn-1(a – b)1bn-1 + nCn(a – b)0bn
an = nC0(a – b)nb0 + nC1(a – b)n-1b1 + … + nCn-1(a – b)1bn-1 + nCn(a – b)0bn
આપણને ખબર છે કે nCn = 1 અને કોઈની પણ 0 ઘાત = 1 થાય. તેથી છેલ્લું પદ માત્ર bn વધશે. તેને બરાબરની ડાબી બાજુ લાવતાં:
an – bn = nC0(a – b)n + nC1(a – b)n-1b + … + nCn-1(a – b)bn-1
હવે ધ્યાનથી જુઓ, જમણી બાજુના દરેક પદમાં (a – b) સામાન્ય (Common) છે. તેને બહાર કાઢતાં:
an – bn = (a – b) [ (a – b)n-1 + nC1(a – b)n-2b + … + nCn-1bn-1 ]
કૌંસની અંદરની મોટી રકમને આપણે કોઈ એક પૂર્ણાંક ‘k’ ધારી લઈએ:
an – bn = (a – b) k
✅ આ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, (a – b) એ an – bn નો ગુણક (અવયવ) છે. સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 2: (√3 + √2)6 – (√3 – √2)6 ની કિંમત શોધો.
ઉકેલ:
આપણે પ્રમાણિત વિસ્તરણ સૂત્ર (x + y)n – (x – y)n = 2 [ nC1xn-1y + nC3xn-3y3 + … ] (એટલે કે માત્ર એકી ક્રમાંકવાળા પદોનો સરવાળો) નો ઉપયોગ કરીશું. અહીં n = 6 છે.
આપણે પ્રમાણિત વિસ્તરણ સૂત્ર (x + y)n – (x – y)n = 2 [ nC1xn-1y + nC3xn-3y3 + … ] (એટલે કે માત્ર એકી ક્રમાંકવાળા પદોનો સરવાળો) નો ઉપયોગ કરીશું. અહીં n = 6 છે.
(x + y)6 – (x – y)6 = 2 [ 6C1x5y + 6C3x3y3 + 6C5xy5 ]
હવે x = √3 અને y = √2 મુકતાં:
= 2 [ 6(√3)5(√2) + 20(√3)3(√2)3 + 6(√3)(√2)5 ]
વર્ગમૂળની ઘાતોનું સાદુંરૂપ આપીએ:
(√3)5 = 9√3, (√3)3 = 3√3, (√2)3 = 2√2, (√2)5 = 4√2
(√3)5 = 9√3, (√3)3 = 3√3, (√2)3 = 2√2, (√2)5 = 4√2
= 2 [ 6(9√3)(√2) + 20(3√3)(2√2) + 6(√3)(4√2) ]
= 2 [ 54√6 + 120√6 + 24√6 ]
= 2 [ 198√6 ] = 396√6
= 2 [ 54√6 + 120√6 + 24√6 ]
= 2 [ 198√6 ] = 396√6
✅ જવાબ: 396√6
પ્રશ્ન 3: (a2 + √(a2 – 1))4 + (a2 – √(a2 – 1))4 ની કિંમત શોધો.
ઉકેલ:
અહીં વચ્ચે ‘+’ (સરવાળા) ની નિશાની હોવાથી બેકી ક્રમાંકવાળા પદો બચશે.
સૂત્ર: (x + y)4 + (x – y)4 = 2 [ 4C0x4y0 + 4C2x2y2 + 4C4x0y4 ]
અહીં વચ્ચે ‘+’ (સરવાળા) ની નિશાની હોવાથી બેકી ક્રમાંકવાળા પદો બચશે.
સૂત્ર: (x + y)4 + (x – y)4 = 2 [ 4C0x4y0 + 4C2x2y2 + 4C4x0y4 ]
= 2 [ 1(x4) + 6x2y2 + 1(y4) ]
અહીં x = a2 અને y = √(a2 – 1) મુકતાં:
(નોંધ: y2 = a2 – 1 અને y4 = (a2 – 1)2 થશે).
(નોંધ: y2 = a2 – 1 અને y4 = (a2 – 1)2 થશે).
= 2 [ (a2)4 + 6(a2)2(a2 – 1) + (a2 – 1)2 ]
= 2 [ a8 + 6a4(a2 – 1) + (a4 – 2a2 + 1) ]
= 2 [ a8 + 6a6 – 6a4 + a4 – 2a2 + 1 ]
= 2 [ a8 + 6a6 – 5a4 – 2a2 + 1 ]
= 2 [ a8 + 6a4(a2 – 1) + (a4 – 2a2 + 1) ]
= 2 [ a8 + 6a6 – 6a4 + a4 – 2a2 + 1 ]
= 2 [ a8 + 6a6 – 5a4 – 2a2 + 1 ]
✅ જવાબ: 2a8 + 12a6 – 10a4 – 4a2 + 2
પ્રશ્ન 4: વિસ્તરણનાં પ્રથમ ત્રણ પદોનો ઉપયોગ કરી (0.99)5 ની આશરે કિંમત શોધો.
ઉકેલ:
આપણે 0.99 ને (1 – 0.01) સ્વરૂપે લખીશું.
આપણે 0.99 ને (1 – 0.01) સ્વરૂપે લખીશું.
(0.99)5 = (1 – 0.01)5
(1 – x)n ના વિસ્તરણના પ્રથમ 3 પદો નીચે મુજબ છે:
≈ nC0(1)n – nC1(1)n-1(x) + nC2(1)n-2(x)2
≈ 1 – nx +
x2
≈ 1 – nx +
n(n-1)
2
અહીં n = 5 અને x = 0.01 મુકતાં:
≈ 1 – 5(0.01) + 10(0.01)2
≈ 1 – 0.05 + 10(0.0001)
≈ 1 – 0.05 + 0.001
≈ 0.95 + 0.001 = 0.951
≈ 1 – 0.05 + 10(0.0001)
≈ 1 – 0.05 + 0.001
≈ 0.95 + 0.001 = 0.951
✅ આશરે કિંમત: 0.951
પ્રશ્ન 5: દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી
( 1 +
–
) 4, x ≠ 0 નું વિસ્તરણ કરો.
x
2
2
x
ઉકેલ:
અહીં 3 પદો હોવાથી ભૂલ ન પડે તે માટે આપણે પ્રથમ બે પદોનું જૂથ બનાવીશું.
ધારો કે A = 1 + (x/2) અને B = 2/x છે. હવે વિસ્તરણ (A – B)4 થશે.
અહીં 3 પદો હોવાથી ભૂલ ન પડે તે માટે આપણે પ્રથમ બે પદોનું જૂથ બનાવીશું.
ધારો કે A = 1 + (x/2) અને B = 2/x છે. હવે વિસ્તરણ (A – B)4 થશે.
(A – B)4 = A4 – 4A3B + 6A2B2 – 4AB3 + B4
A ની ઘાતોનું અલગથી સાદુંરૂપ આપીએ:
A2 = (1 + x/2)2 = 1 + x + (x2/4)
A3 = (1 + x/2)3 = 1 + 3x/2 + 3x2/4 + x3/8
A4 = (1 + x/2)4 = 1 + 2x + 3x2/2 + x3/2 + x4/16
A2 = (1 + x/2)2 = 1 + x + (x2/4)
A3 = (1 + x/2)3 = 1 + 3x/2 + 3x2/4 + x3/8
A4 = (1 + x/2)4 = 1 + 2x + 3x2/2 + x3/2 + x4/16
હવે મુખ્ય સૂત્રના દરેક પદની કિંમત મૂકીએ:
1) A4 = 1 + 2x + 3x2/2 + x3/2 + x4/16
2) -4A3B = -4 (1 + 3x/2 + 3x2/4 + x3/8) (2/x) = -8/x – 12 – 6x – x2
3) 6A2B2 = 6 (1 + x + x2/4) (4/x2) = 24/x2 + 24/x + 6
4) -4AB3 = -4 (1 + x/2) (8/x3) = -32/x3 – 16/x2
5) B4 = (2/x)4 = 16/x4
1) A4 = 1 + 2x + 3x2/2 + x3/2 + x4/16
2) -4A3B = -4 (1 + 3x/2 + 3x2/4 + x3/8) (2/x) = -8/x – 12 – 6x – x2
3) 6A2B2 = 6 (1 + x + x2/4) (4/x2) = 24/x2 + 24/x + 6
4) -4AB3 = -4 (1 + x/2) (8/x3) = -32/x3 – 16/x2
5) B4 = (2/x)4 = 16/x4
આ તમામ પદોનો સરવાળો કરી ઘાતના ઊતરતા ક્રમમાં ગોઠવતાં:
✅ જવાબ:
+
+
–
4x – 5 +
+
–
+
x4
16
x3
2
x2
2
16
x
8
x2
32
x3
16
x4
પ્રશ્ન 6: દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી (3x2 – 2ax + 3a2)3 નું વિસ્તરણ શોધો.
ઉકેલ:
અહીં પણ આપણે સરળતા માટે જૂથ બનાવીશું. સમાન સહગુણક (3) વાળા પદો 3x2 અને 3a2 ને સાથે રાખીએ.
ધારો કે A = 3(x2 + a2) અને B = 2ax છે. તો વિસ્તરણ (A – B)3 થશે.
અહીં પણ આપણે સરળતા માટે જૂથ બનાવીશું. સમાન સહગુણક (3) વાળા પદો 3x2 અને 3a2 ને સાથે રાખીએ.
ધારો કે A = 3(x2 + a2) અને B = 2ax છે. તો વિસ્તરણ (A – B)3 થશે.
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
દરેક પદની ગણતરી અલગથી કરીએ:
1) A3 = 27(x2 + a2)3 = 27x6 + 81a2x4 + 81a4x2 + 27a6
2) -3A2B = -3 [9(x2 + a2)2] (2ax) = -54ax(x4 + 2a2x2 + a4)
= -54ax5 – 108a3x3 – 54a5x
3) 3AB2 = 3 [3(x2 + a2)] (4a2x2) = 36a2x2(x2 + a2)
= 36a2x4 + 36a4x2
4) -B3 = -(2ax)3 = -8a3x3
1) A3 = 27(x2 + a2)3 = 27x6 + 81a2x4 + 81a4x2 + 27a6
2) -3A2B = -3 [9(x2 + a2)2] (2ax) = -54ax(x4 + 2a2x2 + a4)
= -54ax5 – 108a3x3 – 54a5x
3) 3AB2 = 3 [3(x2 + a2)] (4a2x2) = 36a2x2(x2 + a2)
= 36a2x4 + 36a4x2
4) -B3 = -(2ax)3 = -8a3x3
હવે સમાન ઘાતવાળા પદોનો સરવાળો કરીએ:
x6 વાળું પદ: 27x6
x5 વાળું પદ: -54ax5
x4 વાળા પદો: 81a2x4 + 36a2x4 = 117a2x4
x3 વાળા પદો: -108a3x3 – 8a3x3 = -116a3x3
x2 વાળા પદો: 81a4x2 + 36a4x2 = 117a4x2
x વાળા પદો: -54a5x
અચળ પદ: 27a6
x6 વાળું પદ: 27x6
x5 વાળું પદ: -54ax5
x4 વાળા પદો: 81a2x4 + 36a2x4 = 117a2x4
x3 વાળા પદો: -108a3x3 – 8a3x3 = -116a3x3
x2 વાળા પદો: 81a4x2 + 36a4x2 = 117a4x2
x વાળા પદો: -54a5x
અચળ પદ: 27a6
✅ જવાબ: 27x6 – 54ax5 + 117a2x4 – 116a3x3 + 117a4x2 – 54a5x + 27a6