આ બંને વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત ખૂબ જ સીધો છે: ક્રમચયમાં ગોઠવણીના ક્રમનું મહત્ત્વ છે, જ્યારે સંચયમાં માત્ર પસંદગીનું મહત્ત્વ છે, ક્રમનું નહીં.
દાખલો ઓળખવાની સૌથી સરળ રીત માટે દાખલો વાંચીને તમારી જાતને એક પ્રશ્ન પૂછો: “જો હું આ વસ્તુઓ કે વ્યક્તિઓની જગ્યા આગળ-પાછળ કરું (ક્રમ બદલું), તો શું પરિણામ બદલાશે કે નવો અર્થ બનશે?”
- જો જવાબ હા આવે, તો ત્યાં ક્રમચય વપરાય.
- જો જવાબ ના આવે, તો ત્યાં સંચય વપરાય.
૧. ક્રમચય ક્યારે વાપરવો?
- મુખ્ય ઓળખ: જ્યારે દાખલામાં વસ્તુઓની “ગોઠવણી” કરવાની વાત હોય.
- ઉદાહરણ: બેંકનો પિનકોડ બનાવવો. (જો તમારો પિન 123 હોય અને તમે તેને ઉલટાવીને 321 લખો, તો મશીન પૈસા નહિ આપે. અહીં ક્રમ બદલાયો તો પરિણામ બદલાઈ ગયું, તેથી આ ક્રમચયનો દાખલો છે.)
- બીજા ઉદાહરણો: અક્ષરો પરથી નવા શબ્દો બનાવવા, ખુરશી પર લોકોને લાઈનમાં બેસાડવા, વાહન માટે નવી નંબર પ્લેટ બનાવવી.
૨. સંચય ક્યારે વાપરવો?
- મુખ્ય ઓળખ: જ્યારે દાખલામાં મોટા જૂથમાંથી અમુક વસ્તુઓ “પસંદ” કરવાની વાત હોય.
- ઉદાહરણ: ક્રિકેટની ટીમ બનાવવી. (તમે ટીમમાં પહેલા ધોનીને પસંદ કરો અને પછી વિરાટને પસંદ કરો, કે પછી પહેલા વિરાટને અને પછી ધોનીને પસંદ કરો. ટીમ તો એ જ રહેશે. અહીં ક્રમ બદલવાથી કોઈ ફરક પડતો નથી, તેથી આ સંચયનો દાખલો છે.)
- બીજા ઉદાહરણો: શાળામાં કોઈ કાર્યક્રમ માટે સમિતિ (કમિટી) બનાવવી, ૫૨ પત્તામાંથી અમુક પત્તા ખેંચવા, મીટિંગમાં લોકોનું એકબીજા સાથે હાથ મિલાવવું.
શું તમારી પાસે ચોપડીનો એવો કોઈ દાખલો છે જેમાં તમને હજુ પણ મૂંઝવણ થતી હોય, જેથી આપણે તેને સાથે મળીને ઉકેલી શકીએ?
સ્વાધ્યાય 6.3
પ્રશ્ન 9: MONDAY શબ્દના મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરી પુનરાવર્તન સિવાય અર્થસભર કે અર્થરહિત કેટલા શબ્દો નીચેના વિકલ્પો અનુસાર બનાવી શકાય ?
(i) કોઈ પણ 4 મૂળાક્ષરો એક સાથે લેતાં
(ii) બધા જ મૂળાક્ષરો એક સાથે લેતાં
(iii) પ્રથમ મૂળાક્ષર સ્વર હોય તે રીતે બધા જ મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરતા
(i) કોઈ પણ 4 મૂળાક્ષરો એક સાથે લેતાં
(ii) બધા જ મૂળાક્ષરો એક સાથે લેતાં
(iii) પ્રથમ મૂળાક્ષર સ્વર હોય તે રીતે બધા જ મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરતા
ઉકેલ:
અહીં, આપેલ શબ્દ MONDAY છે.
કુલ મૂળાક્ષરોની સંખ્યા (n) = 6 (M, O, N, D, A, Y)
તેમાંથી સ્વર (Vowels) = 2 (O, A)
વ્યંજન (Consonants) = 4 (M, N, D, Y)
શરત: મૂળાક્ષરોનું પુનરાવર્તન કરવાનું નથી.
અહીં, આપેલ શબ્દ MONDAY છે.
કુલ મૂળાક્ષરોની સંખ્યા (n) = 6 (M, O, N, D, A, Y)
તેમાંથી સ્વર (Vowels) = 2 (O, A)
વ્યંજન (Consonants) = 4 (M, N, D, Y)
શરત: મૂળાક્ષરોનું પુનરાવર્તન કરવાનું નથી.
(i) કોઈ પણ 4 મૂળાક્ષરો એક સાથે લેતાં:
અહીં કુલ 6 માંથી કોઈપણ 4 મૂળાક્ષરોની ગોઠવણી કરવાની છે. આ માટે ક્રમચય (Permutation – nPr) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
6P4 = 6 × 5 × 4 × 3
= 360
= 360
✅ જવાબ (i): 360 શબ્દો બનાવી શકાય.
(ii) બધા જ મૂળાક્ષરો એક સાથે લેતાં:
અહીં બધા જ 6 મૂળાક્ષરોની એકસાથે ગોઠવણી કરવાની છે. એટલે કે 6 સ્થાનો પર 6 અક્ષરો ગોઠવવાના છે.
6P6 = 6!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 720
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 720
✅ જવાબ (ii): 720 શબ્દો બનાવી શકાય.
(iii) પ્રથમ મૂળાક્ષર સ્વર હોય તે રીતે બધા જ મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરતા:
અહીં કુલ 6 સ્થાનો ભરવાના છે, પરંતુ શરત છે કે પહેલો અક્ષર સ્વર જ હોવો જોઈએ.
પહેલું સ્થાન: આપણી પાસે 2 સ્વર (O અને A) છે. તેથી પ્રથમ સ્થાન 2 રીતે ભરી શકાય.
બાકીના સ્થાનો: એક અક્ષર પ્રથમ સ્થાને વપરાઈ ગયા પછી, આપણી પાસે 5 સ્થાનો અને 5 અક્ષરો બાકી રહે છે. તેને 5! રીતે ગોઠવી શકાય.
પહેલું સ્થાન: આપણી પાસે 2 સ્વર (O અને A) છે. તેથી પ્રથમ સ્થાન 2 રીતે ભરી શકાય.
બાકીના સ્થાનો: એક અક્ષર પ્રથમ સ્થાને વપરાઈ ગયા પછી, આપણી પાસે 5 સ્થાનો અને 5 અક્ષરો બાકી રહે છે. તેને 5! રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ શક્ય શબ્દો = 2 × 5!
= 2 × (5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 2 × 120
= 240
= 2 × (5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 2 × 120
= 240
✅ જવાબ (iii): 240 શબ્દો બનાવી શકાય.
પ્રશ્ન 10: MISSISSIPPI શબ્દના કેટલા ભિન્ન ક્રમચયોમાં ચાર I સાથે ન આવે ?
ઉકેલ:
અહીં MISSISSIPPI શબ્દમાં કુલ 11 મૂળાક્ષરો છે.
જેમાં, I = 4 વખત, S = 4 વખત, P = 2 વખત અને M = 1 વખત આવે છે.
અહીં MISSISSIPPI શબ્દમાં કુલ 11 મૂળાક્ષરો છે.
જેમાં, I = 4 વખત, S = 4 વખત, P = 2 વખત અને M = 1 વખત આવે છે.
પગથિયું 1: કુલ શક્ય ગોઠવણીઓ (કોઈ પણ શરત વગર)
=
=
= 34,650
11!
4! × 4! × 2!
=
11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!
24 × 24 × 2
= 34,650
પગથિયું 2: ચારેય ‘I’ એકસાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ
જો ચારેય I ને એકસાથે રાખવાના હોય, તો તેમને એક જ બોક્સ (IIII) માની લઈએ.
હવે ગોઠવવાના એકમો = (IIII), M, S, S, S, S, P, P ⇒ કુલ 8 એકમો.
આ 8 એકમોમાં S = 4 વખત અને P = 2 વખત આવે છે. ચારેય I અંદર-અંદર બદલાય તો પણ તે સમાન જ રહે (કારણ કે બધા I છે).
જો ચારેય I ને એકસાથે રાખવાના હોય, તો તેમને એક જ બોક્સ (IIII) માની લઈએ.
હવે ગોઠવવાના એકમો = (IIII), M, S, S, S, S, P, P ⇒ કુલ 8 એકમો.
આ 8 એકમોમાં S = 4 વખત અને P = 2 વખત આવે છે. ચારેય I અંદર-અંદર બદલાય તો પણ તે સમાન જ રહે (કારણ કે બધા I છે).
ચારેય I સાથે હોય તેવા ક્રમચય =
=
= 840
8!
4! × 2!
=
8 × 7 × 6 × 5 × 4!
24 × 2
= 840
પગથિયું 3: ચારેય ‘I’ સાથે ન આવે તેવી ગોઠવણીઓ
આ શોધવા માટે, કુલ ગોઠવણીઓમાંથી ‘ચારેય I સાથે હોય’ તેવી ગોઠવણીઓ બાદ કરીશું.
આ શોધવા માટે, કુલ ગોઠવણીઓમાંથી ‘ચારેય I સાથે હોય’ તેવી ગોઠવણીઓ બાદ કરીશું.
= કુલ ગોઠવણી – ચારેય I સાથે હોય તેવી ગોઠવણી
= 34,650 – 840
= 33,810
= 34,650 – 840
= 33,810
✅ જવાબ: 33,810 ક્રમચયોમાં ચાર I સાથે ન આવે.
પ્રશ્ન 11: PERMUTATIONS શબ્દના મૂળાક્ષરોની ગોઠવણી કેટલા પ્રકારે નીચેના વિકલ્પોમાં કરી શકાય ?
(i) શબ્દો P થી શરૂ થાય અને S માં અંત પામે.
(ii) બધા સ્વરો સાથે હોય.
(iii) P અને S ની વચ્ચે હંમેશાં 4 મૂળાક્ષરો હોય.
(i) શબ્દો P થી શરૂ થાય અને S માં અંત પામે.
(ii) બધા સ્વરો સાથે હોય.
(iii) P અને S ની વચ્ચે હંમેશાં 4 મૂળાક્ષરો હોય.
ઉકેલ:
અહીં PERMUTATIONS શબ્દમાં કુલ 12 મૂળાક્ષરો છે.
જેમાં માત્ર T = 2 વખત આવે છે, બાકી બધા એક જ વાર આવે છે.
સ્વરો (Vowels) = E, U, A, I, O (કુલ 5 સ્વરો)
વ્યંજનો (Consonants) = P, R, M, T, T, N, S (કુલ 7 વ્યંજનો)
અહીં PERMUTATIONS શબ્દમાં કુલ 12 મૂળાક્ષરો છે.
જેમાં માત્ર T = 2 વખત આવે છે, બાકી બધા એક જ વાર આવે છે.
સ્વરો (Vowels) = E, U, A, I, O (કુલ 5 સ્વરો)
વ્યંજનો (Consonants) = P, R, M, T, T, N, S (કુલ 7 વ્યંજનો)
(i) શબ્દો P થી શરૂ થાય અને S માં અંત પામે:
અહીં પ્રથમ સ્થાને P અને 12મા (છેલ્લા) સ્થાને S ફિક્સ કરી દીધા છે.
હવે વચ્ચેનાં 10 સ્થાનો પર બાકીના 10 અક્ષરોની ગોઠવણી કરવાની છે, જેમાં T = 2 વખત છે.
હવે વચ્ચેનાં 10 સ્થાનો પર બાકીના 10 અક્ષરોની ગોઠવણી કરવાની છે, જેમાં T = 2 વખત છે.
ગોઠવણીના પ્રકાર =
=
= 18,14,400
10!
2!
=
3,62,88,000
2
✅ જવાબ (i): 18,14,400 પ્રકારે ગોઠવી શકાય.
(ii) બધા સ્વરો સાથે હોય:
બધા 5 સ્વરો (E, U, A, I, O) ને એક જ બોક્સ અથવા એકમ માની લઈએ.
હવે કુલ એકમો = 1 (સ્વરોનું બોક્સ) + 7 વ્યંજનો = 8 એકમો.
આ 8 એકમોની ગોઠવણીમાં T = 2 વખત આવે છે. તેથી તેમની ગોઠવણીના પ્રકાર = 8! / 2!
વળી, પેલા 5 સ્વરો પણ અંદર-અંદર 5! રીતે ગોઠવાઈ શકે છે.
હવે કુલ એકમો = 1 (સ્વરોનું બોક્સ) + 7 વ્યંજનો = 8 એકમો.
આ 8 એકમોની ગોઠવણીમાં T = 2 વખત આવે છે. તેથી તેમની ગોઠવણીના પ્રકાર = 8! / 2!
વળી, પેલા 5 સ્વરો પણ અંદર-અંદર 5! રીતે ગોઠવાઈ શકે છે.
કુલ ગોઠવણીઓ = ( ) × 5!
=( ) × 120
= 20,160 × 120 = 24,19,200
8!
2!
=
40,320
2
= 20,160 × 120 = 24,19,200
✅ જવાબ (ii): 24,19,200 પ્રકારે ગોઠવી શકાય.
(iii) P અને S ની વચ્ચે હંમેશાં 4 મૂળાક્ષરો હોય:
કુલ 12 સ્થાનો છે (1 થી 12). P અને S વચ્ચે 4 અક્ષરો રાખવા માટે, તેમનાં સ્થાનોની નીચે મુજબની 7 જોડ બની શકે:
(1 અને 6), (2 અને 7), (3 અને 8), (4 અને 9), (5 અને 10), (6 અને 11), (7 અને 12).
આ 7 શક્યતાઓમાં P પહેલાં અને S પછી અથવા S પહેલાં અને P પછી આવી શકે, તેથી P અને S ની ગોઠવણી 7 × 2 = 14 રીતે થઈ શકે.
P અને S ગોઠવાઈ ગયા પછી, બાકીનાં 10 સ્થાનો પર બાકીના 10 અક્ષરો (જેમાં T = 2 વખત છે) ગોઠવવાના છે. તેના પ્રકાર = 10! / 2!
(1 અને 6), (2 અને 7), (3 અને 8), (4 અને 9), (5 અને 10), (6 અને 11), (7 અને 12).
આ 7 શક્યતાઓમાં P પહેલાં અને S પછી અથવા S પહેલાં અને P પછી આવી શકે, તેથી P અને S ની ગોઠવણી 7 × 2 = 14 રીતે થઈ શકે.
P અને S ગોઠવાઈ ગયા પછી, બાકીનાં 10 સ્થાનો પર બાકીના 10 અક્ષરો (જેમાં T = 2 વખત છે) ગોઠવવાના છે. તેના પ્રકાર = 10! / 2!
કુલ ગોઠવણીઓ = 14 × ( )
= 14 × 18,14,400
= 2,54,01,600
10!
2!
= 14 × 18,14,400
= 2,54,01,600
✅ જવાબ (iii): 2,54,01,600 પ્રકારે ગોઠવી શકાય.
પ્રશ્ન 11 (iii): PERMUTATIONS શબ્દમાં P અને S ની વચ્ચે હંમેશાં 4 મૂળાક્ષરો હોય, તેવી કેટલી ગોઠવણી કરી શકાય?
એકદમ સરળ સમજૂતી:
PERMUTATIONS શબ્દમાં કુલ 12 અક્ષરો છે. એટલે કે ગોઠવણી માટે આપણી પાસે 12 ખુરશીઓ લાઈનમાં મૂકેલી છે એમ માની લો:
PERMUTATIONS શબ્દમાં કુલ 12 અક્ષરો છે. એટલે કે ગોઠવણી માટે આપણી પાસે 12 ખુરશીઓ લાઈનમાં મૂકેલી છે એમ માની લો:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
સ્ટેપ 1: P અને S માટે ખુરશીઓ નક્કી કરો.
શરત એવી છે કે P અને S ની વચ્ચે 4 ખુરશીઓ ખાલી રહેવી જોઈએ. ચાલો જોઈએ તેઓ ક્યાં ક્યાં બેસી શકે:
- જો P ને ખુરશી 1 પર બેસાડીએ, તો 4 ખુરશી (2,3,4,5) છોડીને S ને ખુરશી 6 પર બેસાડવો પડે. → જોડ 1: (1, 6)
- તેવી જ રીતે, જો P ને 2 પર બેસાડીએ, તો S 7 પર આવે. → જોડ 2: (2, 7)
- આમ આગળ વધતા જઈએ: (3, 8), (4, 9), (5, 10), (6, 11) અને છેલ્લે (7, 12).
તમે જોઈ શકો છો કે 12 નંબર પછી કોઈ ખુરશી નથી, તેથી P અને S ને બેસાડવાની આવી કુલ 7 જગ્યાઓ (જોડ) મળે છે.
સ્ટેપ 2: P અને S ની અદલાબદલી (Swapping)
હવે વિચારો, એવું તો ક્યાંય નથી લખ્યું કે P હંમેશા આગળ જ હોવો જોઈએ!
પહેલા S બેસે અને પછી P બેસે (દા.ત. S પહેલા નંબર પર અને P છઠ્ઠા નંબર પર), તો પણ વચ્ચે 4 અક્ષરો જ રહેવાના.
એટલે કે ઉપરની 7 જગ્યાઓમાં P અને S બે રીતે બેસી શકે (P…S અથવા S…P).
પહેલા S બેસે અને પછી P બેસે (દા.ત. S પહેલા નંબર પર અને P છઠ્ઠા નંબર પર), તો પણ વચ્ચે 4 અક્ષરો જ રહેવાના.
એટલે કે ઉપરની 7 જગ્યાઓમાં P અને S બે રીતે બેસી શકે (P…S અથવા S…P).
તેથી, P અને S ને ગોઠવવાના કુલ પ્રકાર = 7 જગ્યાઓ × 2 રસ્તા = 14
સ્ટેપ 3: બાકીની 10 ખુરશીઓ ભરો
હવે P અને S તો બેસી ગયા. 12 માંથી 2 ખુરશીઓ ભરાઈ ગઈ, એટલે 10 ખુરશીઓ ખાલી છે.
આપણી પાસે મૂળાક્ષરો પણ 10 બાકી છે (E, R, M, U, T, A, T, I, O, N).
ધ્યાનથી જુઓ, આ 10 અક્ષરોમાં ‘T’ બે વાર આવે છે. તેથી આ 10 અક્ષરોને ગોઠવવાનું સૂત્ર:
આપણી પાસે મૂળાક્ષરો પણ 10 બાકી છે (E, R, M, U, T, A, T, I, O, N).
ધ્યાનથી જુઓ, આ 10 અક્ષરોમાં ‘T’ બે વાર આવે છે. તેથી આ 10 અક્ષરોને ગોઠવવાનું સૂત્ર:
બાકીના અક્ષરોની ગોઠવણી =
10!
2!
સ્ટેપ 4: ફાઇનલ ગુણાકાર
હવે P અને S ની ગોઠવણી અને બાકીના અક્ષરોની ગોઠવણીનો ગુણાકાર કરીએ:
કુલ ગોઠવણીઓ = 14 × ( )
= 14 ×
= 14 × 18,14,400
= 2,54,01,600
10!
2!
= 14 ×
3,62,88,000
2
= 14 × 18,14,400
= 2,54,01,600
✅ જવાબ: 2,54,01,600 પ્રકારે ગોઠવી શકાય.
6.4
પ્રશ્ન 1: જો nC8 = nC2 હોય, તો nC2 શોધો.
ઉકેલ:
સંચયના નિયમ મુજબ, જો nCx = nCy હોય, તો કાં તો x = y થાય અથવા x + y = n થાય.
સંચયના નિયમ મુજબ, જો nCx = nCy હોય, તો કાં તો x = y થાય અથવા x + y = n થાય.
અહીં 8 ≠ 2 હોવાથી, n = 8 + 2
n = 10
n = 10
હવે આપણે nC2 શોધવાનું છે. તેમાં n ની કિંમત 10 મૂકતાં:
10C2 =
=
= 45
10 × 9
2 × 1
90
2
✅ જવાબ: 45
પ્રશ્ન 2: n ની કિંમત શોધો :
(i) 2nC3 : nC3 = 12 : 1
(ii) 2nC3 : nC3 = 11 : 1
(i) 2nC3 : nC3 = 12 : 1
(ii) 2nC3 : nC3 = 11 : 1
ઉકેલ (i):
2nC3
nC3
2n(2n-1)(2n-2) / 3!
n(n-1)(n-2) / 3!
3! રદ થશે અને 2n-2 માંથી 2 સામાન્ય (common) કાઢતાં:
2n(2n-1) × 2(n-1)
n(n-1)(n-2)
n અને (n-1) કેન્સલ થશે:
4(2n-1)
n-2
4(2n-1) = 12(n-2)
2n – 1 = 3(n – 2)
2n – 1 = 3n – 6
6 – 1 = 3n – 2n
5 = n
✅ (i) નો જવાબ: n = 5
ઉકેલ (ii): બરાબર ઉપરની ગણતરી મુજબ જ આગળ વધતાં:
4(2n-1)
n-2
4(2n – 1) = 11(n – 2)
8n – 4 = 11n – 22
22 – 4 = 11n – 8n
18 = 3n
n = 6
✅ (ii) નો જવાબ: n = 6
પ્રશ્ન 3: વર્તુળ પરનાં 21 બિંદુમાંથી કેટલી જીવા દોરી શકાય ?
ઉકેલ:
વર્તુળની જીવા (Chord) દોરવા માટે 2 બિંદુઓની જરૂર પડે છે.
અહીં આપણી પાસે કુલ 21 બિંદુઓ છે. એટલે કે આપણે 21 માંથી 2 બિંદુઓ પસંદ કરવાના છે.
વર્તુળની જીવા (Chord) દોરવા માટે 2 બિંદુઓની જરૂર પડે છે.
અહીં આપણી પાસે કુલ 21 બિંદુઓ છે. એટલે કે આપણે 21 માંથી 2 બિંદુઓ પસંદ કરવાના છે.
જીવાઓની સંખ્યા = 21C2
=
= 21 × 10 = 210
=
21 × 20
2 × 1
= 21 × 10 = 210
✅ જવાબ: 210 જીવા દોરી શકાય.
પ્રશ્ન 4: 5 કુમાર અને 4 કુમારીમાંથી 3 કુમારો અને 3 કુમારીઓની કેટલી ટુકડી બનાવી શકાય ?
ઉકેલ:
અહીં 5 કુમારોમાંથી 3 કુમારો પસંદ કરવાના છે અને 4 કુમારીઓમાંથી 3 કુમારીઓ પસંદ કરવાની છે. (વચ્ચે ‘અને’ હોવાથી ગુણાકાર થશે).
અહીં 5 કુમારોમાંથી 3 કુમારો પસંદ કરવાના છે અને 4 કુમારીઓમાંથી 3 કુમારીઓ પસંદ કરવાની છે. (વચ્ચે ‘અને’ હોવાથી ગુણાકાર થશે).
ટુકડીના પ્રકાર = 5C3 × 4C3
ગણતરી કરતાં (નોંધ: nCr = nCn-r વાપરતા 5C3 = 5C2 થાય):
=
×
= 10 × 4 = 40
5 × 4
2 × 1
4 × 3 × 2
3 × 2 × 1
= 10 × 4 = 40
✅ જવાબ: 40 ટુકડી બનાવી શકાય.
પ્રશ્ન 5: 6 લાલ દડા, 5 સફેદ દડા અને 5 વાદળી દડામાંથી દરેક રંગના 3 દડા એમ 9 દડાની પસંદગી કેટલા પ્રકારે કરી શકાય ?
ઉકેલ:
આપણે દરેક રંગના 3 દડા પસંદ કરવાના છે:
6 લાલમાંથી 3 પસંદગી × 5 સફેદમાંથી 3 પસંદગી × 5 વાદળીમાંથી 3 પસંદગી
આપણે દરેક રંગના 3 દડા પસંદ કરવાના છે:
6 લાલમાંથી 3 પસંદગી × 5 સફેદમાંથી 3 પસંદગી × 5 વાદળીમાંથી 3 પસંદગી
કુલ પસંદગી = 6C3 × 5C3 × 5C3
=
×
×
= 20 × 10 × 10
= 2000
=
6 × 5 × 4
3 × 2 × 1
5 × 4 × 3
3 × 2 × 1
5 × 4 × 3
3 × 2 × 1
= 20 × 10 × 10
= 2000
✅ જવાબ: 2000 પ્રકારે પસંદગી કરી શકાય.
પ્રશ્ન 6: 52 પત્તાંમાંથી 5 પત્તાંની પસંદગીમાં બરાબર એક જ એક્કો આવે તે કેટલા પ્રકારે બને ?
ઉકેલ:
52 પત્તાંની ડેકમાં કુલ 4 એક્કા હોય છે અને બાકીના 48 પત્તાં અન્ય હોય છે.
આપણે 5 પત્તાં પસંદ કરવાના છે જેમાં બરાબર 1 જ એક્કો હોવો જોઈએ. એટલે કે 1 એક્કો અને બાકીના 4 પત્તાં અન્ય પત્તાંમાંથી હોવા જોઈએ.
52 પત્તાંની ડેકમાં કુલ 4 એક્કા હોય છે અને બાકીના 48 પત્તાં અન્ય હોય છે.
આપણે 5 પત્તાં પસંદ કરવાના છે જેમાં બરાબર 1 જ એક્કો હોવો જોઈએ. એટલે કે 1 એક્કો અને બાકીના 4 પત્તાં અન્ય પત્તાંમાંથી હોવા જોઈએ.
પસંદગીના પ્રકાર = 4C1 (એક્કામાંથી) × 48C4 (અન્ય પત્તાંમાંથી)
= 4 ×
= 4 × 194580
= 778320
= 4 ×
48 × 47 × 46 × 45
4 × 3 × 2 × 1
= 4 × 194580
= 778320
✅ જવાબ: 7,78,320 પ્રકારે બને.
પ્રશ્ન 7: ક્રિકેટની રમતના 17 ખેલાડીઓ આવેલા છે. તે પૈકી 5 ખેલાડીઓ બોલિંગ કરી શકે છે. દરેક ટુકડીમાં 4 બોલર હોય એવી 11 ખેલાડીઓની ક્રિકેટની કેટલી ટુકડી બનાવી શકાય ?
ઉકેલ:
કુલ ખેલાડીઓ = 17
બોલર = 5
બાકીના ખેલાડીઓ (બેટ્સમેન/કીપર) = 17 – 5 = 12
આપણે 11 ની ટીમ બનાવવાની છે જેમાં બરાબર 4 બોલર હોવા જોઈએ. તેથી બાકીના 7 ખેલાડીઓ અન્યમાંથી પસંદ કરવા પડશે.
કુલ ખેલાડીઓ = 17
બોલર = 5
બાકીના ખેલાડીઓ (બેટ્સમેન/કીપર) = 17 – 5 = 12
આપણે 11 ની ટીમ બનાવવાની છે જેમાં બરાબર 4 બોલર હોવા જોઈએ. તેથી બાકીના 7 ખેલાડીઓ અન્યમાંથી પસંદ કરવા પડશે.
ટીમના પ્રકાર = 5C4 (બોલરમાંથી) × 12C7 (અન્યમાંથી)
નોંધ: 5C4 = 5C1 અને 12C7 = 12C5 થશે.
= 5 ×
= 5 × 792
= 3960
12 × 11 × 10 × 9 × 8
5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 5 × 792
= 3960
✅ જવાબ: 3960 ટુકડી બનાવી શકાય.
પ્રશ્ન 8: એક થેલીમાં 5 કાળા અને 6 લાલ દડા છે. 2 કાળા તથા 3 લાલ દડાની પસંદગી કેટલા પ્રકારે થઈ શકે ?
ઉકેલ:
5 કાળા દડામાંથી 2 કાળા દડા પસંદ કરવાના છે = 5C2
6 લાલ દડામાંથી 3 લાલ દડા પસંદ કરવાના છે = 6C3
5 કાળા દડામાંથી 2 કાળા દડા પસંદ કરવાના છે = 5C2
6 લાલ દડામાંથી 3 લાલ દડા પસંદ કરવાના છે = 6C3
કુલ પસંદગી = 5C2 × 6C3
=
×
= 10 × 20 = 200
=
5 × 4
2 × 1
6 × 5 × 4
3 × 2 × 1
= 10 × 20 = 200
✅ જવાબ: 200 પ્રકારે પસંદગી થઈ શકે.
પ્રશ્ન 9: જો વિદ્યાર્થીએ 2 ચોક્કસ વિષયો પસંદ કરવાના ફરજિયાત હોય, તો વિદ્યાર્થી ઉપલબ્ધ 9 વિષયોમાંથી 5 વિષયો કેટલા પ્રકારે પસંદ કરી શકે.
ઉકેલ:
કુલ વિષયો 9 છે અને પસંદ કરવાના વિષયો 5 છે.
શરત મુજબ 2 વિષયો લેવા ફરજિયાત જ છે (એટલે કે તેની પસંદગીનો પ્રકાર માત્ર 1 જ છે).
હવે વિદ્યાર્થીએ બાકી રહેલા 7 વિષયોમાંથી (9 – 2) માત્ર 3 જ વિષયો (5 – 2) પસંદ કરવાના રહે છે.
કુલ વિષયો 9 છે અને પસંદ કરવાના વિષયો 5 છે.
શરત મુજબ 2 વિષયો લેવા ફરજિયાત જ છે (એટલે કે તેની પસંદગીનો પ્રકાર માત્ર 1 જ છે).
હવે વિદ્યાર્થીએ બાકી રહેલા 7 વિષયોમાંથી (9 – 2) માત્ર 3 જ વિષયો (5 – 2) પસંદ કરવાના રહે છે.
પસંદગીના પ્રકાર = 7C3
=
= 35
=
7 × 6 × 5
3 × 2 × 1
= 35
✅ જવાબ: 35 પ્રકારે પસંદ કરી શકે.
પ્રકીર્ણન સ્વાધ્યાય
પ્રશ્ન 1: DAUGHTER શબ્દના મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને 2 સ્વરો અને 3 વ્યંજનો દ્વારા અર્થસભર કે અર્થરહિત કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય ?
ઉકેલ:
DAUGHTER શબ્દમાં કુલ 8 અક્ષરો છે.
સ્વરો (Vowels): A, U, E (કુલ 3 સ્વરો)
વ્યંજનો (Consonants): D, G, H, T, R (કુલ 5 વ્યંજનો)
DAUGHTER શબ્દમાં કુલ 8 અક્ષરો છે.
સ્વરો (Vowels): A, U, E (કુલ 3 સ્વરો)
વ્યંજનો (Consonants): D, G, H, T, R (કુલ 5 વ્યંજનો)
સૌપ્રથમ આપણે 3 માંથી 2 સ્વરો અને 5 માંથી 3 વ્યંજનો પસંદ કરીશું (અહીં પસંદગી છે એટલે ‘C’ વપરાશે):
પસંદગીના પ્રકાર = 3C2 × 5C3
= 3 × 10 = 30 રીતો
= 3 × 10 = 30 રીતો
હવે આપણી પાસે 5 અક્ષરો (2 સ્વર + 3 વ્યંજન) આવી ગયા છે. આ 5 અક્ષરોને લાઈનમાં ગોઠવીને શબ્દ બનાવવાનો છે. 5 અક્ષરોની ગોઠવણી (Arrangement) 5! રીતે થાય.
કુલ શબ્દો = પસંદગીની રીત × ગોઠવણીની રીત
= 30 × 5!
= 30 × 120 = 3600
= 30 × 5!
= 30 × 120 = 3600
✅ જવાબ: 3600 શબ્દો બનાવી શકાય.
પ્રશ્ન 2: EQUATION શબ્દના બધા મૂળાક્ષરોનો એક સમયે ઉપયોગ કરીને સ્વરો અને વ્યંજનો એક જ સાથે આવે તે રીતે અર્થસભર કે અર્થરહિત કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય ?
ઉકેલ:
EQUATION શબ્દમાં કુલ 8 અક્ષરો છે.
સ્વરો: E, U, A, I, O (કુલ 5)
વ્યંજનો: Q, T, N (કુલ 3)
EQUATION શબ્દમાં કુલ 8 અક્ષરો છે.
સ્વરો: E, U, A, I, O (કુલ 5)
વ્યંજનો: Q, T, N (કુલ 3)
શરત મુજબ બધા સ્વરો સાથે અને બધા વ્યંજનો સાથે હોવા જોઈએ.
બધા 5 સ્વરોને એક જૂથ (Group 1) અને 3 વ્યંજનોને બીજું જૂથ (Group 2) માની લઈએ.
બધા 5 સ્વરોને એક જૂથ (Group 1) અને 3 વ્યંજનોને બીજું જૂથ (Group 2) માની લઈએ.
1. 5 સ્વરો અંદરોઅંદર ગોઠવાશે = 5! રીતે
2. 3 વ્યંજનો અંદરોઅંદર ગોઠવાશે = 3! રીતે
3. આ બંને મોટા જૂથો અંદરોઅંદર ગોઠવાશે (સ્વર-વ્યંજન અથવા વ્યંજન-સ્વર) = 2! રીતે
2. 3 વ્યંજનો અંદરોઅંદર ગોઠવાશે = 3! રીતે
3. આ બંને મોટા જૂથો અંદરોઅંદર ગોઠવાશે (સ્વર-વ્યંજન અથવા વ્યંજન-સ્વર) = 2! રીતે
કુલ શબ્દો = 5! × 3! × 2!
= 120 × 6 × 2
= 1440
= 120 × 6 × 2
= 1440
✅ જવાબ: 1440 શબ્દો બનાવી શકાય.
પ્રશ્ન 3: 9 કુમારો અને 4 કુમારીઓમાંથી 7 સભ્યોની સમિતિ બનાવવી છે. જેમાં (i) બરાબર 3 કુમારીઓ હોય (ii) ઓછામાં ઓછી 3 કુમારીઓ હોય (iii) વધુમાં વધુ 3 કુમારીઓ હોય એવી કેટલી સમિતિની રચના થઈ શકે ?
ઉકેલ:
કુલ ઉપલબ્ધ: 9 કુમાર, 4 કુમારી. બનાવવાની છે 7 સભ્યોની સમિતિ (Committee).
કુલ ઉપલબ્ધ: 9 કુમાર, 4 કુમારી. બનાવવાની છે 7 સભ્યોની સમિતિ (Committee).
(i) બરાબર 3 કુમારીઓ હોય:
જો 3 કુમારીઓ લઈએ, તો 7 સભ્યો પૂરા કરવા બાકીના 4 કુમારો લેવા પડે.
= (4 માંથી 3 કુમારી) × (9 માંથી 4 કુમાર)
= 4C3 × 9C4
= 4 × 126 = 504 સમિતિ
= 4C3 × 9C4
= 4 × 126 = 504 સમિતિ
(ii) ઓછામાં ઓછી 3 કુમારીઓ હોય (At least 3 girls):
ઓછામાં ઓછી 3 એટલે કે 3 કુમારી હોય અથવા 4 કુમારી હોય (4 થી વધુ તો છે જ નહીં).
= (3 કુમારી અને 4 કુમાર) + (4 કુમારી અને 3 કુમાર)
= (4C3 × 9C4) + (4C4 × 9C3)
= (4 × 126) + (1 × 84)
= 504 + 84 = 588 સમિતિ
= (4C3 × 9C4) + (4C4 × 9C3)
= (4 × 126) + (1 × 84)
= 504 + 84 = 588 સમિતિ
(iii) વધુમાં વધુ 3 કુમારીઓ હોય (At most 3 girls):
વધુમાં વધુ 3 એટલે 0, 1, 2, કે 3 કુમારીઓ લઈ શકાય.
= (0G, 7B) + (1G, 6B) + (2G, 5B) + (3G, 4B)
= (4C0 × 9C7) + (4C1 × 9C6) + (4C2 × 9C5) + (4C3 × 9C4)
= (1 × 36) + (4 × 84) + (6 × 126) + (4 × 126)
= 36 + 336 + 756 + 504 = 1632 સમિતિ
= (4C0 × 9C7) + (4C1 × 9C6) + (4C2 × 9C5) + (4C3 × 9C4)
= (1 × 36) + (4 × 84) + (6 × 126) + (4 × 126)
= 36 + 336 + 756 + 504 = 1632 સમિતિ
✅ જવાબો: (i) 504 (ii) 588 (iii) 1632
પ્રશ્ન 4: EXAMINATION શબ્દના તમામ ભિન્ન ક્રમચયોને જો શબ્દકોષ (Dictionary) પ્રમાણે ગોઠવી યાદી બનાવવામાં આવે તો પ્રથમ શબ્દ E થી શરૂ થાય તે શબ્દ પહેલા કેટલા શબ્દો હશે ?
ઉકેલ:
EXAMINATION શબ્દના 11 અક્ષરો મૂળાક્ષર પ્રમાણે ગોઠવીએ તો: A, A, E, I, I, M, N, N, O, T, X.
ડિક્શનરીમાં ‘E’ થી શરૂ થતા શબ્દો આવે, તે પહેલાં માત્ર ‘A’ થી શરૂ થતા શબ્દો જ આવશે.
તેથી આપણે એ શોધવાનું છે કે ‘A’ થી શરૂ થતા કુલ કેટલા શબ્દો બને.
EXAMINATION શબ્દના 11 અક્ષરો મૂળાક્ષર પ્રમાણે ગોઠવીએ તો: A, A, E, I, I, M, N, N, O, T, X.
ડિક્શનરીમાં ‘E’ થી શરૂ થતા શબ્દો આવે, તે પહેલાં માત્ર ‘A’ થી શરૂ થતા શબ્દો જ આવશે.
તેથી આપણે એ શોધવાનું છે કે ‘A’ થી શરૂ થતા કુલ કેટલા શબ્દો બને.
પ્રથમ સ્થાને ‘A’ ને ફિક્સ કરી દો.
હવે બાકી વધેલા 10 અક્ષરો (A, E, I, I, M, N, N, O, T, X) ને 10 સ્થાનો પર ગોઠવવાના છે. આ 10 અક્ષરોમાં I = 2 વાર અને N = 2 વાર આવે છે.
હવે બાકી વધેલા 10 અક્ષરો (A, E, I, I, M, N, N, O, T, X) ને 10 સ્થાનો પર ગોઠવવાના છે. આ 10 અક્ષરોમાં I = 2 વાર અને N = 2 વાર આવે છે.
ગોઠવણી =
=
= 9,07,200
10!
2! × 2!
=
36,28,800
4
= 9,07,200
✅ જવાબ: 9,07,200 શબ્દો હશે.
પ્રશ્ન 5: અંકો 0, 1, 3, 5, 7 અને 9 ના ઉપયોગથી પુનરાવર્તન વગર 6 અંકોની 10 વડે વિભાજ્ય હોય તેવી કેટલી સંખ્યાઓ બને ?
ઉકેલ:
કોઈપણ સંખ્યા 10 વડે ત્યારે જ વિભાજ્ય બને જ્યારે તેનો છેલ્લો અંક શૂન્ય (0) હોય.
આપણી પાસે 6 અંકો છે. 6 અંકની સંખ્યા બનાવવાની છે, અને પુનરાવર્તન કરવાનું નથી.
કોઈપણ સંખ્યા 10 વડે ત્યારે જ વિભાજ્ય બને જ્યારે તેનો છેલ્લો અંક શૂન્ય (0) હોય.
આપણી પાસે 6 અંકો છે. 6 અંકની સંખ્યા બનાવવાની છે, અને પુનરાવર્તન કરવાનું નથી.
છેલ્લા સ્થાને ‘0’ ને ફિક્સ કરી દઈએ.
હવે બાકીના 5 સ્થાનો પર બાકી વધેલા 5 અંકો (1, 3, 5, 7, 9) ને ગોઠવવાના છે.
હવે બાકીના 5 સ્થાનો પર બાકી વધેલા 5 અંકો (1, 3, 5, 7, 9) ને ગોઠવવાના છે.
ગોઠવણીની રીત = 5!
= 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 120
= 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 120
✅ જવાબ: 120 સંખ્યાઓ બને.
પ્રશ્ન 6: અંગ્રેજી વર્ણમાળામાં 5 સ્વરો અને 21 વ્યંજનો છે. મૂળાક્ષરોમાંથી 2 ભિન્ન સ્વરો અને 2 ભિન્ન વ્યંજનો દ્વારા કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય ?
ઉકેલ:
સૌપ્રથમ 5 સ્વરોમાંથી 2 સ્વરો અને 21 વ્યંજનોમાંથી 2 વ્યંજનો પસંદ કરીએ:
સૌપ્રથમ 5 સ્વરોમાંથી 2 સ્વરો અને 21 વ્યંજનોમાંથી 2 વ્યંજનો પસંદ કરીએ:
પસંદગી = 5C2 × 21C2
= 10 ×
= 10 × 210 = 2100 રીતો
= 10 ×
21 × 20
2
= 10 × 210 = 2100 રીતો
હવે આપણી પાસે 4 અક્ષરો (2 સ્વર + 2 વ્યંજન) આવી ગયા. આ 4 અક્ષરોને ગોઠવીને શબ્દ બનાવવાનો છે. ગોઠવણી 4! રીતે થાય.
કુલ શબ્દો = પસંદગીની રીત × ગોઠવણીની રીત
= 2100 × 4!
= 2100 × 24 = 50,400
= 2100 × 4!
= 2100 × 24 = 50,400
✅ જવાબ: 50,400 શબ્દો બનાવી શકાય.
પ્રશ્ન 7: એક પરીક્ષામાં 12 પ્રશ્નો ધરાવતું પ્રશ્નપત્ર બે ભાગમાં વહેંચાયેલું છે. ભાગ I માં 5 પ્રશ્નો અને ભાગ II માં 7 પ્રશ્નો છે. દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા 3 પ્રશ્નો પસંદ કરીને વિદ્યાર્થીએ કુલ 8 પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના છે. વિદ્યાર્થી કુલ કેટલા પ્રકારે પ્રશ્નો પસંદ કરી શકશે ?
ઉકેલ:
કુલ પ્રશ્નો = 12. ભાગ I (5 પ્રશ્નો) અને ભાગ II (7 પ્રશ્નો). આપવાના છે કુલ 8 જવાબો. શરત છે કે દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા 3 લેવા જ પડે.
કુલ પ્રશ્નો = 12. ભાગ I (5 પ્રશ્નો) અને ભાગ II (7 પ્રશ્નો). આપવાના છે કુલ 8 જવાબો. શરત છે કે દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા 3 લેવા જ પડે.
શક્યતાઓ (Possibilities) નીચે મુજબ થશે:
વિકલ્પ 1: ભાગ I માંથી 3 અને ભાગ II માંથી 5 પ્રશ્નો.
= 5C3 × 7C5 = 10 × 21 = 210
વિકલ્પ 2: ભાગ I માંથી 4 અને ભાગ II માંથી 4 પ્રશ્નો.
= 5C4 × 7C4 = 5 × 35 = 175
વિકલ્પ 3: ભાગ I માંથી 5 (બધા જ) અને ભાગ II માંથી 3 પ્રશ્નો.
= 5C5 × 7C3 = 1 × 35 = 35
= 5C3 × 7C5 = 10 × 21 = 210
વિકલ્પ 2: ભાગ I માંથી 4 અને ભાગ II માંથી 4 પ્રશ્નો.
= 5C4 × 7C4 = 5 × 35 = 175
વિકલ્પ 3: ભાગ I માંથી 5 (બધા જ) અને ભાગ II માંથી 3 પ્રશ્નો.
= 5C5 × 7C3 = 1 × 35 = 35
કુલ પસંદગીના પ્રકાર = 210 + 175 + 35 = 420
✅ જવાબ: 420 પ્રકારે પસંદ કરી શકશે.
પ્રશ્ન 8: 52 પત્તાંમાંથી 5 પત્તાંની પસંદગીમાં બરાબર એક બાદશાહ આવે તે કેટલા પ્રકારે નક્કી કરી શકાય ?
ઉકેલ:
52 પત્તાંની ડેકમાં 4 બાદશાહ હોય છે અને 48 અન્ય પત્તાં હોય છે. 5 પત્તાં પસંદ કરવાના છે જેમાં 1 જ બાદશાહ હોવો જોઈએ.
52 પત્તાંની ડેકમાં 4 બાદશાહ હોય છે અને 48 અન્ય પત્તાં હોય છે. 5 પત્તાં પસંદ કરવાના છે જેમાં 1 જ બાદશાહ હોવો જોઈએ.
પસંદગી = (4 માંથી 1 બાદશાહ) × (48 માંથી બાકીના 4 પત્તાં)
= 4C1 × 48C4
= 4 ×
= 4 × 1,94,580 = 7,78,320
= 4C1 × 48C4
= 4 ×
48 × 47 × 46 × 45
4 × 3 × 2 × 1
= 4 × 1,94,580 = 7,78,320
✅ જવાબ: 7,78,320 પ્રકારે નક્કી કરી શકાય.
પ્રશ્ન 9: 5 પુરુષો અને 4 સ્ત્રીઓને હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાનાં છે કે સ્ત્રીઓ યુગ્મ (બેકી) સ્થાન પર હોય. આવી કેટલી ગોઠવણી શક્ય બને ?
ઉકેલ:
કુલ વ્યક્તિઓ 9 (5 પુરુષ + 4 સ્ત્રી). એક હારમાં 9 ખુરશીઓ ગોઠવેલી છે (1 થી 9 નંબર).
સ્ત્રીઓ માટે: શરત મુજબ સ્ત્રીઓ યુગ્મ સ્થાને જ બેસશે (એટલે કે ખુરશી નંબર 2, 4, 6, 8).
અહીં 4 સ્થાનો છે અને 4 સ્ત્રીઓ છે. ગોઠવણી = 4! = 24 રીતે.
પુરુષો માટે: બાકી વધેલા અયુગ્મ (એકી) સ્થાનો (1, 3, 5, 7, 9) પર 5 પુરુષો બેસશે.
અહીં 5 સ્થાનો છે અને 5 પુરુષો છે. ગોઠવણી = 5! = 120 રીતે.
કુલ વ્યક્તિઓ 9 (5 પુરુષ + 4 સ્ત્રી). એક હારમાં 9 ખુરશીઓ ગોઠવેલી છે (1 થી 9 નંબર).
સ્ત્રીઓ માટે: શરત મુજબ સ્ત્રીઓ યુગ્મ સ્થાને જ બેસશે (એટલે કે ખુરશી નંબર 2, 4, 6, 8).
અહીં 4 સ્થાનો છે અને 4 સ્ત્રીઓ છે. ગોઠવણી = 4! = 24 રીતે.
પુરુષો માટે: બાકી વધેલા અયુગ્મ (એકી) સ્થાનો (1, 3, 5, 7, 9) પર 5 પુરુષો બેસશે.
અહીં 5 સ્થાનો છે અને 5 પુરુષો છે. ગોઠવણી = 5! = 120 રીતે.
કુલ ગોઠવણી = સ્ત્રીઓની ગોઠવણી × પુરુષોની ગોઠવણી
= 24 × 120 = 2880
= 24 × 120 = 2880
✅ જવાબ: 2880 ગોઠવણી શક્ય બને.
પ્રશ્ન 10: 25 વિદ્યાર્થીઓના વર્ગમાં 10 વિદ્યાર્થીઓને પર્યટન પર લઈ જવા માટે પસંદ કરવાના છે. ત્રણ વિદ્યાર્થીઓએ એવું નક્કી કર્યું છે કાં તો એ ત્રણેય પર્યટન પર જશે અથવા ત્રણેયમાંથી કોઈ નહિ જાય. વિદ્યાર્થીઓને કેટલા પ્રકારે પસંદ કરી શકાય ?
ઉકેલ:
કુલ વિદ્યાર્થીઓ = 25. લઈ જવાના છે = 10. શરત મુજબ 3 ખાસ મિત્રોનું એક ગ્રુપ છે જે કાં તો સાથે જશે, અથવા ત્રણેય ઘરે રહેશે!
કુલ વિદ્યાર્થીઓ = 25. લઈ જવાના છે = 10. શરત મુજબ 3 ખાસ મિત્રોનું એક ગ્રુપ છે જે કાં તો સાથે જશે, અથવા ત્રણેય ઘરે રહેશે!
વિકલ્પ 1 (ત્રણેય મિત્રો પર્યટન પર જાય છે):
10 ની જગ્યામાંથી 3 તો ભરાઈ ગઈ. હવે બાકીના 22 વિદ્યાર્થીઓ (25 – 3) માંથી આપણે 7 વિદ્યાર્થીઓ (10 – 3) પસંદ કરવાના રહે.
રીત = 22C7 = 1,70,544
10 ની જગ્યામાંથી 3 તો ભરાઈ ગઈ. હવે બાકીના 22 વિદ્યાર્થીઓ (25 – 3) માંથી આપણે 7 વિદ્યાર્થીઓ (10 – 3) પસંદ કરવાના રહે.
રીત = 22C7 = 1,70,544
વિકલ્પ 2 (ત્રણેય મિત્રો પર્યટન પર નથી જતા):
તો આપણે 10 એ 10 વિદ્યાર્થીઓ બાકીના 22 વિદ્યાર્થીઓમાંથી જ પસંદ કરવા પડશે.
રીત = 22C10 = 6,46,646
તો આપણે 10 એ 10 વિદ્યાર્થીઓ બાકીના 22 વિદ્યાર્થીઓમાંથી જ પસંદ કરવા પડશે.
રીત = 22C10 = 6,46,646
કુલ પસંદગીના પ્રકાર = વિકલ્પ 1 અથવા વિકલ્પ 2
= 22C7 + 22C10
= 1,70,544 + 6,46,646 = 8,17,190
= 22C7 + 22C10
= 1,70,544 + 6,46,646 = 8,17,190
✅ જવાબ: 8,17,190 પ્રકારે પસંદ કરી શકાય.
પ્રશ્ન 11: તમામ S સાથે આવે તે રીતે ASSASSINATION શબ્દના મૂળાક્ષરોની ગોઠવણી કેટલા પ્રકારે કરી શકાય ?
ઉકેલ:
ASSASSINATION શબ્દમાં કુલ 13 અક્ષરો છે.
જેમાં A=3 વાર, S=4 વાર, I=2 વાર, N=2 વાર, T=1 વાર, O=1 વાર આવે છે.
શરત મુજબ ચારેય ‘S’ સાથે આવવા જોઈએ. તેથી આપણે ‘SSSS’ ને એક જ બોક્સ (એકમ) માની લઈએ.
ASSASSINATION શબ્દમાં કુલ 13 અક્ષરો છે.
જેમાં A=3 વાર, S=4 વાર, I=2 વાર, N=2 વાર, T=1 વાર, O=1 વાર આવે છે.
શરત મુજબ ચારેય ‘S’ સાથે આવવા જોઈએ. તેથી આપણે ‘SSSS’ ને એક જ બોક્સ (એકમ) માની લઈએ.
હવે ગોઠવવા માટેના કુલ એકમો = બાકીના 9 અક્ષરો + 1 બોક્સ(SSSS) = 10 એકમો.
આ 10 એકમોમાં A=3 વાર, I=2 વાર, અને N=2 વાર આવે છે. (બોક્સ ‘SSSS’ તો 1 જ છે એટલે તેનું પુનરાવર્તન ગણાય નહિ).
આ 10 એકમોમાં A=3 વાર, I=2 વાર, અને N=2 વાર આવે છે. (બોક્સ ‘SSSS’ તો 1 જ છે એટલે તેનું પુનરાવર્તન ગણાય નહિ).
કુલ ગોઠવણીઓ =
=
= = 1,51,200
10!
3! × 2! × 2!
=
36,28,800
6 × 2 × 2
=
36,28,800
24
નોંધ: બોક્સની અંદર રહેલા 4 ‘S’ અંદરોઅંદર ગોઠવાય તો પણ એ SSSS જ વંચાય (4!/4! = 1 રીત), તેથી અલગથી ગુણાકાર કરવાની જરૂર નથી.
✅ જવાબ: 1,51,200 પ્રકારે ગોઠવી શકાય.