સંકલનના ઉપયોગથી ક્ષેત્રફળ શોધો
અગત્યનું સૂત્ર: સંકલનની મદદથી ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે આપણે નીચેના પ્રમાણિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
√a2 – x2 + sin-1()
∫
√a2 – x2 dx = x
2
a2
2
x
a
પ્રશ્ન 1:
ઉપવલય + = 1 થી આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
x2
16
y2
9
ઉકેલ: આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ છે:
x2
16
y2
9
આને પ્રમાણિત સમીકરણ + = 1 સાથે સરખાવતાં:
x2
a2
y2
b2
અહીં a2 = 16 ⇒ a = 4 અને b2 = 9 ⇒ b = 3 મળે છે.
હવે સમીકરણને y ના સ્વરૂપમાં ફેરવીએ (પ્રથમ ચરણ માટે y ધન લેશું):
y2
9
x2
16
16 – x2
16
y2 = (16 – x2) ⇒ y = √16 – x2
9
16
3
4
સંકલનની મદદથી ક્ષેત્રફળ (Area):
ઉપવલય X-અક્ષ અને Y-અક્ષ બંને પ્રત્યે સંમિત (Symmetric) છે. તેથી,
કુલ ક્ષેત્રફળ A = 4 × (પ્રથમ ચરણમાં આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ)
પ્રથમ ચરણમાં x ની કિંમત 0 થી a એટલે કે 0 થી 4 સુધી જાય છે.
A = 4
√16 – x2 dx
4
∫
0
y dx = 4
4
∫
0
3
4
A = 3
4
∫
0
√42 – x2 dx
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં:
A = 3 [ √16 – x2 + sin-1( ) ]04
x
2
16
2
x
4
સીમાઓ (Limits) મૂકતાં:
A = 3 [ ( × 0 + 8 sin-1(1) ) – ( 0 + 8 sin-1(0) ) ]
4
2
આપણે જાણીએ છીએ કે sin-1(1) = π/2 અને sin-1(0) = 0:
A = 3 [ 8 ( ) – 0 ] = 3 [ 4π ] = 12π
π
2
✅ જવાબ: કુલ ક્ષેત્રફળ = 12π ચોરસ એકમ (sq. units)
પ્રશ્ન 2:
ઉપવલય + = 1 થી આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
x2
4
y2
9
ઉકેલ: આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ છે:
x2
4
y2
9
આને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતાં: a2 = 4 ⇒ a = 2 અને b2 = 9 ⇒ b = 3.
પ્રથમ ચરણ માટે સમીકરણને y ના સ્વરૂપમાં ફેરવીએ:
y2
9
x2
4
4 – x2
4
y2 = (4 – x2) ⇒ y = √4 – x2
9
4
3
2
સંકલનની મદદથી ક્ષેત્રફળ (Area):
કુલ ક્ષેત્રફળ A = 4 × (પ્રથમ ચરણનું ક્ષેત્રફળ). અહીં લિમિટ 0 થી a એટલે કે 0 થી 2 સુધીની થશે.
A = 4
√4 – x2 dx
2
∫
0
y dx = 4
2
∫
0
3
2
A = 6
2
∫
0
√22 – x2 dx
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં:
A = 6 [ √4 – x2 + sin-1( ) ]02
x
2
4
2
x
2
સીમાઓ (Limits) મૂકતાં:
A = 6 [ ( × 0 + 2 sin-1(1) ) – ( 0 + 2 sin-1(0) ) ]
2
2
A = 6 [ 2 ( ) – 0 ] = 6 [ π ] = 6π
π
2
✅ જવાબ: કુલ ક્ષેત્રફળ = 6π ચોરસ એકમ (sq. units)