પ્રશ્ન 1: સંબંધ f એ
f(x) = x2, 0 ≤ x ≤ 3
f(x) = 3x, 3 ≤ x ≤ 10
થી વ્યાખ્યાયિત છે અને સંબંધ g એ f(x) = 3x, 3 ≤ x ≤ 10
g(x) = x2, 0 ≤ x ≤ 2
g(x) = 3x, 2 ≤ x ≤ 10
થી વ્યાખ્યાયિત છે, તો સાબિત કરો કે f એ વિધેય છે અને g વિધેય નથી.
g(x) = 3x, 2 ≤ x ≤ 10
ઉકેલ:
વિધેયનો નિયમ છે કે એક ઇનપુટ માટે એક જ આઉટપુટ મળવું જોઈએ.
વિધેયનો નિયમ છે કે એક ઇનપુટ માટે એક જ આઉટપુટ મળવું જોઈએ.
f(x) માટે ચકાસીએ: શરતો x = 3 આગળ ભેગી થાય છે. તેથી x = 3 મૂકતાં,
f(3) = 32 = 9 (પહેલા નિયમ મુજબ)
f(3) = 3(3) = 9 (બીજા નિયમ મુજબ)
f(3) = 3(3) = 9 (બીજા નિયમ મુજબ)
અહીં એક ઇનપુટ માટે એક જ સમાન આઉટપુટ (9) મળે છે. તેથી, f એ વિધેય છે.
g(x) માટે ચકાસીએ: શરતો x = 2 આગળ ભેગી થાય છે. તેથી x = 2 મૂકતાં,
g(2) = 22 = 4 (પહેલા નિયમ મુજબ)
g(2) = 3(2) = 6 (બીજા નિયમ મુજબ)
g(2) = 3(2) = 6 (બીજા નિયમ મુજબ)
અહીં એક જ ઇનપુટ (2) માટે બે અલગ-અલગ આઉટપુટ (4 અને 6) મળ્યા. તેથી, g એ વિધેય નથી.
પ્રશ્ન 2: જો f(x) = x2, તો
શોધો.
f(1.1) – f(1)
(1.1 – 1)
ઉકેલ:
અહીં, f(1.1) = (1.1)2 = 1.21 અને f(1) = (1)2 = 1. કિંમતો મૂકતાં:
અહીં, f(1.1) = (1.1)2 = 1.21 અને f(1) = (1)2 = 1. કિંમતો મૂકતાં:
=
=
1.21 – 1
1.1 – 1
=
0.21
0.1
જવાબ = 2.1
પ્રશ્ન 3: વિધેય f(x) =
નો પ્રદેશ શોધો.
x2 + 2x + 1
x2 – 8x + 12
ઉકેલ:
કોઈપણ અપૂર્ણાંકમાં છેદ શૂન્ય (0) ના હોવો જોઈએ, નહીંતર જવાબ અવ્યાખ્યાયિત થઈ જાય. છેદ શૂન્ય ક્યારે થાય તે શોધીએ:
કોઈપણ અપૂર્ણાંકમાં છેદ શૂન્ય (0) ના હોવો જોઈએ, નહીંતર જવાબ અવ્યાખ્યાયિત થઈ જાય. છેદ શૂન્ય ક્યારે થાય તે શોધીએ:
x2 – 8x + 12 = 0
(x – 6)(x – 2) = 0
તેથી, x = 6 અથવા x = 2
(x – 6)(x – 2) = 0
તેથી, x = 6 અથવા x = 2
આ બે કિંમતો (2 અને 6) માટે વિધેય વ્યાખ્યાયિત નથી. તેથી તેને વાસ્તવિક સંખ્યા ગણ
(R) માંથી બાદ કરવા પડે.
પ્રદેશ = R – {2, 6}
પ્રશ્ન 4: f(x) = √(x – 1) થી વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક વિધેય f નો પ્રદેશ અને વિસ્તાર શોધો.
ઉકેલ:
પ્રદેશ (Domain): વર્ગમૂળની અંદરની સંખ્યા ક્યારેય ઋણ ના હોઈ શકે. તેથી:
પ્રદેશ (Domain): વર્ગમૂળની અંદરની સંખ્યા ક્યારેય ઋણ ના હોઈ શકે. તેથી:
x – 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
પ્રદેશ = [1, ∞)
વિસ્તાર (Range): વર્ગમૂળનું પરિણામ હંમેશા ધન અથવા શૂન્ય જ હોય છે (f(x)
≥ 0). સૌથી નાનો જવાબ 0 મળશે.
વિસ્તાર = [0, ∞)
પ્રશ્ન 5: f(x) = |x – 1| થી વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક વિધેય f નો પ્રદેશ અને વિસ્તાર શોધો.
ઉકેલ:
પ્રદેશ: માનાંકમાં x ની જગ્યાએ કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા મૂકી શકાય.
પ્રદેશ: માનાંકમાં x ની જગ્યાએ કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા મૂકી શકાય.
પ્રદેશ = R
વિસ્તાર: માનાંકનો જવાબ ક્યારેય ઋણ આવતો નથી (હંમેશા 0 અથવા ધન).
વિસ્તાર = [0, ∞)
પ્રશ્ન 6: જો f = {(x,
) : x ∈ R} એ R થી R નું વિધેય હોય, તો તે વિધેય f નો
વિસ્તાર શોધો.
x2
1 + x2
ઉકેલ:
અહીં આઉટપુટ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
અહીં આઉટપુટ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
y =
x2
1 + x2
કોઈપણ સંખ્યાનો વર્ગ (x2) હંમેશા 0 અથવા ધન હોય છે. અહી છેદ (1 + x2)
એ અંશ (x2) કરતાં હંમેશા 1 જેટલો મોટો જ હશે. જ્યારે છેદ મોટો હોય, ત્યારે જવાબ હંમેશા 1 કરતા નાનો જ
આવે, પરંતુ 0 આવી શકે.
વિસ્તાર = [0, 1)
પ્રશ્ન 7: f, g : R → R, f(x) = x + 1, g(x) = 2x – 3 થી
વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે, તો f + g, f – g અને
શોધો.
f
g
ઉકેલ:
1) સરવાળો: (f + g)(x) = (x + 1) + (2x – 3) = 3x – 2
2) બાદબાકી: (f – g)(x) = (x + 1) – (2x – 3) = -x + 4
3) ભાગાકાર:
(x) =
(જ્યાં છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ, તેથી x ≠ 3/2)
2) બાદબાકી: (f – g)(x) = (x + 1) – (2x – 3) = -x + 4
3) ભાગાકાર:
f
g
x + 1
2x – 3
(જ્યાં છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ, તેથી x ≠ 3/2)
પ્રશ્ન 8: જો f = {(1, 1), (2, 3), (0, -1), (-1, -3)} એ f(x) = ax + b, થી વ્યાખ્યાયિત સંબંધ હોય,
તો a અને b શોધો.
ઉકેલ:
આપણને આપેલ છે કે f(x) = ax + b.
સૌથી સહેલું બિંદુ (0, -1) લેતાં (x = 0, જવાબ = -1):
આપણને આપેલ છે કે f(x) = ax + b.
સૌથી સહેલું બિંદુ (0, -1) લેતાં (x = 0, જવાબ = -1):
-1 = a(0) + b
b = -1
b = -1
હવે બીજું બિંદુ (1, 1) લેતાં (x = 1, જવાબ = 1):
1 = a(1) + b
1 = a – 1 (b ની કિંમત મૂકતાં)
1 + 1 = a
a = 2
1 = a – 1 (b ની કિંમત મૂકતાં)
1 + 1 = a
a = 2
જવાબ: a = 2 અને b = -1
પ્રશ્ન 9: R એ N થી N નો સંબંધ છે. R = {(a, b) : a, b ∈ N અને a = b2} થાય તે રીતે વ્યાખ્યાયિત છે, તો શું નીચેનાં વિધાનો સત્ય છે?
(i) પ્રત્યેક a ∈ N માટે (a, a) ∈ R
(ii) જો (a, b) ∈ R, તો (b, a) ∈ R
(iii) જો (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R તો (a, c) ∈ R
પ્રત્યેક વિધાનની તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસો.
(i) પ્રત્યેક a ∈ N માટે (a, a) ∈ R
(ii) જો (a, b) ∈ R, તો (b, a) ∈ R
(iii) જો (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R તો (a, c) ∈ R
પ્રત્યેક વિધાનની તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસો.
ઉકેલ:
અહીં સંબંધનો નિયમ છે: પ્રથમ સંખ્યા = (બીજી સંખ્યા)2 એટલે કે a = b2
અહીં સંબંધનો નિયમ છે: પ્રથમ સંખ્યા = (બીજી સંખ્યા)2 એટલે કે a = b2
(i) ચકાસીએ: શું (a, a) ∈ R સત્ય છે?
જો (a, a) સંબંધમાં હોય, તો a = a2 થવું જોઈએ.
ધારો કે a = 2 લઈએ (કારણ કે 2 ∈ N). તો શું 2 = 22 થાય? ના, 2 ≠ 4.
જો (a, a) સંબંધમાં હોય, તો a = a2 થવું જોઈએ.
ધારો કે a = 2 લઈએ (કારણ કે 2 ∈ N). તો શું 2 = 22 થાય? ના, 2 ≠ 4.
વિધાન (i) અસત્ય છે.
(ii) ચકાસીએ: શું (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R સત્ય છે?
ધારો કે a = 4 અને b = 2 લઈએ.
અહીં 4 = 22 છે, તેથી (4, 2) ∈ R સાચું છે.
પરંતુ, શું ઊલટું સાચું છે? શું 2 = 42 થાય? ના, 2 ≠ 16. તેથી (2, 4) ∉ R.
ધારો કે a = 4 અને b = 2 લઈએ.
અહીં 4 = 22 છે, તેથી (4, 2) ∈ R સાચું છે.
પરંતુ, શું ઊલટું સાચું છે? શું 2 = 42 થાય? ના, 2 ≠ 16. તેથી (2, 4) ∉ R.
વિધાન (ii) અસત્ય છે.
(iii) ચકાસીએ: શું (a, b) અને (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R સત્ય છે?
ધારો કે a = 16, b = 4, અને c = 2 લઈએ.
અહીં 16 = 42 છે તેથી (16, 4) ∈ R.
અને 4 = 22 છે તેથી (4, 2) ∈ R.
પરંતુ, શું a અને c નો સંબંધ બને છે? શું 16 = 22 થાય? ના, 16 ≠ 4. તેથી (16, 2) ∉ R.
ધારો કે a = 16, b = 4, અને c = 2 લઈએ.
અહીં 16 = 42 છે તેથી (16, 4) ∈ R.
અને 4 = 22 છે તેથી (4, 2) ∈ R.
પરંતુ, શું a અને c નો સંબંધ બને છે? શું 16 = 22 થાય? ના, 16 ≠ 4. તેથી (16, 2) ∉ R.
વિધાન (iii) અસત્ય છે.
પ્રશ્ન 10: A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 5, 9, 11, 15, 16} અને f = {(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)}, તો શું નીચેનાં વિધાનો સત્ય છે?
(i) f એ A થી B નો સંબંધ છે.
(ii) f એ A થી B પરનું વિધેય છે.
પ્રત્યેક કિસ્સામાં તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસો.
(i) f એ A થી B નો સંબંધ છે.
(ii) f એ A થી B પરનું વિધેય છે.
પ્રત્યેક કિસ્સામાં તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસો.
ઉકેલ:
(i) ચકાસીએ: શું f એ A થી B નો સંબંધ છે?
કોઈપણ ગણ A થી B નો સંબંધ ત્યારે જ કહેવાય જ્યારે ક્રમયુક્ત જોડનો પ્રથમ ઘટક A માંથી હોય અને બીજો ઘટક B માંથી હોય.
અહીં f ની તમામ જોડોમાં પ્રથમ ઘટકો {1, 2, 3, 4, 2} એ ગણ A માં છે અને બીજા ઘટકો {5, 9, 1, 5, 11} એ ગણ B માં છે.
એટલે કે f એ A × B નો ઉપગણ (Subset) છે.
કોઈપણ ગણ A થી B નો સંબંધ ત્યારે જ કહેવાય જ્યારે ક્રમયુક્ત જોડનો પ્રથમ ઘટક A માંથી હોય અને બીજો ઘટક B માંથી હોય.
અહીં f ની તમામ જોડોમાં પ્રથમ ઘટકો {1, 2, 3, 4, 2} એ ગણ A માં છે અને બીજા ઘટકો {5, 9, 1, 5, 11} એ ગણ B માં છે.
એટલે કે f એ A × B નો ઉપગણ (Subset) છે.
હા, વિધાન (i) સત્ય છે. f એ સંબંધ છે.
(ii) ચકાસીએ: શું f એ વિધેય છે?
વિધેયનો નિયમ છે કે ગણ A ના પ્રત્યેક સભ્યને ગણ B માં માત્ર એક જ (અનન્ય) પ્રતિબિંબ મળવું જોઈએ.
અહીં ધ્યાનથી જુઓ: જોડ (2, 9) અને (2, 11) f માં છે.
એટલે કે એક જ ઇનપુટ ‘2’ માટે આપણને બે અલગ અલગ આઉટપુટ ‘9’ અને ’11’ મળે છે. આવું ક્યારેય ના ચાલે!
વિધેયનો નિયમ છે કે ગણ A ના પ્રત્યેક સભ્યને ગણ B માં માત્ર એક જ (અનન્ય) પ્રતિબિંબ મળવું જોઈએ.
અહીં ધ્યાનથી જુઓ: જોડ (2, 9) અને (2, 11) f માં છે.
એટલે કે એક જ ઇનપુટ ‘2’ માટે આપણને બે અલગ અલગ આઉટપુટ ‘9’ અને ’11’ મળે છે. આવું ક્યારેય ના ચાલે!
ના, વિધાન (ii) અસત્ય છે. f એ વિધેય નથી.
પ્રશ્ન 11: f એ Z × Z નો ઉપગણ છે. જો f = {(ab, a + b) : a, b ∈ Z} થી વ્યાખ્યાયિત છે, તો શું f એ Z થી Z નું વિધેય છે? તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસો.
ઉકેલ:
અહીં ઇનપુટ (x) = ab (ગુણાકાર) છે અને આઉટપુટ (y) = a + b (સરવાળો) છે.
વિધેય હોવા માટે એક જ ઇનપુટના બે અલગ-અલગ આઉટપુટ ન મળવા જોઈએ. ચાલો ઉદાહરણથી ચકાસીએ:
ધારો કે a = 1 અને b = 6 લઈએ (બંને પૂર્ણાંકો Z માં છે).
ઇનપુટ (ab) = 1 × 6 = 6
આઉટપુટ (a + b) = 1 + 6 = 7
તેથી, જોડ (6, 7) f માં છે.
હવે ધારો કે a = 2 અને b = 3 લઈએ.
ઇનપુટ (ab) = 2 × 3 = 6
આઉટપુટ (a + b) = 2 + 3 = 5
તેથી, જોડ (6, 5) f માં છે.
અહીં ઇનપુટ (x) = ab (ગુણાકાર) છે અને આઉટપુટ (y) = a + b (સરવાળો) છે.
વિધેય હોવા માટે એક જ ઇનપુટના બે અલગ-અલગ આઉટપુટ ન મળવા જોઈએ. ચાલો ઉદાહરણથી ચકાસીએ:
ધારો કે a = 1 અને b = 6 લઈએ (બંને પૂર્ણાંકો Z માં છે).
ઇનપુટ (ab) = 1 × 6 = 6
આઉટપુટ (a + b) = 1 + 6 = 7
તેથી, જોડ (6, 7) f માં છે.
હવે ધારો કે a = 2 અને b = 3 લઈએ.
ઇનપુટ (ab) = 2 × 3 = 6
આઉટપુટ (a + b) = 2 + 3 = 5
તેથી, જોડ (6, 5) f માં છે.
અહીં એક જ ઇનપુટ (6) માટે બે અલગ-અલગ આઉટપુટ (7 અને 5) મળે છે.
તેથી, f એ Z થી Z પરનું વિધેય નથી.
પ્રશ્ન 12: A = {9, 10, 11, 12, 13} અને f : A → N, f(n) = n નો મહત્તમ અવિભાજ્ય અવયવ છે. f નો વિસ્તાર મેળવો.
ઉકેલ:
અહીં આપણો નિયમ (વિધેય) એવો છે કે આપેલી સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડવાના, અને તેમાં જે સૌથી મોટો (મહત્તમ) અવયવ હોય તે આપણો જવાબ કહેવાશે.
ચાલો ગણ A ના પ્રત્યેક સભ્ય માટે ચકાસીએ:
અહીં આપણો નિયમ (વિધેય) એવો છે કે આપેલી સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડવાના, અને તેમાં જે સૌથી મોટો (મહત્તમ) અવયવ હોય તે આપણો જવાબ કહેવાશે.
ચાલો ગણ A ના પ્રત્યેક સભ્ય માટે ચકાસીએ:
- n = 9: 9 ના અવયવો = 3 × 3. મહત્તમ અવિભાજ્ય અવયવ = 3
- n = 10: 10 ના અવયવો = 2 × 5. મહત્તમ અવિભાજ્ય અવયવ = 5
- n = 11: 11 પોતે જ અવિભાજ્ય છે = 11 × 1. મહત્તમ અવિભાજ્ય અવયવ = 11
- n = 12: 12 ના અવયવો = 2 × 2 × 3. મહત્તમ અવિભાજ્ય અવયવ = 3
- n = 13: 13 પોતે જ અવિભાજ્ય છે = 13 × 1. મહત્તમ અવિભાજ્ય અવયવ = 13
આપણને મળેલા જવાબો (આઉટપુટ) નું લિસ્ટ {3, 5, 11, 3, 13} છે. ગણની ભાષામાં કોઈ સભ્ય બીજીવાર લખાતો નથી.
તેથી, f નો વિસ્તાર = {3, 5, 11, 13}