વિજ્ઞાન – પ્રકરણ ૭: ગતિ (સ્થાનાંતર અને અંતર)
પ્રશ્ન ૧: કોઈ વસ્તુ દ્વારા અમુક અંતર કપાયેલ છે. શું તેનું સ્થાનાંતર શૂન્ય હોઈ શકે ? જો હા, તો આપના ઉત્તરને ઉદાહરણ દ્વારા સમજાવો.
જવાબ ૧: હા, સ્થાનાંતર શૂન્ય હોઈ શકે છે.
સમજૂતી (ઉદાહરણ): સ્થાનાંતર એટલે શરૂઆતની જગ્યા અને અંતિમ જગ્યા વચ્ચેનું ટૂંકામાં ટૂંકું (સીધું) અંતર. જો તમે તમારા ઘરેથી શાળાએ જાઓ અને શાળાએથી પાછા ઘરે આવો, તો તમે અમુક કિલોમીટરનું ‘અંતર’ તો કાપ્યું છે, પણ તમારી શરૂઆતની જગ્યા અને અંતિમ જગ્યા એક જ (ઘર) હોવાથી તમારું ‘સ્થાનાંતર’ શૂન્ય (0) ગણાશે.
સમજૂતી (ઉદાહરણ): સ્થાનાંતર એટલે શરૂઆતની જગ્યા અને અંતિમ જગ્યા વચ્ચેનું ટૂંકામાં ટૂંકું (સીધું) અંતર. જો તમે તમારા ઘરેથી શાળાએ જાઓ અને શાળાએથી પાછા ઘરે આવો, તો તમે અમુક કિલોમીટરનું ‘અંતર’ તો કાપ્યું છે, પણ તમારી શરૂઆતની જગ્યા અને અંતિમ જગ્યા એક જ (ઘર) હોવાથી તમારું ‘સ્થાનાંતર’ શૂન્ય (0) ગણાશે.
પ્રશ્ન ૨: એક ખેડૂત 10 m લંબાઈના એક ચોરસ ખેતરની ધારે ધારે 40 s માં એક ચક્કર પૂર્ણ કરે છે. 2 મિનિટ 20 સેકન્ડ બાદ આ ખેડૂતે પ્રારંભિક સ્થાનથી કેટલું સ્થાનાંતર કર્યું હશે ?
સંપૂર્ણ ગણતરી અને સમજૂતી:
૧. કુલ સમય: 2 મિનિટ 20 સેકન્ડ = (2 × 60 સેકન્ડ) + 20 સેકન્ડ = 140 સેકન્ડ.
૨. ચક્કરની સંખ્યા: ખેડૂત 40 સેકન્ડમાં 1 ચક્કર પૂરૂં કરે છે. તો 140 સેકન્ડમાં તેણે કેટલા ચક્કર માર્યા હશે?
કુલ ચક્કર = 140 / 40 = 3.5 (સાડા ત્રણ ચક્કર).
૩. અંતિમ સ્થાન: ધારો કે ખેડૂત A ખૂણેથી ચાલવાનું શરૂ કરે છે. 3 આખા ચક્કર માર્યા પછી તે બરાબર ફરીથી A ખૂણે જ પાછો આવશે. હવે બાકીના 0.5 (અડધા) ચક્કરમાં તે ખેતરના બરાબર સામેના ખૂણે (ધારો કે C ખૂણે) પહોંચશે.
૪. સ્થાનાંતર શોધવું: સ્થાનાંતર એટલે શરૂઆતના ખૂણા A અને અંતિમ ખૂણા C વચ્ચેનું સીધું અંતર (ચોરસનો વિકર્ણ).
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: સીધું અંતર = √(102 + 102)
= √(100 + 100)
= √200
= 10√2 મીટર.
(√2 ની કિંમત 1.414 મૂકતા) = 10 × 1.414 = 14.14 મીટર.
આમ, ખેડૂતે 14.14 મીટર જેટલું સ્થાનાંતર કર્યું હશે.
૧. કુલ સમય: 2 મિનિટ 20 સેકન્ડ = (2 × 60 સેકન્ડ) + 20 સેકન્ડ = 140 સેકન્ડ.
૨. ચક્કરની સંખ્યા: ખેડૂત 40 સેકન્ડમાં 1 ચક્કર પૂરૂં કરે છે. તો 140 સેકન્ડમાં તેણે કેટલા ચક્કર માર્યા હશે?
કુલ ચક્કર = 140 / 40 = 3.5 (સાડા ત્રણ ચક્કર).
૩. અંતિમ સ્થાન: ધારો કે ખેડૂત A ખૂણેથી ચાલવાનું શરૂ કરે છે. 3 આખા ચક્કર માર્યા પછી તે બરાબર ફરીથી A ખૂણે જ પાછો આવશે. હવે બાકીના 0.5 (અડધા) ચક્કરમાં તે ખેતરના બરાબર સામેના ખૂણે (ધારો કે C ખૂણે) પહોંચશે.
૪. સ્થાનાંતર શોધવું: સ્થાનાંતર એટલે શરૂઆતના ખૂણા A અને અંતિમ ખૂણા C વચ્ચેનું સીધું અંતર (ચોરસનો વિકર્ણ).
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: સીધું અંતર = √(102 + 102)
= √(100 + 100)
= √200
= 10√2 મીટર.
(√2 ની કિંમત 1.414 મૂકતા) = 10 × 1.414 = 14.14 મીટર.
આમ, ખેડૂતે 14.14 મીટર જેટલું સ્થાનાંતર કર્યું હશે.
પ્રશ્ન ૩: સ્થાનાંતર માટે નીચેના પૈકી કયું સાચું છે ?
(a) તે શૂન્ય હોઈ શકે નહિ.
(b) તેનું મૂલ્ય વસ્તુ દ્વારા કપાયેલ અંતર કરતાં વધુ હોય છે.
(a) તે શૂન્ય હોઈ શકે નહિ.
(b) તેનું મૂલ્ય વસ્તુ દ્વારા કપાયેલ અંતર કરતાં વધુ હોય છે.
જવાબ ૩: આપેલા બંને વિધાનો ખોટા છે.
– (a) ખોટું છે, કારણ કે વસ્તુ પાછી મૂળ જગ્યાએ આવે તો સ્થાનાંતર શૂન્ય હોઈ શકે છે.
– (b) ખોટું છે, કારણ કે સ્થાનાંતર (સીધું અંતર) હંમેશા કાપેલા કુલ અંતર જેટલું અથવા તેનાથી ઓછું જ હોય છે, તે ક્યારેય અંતર કરતા વધુ હોઈ શકે નહીં.
– (a) ખોટું છે, કારણ કે વસ્તુ પાછી મૂળ જગ્યાએ આવે તો સ્થાનાંતર શૂન્ય હોઈ શકે છે.
– (b) ખોટું છે, કારણ કે સ્થાનાંતર (સીધું અંતર) હંમેશા કાપેલા કુલ અંતર જેટલું અથવા તેનાથી ઓછું જ હોય છે, તે ક્યારેય અંતર કરતા વધુ હોઈ શકે નહીં.
વિજ્ઞાન – પ્રકરણ ૭: ગતિ (ઝડપ અને વેગ)
પ્રશ્ન ૧: ઝડપ અને વેગ વચ્ચેનો ભેદ સ્પષ્ટ કરો.
જવાબ ૧:
૧. ઝડપ (Speed): વસ્તુએ એકમ સમયમાં કાપેલા કુલ અંતરને ઝડપ કહે છે. તેને દિશા સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી (ફક્ત મૂલ્ય જરૂરી છે).
૨. વેગ (Velocity): વસ્તુએ એકમ સમયમાં ચોક્કસ દિશામાં કાપેલા અંતરને (સ્થાનાંતરને) વેગ કહે છે. તેમાં મૂલ્યની સાથે દિશાની પણ જરૂર પડે છે.
૧. ઝડપ (Speed): વસ્તુએ એકમ સમયમાં કાપેલા કુલ અંતરને ઝડપ કહે છે. તેને દિશા સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી (ફક્ત મૂલ્ય જરૂરી છે).
૨. વેગ (Velocity): વસ્તુએ એકમ સમયમાં ચોક્કસ દિશામાં કાપેલા અંતરને (સ્થાનાંતરને) વેગ કહે છે. તેમાં મૂલ્યની સાથે દિશાની પણ જરૂર પડે છે.
પ્રશ્ન ૨: કઈ પરિસ્થિતિઓમાં વસ્તુના સરેરાશ વેગ અને સરેરાશ ઝડપનાં મૂલ્યો સમાન થાય?
જવાબ ૨: જ્યારે કોઈ વસ્તુ એક જ સીધી રેખામાં (સુરેખ પથ પર) અને એક જ દિશામાં ગતિ કરતી હોય, ત્યારે કાપેલું અંતર અને સ્થાનાંતર સરખા થાય છે, તેથી તેની સરેરાશ ઝડપ અને સરેરાશ વેગ સમાન થાય છે.
પ્રશ્ન ૩: વાહનનું ઓડોમીટર શું માપે છે ?
જવાબ ૩: વાહનનું ઓડોમીટર વાહને કાપેલું કુલ અંતર માપે છે (જેમ કે ગાડી કેટલા કિલોમીટર ચાલી છે).
પ્રશ્ન ૪: જ્યારે કોઈ વસ્તુ નિયમિત ગતિ કરતી હોય ત્યારે તેનો ગતિપથ કેવો દેખાશે ?
જવાબ ૪: જ્યારે વસ્તુ નિયમિત ગતિ કરતી હોય ત્યારે તેનો ગતિપથ સીધી રેખા (સુરેખ પથ) જેવો દેખાશે.
પ્રશ્ન ૫: એક પ્રયોગ દરમિયાન અવકાશયાનમાંથી એક સિગ્નલને પૃથ્વી પરના સ્ટેશન સુધી પહોંચતા 5 min જેટલો સમય લાગે છે. પૃથ્વી પરના સ્ટેશનથી અવકાશયાનનું અંતર કેટલું હશે ? (સિગ્નલનો વેગ 3 × 108 m s-1 છે).
સંપૂર્ણ ગણતરી:
૧. સમય (t): 5 મિનિટ = 5 × 60 સેકન્ડ = 300 સેકન્ડ.
૨. વેગ (v): 3 × 108 મીટર/સેકન્ડ.
૩. અંતર (d) શોધવા માટેનું સૂત્ર: અંતર = વેગ × સમય.
અંતર = (3 × 108) × 300
અંતર = 900 × 108 મીટર
અંતર = 9 × 1010 મીટર
તેથી, અવકાશયાનનું પૃથ્વીથી અંતર 9 × 1010 મીટર હશે.
૧. સમય (t): 5 મિનિટ = 5 × 60 સેકન્ડ = 300 સેકન્ડ.
૨. વેગ (v): 3 × 108 મીટર/સેકન્ડ.
૩. અંતર (d) શોધવા માટેનું સૂત્ર: અંતર = વેગ × સમય.
અંતર = (3 × 108) × 300
અંતર = 900 × 108 મીટર
અંતર = 9 × 1010 મીટર
તેથી, અવકાશયાનનું પૃથ્વીથી અંતર 9 × 1010 મીટર હશે.
વિજ્ઞાન – પ્રકરણ ૭: ગતિ (પ્રવેગ અને તેના દાખલા)
પ્રશ્ન ૧: તમે કોઈ વસ્તુની બાબતમાં ક્યારે કહી શકો કે, (i) તે નિયમિત પ્રવેગથી ગતિ કરે છે ? (ii) તે અનિયમિત પ્રવેગથી ગતિ કરે છે ?
જવાબ ૧:
(i) નિયમિત પ્રવેગ: જ્યારે કોઈ વસ્તુ સીધી રેખામાં ગતિ કરતી હોય અને એકસરખા સમયગાળામાં તેનો વેગ એકસરખો વધતો હોય, ત્યારે તેનો પ્રવેગ નિયમિત છે તેમ કહેવાય. (દા.ત. ઉપરથી નીચે પડતો દડો).
(ii) અનિયમિત પ્રવેગ: જ્યારે એકસરખા સમયગાળામાં વસ્તુના વેગમાં થતો ફેરફાર એકસરખો ન હોય (ક્યારેક વધુ, ક્યારેક ઓછો), ત્યારે તેનો પ્રવેગ અનિયમિત કહેવાય. (દા.ત. ટ્રાફિકવાળા રસ્તા પર ચાલતી કાર).
(i) નિયમિત પ્રવેગ: જ્યારે કોઈ વસ્તુ સીધી રેખામાં ગતિ કરતી હોય અને એકસરખા સમયગાળામાં તેનો વેગ એકસરખો વધતો હોય, ત્યારે તેનો પ્રવેગ નિયમિત છે તેમ કહેવાય. (દા.ત. ઉપરથી નીચે પડતો દડો).
(ii) અનિયમિત પ્રવેગ: જ્યારે એકસરખા સમયગાળામાં વસ્તુના વેગમાં થતો ફેરફાર એકસરખો ન હોય (ક્યારેક વધુ, ક્યારેક ઓછો), ત્યારે તેનો પ્રવેગ અનિયમિત કહેવાય. (દા.ત. ટ્રાફિકવાળા રસ્તા પર ચાલતી કાર).
પ્રશ્ન ૨: એક બસની ઝડપ 5 s માં 80 km/h થી ઘટીને 60 km/h થઈ જાય છે. બસનો પ્રવેગ શોધો.
સંપૂર્ણ ગણતરી:
અહીં ઝડપ km/h માં છે અને સમય સેકન્ડ (s) માં છે, તેથી પહેલા ઝડપને m/s માં ફેરવવી પડશે (જેના માટે 5 અંશમાં અને 18 છેદમાં રાખી ગુણાકાર કરવો પડે).
(ખાસ નોંધ: અહીં જવાબ માઇનસ (-) માં આવે છે, જે દર્શાવે છે કે બસની ઝડપ ઘટી રહી છે. આને ‘પ્રતિપ્રવેગ’ પણ કહેવાય છે.)
અહીં ઝડપ km/h માં છે અને સમય સેકન્ડ (s) માં છે, તેથી પહેલા ઝડપને m/s માં ફેરવવી પડશે (જેના માટે 5 અંશમાં અને 18 છેદમાં રાખી ગુણાકાર કરવો પડે).
૧. પ્રારંભિક વેગ (u): 80 ×
=
m/s
5
18
400
18
૨. અંતિમ વેગ (v): 60 ×
=
m/s
5
18
300
18
૩. સમય (t): 5 s
૪. પ્રવેગ (a) નું સૂત્ર:
a =
v – u
t
a =
–
300
18
400
18
5
a =
-100
18 × 5
a =
= -1.11 m/s2
-100
90
(ખાસ નોંધ: અહીં જવાબ માઇનસ (-) માં આવે છે, જે દર્શાવે છે કે બસની ઝડપ ઘટી રહી છે. આને ‘પ્રતિપ્રવેગ’ પણ કહેવાય છે.)
પ્રશ્ન ૩: એક ટ્રેન રેલવે-સ્ટેશનથી ગતિનો પ્રારંભ કરે છે અને નિયમિત પ્રવેગથી ગતિ કરી 10 min માં 40 km/h ની ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે, તો તેનો પ્રવેગ શોધો.
સંપૂર્ણ ગણતરી:
૧. પ્રારંભિક વેગ (u): ટ્રેન ઊભી હતી અને ગતિ શરૂ કરે છે, એટલે શરૂઆતની ઝડપ 0 m/s લેવાય.
૧. પ્રારંભિક વેગ (u): ટ્રેન ઊભી હતી અને ગતિ શરૂ કરે છે, એટલે શરૂઆતની ઝડપ 0 m/s લેવાય.
૨. અંતિમ વેગ (v): 40 ×
=
m/s
5
18
200
18
૩. સમય (t): 10 મિનિટ. આને સેકન્ડમાં ફેરવતા = 10 × 60 = 600 s.
૪. પ્રવેગ (a) ની ગણતરી:
a =
– 0
200
18
600
a =
200
18 × 600
a =
200
10800
a =
=
2
108
1
54
a = 0.0185 m/s2
વિજ્ઞાન – પ્રકરણ ૭: પ્રવૃત્તિ ૭.૯ (સંપૂર્ણ સમજૂતી)
પ્રશ્ન અને માહિતી (કોષ્ટક ૭.૪):
એક ટ્રેનનાં ત્રણ સ્ટેશનો A, B અને C પાસે આગમન અને પ્રસ્થાનના સમય તથા સ્ટેશન B અને C ના સ્ટેશન A થી અંતર નીચે દર્શાવેલ છે.
કોઈ બે સ્ટેશનોની વચ્ચે ટ્રેનની ગતિ નિયમિત છે તેમ સ્વીકારી લઈને અંતર-સમયનો આલેખ દોરો અને તેનું અર્થઘટન કરો.
| સ્ટેશન B અને C ના A થી અંતરો તથા ટ્રેનનો આવવાનો અને જવાનો સમય | |||
|---|---|---|---|
| સ્ટેશન | A થી અંતર (km) | આવવાનો સમય (hours) | જવાનો સમય (hours) |
| A | 0 | 08:00 | 08:15 |
| B | 120 | 11:15 | 11:30 |
| C | 180 | 13:00 | 13:15 |
આલેખ (ગ્રાફ) કેવી રીતે દોરવો? (સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સમજૂતી):
- X-અક્ષ અને Y-અક્ષ: નીચેની આડી લાઈન (X-અક્ષ) પર આપણે ‘સમય’ લખીશું (08:00, 09:00, 10:00 એમ 1 કલાકના ગાળે). ઊભી લાઈન (Y-અક્ષ) પર આપણે ‘અંતર’ લખીશું (0, 40, 80 એમ 40 km ના ગાળે).
- સ્ટેશન A: ટ્રેન 08:00 વાગ્યે 0 km પર છે અને 08:15 સુધી ત્યાં જ ઊભી છે. તેથી ગ્રાફમાં બરાબર નીચે 08:00 થી 08:15 સુધી એક નાની આડી લાઈન દોરો.
- A થી B ની મુસાફરી: ટ્રેન 08:15 એ ઊપડીને 11:15 એ 120 km દૂર (સ્ટેશન B) પહોંચે છે. તેથી (08:15, 0) વાળા બિંદુથી (11:15, 120) વાળા બિંદુ સુધી એક ત્રાંસી સીધી લાઈન ખેંચો.
- સ્ટેશન B પર રોકાણ: 11:15 થી 11:30 સુધી ટ્રેન ઊભી છે. અંતર 120 km જ છે, તેથી 120 ની સામે એક આડી લાઈન દોરો.
- B થી C ની મુસાફરી: 11:30 એ ઊપડીને 13:00 એ 180 km દૂર પહોંચે છે. તેથી 11:30 વાળા બિંદુથી 13:00 ના 180 km વાળા બિંદુ સુધી ફરી ત્રાંસી સીધી લાઈન ખેંચો.
- સ્ટેશન C પર રોકાણ: છેલ્લે 13:00 થી 13:15 સુધી 180 km પર ફરી એક આડી લાઈન બનાવો.
અંતર-સમયનો આલેખ:
આલેખનું અર્થઘટન (તારણ):
- ગ્રાફમાં જે આડી લાઈનો (X-અક્ષને સમાંતર) છે, તે દર્શાવે છે કે ટ્રેન તે સમયે સ્ટેશન પર ઊભી છે (સમય પસાર થાય છે પણ અંતર વધતું નથી).
- ગ્રાફમાં જે ત્રાંસી સીધી લાઈનો છે, તે દર્શાવે છે કે ટ્રેન બે સ્ટેશનો વચ્ચે અચળ ઝડપે (નિયમિત ગતિથી) મુસાફરી કરી રહી છે.
વિજ્ઞાન – પ્રકરણ ૭: ફિરોજ અને સાનિયાની ગતિનો આલેખ
પ્રશ્ન અને માહિતી (કોષ્ટક ૭.૫):
ફિરોજ અને તેની બહેન સાનિયા તેમની સાઇકલો પર શાળાએ જાય છે. તે બંને ઘરેથી એક સાથે પ્રસ્થાન કરે છે તેમજ એક જ માર્ગે ગતિ કરે છે; છતાં અલગ-અલગ સમયે શાળાએ પહોંચે છે.
આ બંનેની ગતિ માટે અંતર-સમયનો આલેખ એક જ પ્રમાણમાપથી દોરો અને તેનું અર્થઘટન કરો.
| ફિરોજ અને સાનિયા દ્વારા જુદા જુદા સમયમાં સાઇકલો વડે કપાયેલ અંતર | ||
|---|---|---|
| સમય | ફિરોજ દ્વારા કપાયેલ અંતર (km) | સાનિયા દ્વારા કપાયેલ અંતર (km) |
| 8:00 am | 0 | 0 |
| 8:05 am | 1.0 | 0.8 |
| 8:10 am | 1.9 | 1.6 |
| 8:15 am | 2.8 | 2.3 |
| 8:20 am | 3.6 | 3.0 |
| 8:25 am | – | 3.6 |
આલેખ (ગ્રાફ) કેવી રીતે દોરવો?
- અક્ષ નક્કી કરો: નીચેની આડી લાઈન (X-અક્ષ) પર ‘સમય’ લખો (દરેક 5 મિનિટના ગાળે: 8:00, 8:05, 8:10…). ઊભી લાઈન (Y-અક્ષ) પર ‘અંતર’ લખો (દરેક 1 કિમીના ગાળે: 1, 2, 3, 4 km).
- ફિરોજનો ગ્રાફ (વાદળી લાઈન): કોષ્ટક પ્રમાણે ફિરોજ 8:05 એ 1.0 km, 8:10 એ 1.9 km પહોંચે છે, અને છેલ્લે 8:20 એ 3.6 km (શાળાએ) પહોંચે છે. આ બધા બિંદુઓ પર ટપકાં કરી તેને જોડો.
- સાનિયાનો ગ્રાફ (લાલ લાઈન): તે જ ગ્રાફમાં સાનિયા 8:05 એ 0.8 km અને છેલ્લે 8:25 એ 3.6 km (શાળાએ) પહોંચે છે. આ બિંદુઓ જોડીને બીજી લાઈન બનાવો.
અંતર-સમયનો આલેખ:
આલેખનું અર્થઘટન (તારણ):
- ગંતવ્ય સ્થાન: બંનેને શાળાએ પહોંચવા માટે કુલ 3.6 km જેટલું અંતર કાપવાનું છે.
- સમયનો તફાવત: ફિરોજ 8:20 એ પહોંચી જાય છે (તેને 20 મિનિટ લાગે છે), જ્યારે સાનિયા 8:25 એ પહોંચે છે (તેને 25 મિનિટ લાગે છે). આમ, ફિરોજ સાનિયા કરતા વહેલો પહોંચે છે.
- ઝડપ અને ઢાળ: ગ્રાફમાં ફિરોજની (વાદળી) લાઈન વધુ ઊભી (વધુ ઢાળવાળી) છે, જે દર્શાવે છે કે ફિરોજની ઝડપ સાનિયા કરતા વધારે છે.
- ગતિનો પ્રકાર: ગ્રાફની લાઈન એકદમ સીધી રેખા નથી (તેમાં થોડો વળાંક આવે છે), જે દર્શાવે છે કે બંનેની ગતિ અનિયમિત ગતિ છે (એટલે કે આખા રસ્તા દરમિયાન તેમની ઝડપ એકસરખી રહેતી નથી, ક્યારેક વધ-ઘટ થાય છે).
વિજ્ઞાન – પ્રકરણ ૭: ગતિનાં સમીકરણોની સરળ સાબિતી
💡 પહેલા આ ૫ અક્ષરોનો અર્થ સમજી લઈએ:
- u = પ્રારંભિક વેગ (શરૂઆતની ઝડપ)
- v = અંતિમ વેગ (છેલ્લી ઝડપ)
- a = પ્રવેગ (ઝડપમાં થતો એકસરખો વધારો)
- t = સમય
- s = સ્થાનાંતર (કાપેલું અંતર)
૧. વેગ-સમય સંબંધનું સમીકરણ (v = u + at)
આ સમીકરણ પ્રવેગની સાદી વ્યાખ્યા પરથી જ બને છે.
પ્રવેગ (a) =
વેગમાં થતો ફેરફાર (અંતિમ વેગ – પ્રારંભિક વેગ)
સમય
a =
v – u
t
t ને સામેની બાજુ ગુણાકારમાં લઈ જતા:
at = v – u
હવે -u ને ડાબી બાજુ લાવતા તે +u થઈ જશે:
u + at = v
માટે, v = u + at (આ પહેલું સમીકરણ સાબિત થયું)
૨. સ્થાન-સમય સંબંધનું સમીકરણ (s = ut + ½at²)
અંતર (s) શોધવા માટે આપણે સરેરાશ વેગનો સમય સાથે ગુણાકાર કરવો પડે.
અંતર (s) = સરેરાશ વેગ × સમય
s =
× t
(v + u)
2
હવે પહેલા સમીકરણ મુજબ v = u + at ની કિંમત ઉપર મૂકતા:
s =
× t
(u + at + u)
2
s =
× t
(2u + at)
2
બંનેને અલગ-અલગ છેદ આપતા અને t નો અંદર ગુણાકાર કરતા:
s =
+
2ut
2
at2
2
પહેલા પદમાં 2 અને 2 ઊડી જશે:
s = ut + at2 (આ બીજું સમીકરણ સાબિત થયું)
1
2
૩. સ્થાન-વેગ સંબંધનું સમીકરણ (2as = v² – u²)
આ માટે આપણે ફરીથી અંતરના સૂત્રનો જ ઉપયોગ કરીશું.
s =
× t (સૂત્ર નંબર ૧)
(v + u)
2
પહેલા સમીકરણ (v = u + at) પરથી t ની કિંમત શોધીએ:
t =
v – u
a
હવે આ t ની કિંમત સૂત્ર નંબર ૧ માં મૂકતા:
s =
×
(v + u)
2
(v – u)
a
ગણિતના નિયમ (x+y)(x-y) = x² – y² મુજબ ઉપરનો ગુણાકાર કરતા:
s =
v2 – u2
2a
છેદના 2a ને સામેની બાજુ ગુણાકારમાં મોકલતા:
2as = v2 – u2 (આ ત્રીજું સમીકરણ સાબિત થયું)
વિજ્ઞાન – પ્રકરણ ૭: ગતિનાં સમીકરણો આધારિત દાખલા
પ્રશ્ન ૧: એક બસ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિની શરૂઆત કરે છે તથા 2 min સુધી 0.1 m s-2 ના અચળ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે, તો (a) પ્રાપ્ત કરેલ ઝડપ (b) તેણે કાપેલ અંતર શોધો.
આપેલી માહિતી:
– પ્રારંભિક વેગ (u) = 0 m/s (કારણ કે બસ સ્થિર હતી)
– પ્રવેગ (a) = 0.1 m/s2
– સમય (t) = 2 મિનિટ = 2 × 60 = 120 સેકન્ડ
(a) પ્રાપ્ત કરેલ ઝડપ (v) શોધવા: (સૂત્ર: v = u + at)
(b) કાપેલ અંતર (s) શોધવા: (સૂત્ર: s = ut + ½at²)
– પ્રારંભિક વેગ (u) = 0 m/s (કારણ કે બસ સ્થિર હતી)
– પ્રવેગ (a) = 0.1 m/s2
– સમય (t) = 2 મિનિટ = 2 × 60 = 120 સેકન્ડ
(a) પ્રાપ્ત કરેલ ઝડપ (v) શોધવા: (સૂત્ર: v = u + at)
v = 0 + (0.1 × 120)
v = 12 m/s (આમ, બસની ઝડપ 12 m/s થશે)
(b) કાપેલ અંતર (s) શોધવા: (સૂત્ર: s = ut + ½at²)
s = (0 × 120) + × 0.1 × (120)2
1
2
s = 0 + × 0.1 × 14400
1
2
s =
1440
2
s = 720 મીટર (આમ, બસે 720 મીટર અંતર કાપ્યું હશે)
પ્રશ્ન ૨: એક ટ્રેન 90 km h-1 ની ઝડપથી ગતિ કરી રહી છે. બ્રેક મારતાં તેમાં -0.5 m s-2 નો અચળ પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે. ટ્રેન સ્થિર સ્થિતિમાં આવે તે પહેલાં કેટલું અંતર કાપશે ?
આપેલી માહિતી:
– અંતિમ વેગ (v) = 0 m/s (કારણ કે ટ્રેન ઊભી રહી જાય છે)
– પ્રવેગ (a) = -0.5 m/s2 (પ્રતિપ્રવેગ)
અંતર (s) શોધવા માટે સૂત્ર: 2as = v² – u²
– અંતિમ વેગ (v) = 0 m/s (કારણ કે ટ્રેન ઊભી રહી જાય છે)
– પ્રવેગ (a) = -0.5 m/s2 (પ્રતિપ્રવેગ)
– પ્રારંભિક વેગ (u) = 90 km/h = 90 × = 25 m/s
5
18
અંતર (s) શોધવા માટે સૂત્ર: 2as = v² – u²
2 × (-0.5) × s = (0)2 – (25)2
-1.0 × s = -625
s = 625 મીટર (ટ્રેન ઊભી રહેતા પહેલા 625 મીટર અંતર કાપશે)
પ્રશ્ન ૩: એક ટ્રોલી ઢોળાવ ધરાવતી સપાટી પર 2 cm s-2 ના પ્રવેગથી નીચે તરફ ગતિ કરી રહી છે. ગતિની શરૂઆત બાદ 3 s ના અંતે તેનો વેગ કેટલો હશે ?
આપેલી માહિતી:
– પ્રારંભિક વેગ (u) = 0 cm/s (શરૂઆતથી ગતિ કરે છે)
– પ્રવેગ (a) = 2 cm/s2
– સમય (t) = 3 સેકન્ડ
વેગ (v) શોધવા: (સૂત્ર: v = u + at)
– પ્રારંભિક વેગ (u) = 0 cm/s (શરૂઆતથી ગતિ કરે છે)
– પ્રવેગ (a) = 2 cm/s2
– સમય (t) = 3 સેકન્ડ
વેગ (v) શોધવા: (સૂત્ર: v = u + at)
v = 0 + (2 × 3)
v = 6 cm/s (ટ્રોલીનો વેગ 6 cm/s હશે)
પ્રશ્ન ૪: એક રેસિંગ કારનો અચળ પ્રવેગ 4 m s-2 છે. ગતિની શરૂઆત બાદ 10 s ના અંતે તેણે કેટલું અંતર કાપેલ હશે ?
આપેલી માહિતી:
– પ્રારંભિક વેગ (u) = 0 m/s
– પ્રવેગ (a) = 4 m/s2
– સમય (t) = 10 સેકન્ડ
અંતર (s) શોધવા: (સૂત્ર: s = ut + ½at²)
– પ્રારંભિક વેગ (u) = 0 m/s
– પ્રવેગ (a) = 4 m/s2
– સમય (t) = 10 સેકન્ડ
અંતર (s) શોધવા: (સૂત્ર: s = ut + ½at²)
s = (0 × 10) + × 4 × (10)2
1
2
s = 0 + 2 × 100
s = 200 મીટર (કાર 200 મીટર દૂર પહોંચી હશે)
પ્રશ્ન ૫: એક પથ્થરને ઊર્ધ્વદિશામાં 5 m s-1 ના વેગથી ફેંકવામાં આવે છે. જો ગતિ દરમિયાન પથ્થરનો અધોદિશામાં પ્રવેગ 10 m s-2 હોય, તો પથ્થર કેટલી ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરશે તથા તેને ત્યાં પહોંચતા કેટલો સમય લાગશે ?
આપેલી માહિતી:
– પ્રારંભિક વેગ (u) = 5 m/s (ઉપર તરફ)
– અંતિમ વેગ (v) = 0 m/s (સૌથી ઉપર જઈને પથ્થર એક ક્ષણ માટે ઊભો રહેશે)
– પ્રવેગ (a) = -10 m/s2 (ગુરુત્વાકર્ષણ નીચે તરફ ખેંચે છે એટલે માઇનસ લેવાશે)
૧. પહોંચતા લાગતો સમય (t) શોધવા: (સૂત્ર: v = u + at)
૨. પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ/અંતર (s) શોધવા: (સૂત્ર: 2as = v² – u²)
– પ્રારંભિક વેગ (u) = 5 m/s (ઉપર તરફ)
– અંતિમ વેગ (v) = 0 m/s (સૌથી ઉપર જઈને પથ્થર એક ક્ષણ માટે ઊભો રહેશે)
– પ્રવેગ (a) = -10 m/s2 (ગુરુત્વાકર્ષણ નીચે તરફ ખેંચે છે એટલે માઇનસ લેવાશે)
૧. પહોંચતા લાગતો સમય (t) શોધવા: (સૂત્ર: v = u + at)
0 = 5 + (-10 × t)
10t = 5
t =
5
10
t = 0.5 સેકન્ડ (અડધી સેકન્ડ લાગશે)
૨. પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ/અંતર (s) શોધવા: (સૂત્ર: 2as = v² – u²)
2 × (-10) × s = (0)2 – (5)2
-20s = -25
s =
-25
-20
s = 1.25 મીટર (પથ્થર 1.25 મીટરની ઊંચાઈએ જશે)
વિજ્ઞાન – પ્રકરણ ૭: સ્વાધ્યાયના સંપૂર્ણ પ્રશ્નો-જવાબો
પ્રશ્ન ૧: એક ઍથલેટ 200 m વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળાકાર પથ પર એક ચક્કર 40 s માં પૂરું કરે છે. 2 min 20 s બાદ તેણે કેટલું અંતર કાપેલ હશે તથા તેનું સ્થાનાંતર કેટલું હશે ?
ગણતરી:
– વ્યાસ = 200 m, તેથી ત્રિજ્યા (r) = 100 m.
– કુલ સમય = 2 મિનિટ 20 સેકન્ડ = 140 સેકન્ડ.
– ચક્કરની સંખ્યા = 140 / 40 = 3.5 ચક્કર (સાડા ત્રણ ચક્કર).
(૧) કાપેલું અંતર:
અંતર = 3.5 × (વર્તુળનો પરિઘ)
અંતર = 3.5 × (2 × π × r)
અંતર = 3.5 × 2 × 3.14 × 100 = 2198 મીટર (આશરે 2200 મીટર).
(૨) સ્થાનાંતર:
સાડા ત્રણ ચક્કર પછી ઍથલેટ બરાબર સામેના છેડે હશે. તેથી સ્થાનાંતર = વર્તુળનો વ્યાસ = 200 મીટર.
– વ્યાસ = 200 m, તેથી ત્રિજ્યા (r) = 100 m.
– કુલ સમય = 2 મિનિટ 20 સેકન્ડ = 140 સેકન્ડ.
– ચક્કરની સંખ્યા = 140 / 40 = 3.5 ચક્કર (સાડા ત્રણ ચક્કર).
(૧) કાપેલું અંતર:
અંતર = 3.5 × (વર્તુળનો પરિઘ)
અંતર = 3.5 × (2 × π × r)
અંતર = 3.5 × 2 × 3.14 × 100 = 2198 મીટર (આશરે 2200 મીટર).
(૨) સ્થાનાંતર:
સાડા ત્રણ ચક્કર પછી ઍથલેટ બરાબર સામેના છેડે હશે. તેથી સ્થાનાંતર = વર્તુળનો વ્યાસ = 200 મીટર.
પ્રશ્ન ૨: 300 m ના સીધા રસ્તા પર જોસેફ A થી B સુધી 2 min 30 s માં પહોંચે છે. ત્યાંથી પાછો ફરી 1 મિનિટમાં 100 m પાછળ બિંદુ C પર પહોંચે છે. સરેરાશ ઝડપ અને વેગ શોધો: (a) A થી B માટે (b) A થી C માટે.
(a) A થી B છેડા સુધી:
– અંતર = 300 m, સ્થાનાંતર = 300 m, સમય = 150 s (2 min 30 s).
– સરેરાશ ઝડપ = 300 / 150 = 2 m/s
– સરેરાશ વેગ = 300 / 150 = 2 m/s
(b) A થી C છેડા સુધી:
– કુલ અંતર = 300 + 100 = 400 m.
– કુલ સમય = 150 + 60 = 210 s.
– સ્થાનાંતર (સીધું અંતર) = 300 – 100 = 200 m.
– સરેરાશ ઝડપ = 400 / 210 = 1.90 m/s
– સરેરાશ વેગ = 200 / 210 = 0.95 m/s
– અંતર = 300 m, સ્થાનાંતર = 300 m, સમય = 150 s (2 min 30 s).
– સરેરાશ ઝડપ = 300 / 150 = 2 m/s
– સરેરાશ વેગ = 300 / 150 = 2 m/s
(b) A થી C છેડા સુધી:
– કુલ અંતર = 300 + 100 = 400 m.
– કુલ સમય = 150 + 60 = 210 s.
– સ્થાનાંતર (સીધું અંતર) = 300 – 100 = 200 m.
– સરેરાશ ઝડપ = 400 / 210 = 1.90 m/s
– સરેરાશ વેગ = 200 / 210 = 0.95 m/s
પ્રશ્ન ૩: અબ્દુલ ગાડી દ્વારા શાળાએ જતી વખતે 20 km/h ની ઝડપે અને પાછા ફરતી વખતે 30 km/h ની ઝડપે જાય છે. સમગ્ર મુસાફરીની સરેરાશ ઝડપ કેટલી હશે ?
જ્યારે અંતર સરખું હોય અને જવા-આવવાની ઝડપ અલગ હોય, ત્યારે સરેરાશ ઝડપ શોધવાનું ટૂંકું સૂત્ર:
સરેરાશ ઝડપ =
2 × (જવાની ઝડપ × આવવાની ઝડપ)
(જવાની ઝડપ + આવવાની ઝડપ)
સરેરાશ ઝડપ =
=
= 24 km/h
2 × 20 × 30
20 + 30
1200
50
પ્રશ્ન ૪: સ્થિર અવસ્થામાં રહેલી મોટરબોટ સુરેખ પથ પર 3.0 m s-2 ના અચળ પ્રવેગથી 8.0 s સુધી ગતિ કરે છે. મોટરબોટ કેટલી દૂર ગઈ હશે ?
– પ્રારંભિક વેગ (u) = 0
– પ્રવેગ (a) = 3 m/s2, સમય (t) = 8 s
– અંતર (s) = ut + ½at²
– s = 0 + (½ × 3 × 82)
– s = ½ × 3 × 64 = 3 × 32 = 96 મીટર.
– પ્રવેગ (a) = 3 m/s2, સમય (t) = 8 s
– અંતર (s) = ut + ½at²
– s = 0 + (½ × 3 × 82)
– s = ½ × 3 × 64 = 3 × 32 = 96 મીટર.
પ્રશ્ન ૫ અને ૬ (આલેખ આધારિત ટૂંકા જવાબો):
જવાબ ૫: કાર બ્રેક મારે ત્યારે સ્પીડ ઘટે છે. અંતર શોધવા માટે ગ્રાફમાં બનતા ત્રિકોણના ભાગને છાયાંકિત (શેડિંગ) કરવો પડે. આ ગ્રાફમાં કોઈ પણ ભાગ ‘નિયમિત ગતિ’ (સીધી આડી લાઈન) દર્શાવતો નથી કારણ કે સ્પીડ સતત ઘટી રહી છે.
જવાબ ૬ (આકૃતિ 7.10 પરથી):
(a) B સૌથી વધારે ઝડપથી ગતિ કરે છે (કારણ કે તેની લાઈનનો ઢાળ સૌથી વધુ છે).
(b) ના, ત્રણેય લાઈન એક જ બિંદુ પર ક્યારેય ભેગી થતી નથી.
(c) જ્યારે B, A પાસેથી પસાર થાય છે, ત્યારે C આશરે 8 km ના અંતરે હશે.
(d) જ્યારે B, C પાસેથી પસાર થાય છે, ત્યારે B એ આશરે 5.7 km અંતર કાપ્યું હશે.
જવાબ ૬ (આકૃતિ 7.10 પરથી):
(a) B સૌથી વધારે ઝડપથી ગતિ કરે છે (કારણ કે તેની લાઈનનો ઢાળ સૌથી વધુ છે).
(b) ના, ત્રણેય લાઈન એક જ બિંદુ પર ક્યારેય ભેગી થતી નથી.
(c) જ્યારે B, A પાસેથી પસાર થાય છે, ત્યારે C આશરે 8 km ના અંતરે હશે.
(d) જ્યારે B, C પાસેથી પસાર થાય છે, ત્યારે B એ આશરે 5.7 km અંતર કાપ્યું હશે.
પ્રશ્ન ૭: 20 m ની ઊંચાઈ પરથી એક દડાને નીચે પડવા દેવામાં આવે છે. તેનો પ્રવેગ 10 m s-2 છે. તે કેટલા વેગથી અને કેટલા સમય બાદ જમીન સાથે અથડાશે ?
– પ્રારંભિક વેગ (u) = 0, અંતર (s) = 20 m, પ્રવેગ (a) = 10 m/s2
વેગ (v) શોધવા: (2as = v² – u²)
2 × 10 × 20 = v² – 0
v² = 400 => v = 20 m/s (આ વેગથી જમીન પર પડશે).
સમય (t) શોધવા: (v = u + at)
20 = 0 + 10t => t = 20 / 10 = 2 સેકન્ડ.
વેગ (v) શોધવા: (2as = v² – u²)
2 × 10 × 20 = v² – 0
v² = 400 => v = 20 m/s (આ વેગથી જમીન પર પડશે).
સમય (t) શોધવા: (v = u + at)
20 = 0 + 10t => t = 20 / 10 = 2 સેકન્ડ.
પ્રશ્ન ૮: આકૃતિ 7.11 (કારનો ગ્રાફ) આધારિત જવાબો.
(a) પ્રથમ 4 સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર શોધવા ગ્રાફની નીચેનો વક્ર ભાગ છાયાંકિત કરવો પડે. ગણતરી કરતા આ અંતર આશરે 12 મીટર જેટલું મળે છે.
(b) 6 સેકન્ડ પછી ગ્રાફની લાઈન એકદમ સીધી (X-અક્ષને સમાંતર) થઈ જાય છે, જે કારની નિયમિત ગતિ દર્શાવે છે.
(b) 6 સેકન્ડ પછી ગ્રાફની લાઈન એકદમ સીધી (X-અક્ષને સમાંતર) થઈ જાય છે, જે કારની નિયમિત ગતિ દર્શાવે છે.
પ્રશ્ન ૯: નીચેની કઈ પરિસ્થિતિ શક્ય છે? ઉદાહરણ આપો.
(a) પ્રવેગ અચળ પણ વેગ શૂન્ય: શક્ય છે. (જ્યારે કોઈ વસ્તુને સીધી ઉપર ફેંકીએ, ત્યારે સૌથી ઊંચા બિંદુ પર તેનો વેગ ઝીરો થાય છે, પણ ગુરુત્વપ્રવેગ નીચે લાગતો હોય છે).
(b) ગતિ પ્રવેગિત હોય પણ ઝડપ નિયમિત હોય: શક્ય છે. (નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં ઝડપ સરખી રહે છે પણ દિશા બદલાતી હોવાથી તે પ્રવેગિત ગતિ છે).
(c) ગતિની દિશા અને પ્રવેગ લંબરૂપે (90 ડિગ્રીએ) હોય: શક્ય છે. (વર્તુળાકાર પથ પર ફરતા સેટેલાઇટમાં પ્રવેગ કેન્દ્ર તરફ અને ગતિની દિશા બહાર તરફ એટલે કે લંબરૂપે હોય છે).
(b) ગતિ પ્રવેગિત હોય પણ ઝડપ નિયમિત હોય: શક્ય છે. (નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં ઝડપ સરખી રહે છે પણ દિશા બદલાતી હોવાથી તે પ્રવેગિત ગતિ છે).
(c) ગતિની દિશા અને પ્રવેગ લંબરૂપે (90 ડિગ્રીએ) હોય: શક્ય છે. (વર્તુળાકાર પથ પર ફરતા સેટેલાઇટમાં પ્રવેગ કેન્દ્ર તરફ અને ગતિની દિશા બહાર તરફ એટલે કે લંબરૂપે હોય છે).
પ્રશ્ન ૧૦: એક કૃત્રિમ ઉપગ્રહ 42,250 km ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં પરિક્રમણ કરે છે. જો તે 24 કલાકમાં પૃથ્વીનું પરિક્રમણ કરતો હોય તો તેની ઝડપ ગણો.
– ત્રિજ્યા (r) = 42250 km, સમય (t) = 24 કલાક.
– ઝડપ (v) = કાપેલું કુલ અંતર (પરિઘ) / સમય
– ઝડપ (v) = કાપેલું કુલ અંતર (પરિઘ) / સમય
v =
2 × π × r
t
v =
= 11,055 km/h (આશરે).
(જો આને સેકન્ડમાં ફેરવીએ તો તે 3.07 km/s ની ઝડપ થશે).
2 × 3.14 × 42250
24