Chapter 10: સદીશ બીજગણિત (Vector Algebra)

Leave a Comment / By /

10.2

સદિશ બીજગણિત (Vector Algebra) : દાખલા 2 થી 17
પ્રશ્ન 2: સમાન માનવાળા બે ભિન્ન સદિશો લખો.
ઉકેલ: ધારો કે બે સદિશો નીચે મુજબ છે:
a = i + 2j + 3k
b = 2i + 3j + k
બંને સદિશોના ઘટકો અલગ હોવાથી તે ભિન્ન સદિશો છે. હવે તેમનું માન (લંબાઈ) શોધીએ:
|a| = √(12 + 22 + 32) = √(1 + 4 + 9) = √14
|b| = √(22 + 32 + 12) = √(4 + 9 + 1) = √14
✅ અહીં |a| = |b| છે, છતાં a ≠ b. (તમે આવા અસંખ્ય ઉદાહરણો આપી શકો છો).
પ્રશ્ન 3: જેની દિશા સમાન હોય તેવા બે ભિન્ન સદિશો લખો.
ઉકેલ: ધારો કે બે સદિશો નીચે મુજબ છે:
a = i + j + k
b = 2i + 2j + 2k
અહીં સ્પષ્ટ છે કે, b = 2(i + j + k) = 2a.
જ્યારે કોઈ એક સદિશ બીજા સદિશનો ધન અદિશ ગુણિત હોય (જેમ કે અહીં ગુણક 2 છે), ત્યારે તેમની દિશા સમાન હોય છે, પરંતુ તેમનું માન (લંબાઈ) અલગ હોવાથી તે ભિન્ન સદિશો છે.
✅ જવાબ: i + j + k અને 2i + 2j + 2k.
પ્રશ્ન 4: સદિશો 2i + 3j અને x i + y j સમાન થાય તેવા x અને y ની કિંમતો શોધો.
ઉકેલ: બે સદિશો સમાન ત્યારે જ કહેવાય જ્યારે તેમના અનુરૂપ ઘટકો સમાન હોય.
2i + 3j = x i + y j
બંને બાજુ i અને j ના સહગુણકો સરખાવતાં:
✅ જવાબ: x = 2 અને y = 3.
પ્રશ્ન 5: જે સદિશનું પ્રારંભ બિંદુ (2, 1) અને અંત્ય બિંદુ (-5, 7) હોય, તેવા સદિશના અદિશ અને સદિશ ઘટકો શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે પ્રારંભ બિંદુ P(2, 1) અને અંત્ય બિંદુ Q(-5, 7) છે.
સદિશ PQ મેળવવા માટે અંત્ય બિંદુમાંથી પ્રારંભ બિંદુના યામ બાદ કરવા પડે:
PQ = (-5 – 2)i + (7 – 1)j = -7i + 6j
✅ અદિશ ઘટકો: -7 અને 6
✅ સદિશ ઘટકો: -7i અને 6j
પ્રશ્ન 6: સદિશો a = i – 2j + k, b = -2i + 4j + 5k અને c = i – 6j – 7k નો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ: આપેલા સદિશોનો સરવાળો કરવા માટે તેમના અનુરૂપ (i, j, k) ઘટકોનો સરવાળો કરવો:
a + b + c = (1 – 2 + 1)i + (-2 + 4 – 6)j + (1 + 5 – 7)k
= (0)i + (-4)j + (-1)k
✅ જવાબ: a + b + c = -4j – k
પ્રશ્ન 7: સદિશ a = i + j + 2k ની દિશામાં એકમ સદિશ શોધો.
ઉકેલ: એકમ સદિશ a =
a
|a|
. પહેલાં સદિશનું માન શોધીએ:
|a| = √(12 + 12 + 22) = √(1 + 1 + 4) = √6
હવે એકમ સદિશ માટે સદિશના દરેક ઘટકને તેના માન વડે ભાગતાં:
✅ જવાબ: a =
1
√6
i +
1
√6
j +
2
√6
k
પ્રશ્ન 8: જો P અને Q અનુક્રમે બિંદુઓ (1, 2, 3) અને (4, 5, 6) હોય, તો PQ ની દિશામાં એકમ સદિશ શોધો.
ઉકેલ: પહેલા સદિશ PQ શોધીએ:
PQ = (4 – 1)i + (5 – 2)j + (6 – 3)k = 3i + 3j + 3k
હવે તેનું માન શોધીએ:
|PQ| = √(32 + 32 + 32) = √(9 + 9 + 9) = √27 = 3√3
દિશામાં એકમ સદિશ =
PQ
|PQ|
=
3i + 3j + 3k
3√3
=
3(i + j + k)
3√3
✅ જવાબ:
1
√3
i +
1
√3
j +
1
√3
k
પ્રશ્ન 9: આપેલા સદિશો a = 2i – j + 2k અને b = –i + j – k હોય, તો સદિશ a + b ની દિશામાં એકમ સદિશ શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે c = a + b.
c = (2 – 1)i + (-1 + 1)j + (2 – 1)k = i + 0j + k
હવે c નું માન મેળવીએ:
|c| = √(12 + 02 + 12) = √2
એકમ સદિશ c =
c
|c|
✅ જવાબ:
1
√2
i +
1
√2
k
પ્રશ્ન 10: 5i – j + 2k સદિશની દિશામાં 8 એકમ માનવાળો સદિશ શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે a = 5i – j + 2k. સૌથી પહેલા તેની દિશામાં 1 એકમવાળો (એકમ સદિશ) શોધીએ.
|a| = √(52 + (-1)2 + 22) = √(25 + 1 + 4) = √30
એકમ સદિશ a =
1
√30
(5i – j + 2k).
હવે 8 એકમ માનવાળો સદિશ મેળવવા માટે આ એકમ સદિશને 8 વડે ગુણીએ:
માગેલ સદિશ = 8 · a =
8
√30
(5i – j + 2k)
✅ જવાબ:
40
√30
i –
8
√30
j +
16
√30
k
પ્રશ્ન 11: સાબિત કરો કે સદિશો 2i – 3j + 4k અને -4i + 6j – 8k સમરેખ છે.
ઉકેલ: ધારો કે a = 2i – 3j + 4k અને b = -4i + 6j – 8k.
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે b માંથી -2 સામાન્ય કાઢી શકાય છે:
b = -2(2i – 3j + 4k)
તેથી, b = -2a. (આ b = λa સ્વરૂપ છે, જ્યાં λ = -2).
✅ કોઈપણ બે સદિશો પૈકી એકને બીજાના અદિશ ગુણિત તરીકે દર્શાવી શકાય, તો તે સમરેખ કહેવાય છે. તેથી સાબિત થાય છે કે આપેલા સદિશો સમરેખ છે.
પ્રશ્ન 12: સદિશ i + 2j + 3k ના દિકકોસાઇન શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે r = i + 2j + 3k. દિકકોસાઇન (Direction Cosines) મેળવવા માટે પહેલા સદિશનું માન અને પછી એકમ સદિશ શોધવો પડે.
|r| = √(12 + 22 + 32) = √(1 + 4 + 9) = √14
એકમ સદિશમાં i, j અને k ના સહગુણકો જ દિકકોસાઇન (l, m, n) દર્શાવે છે.
✅ જવાબ: દિકકોસાઇન
1
√14
,
2
√14
,
3
√14
છે.
પ્રશ્ન 13: જે સદિશ બિંદુઓ A (1, 2, -3) અને B (-1, -2, 1) ને A થી B તરફની દિશામાં જોડતો હોય તે સદિશના દિકકોસાઇન શોધો.
ઉકેલ: પહેલા સદિશ AB મેળવીએ (B ના યામ – A ના યામ):
AB = (-1 – 1)i + (-2 – 2)j + (1 – (-3))k = -2i – 4j + 4k
હવે AB નું માન શોધીએ:
|AB| = √((-2)2 + (-4)2 + 42) = √(4 + 16 + 16) = √36 = 6
દિકકોસાઇન માટે સદિશના ઘટકોને તેના માન વડે ભાગતાં: (
-2
6
,
-4
6
,
4
6
)
✅ જવાબ: દિકકોસાઇન –
1
3
, –
2
3
,
2
3
છે.
પ્રશ્ન 14: સાબિત કરો કે સદિશ i + j + k એ અક્ષો OX, OY અને OZ સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે.
ઉકેલ: ધારો કે a = i + j + k. સદિશનું માન |a| = √(12+12+12) = √3.
તેના દિકકોસાઇન (અક્ષો સાથેના ખૂણાના કોસાઈન મૂલ્યો):
cos α =
1
√3
,    cos β =
1
√3
,    cos γ =
1
√3
અહીં ત્રણેય દિકકોસાઇન સમાન છે (cos α = cos β = cos γ), જેનો અર્થ છે કે ખૂણાઓ સમાન છે (α = β = γ).
✅ આમ, સાબિત થાય છે કે આપેલ સદિશ ત્રણેય અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે.
પ્રશ્ન 15: બિંદુ R એ બિંદુઓ P અને Q ને જોડતા રેખાખંડનું 2:1 ગુણોત્તરમાં (i) અંતઃ (ii) બહિર્વિભાજન કરે છે. P અને Q ના સ્થાનસદિશો અનુક્રમે i + 2j – k અને –i + j + k છે, તો બિંદુ R નો સ્થાનસદિશ શોધો.
ઉકેલ: અહીં p = i + 2j – k, q = –i + j + k અને ગુણોત્તર m:n = 2:1 છે.
(i) અંતઃવિભાજન (Internal Division):
સૂત્ર: r =
m q + n p
m + n
r =
2(-i + j + k) + 1(i + 2j – k)
2 + 1
=
-2i + 2j + 2k + i + 2j – k
3
✅ અંતઃવિભાજન બિંદુ: r =
–i + 4j + k
3
(ii) બહિર્વિભાજન (External Division):
સૂત્ર: r =
m q – n p
m – n
r =
2(-i + j + k) – 1(i + 2j – k)
2 – 1
=
-2i + 2j + 2k – i – 2j + k
1
✅ બહિર્વિભાજન બિંદુ: r = -3i + 3k
પ્રશ્ન 16: બિંદુઓ P (2, 3, 4) અને Q (4, 1, -2) ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુનો સ્થાનસદિશ શોધો.
ઉકેલ: મધ્યબિંદુના યામ M = (
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
,
z1 + z2
2
)
M = (
2 + 4
2
,
3 + 1
2
,
4 – 2
2
) = (
6
2
,
4
2
,
2
2
) = (3, 2, 1)
✅ જવાબ: મધ્યબિંદુનો સ્થાનસદિશ 3i + 2j + k છે.
પ્રશ્ન 17: સાબિત કરો કે બિંદુઓ A, B અને C ના સ્થાનસદિશો અનુક્રમે a = 3i – 4j – 4k, b = 2i – j + k અને c = i – 3j – 5k હોય, તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ રચે છે.
ઉકેલ: કાટકોણ ત્રિકોણ સાબિત કરવા માટે ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ શોધીને પાયથાગોરસ પ્રમેય ચકાસવો પડશે.
બાજુ AB:
AB = b – a = (2 – 3)i + (-1 – (-4))j + (1 – (-4))k = –i + 3j + 5k
|AB|2 = (-1)2 + 32 + 52 = 1 + 9 + 25 = 35
બાજુ BC:
BC = c – b = (1 – 2)i + (-3 – (-1))j + (-5 – 1)k = –i – 2j – 6k
|BC|2 = (-1)2 + (-2)2 + (-6)2 = 1 + 4 + 36 = 41
બાજુ CA:
CA = a – c = (3 – 1)i + (-4 – (-3))j + (-4 – (-5))k = 2i – j + k
|CA|2 = 22 + (-1)2 + 12 = 4 + 1 + 1 = 6
અહીં આપણે સ્પષ્ટપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
|AB|2 + |CA|2 = 35 + 6 = 41 = |BC|2
✅ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન થતું હોવાથી, સાબિત થાય છે કે આ બિંદુઓ કાટકોણ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે. (ખૂણો A કાટખૂણો છે).
સ્વાધ્યાય 10.3 : અદિશ ગુણાકાર (ભાગ 1)
પ્રશ્ન 1: બે સદિશોનાં માન અનુક્રમે √3 અને 2 હોય તથા a · b = √6 આપેલ હોય, તો તે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
ઉકેલ: અહીં આપેલું છે કે, |a| = √3, |b| = 2 અને a · b = √6.
બે સદિશો વચ્ચેના ખૂણા θ માટેનું સૂત્ર:
cos θ =
a · b
|a| |b|
કિંમતો મૂકતાં:
cos θ =
√6
√3 × 2
=
√2 × √3
2 √3
=
√2
2
=
1
√2
આપણે જાણીએ છીએ કે cos(π/4) = 1/√2 થાય છે.
✅ જવાબ: સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો θ = π/4 (અથવા 45°) છે.
પ્રશ્ન 2: સદિશો i – 2j + 3k અને 3i – 2j + k વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે a = i – 2j + 3k અને b = 3i – 2j + k.
અદિશ ગુણાકાર (Dot Product):
a · b = (1)(3) + (-2)(-2) + (3)(1) = 3 + 4 + 3 = 10
સદિશોનાં માન:
|a| = √(12 + (-2)2 + 32) = √(1 + 4 + 9) = √14
|b| = √(32 + (-2)2 + 12) = √(9 + 4 + 1) = √14
cos θ =
a · b
|a| |b|
=
10
√14 × √14
=
10
14
=
5
7
✅ જવાબ: θ = cos-1(
5
7
)
પ્રશ્ન 3: સદિશ i – j નો સદિશ i + j પરનો પ્રક્ષેપ શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે a = i – j અને b = i + j.
સૂત્ર: સદિશ a નો સદિશ b પરનો પ્રક્ષેપ =
a · b
|b|
પહેલા a · b શોધીએ:
a · b = (1)(1) + (-1)(1) = 1 – 1 = 0
અદિશ ગુણાકાર 0 છે, તેથી પ્રક્ષેપ પણ શૂન્ય જ થશે. (બંને સદિશો પરસ્પર લંબ છે).
✅ જવાબ: પ્રક્ષેપ = 0.
પ્રશ્ન 4: સદિશ i + 3j + 7k નો 7i – j + 8k પરનો પ્રક્ષેપ શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે a = i + 3j + 7k અને b = 7i – j + 8k.
અદિશ ગુણાકાર:
a · b = (1)(7) + (3)(-1) + (7)(8) = 7 – 3 + 56 = 60
સદિશ b નું માન:
|b| = √(72 + (-1)2 + 82) = √(49 + 1 + 64) = √114
પ્રક્ષેપ =
a · b
|b|
✅ જવાબ: પ્રક્ષેપ =
60
√114
પ્રશ્ન 5: દર્શાવો કે નીચે આપેલ ત્રણ સદિશો પૈકી પ્રત્યેક સદિશ એકમ સદિશ છે:
1
7
(2i + 3j + 6k),
1
7
(3i – 6j + 2k),
1
7
(6i + 2j – 3k).
વળી, સાબિત કરો કે આ સદિશો પરસ્પર લંબ છે.
ઉકેલ: ધારો કે આપેલ સદિશો a, b અને c છે.
ભાગ 1: એકમ સદિશ સાબિત કરવા (માન શોધવું)
|a| =
1
7
√(22 + 32 + 62) =
1
7
√(4 + 9 + 36) =
√49
7
=
7
7
= 1
|b| =
1
7
√(32 + (-6)2 + 22) =
1
7
√(9 + 36 + 4) =
√49
7
= 1
|c| =
1
7
√(62 + 22 + (-3)2) =
1
7
√(36 + 4 + 9) =
√49
7
= 1
ત્રણેયનાં માન 1 હોવાથી તે એકમ સદિશો છે.
ભાગ 2: પરસ્પર લંબ સાબિત કરવા (અદિશ ગુણાકાર 0 બતાવવો)
a · b =
1
7
×
1
7
[(2)(3) + (3)(-6) + (6)(2)] =
1
49
[6 – 18 + 12] =
1
49
(0) = 0
b · c =
1
49
[(3)(6) + (-6)(2) + (2)(-3)] =
1
49
[18 – 12 – 6] = 0
c · a =
1
49
[(6)(2) + (2)(3) + (-3)(6)] =
1
49
[12 + 6 – 18] = 0
✅ અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી સાબિત થાય છે કે આ ત્રણેય સદિશો પરસ્પર લંબ છે.
પ્રશ્ન 6: જો (a + b) · (a – b) = 8 અને |a| = 8|b| તો |a| અને |b| શોધો.
ઉકેલ: આપણે જાણીએ છીએ કે વિસ્તરણ કરતાં:
(a + b) · (a – b) = a · a – a · b + b · a – b · b = 8
a · b = b · a હોવાથી વચ્ચેનાં પદો ઉડી જશે. અને a · a = |a|2.
|a|2 – |b|2 = 8
આપેલું છે કે |a| = 8|b|. આ કિંમત મૂકતાં:
(8|b|)2 – |b|2 = 8
64|b|2 – |b|2 = 8  ⇒  63|b|2 = 8
|b|2 =
8
63
 ⇒  |b| = √(
8
63
) =
2√2
3√7
હવે |a| શોધીએ:
|a| = 8 ×
2√2
3√7
=
16√2
3√7
✅ જવાબ: |a| =
16√2
3√7
અને |b| =
2√2
3√7
પ્રશ્ન 7: (3a – 5b) · (2a + 7b) શોધો.
ઉકેલ: સામાન્ય ગુણાકારની જેમ જ કૌંસ છોડતાં:
= (3a) · (2a + 7b) – (5b) · (2a + 7b)
= 6(a · a) + 21(a · b) – 10(b · a) – 35(b · b)
આપણે જાણીએ છીએ કે a · b = b · a અને a · a = |a|2:
✅ જવાબ: 6|a|2 + 11(a · b) – 35|b|2
પ્રશ્ન 8: જો બે સદિશો a અને b નાં માન સમાન હોય અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો 60° તથા તેમનો અદિશ ગુણાકાર 1/2 હોય તો તેમનાં માન શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે સમાન માન |a| = |b| = x છે.
આપેલું છે: θ = 60° અને a · b = 1/2.
a · b = |a| |b| cos θ
કિંમતો મૂકતાં:
1
2
= (x)(x) cos 60°
1
2
= x2 · (
1
2
)
બંને બાજુથી 1/2 ઉડી જશે:
x2 = 1  ⇒  x = 1 (કારણ કે માન ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે).
✅ જવાબ: બંને સદિશોનું માન 1 છે. (|a| = 1, |b| = 1)
પ્રશ્ન 9: જો એકમ સદિશ a માટે (x – a) · (x + a) = 12 હોય તો |x| શોધો.
ઉકેલ: a એકમ સદિશ હોવાથી |a| = 1 થશે.
આપેલ સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતાં (a-b)(a+b) મુજબ:
|x|2 – |a|2 = 12
|x|2 – (1)2 = 12
|x|2 – 1 = 12  ⇒  |x|2 = 13
✅ જવાબ: |x| = √13
પ્રશ્ન 10: જો સદિશો a = 2i + 2j + 3k, b = –i + 2j + k અને c = 3i + j માટે a + λb એ c ને લંબ હોય, તો λ નું મૂલ્ય શોધો.
ઉકેલ: સૌથી પહેલાં નવો સદિશ (a + λb) બનાવીએ:
a + λb = (2i + 2j + 3k) + λ(-i + 2j + k)
= (2 – λ)i + (2 + 2λ)j + (3 + λ)k
આપેલું છે કે આ સદિશ c = 3i + 1j + 0k ને લંબ છે. તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર 0 થશે:
(a + λb) · c = 0
અનુરૂપ ઘટકોનો ગુણાકાર કરતાં:
(2 – λ)(3) + (2 + 2λ)(1) + (3 + λ)(0) = 0
6 – 3λ + 2 + 2λ + 0 = 0
8 – λ = 0
✅ જવાબ: λ = 8
પ્રશ્ન 11: દર્શાવો કે કોઈ પણ બે શૂન્યેતર સદિશો a અને b માટે |a|b + |b|a એ |a|b – |b|a ને લંબ છે.
ઉકેલ: બે સદિશો પરસ્પર લંબ ત્યારે જ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (Dot Product) શૂન્ય થાય. ચાલો આપણે તેમનો અદિશ ગુણાકાર લઈએ:
( |a|b + |b|a ) · ( |a|b – |b|a )
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતાં (સામાન્ય કૌંસ છોડવાની રીત):
= |a|2 (b · b) – |a||b| (b · a) + |b||a| (a · b) – |b|2 (a · a)
આપણે જાણીએ છીએ કે b · b = |b|2 અને a · b = b · a. તેથી વચ્ચેનાં બે પદો ઉડી જશે:
= |a|2 |b|2 – |b|2 |a|2 = 0
✅ અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય મળતો હોવાથી, સાબિત થાય છે કે આપેલા બંને સદિશો પરસ્પર લંબ છે.
પ્રશ્ન 12: જો a · a = 0 અને a · b = 0 હોય, તો સદિશ b વિશે શું તારણ કાઢી શકાય?
ઉકેલ: આપેલું છે કે a · a = 0.
|a|2 = 0  ⇒  |a| = 0  ⇒  a = 0 (શૂન્ય સદિશ)
હવે બીજું પરિણામ a · b = 0 આપેલું છે.
અહીં a પોતે જ શૂન્ય સદિશ હોવાથી, કોઈપણ સદિશ સાથે તેનો અદિશ ગુણાકાર હંમેશા 0 જ થશે. એટલે કે 0 · b = 0 એ b ના ગમે તે મૂલ્ય માટે સાચું જ છે.
✅ તારણ: સદિશ b એ કોઈપણ સદિશ હોઈ શકે છે. (તેના પર કોઈ નિયંત્રણ નથી).
પ્રશ્ન 13: જો a, b, c એકમ સદિશો અને a + b + c = 0 હોય, તો a · b + b · c + c · a નું મૂલ્ય શોધો.
ઉકેલ: આપેલું છે કે ત્રણેય એકમ સદિશો છે. તેથી:
|a| = 1,   |b| = 1,   |c| = 1
આપેલ સમીકરણ: a + b + c = 0
બંને બાજુ પોતાનો જ પોતાની સાથે અદિશ ગુણાકાર (વર્ગ) લેતાં:
(a + b + c) · (a + b + c) = 0
(x+y+z)2 ના સૂત્ર મુજબ વિસ્તરણ કરતાં:
|a|2 + |b|2 + |c|2 + 2(a · b + b · c + c · a) = 0
માનની કિંમતો મૂકતાં:
(1)2 + (1)2 + (1)2 + 2(a · b + b · c + c · a) = 0

3 + 2(a · b + b · c + c · a) = 0

2(a · b + b · c + c · a) = -3
✅ જવાબ: a · b + b · c + c · a = –
3
2
પ્રશ્ન 14: જો સદિશ a = 0 અથવા b = 0 હોય તો a · b = 0. પરંતુ પ્રતીપ, સત્ય હોય તે જરૂરી નથી. તમારા જવાબનું ઉદાહરણ સહિત સમર્થન કરો.
ઉકેલ: પ્રતીપ વિધાન એવું કહે છે કે: “જો a · b = 0 હોય, તો a = 0 અથવા b = 0 હોવું જ જોઈએ.”
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે આ હંમેશા સાચું નથી (એટલે કે બે શૂન્યેતર સદિશોનો ગુણાકાર પણ 0 થઈ શકે છે).
ઉદાહરણ:
ધારો કે બે શૂન્યેતર સદિશો નીચે મુજબ છે (જે પરસ્પર લંબ હોય):
a = i + 2j + 3k    (અહીં a ≠ 0)
b = 2i – j + 0k    (અહીં b ≠ 0)
હવે તેમનો અદિશ ગુણાકાર શોધીએ:
a · b = (1)(2) + (2)(-1) + (3)(0) = 2 – 2 + 0 = 0
✅ તારણ: અહીં બંને સદિશો શૂન્ય નથી (a ≠ 0, b ≠ 0), છતાં તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય છે. તેથી સાબિત થાય છે કે પ્રતીપ વિધાન હંમેશા સત્ય નથી.
પ્રશ્ન 15: જો ત્રિકોણ ABC નાં શિરોબિંદુઓ A, B, C અનુક્રમે (1, 2, 3), (-1, 0, 0), (0, 1, 2) હોય, તો ∠ABC શોધો. (∠ABC એ BA તથા BC વચ્ચેનો ખૂણો છે.)
ઉકેલ: ∠ABC શોધવા માટે આપણે સદિશ BA અને સદિશ BC મેળવવા પડશે.
સદિશ BA:
BA = (A ના યામ) – (B ના યામ)
BA = (1 – (-1))i + (2 – 0)j + (3 – 0)k = 2i + 2j + 3k
સદિશ BC:
BC = (C ના યામ) – (B ના યામ)
BC = (0 – (-1))i + (1 – 0)j + (2 – 0)k = 1i + 1j + 2k
બંને સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો:
સૂત્ર: cos θ =
BA · BC
|BA| |BC|
BA · BC = (2)(1) + (2)(1) + (3)(2) = 2 + 2 + 6 = 10
|BA| = √(22 + 22 + 32) = √(4 + 4 + 9) = √17
|BC| = √(12 + 12 + 22) = √(1 + 1 + 4) = √6
cos(∠ABC) =
10
√17 × √6
=
10
√102
✅ જવાબ: ∠ABC = cos-1(
10
√102
)
પ્રશ્ન 16: સાબિત કરો કે બિંદુઓ A (1, 2, 7), B (2, 6, 3) અને C (3, 10, -1) સમરેખ છે.
ઉકેલ: ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ સાબિત કરવા માટે આપણે સાબિત કરીશું કે |AB| + |BC| = |AC|.
સદિશ AB:
AB = (2 – 1)i + (6 – 2)j + (3 – 7)k = i + 4j – 4k
|AB| = √(12 + 42 + (-4)2) = √(1 + 16 + 16) = √33
સદિશ BC:
BC = (3 – 2)i + (10 – 6)j + (-1 – 3)k = i + 4j – 4k
|BC| = √(12 + 42 + (-4)2) = √(1 + 16 + 16) = √33
સદિશ AC:
AC = (3 – 1)i + (10 – 2)j + (-1 – 7)k = 2i + 8j – 8k
|AC| = √(22 + 82 + (-8)2) = √(4 + 64 + 64) = √132 = √(4 × 33) = 2√33
અહીં આપણે સ્પષ્ટપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
|AB| + |BC| = √33 + √33 = 2√33 = |AC|
✅ અંતરના નિયમનું પાલન થતું હોવાથી, સાબિત થાય છે કે આપેલા ત્રણેય બિંદુઓ A, B અને C સમરેખ છે.
પ્રશ્ન 17: સાબિત કરો કે સદિશો 2i – j + k, i – 3j – 5k અને 3i – 4j – 4k કાટકોણ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
ઉકેલ: ધારો કે આ ત્રણેય સદિશો એ કાટકોણ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ A, B અને C ના સ્થાનસદિશો છે:
A = 2i – j + k
B = i – 3j – 5k
C = 3i – 4j – 4k
કાટકોણ ત્રિકોણ સાબિત કરવા માટે ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ શોધીને પાયથાગોરસ પ્રમેય ચકાસવો પડશે.
બાજુ AB:
AB = B – A = (1 – 2)i + (-3 – (-1))j + (-5 – 1)k = –i – 2j – 6k
|AB|2 = (-1)2 + (-2)2 + (-6)2 = 1 + 4 + 36 = 41
બાજુ BC:
BC = C – B = (3 – 1)i + (-4 – (-3))j + (-4 – (-5))k = 2i – j + k
|BC|2 = (2)2 + (-1)2 + (1)2 = 4 + 1 + 1 = 6
બાજુ CA:
CA = A – C = (2 – 3)i + (-1 – (-4))j + (1 – (-4))k = –i + 3j + 5k
|CA|2 = (-1)2 + 32 + 52 = 1 + 9 + 25 = 35
અહીં આપણે સ્પષ્ટપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
|BC|2 + |CA|2 = 6 + 35 = 41 = |AB|2
✅ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન થતું હોવાથી, સાબિત થાય છે કે આ સદિશો કાટકોણ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે. (ખૂણો C કાટખૂણો છે).
સૂચના: પ્રશ્ન 18 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો.
પ્રશ્ન 18: જો a શૂન્યેતર સદિશ હોય અને તેનું માન ‘a‘ હોય અને λ શૂન્યેતર અદિશ હોય, તો λ ની કઈ કિંમત માટે λa એકમ સદિશ થાય.

(A) λ = 1      (B) λ = -1      (C) a = |λ|      (D) a =
1
|λ|
ઉકેલ: અહીં આપેલું છે કે સદિશ a નું માન a છે. એટલે કે, |a| = a.
આપણને શરત આપી છે કે λa એક એકમ સદિશ છે. એકમ સદિશનું માન હંમેશા 1 હોય છે.
|λa| = 1
માનાંકના નિયમ મુજબ અચળાંકને બહાર કાઢતાં (તે માનાંકમાં જ રહેશે કારણ કે માન ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે):
|λ| · |a| = 1
હવે |a| ની જગ્યાએ a મૂકતાં:
|λ| · a = 1
a ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતાં:
a =
1
|λ|
✅ સાચો વિકલ્પ: (D) a =
1
|λ|
સ્વાધ્યાય 10.4 : સદિશ ગુણાકાર (Cross Product)
પ્રશ્ન 1: જો a = i – 7j + 7k અને b = 3i – 2j + 2k હોય, તો |a × b| શોધો.
ઉકેલ: સૌથી પહેલા a × b (સદિશ ગુણાકાર) મેળવીએ:
a × b =
ijk
1-77
3-22
= i [(-7)(2) – (7)(-2)] – j [(1)(2) – (7)(3)] + k [(1)(-2) – (-7)(3)]
= i [-14 + 14] – j [2 – 21] + k [-2 + 21]
= 0i – (-19)j + 19k = 19j + 19k
હવે તેનું માન (Magnitude) શોધીએ:
|a × b| = √(02 + 192 + 192) = √(2 × 192) = 19√2
✅ જવાબ: |a × b| = 19√2
પ્રશ્ન 2: જો a = 3i + 2j + 2k અને b = i + 2j – 2k હોય, તો સદિશ a + b અને a – b ને લંબ એકમ સદિશ શોધો.
ઉકેલ: પહેલા બંને સદિશોનો સરવાળો અને બાદબાકી શોધીએ:
u = a + b = (3+1)i + (2+2)j + (2-2)k = 4i + 4j + 0k
v = a – b = (3-1)i + (2-2)j + (2-(-2))k = 2i + 0j + 4k
બંનેને લંબ સદિશ મેળવવા તેમનો સદિશ ગુણાકાર (Cross Product) કરવો પડે:
u × v =
ijk
440
204
= i (16 – 0) – j (16 – 0) + k (0 – 8) = 16i – 16j – 8k
હવે આ સદિશનું માન શોધીએ:
|u × v| = √(162 + (-16)2 + (-8)2) = √(256 + 256 + 64) = √576 = 24
માંગેલ એકમ સદિશ = ±
u × v
|u × v|
= ±
16i – 16j – 8k
24
= ± (
16
24
i –
16
24
j –
8
24
k )
✅ જવાબ: એકમ સદિશ = ± (
2
3
i –
2
3
j –
1
3
k )
પ્રશ્ન 3: જો એકમ સદિશ a, i સાથે π/3 માપનો ખૂણો, j સાથે π/4 માપનો ખૂણો અને k સાથે લઘુકોણ θ બનાવે, તો θ શોધો અને તે પરથી a ના ઘટકો શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે સદિશ a ના દિકકોસાઇન (Direction cosines) l, m, n છે.
l = cos(π/3) =
1
2

m = cos(π/4) =
1
√2

n = cos θ
આપણે જાણીએ છીએ કે l2 + m2 + n2 = 1.
(
1
2
)2 + (
1
√2
)2 + cos2θ = 1
1
4
+
1
2
+ cos2θ = 1  ⇒ 
3
4
+ cos2θ = 1
cos2θ = 1 –
3
4
=
1
4
 ⇒  cos θ = ±
1
2
અહીં આપેલું છે કે θ એ લઘુકોણ (Acute angle) છે, તેથી cos θ ધન હશે.
cos θ =
1
2
 ⇒  θ = π/3
a એકમ સદિશ હોવાથી તેના ઘટકો l, m, n જ થાય.
✅ જવાબ: θ = π/3 અને a ના ઘટકો (
1
2
,
1
√2
,
1
2
) છે.
પ્રશ્ન 4: દર્શાવો કે (a – b) × (a + b) = 2(a × b).
ઉકેલ: ડાબી બાજુ (LHS) નો કૌંસ છોડીને વિસ્તરણ કરતાં (વિતરણના નિયમ મુજબ):
LHS = (a – b) × (a + b)
= a × a + a × b – b × a – b × b
આપણે સદિશ ગુણાકારના નિયમો જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સદિશનો પોતાની જ સાથેનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે (a × a = 0 અને b × b = 0). તથા b × a = -(a × b).
= 0 + (a × b) – [-(a × b)] – 0
= (a × b) + (a × b) = 2(a × b) = RHS
✅ સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 5: જો (2i + 6j + 27k) × (i + λj + μk) = 0 હોય તો λ અને μ શોધો.
ઉકેલ: બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર નિશ્ચાયકની રીતે લેતાં:
ijk
2627
1λμ
= 0i + 0j + 0k
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતાં:
i (6μ – 27λ) – j (2μ – 27) + k (2λ – 6) = 0i + 0j + 0k
બંને બાજુના ઘટકો સરખાવતાં:
(i) 2λ – 6 = 0  ⇒  2λ = 6  ⇒  λ = 3
(ii) -(2μ – 27) = 0  ⇒  2μ = 27  ⇒  μ =
27
2
(ચકાસણી માટે: પ્રથમ પદમાં 6(27/2) – 27(3) = 81 – 81 = 0 થાય છે, જે સાચું છે.)
✅ જવાબ: λ = 3 અને μ =
27
2
.
પ્રશ્ન 6: a · b = 0 અને a × b = 0 આપેલ છે. સદિશો a અને b વિશે શું તારણ કાઢી શકાય?
ઉકેલ:
  • જો a · b = 0 હોય, તો a = 0 અથવા b = 0 અથવા a ⊥ b (બંને પરસ્પર લંબ છે).
  • જો a × b = 0 હોય, તો a = 0 અથવા b = 0 અથવા a || b (બંને પરસ્પર સમાંતર છે).
કોઈપણ બે શૂન્યેતર (Non-zero) સદિશો એકસાથે પરસ્પર લંબ અને સમાંતર હોઈ શકે નહીં.
✅ તારણ: બંને પરિણામો એકસાથે સાચા પડવા માટે ફરજિયાતપણે a = 0 અથવા b = 0 હોવું જ જોઈએ.
પ્રશ્ન 7: સદિશો a, b, c અનુક્રમે a1i + a2j + a3k, b1i + b2j + b3k અને c1i + c2j + c3k સ્વરૂપે આપેલ છે. સાબિત કરો કે a × (b + c) = a × b + a × c.
ઉકેલ: ડાબી બાજુ (LHS) લઈએ:
b + c = (b1 + c1)i + (b2 + c2)j + (b3 + c3)k
LHS = a × (b + c) =
ijk
a1a2a3
b1+c1b2+c2b3+c3
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ, જો કોઈ હાર (Row) બે પદોના સરવાળા સ્વરૂપે હોય, તો નિશ્ચાયકને બે અલગ નિશ્ચાયકોના સરવાળા તરીકે છૂટો પાડી શકાય:
LHS =
ijk
a1a2a3
b1b2b3
+
ijk
a1a2a3
c1c2c3
LHS = (a × b) + (a × c) = RHS
✅ સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 8: જો a = 0 અથવા b = 0, તો a × b = 0. શું પ્રતીપ સત્ય છે? ઉદાહરણ દ્વારા તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
ઉકેલ: પ્રતીપ વિધાન: “જો a × b = 0 હોય, તો a = 0 અથવા b = 0 હોવું જ જોઈએ.”
આ વિધાન સત્ય નથી. જો બે શૂન્યેતર સદિશો એકબીજાને સમાંતર (Parallel) હોય, તો પણ તેમનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય સદિશ થાય છે.
ઉદાહરણ:
ધારો કે a = i + 2j + 3k (અહીં a ≠ 0)
અને b = 2i + 4j + 6k (અહીં b ≠ 0). (નોંધ: b = 2a હોવાથી બંને સમાંતર છે).
a × b =
ijk
123
246
= i (12 – 12) – j (6 – 6) + k (4 – 4) = 0i + 0j + 0k = 0
✅ અહીં બંને સદિશો શૂન્ય નથી, છતાં તેમનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય છે. તેથી પ્રતીપ વિધાન સત્ય નથી.
પ્રશ્ન 9: શિરોબિંદુઓ A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) અને C(1, 5, 5) વાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉકેલ: ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ =
1
2
|AB × AC|
પહેલા સદિશ AB અને AC શોધીએ:
AB = (2-1)i + (3-1)j + (5-2)k = i + 2j + 3k
AC = (1-1)i + (5-1)j + (5-2)k = 0i + 4j + 3k
હવે તેમનો સદિશ ગુણાકાર લઈએ:
AB × AC =
ijk
123
043
= i (6 – 12) – j (3 – 0) + k (4 – 0) = -6i – 3j + 4k
તેનું માન શોધીએ:
|AB × AC| = √((-6)2 + (-3)2 + 42) = √(36 + 9 + 16) = √61
✅ જવાબ: ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ =
√61
2
ચોરસ એકમ.
પ્રશ્ન 10: જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસ-પાસેની બાજુઓ સદિશો a = i – j + 3k અને b = 2i – 7j + k હોય, તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉકેલ: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = |a × b|
a × b =
ijk
1-13
2-71
= i (-1 – (-21)) – j (1 – 6) + k (-7 – (-2))
= i (-1 + 21) – j (-5) + k (-7 + 2) = 20i + 5j – 5k
ક્ષેત્રફળ = |a × b|:
= √(202 + 52 + (-5)2) = √(400 + 25 + 25) = √450
સાદુંરૂપ આપતાં: √(225 × 2) = 15√2
✅ જવાબ: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = 15√2 ચોરસ એકમ.
પ્રશ્ન 11: ધારો કે સદિશો a અને b આપેલાં છે. |a| = 3 અને |b| =
√2
3
છે. જો a × b એકમ સદિશ હોય, તો a અને b વચ્ચેનો ખૂણો ……… હોય.

(A) π/6        (B) π/4        (C) π/3        (D) π/2
ઉકેલ: આપેલું છે કે a × b એકમ સદિશ છે, તેથી તેનું માન 1 થશે:
|a × b| = 1
સૂત્ર |a × b| = |a| |b| sin θ વાપરતાં:
|a| |b| sin θ = 1
કિંમતો મૂકતાં:
(3) (
√2
3
) sin θ = 1
√2 sin θ = 1  ⇒  sin θ =
1
√2
આપણે જાણીએ છીએ કે sin(π/4) = 1/√2 થાય.
✅ સાચો વિકલ્પ: (B) π/4
પ્રશ્ન 12: લંબચોરસનાં શિરોબિંદુઓ A, B, C, D ના સ્થાનસદિશો અનુક્રમે –i +
1
2
j + 4k, i +
1
2
j + 4k, i –
1
2
j + 4k અને –i –
1
2
j + 4k હોય, તો તે લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ ………

(A)
1
2
         (B) 1          (C) 2          (D) 4
ઉકેલ: લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે આપણે તેની પાસપાસેની બે બાજુઓના સદિશો (જેમ કે AB અને BC) મેળવીશું અને તેમના સદિશ ગુણાકારનું માન (Magnitude of Cross Product) શોધીશું.
1. સદિશ AB (લંબાઈ):
AB = (B નો સ્થાનસદિશ) – (A નો સ્થાનસદિશ)
AB = [ i +
1
2
j + 4k ] – [ –i +
1
2
j + 4k ]
AB = (1 – (-1))i + (
1
2
–
1
2
)j + (4 – 4)k = 2i + 0j + 0k = 2i
2. સદિશ BC (પહોળાઈ):
BC = (C નો સ્થાનસદિશ) – (B નો સ્થાનસદિશ)
BC = [ i –
1
2
j + 4k ] – [ i +
1
2
j + 4k ]
BC = (1 – 1)i + (–
1
2
–
1
2
)j + (4 – 4)k = 0i – 1j + 0k = –j
3. લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ:
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = |AB × BC|
AB × BC = (2i) × (-j) = -2(i × j)
આપણે જાણીએ છીએ કે i × j = k થાય.
AB × BC = -2k
ક્ષેત્રફળ (માન) = |-2k| = √((-2)2) = √4 = 2
✅ સાચો વિકલ્પ: (C) 2

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *