સ્વાધ્યાય 5.1
પ્રશ્ન 21: રવિએ પહેલી બે એકમ કસોટીમાં 70 અને 75 ગુણ મેળવેલ છે. હવે તેણે ત્રીજી કસોટીમાં કેટલા ન્યૂનતમ ગુણ મેળવવા જોઈએ કે જેથી તેના સરેરાશ ગુણ ઓછામાં ઓછા 60 થાય?
ઉકેલ:
ધારો કે રવિએ ત્રીજી કસોટીમાં મેળવેલા ગુણ x છે.
આપેલી શરત મુજબ, સરેરાશ ગુણ ઓછામાં ઓછા 60 હોવા જોઈએ (એટલે કે ≥ 60).
ધારો કે રવિએ ત્રીજી કસોટીમાં મેળવેલા ગુણ x છે.
આપેલી શરત મુજબ, સરેરાશ ગુણ ઓછામાં ઓછા 60 હોવા જોઈએ (એટલે કે ≥ 60).
70 + 75 + x
3
145 + x
3
3 ને જમણી બાજુ ગુણતાં:
145 + x ≥ 180
x ≥ 180 – 145
x ≥ 35
x ≥ 180 – 145
x ≥ 35
✅ રવિએ ઓછામાં ઓછા 35 ગુણ મેળવવા જોઈએ.
પ્રશ્ન 22: કોઈ એક અભ્યાસક્રમમાં ગ્રેડ ‘A’ મેળવવા માટે પાંચ પરીક્ષાની સરેરાશ 90 કે તેથી વધુ હોવી જોઈએ. સુનીતાના પ્રથમ ચાર પરીક્ષાના ગુણ 87, 92, 94 અને 95 હોય, તો પાંચમી પરીક્ષામાં ન્યૂનતમ કેટલા ગુણ મેળવવા જોઈએ?
ઉકેલ:
ધારો કે પાંચમી પરીક્ષાના ગુણ x છે.
સરેરાશ ગુણ ≥ 90 થવા જોઈએ.
ધારો કે પાંચમી પરીક્ષાના ગુણ x છે.
સરેરાશ ગુણ ≥ 90 થવા જોઈએ.
87 + 92 + 94 + 95 + x
5
368 + x
5
5 ને જમણી બાજુ ગુણતાં:
368 + x ≥ 450
x ≥ 450 – 368
x ≥ 82
x ≥ 450 – 368
x ≥ 82
✅ સુનીતાએ ઓછામાં ઓછા 82 ગુણ મેળવવા જોઈએ.
પ્રશ્ન 23: બે પૈકી પ્રત્યેક પૂર્ણાંક 10 થી નાનો હોય અને જેમનો સરવાળો 11 થી વધુ હોય તેવા ક્રમિક અયુગ્મ (એકી) ધન પૂર્ણાંકોની જોડ મેળવો.
ઉકેલ:
ધારો કે નાનો અયુગ્મ પૂર્ણાંક x છે. તેથી તેના પછીનો ક્રમિક અયુગ્મ પૂર્ણાંક x + 2 થશે.
શરત 1: બંને પૂર્ણાંકો 10 થી નાના છે. (મોટો પૂર્ણાંક < 10 હોય તો નાનો આપોઆપ નાનો જ હોય).
ધારો કે નાનો અયુગ્મ પૂર્ણાંક x છે. તેથી તેના પછીનો ક્રમિક અયુગ્મ પૂર્ણાંક x + 2 થશે.
શરત 1: બંને પૂર્ણાંકો 10 થી નાના છે. (મોટો પૂર્ણાંક < 10 હોય તો નાનો આપોઆપ નાનો જ હોય).
x + 2 < 10 ⇒ x < 8
શરત 2: બંનેનો સરવાળો 11 થી વધુ છે.
x + (x + 2) > 11
2x + 2 > 11
2x > 9
x > 4.5
2x + 2 > 11
2x > 9
x > 4.5
આમ, x એ અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે જે 4.5 થી મોટો અને 8 થી નાનો છે.
તેથી x ની શક્ય કિંમતો = 5, 7.
તેથી x ની શક્ય કિંમતો = 5, 7.
જો x = 5 હોય, તો જોડ (5, 7).
જો x = 7 હોય, તો જોડ (7, 9).
જો x = 7 હોય, તો જોડ (7, 9).
✅ માંગેલ જોડ: (5, 7) અને (7, 9)
પ્રશ્ન 24: બે પૈકી પ્રત્યેક 5 થી મોટો હોય અને જેમનો સરવાળો 23 થી ઓછો હોય તેવી ક્રમિક યુગ્મ (બેકી) ધન પૂર્ણાંકોની જોડ મેળવો.
ઉકેલ:
ધારો કે નાનો યુગ્મ પૂર્ણાંક x છે. તેથી મોટો યુગ્મ પૂર્ણાંક x + 2 થાય.
શરત 1: પ્રત્યેક 5 થી મોટો છે.
ધારો કે નાનો યુગ્મ પૂર્ણાંક x છે. તેથી મોટો યુગ્મ પૂર્ણાંક x + 2 થાય.
શરત 1: પ્રત્યેક 5 થી મોટો છે.
x > 5
શરત 2: સરવાળો 23 થી ઓછો છે.
x + (x + 2) < 23
2x + 2 < 23
2x < 21
x < 10.5
2x + 2 < 23
2x < 21
x < 10.5
આમ, x એ યુગ્મ પૂર્ણાંક છે જે 5 થી મોટો અને 10.5 થી નાનો છે.
તેથી x ની શક્ય કિંમતો = 6, 8, 10.
તેથી x ની શક્ય કિંમતો = 6, 8, 10.
જો x = 6, તો જોડ (6, 8) (સરવાળો 14 < 23)
જો x = 8, તો જોડ (8, 10) (સરવાળો 18 < 23)
જો x = 10, તો જોડ (10, 12) (સરવાળો 22 < 23)
જો x = 8, તો જોડ (8, 10) (સરવાળો 18 < 23)
જો x = 10, તો જોડ (10, 12) (સરવાળો 22 < 23)
✅ માંગેલ જોડ: (6, 8), (8, 10) અને (10, 12)
પ્રશ્ન 25: ત્રિકોણની સૌથી મોટી બાજુની લંબાઈ તેની સૌથી નાની બાજુની લંબાઈ કરતાં ત્રણ ગણી છે. ત્રીજી બાજુ સૌથી મોટી બાજુથી 2 સેમી નાની છે. પરિમિતિ ઓછામાં ઓછી 61 સેમી હોય, તો સૌથી નાની બાજુની ન્યૂનતમ લંબાઈ શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે સૌથી નાની બાજુની લંબાઈ = x સેમી.
તેથી, સૌથી મોટી બાજુ = 3x સેમી.
ત્રીજી બાજુ = સૌથી મોટી બાજુ – 2 = (3x – 2) સેમી.
ધારો કે સૌથી નાની બાજુની લંબાઈ = x સેમી.
તેથી, સૌથી મોટી બાજુ = 3x સેમી.
ત્રીજી બાજુ = સૌથી મોટી બાજુ – 2 = (3x – 2) સેમી.
પરિમિતિ ≥ 61 સેમી.
x + 3x + (3x – 2) ≥ 61
7x – 2 ≥ 61
7x ≥ 63
x ≥ 9
7x – 2 ≥ 61
7x ≥ 63
x ≥ 9
✅ સૌથી નાની બાજુની ન્યૂનતમ લંબાઈ 9 સેમી છે.
પ્રશ્ન 26: એક વ્યક્તિ 91 સેમી લાંબા પાટિયામાંથી ત્રણ ટુકડા કરવા માંગે છે. બીજા ટુકડાની લંબાઈ સૌથી નાના ટુકડા કરતાં 3 સેમી વધુ અને ત્રીજા ટુકડાની લંબાઈ સૌથી નાના ટુકડાથી બમણી છે. જો ત્રીજા ટુકડાની લંબાઈ બીજા ટુકડાથી ઓછામાં ઓછી 5 સેમી વધુ હોય, તો સૌથી નાના ટુકડાની શક્ય લંબાઈ શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે સૌથી નાના ટુકડાની લંબાઈ = x સેમી.
બીજો ટુકડો = x + 3 સેમી.
ત્રીજો ટુકડો = 2x સેમી.
ધારો કે સૌથી નાના ટુકડાની લંબાઈ = x સેમી.
બીજો ટુકડો = x + 3 સેમી.
ત્રીજો ટુકડો = 2x સેમી.
શરત 1: કુલ લંબાઈ 91 સેમી કે તેથી ઓછી હોય (પાટિયું 91 નું જ છે).
x + (x + 3) + 2x ≤ 91
4x + 3 ≤ 91
4x ≤ 88
x ≤ 22 — (1)
4x + 3 ≤ 91
4x ≤ 88
x ≤ 22 — (1)
શરત 2: ત્રીજો ટુકડો બીજા કરતાં ઓછામાં ઓછો 5 સેમી મોટો છે.
ત્રીજો ટુકડો ≥ બીજો ટુકડો + 5
2x ≥ (x + 3) + 5
2x ≥ x + 8
x ≥ 8 — (2)
2x ≥ (x + 3) + 5
2x ≥ x + 8
x ≥ 8 — (2)
પરિણામ (1) અને (2) ભેગા કરતાં:
✅ સૌથી નાના ટુકડાની લંબાઈ 8 સેમી કે તેથી વધુ અને 22 સેમી કે તેથી ઓછી હોવી જોઈએ. (8 ≤ x ≤ 22)
પ્રશ્ન 11: એક દ્રાવણનું તાપમાન 68° F અને 77° F વચ્ચે રાખવાનું છે. સેલ્સિયસ તથા ફેરનહીટ વચ્ચે રૂપાંતર સૂત્ર F = C + 32 છે. સેલ્સિયસમાં તાપમાનનો વિસ્તાર શું છે?
9
5
ઉકેલ:
આપણને શરત આપેલી છે કે તાપમાન (F) 68 થી 77 ની વચ્ચે છે.
આપણને શરત આપેલી છે કે તાપમાન (F) 68 થી 77 ની વચ્ચે છે.
68 < F < 77
હવે F ની જગ્યાએ સૂત્ર મૂકતાં:
68 < C + 32 < 77
9
5
આખી અસમતામાંથી 32 બાદ કરતાં:
68 – 32 < C < 77 - 32
36 <C < 45
9
5
36 <
9
5
હવે 5 વડે ગુણતાં અને 9 વડે ભાગતાં (એટલે કે 5/9 વડે ગુણતાં):
36 × < C < 45 ×
4 × 5 < C < 5 × 5
20 < C < 25
5
9
5
9
4 × 5 < C < 5 × 5
20 < C < 25
✅ સેલ્સિયસમાં તાપમાનનો વિસ્તાર 20° C થી 25° C ની વચ્ચે છે.
પ્રશ્ન 12: 8% બોરિક ઍસિડના દ્રાવણને મંદ કરવા તેમાં 2% બોરિક ઍસિડનું દ્રાવણ ઉમેરવામાં આવે છે. પરિણામે બોરિક ઍસિડનું મિશ્રણ 4% થી વધુ અને 6% થી ઓછું મળે છે. તો આપણી પાસે 640 લિટર 8% નું દ્રાવણ હોય, તો તેમાં કેટલાં લિટર 2% ટકા સાંદ્રતા ધરાવતું દ્રાવણ ઉમેરવું પડે?
ઉકેલ:
ધારો કે ઉમેરવું પડતું 2% સાંદ્રતાવાળું દ્રાવણ x લિટર છે.
આપણી પાસે મૂળ દ્રાવણ = 640 લિટર.
તેથી, કુલ મિશ્રણ = (640 + x) લિટર થશે.
ધારો કે ઉમેરવું પડતું 2% સાંદ્રતાવાળું દ્રાવણ x લિટર છે.
આપણી પાસે મૂળ દ્રાવણ = 640 લિટર.
તેથી, કુલ મિશ્રણ = (640 + x) લિટર થશે.
કુલ ઍસિડનો જથ્થો:
(8% વાળું 640 લિટર) + (2% વાળું x લિટર)
=(640) + (x)
(8% વાળું 640 લિટર) + (2% વાળું x લિટર)
=
8
100
2
100
શરત 1: મિશ્રણમાં ઍસિડ 4% થી વધુ હોવો જોઈએ.
8(640) + 2x
100
4
100
5120 + 2x > 2560 + 4x (બંને બાજુથી 100 દૂર કર્યા)
5120 – 2560 > 4x – 2x
2560 > 2x ⇒ 1280 > x ⇒ x < 1280
શરત 2: મિશ્રણમાં ઍસિડ 6% થી ઓછો હોવો જોઈએ.
8(640) + 2x
100
6
100
5120 + 2x < 3840 + 6x
5120 – 3840 < 6x - 2x
1280 < 4x ⇒ 320 < x ⇒ x > 320
✅ ઉમેરવા પડતા દ્રાવણનો જથ્થો 320 લિટરથી વધુ અને 1280 લિટરથી ઓછો હોવો જોઈએ. (320 < x < 1280)
પ્રશ્ન 13: 45% ઍસિડનું 1125 લિટર દ્રાવણ છે, તો પરિણામી મિશ્રણમાં 25% થી વધારે પણ 30% થી ઓછું ઍસિડ થાય તે માટે દ્રાવણમાં કેટલું પાણી ઉમેરવું જોઈએ?
ઉકેલ:
ધારો કે ઉમેરવું પડતું પાણી x લિટર છે.
પાણીમાં ઍસિડનું પ્રમાણ 0% હોય છે.
કુલ મિશ્રણ = (1125 + x) લિટર.
ધારો કે ઉમેરવું પડતું પાણી x લિટર છે.
પાણીમાં ઍસિડનું પ્રમાણ 0% હોય છે.
કુલ મિશ્રણ = (1125 + x) લિટર.
કુલ ઍસિડ: 45% ઓફ 1125 + 0% ઓફ x = (1125)
45
100
શરત 1: મિશ્રણ 25% થી વધુ સાંદ્ર હોવું જોઈએ.
45(1125)
100
25
100
45(1125) > 25(1125 + x)
9(1125) > 5(1125 + x) (બંને બાજુ 5 વડે ભાગતાં)
10125 > 5625 + 5x
4500 > 5x ⇒ 900 > x ⇒ x < 900
શરત 2: મિશ્રણ 30% થી ઓછું સાંદ્ર હોવું જોઈએ.
45(1125)
100
30
100
45(1125) < 30(1125 + x)
3(1125) < 2(1125 + x) (બંને બાજુ 15 વડે ભાગતાં)
3375 < 2250 + 2x
1125 < 2x ⇒ 562.5 < x ⇒ x > 562.5
✅ ઉમેરવા પડતા પાણીનો જથ્થો 562.5 લિટરથી વધુ અને 900 લિટરથી ઓછો હોવો જોઈએ.
પ્રશ્ન 14: વ્યક્તિનો IQ દર્શાવતું સૂત્ર IQ = × 100 છે. જો 12 વર્ષની ઉંમરના બાળકોના સમૂહ માટે 80 ≤ IQ ≤ 140 હોય, તો તેમની માનસિક ઉંમરનો વિસ્તાર શોધો.
MA
CA
ઉકેલ:
અહીં બાળકની વાસ્તવિક ઉંમર (CA) = 12 વર્ષ આપેલ છે.
IQ ની મર્યાદા: 80 ≤ IQ ≤ 140
અહીં બાળકની વાસ્તવિક ઉંમર (CA) = 12 વર્ષ આપેલ છે.
IQ ની મર્યાદા: 80 ≤ IQ ≤ 140
IQ ના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતાં:
80 ≤ × 100 ≤ 140
MA
12
બધા પદોને 100 વડે ભાગતાં:
80
100
MA
12
140
100
0.8 ≤
MA
12
હવે બધા પદોને 12 વડે ગુણતાં:
0.8 × 12 ≤ MA ≤ 1.4 × 12
9.6 ≤ MA ≤ 16.8
9.6 ≤ MA ≤ 16.8
✅ આ સમૂહના બાળકોની માનસિક ઉંમર (MA) નો વિસ્તાર 9.6 થી 16.8 સુધીનો છે.