Chapter 3: ત્રિકોણમિતિય વિધેય (Trigonometric functions)

Leave a Comment / By /

સ્વાધ્યાય 3.1: 3 and 5

પ્રશ્ન 3: એક ચક્ર એક મિનિટમાં 360 પરિભ્રમણ કરે છે, તો તે એક સેકન્ડમાં કેટલા રેડિયન માપ જેટલું ફરશે ?
પહેલી રીત (તાર્કિક ગણતરી):
અહીં, ચક્ર 1 મિનિટમાં 360 પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે.
1 મિનિટ = 60 સેકન્ડ
તેથી, 60 સેકન્ડમાં થતા પરિભ્રમણ = 360

માટે, 1 સેકન્ડમાં થતા પરિભ્રમણ =
360
60
= 6 પરિભ્રમણ
આપણે જાણીએ છીએ કે 1 પૂર્ણ પરિભ્રમણમાં ચક્ર કેન્દ્ર આગળ 2π રેડિયન જેટલો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી, 6 પરિભ્રમણમાં કપાતો કુલ ખૂણો = 6 × 2π
✅ જવાબ: 12π રેડિયન
બીજી રીત (સીધી ગણતરી):
1 પરિભ્રમણ = 2π રેડિયન
360 પરિભ્રમણ = 360 × 2π = 720π રેડિયન (એક મિનિટમાં)
1 મિનિટ = 60 સેકન્ડ. એટલે 1 સેકન્ડમાં ફેરવાયેલ રેડિયન:
=
720π
60
✅ જવાબ: 12π રેડિયન
પ્રશ્ન 5: 40 સેમી વ્યાસવાળા વર્તુળમાં જીવાની લંબાઈ 20 સેમી છે. જીવાને સંગત લઘુચાપનું માપ શોધો.
પહેલી રીત (ભૂમિતિ / સમબાજુ ત્રિકોણ):
અહીં, વર્તુળનો વ્યાસ (d) = 40 સેમી આપેલ છે.
તેથી, ત્રિજ્યા (r) =
40
2
= 20 સેમી
જીવાની લંબાઈ = 20 સેમી આપેલ છે.
અહીં બે ત્રિજ્યા (20 સેમી) અને જીવા (20 સેમી) થી બનતો ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ બને છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનો દરેક ખૂણો 60° હોય છે.
તેથી, કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો (θ) = 60°
ખૂણાને અંશમાંથી રેડિયનમાં ફેરવતાં: θ = 60 × (π/180) = π/3 રેડિયન
હવે, ચાપની લંબાઈ (l) શોધવાનું સૂત્ર: l = r θ
l = 20 ×
π
3
✅ જવાબ: લઘુચાપની લંબાઈ =
20π
3
સેમી

સ્વાધ્યાય 3.2: Q.2

પ્રશ્ન 6 થી 10 માં ત્રિકોણમિતીય વિધેયોનાં મૂલ્યો શોધો.

પ્રશ્ન 6: sin 765°
ઉકેલ:
આપણે જાણીએ છીએ કે sin વિધેયનાં મૂલ્યો 360° (અથવા 2π) ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે.
તેથી, આપણે 765° ને 360 ના ગુણિતમાં ફેરવીશું:
765° = (2 × 360°) + 45°
765° = 720° + 45°
હવે કિંમત મૂકતાં:
sin (765°) = sin (720° + 45°)
= sin 45°
ત્રિકોણમિતીય કોષ્ટક મુજબ, sin 45° ની કિંમત 1/√2 થાય છે.
✅ જવાબ:
1
√2
પ્રશ્ન 7: cosec (-1410°)
ઉકેલ:
આપણે જાણીએ છીએ કે cosec વિધેયનાં મૂલ્યો પણ 360° ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે.
ઋણ ખૂણો હોવાથી, આપણે તેમાં 360 નો એવો ગુણિત ઉમેરીશું જે 1410 થી સહેજ મોટો હોય, જેથી ખૂણો ધન બની જાય.
360 × 4 = 1440°
તેથી, વિધેયમાં 1440° ઉમેરતાં (કારણ કે તેનાથી કિંમતમાં કોઈ ફેર પડતો નથી):
cosec (-1410°) = cosec (-1410° + 1440°)
= cosec (30°)
કોષ્ટક મુજબ, cosec 30° ની કિંમત 2 છે.
✅ જવાબ: 2
પ્રશ્ન 8: tan
19π
3
ઉકેલ:
આપણે જાણીએ છીએ કે tan વિધેયનાં મૂલ્યો π ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે.
આપણે આપેલા ખૂણાને પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગમાં વિભાજિત કરીશું:
19π
3
= 6π +
π
3
હવે કિંમત મૂકતાં:
tan ( 6π +
π
3
) = tan
π
3
કોષ્ટક મુજબ, tan (π/3) એટલે કે tan 60° ની કિંમત √3 છે.
✅ જવાબ: √3
પ્રશ્ન 9: sin ( –
11π
3
)
ઉકેલ:
sin વિધેયનાં મૂલ્યો 2π ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે. ખૂણો ઋણ હોવાથી આપણે તેમાં 2π નો એવો ગુણિત ઉમેરીશું જેથી ખૂણો ધન બને. 2π નો ગુણિત 4π ઉમેરતાં:
sin ( –
11π
3
+ 4π )
લ.સા.અ (LCM) લઈને સાદુંરૂપ આપતાં:
= sin (
-11π + 12π
3
)

= sin
π
3
કોષ્ટક મુજબ, sin (π/3) એટલે કે sin 60° ની કિંમત √3/2 છે.
✅ જવાબ:
√3
2
પ્રશ્ન 10: cot ( –
15π
4
)
ઉકેલ:
cot વિધેયનાં મૂલ્યો π ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે. આપણે ઋણ ખૂણાને ધન બનાવવા માટે 2π નો ગુણિત (અહીં 4π લઈશું) ઉમેરીશું:
cot ( –
15π
4
+ 4π )
લ.સા.અ (LCM) લઈને સાદુંરૂપ આપતાં:
= cot (
-15π + 16π
4
)

= cot
π
4
કોષ્ટક મુજબ, cot (π/4) એટલે કે cot 45° ની કિંમત 1 છે.
✅ જવાબ: 1

સ્વાધ્યાય 3.3: Q.1 to 4

સાબિત કરો કે : (પ્રશ્ન 1 થી 4)
પ્રશ્ન 1: sin2
π
6
+ cos2
π
3
– tan2
π
4
= –
1
2
ઉકેલ:
ડાબી બાજુ (L.H.S.) લેતાં, ત્રિકોણમિતીય કોષ્ટક મુજબ કિંમતો મૂકીએ:
sin(π/6) = 1/2, cos(π/3) = 1/2, અને tan(π/4) = 1
= (
1
2
)2 + (
1
2
)2 – (1)2

=
1
4
+
1
4
– 1

=
2
4
– 1

=
1
2
– 1

= –
1
2
✅ જ.બા. (R.H.S.) સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 2: 2 sin2
π
6
+ cosec2
7π
6
cos2
π
3
=
3
2
ઉકેલ:
અહીં cosec (7π/6) ની કિંમત સીધી ખબર ન હોવાથી, તેને વિભાજિત કરીશું:
7π
6
= π +
π
6
આ ખૂણો ત્રીજા ચરણમાં (Third Quadrant) આવે છે, જ્યાં cosec ઋણ (-) હોય છે.
તેથી, cosec (π + π/6) = – cosec (π/6) = -2.
હવે ડાબી બાજુ (L.H.S.) માં બધી કિંમતો મૂકતાં:
sin(π/6) = 1/2, cosec(7π/6) = -2, cos(π/3) = 1/2
= 2 (
1
2
)2 + (-2)2 (
1
2
)2

= 2 (
1
4
) + (4) (
1
4
)

=
1
2
+ 1

=
1 + 2
2
=
3
2
✅ જ.બા. (R.H.S.) સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 3: cot2
π
6
+ cosec
5π
6
+ 3 tan2
π
6
= 6
ઉકેલ:
અહીં cosec (5π/6) ને વિભાજિત કરીશું:
5π
6
= π –
π
6
આ ખૂણો બીજા ચરણમાં (Second Quadrant) આવે છે, જ્યાં sin અને cosec ધન (+) હોય છે.
તેથી, cosec (π – π/6) = cosec (π/6) = 2.
હવે ડાબી બાજુ (L.H.S.) માં બધી કિંમતો મૂકતાં:
cot(π/6) = √3, cosec(5π/6) = 2, tan(π/6) = 1/√3
= (√3)2 + 2 + 3 (
1
√3
)2

= 3 + 2 + 3 (
1
3
)

= 3 + 2 + 1

= 6
✅ જ.બા. (R.H.S.) સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 4: 2 sin2
3π
4
+ 2 cos2
π
4
+ 2 sec2
π
3
= 10
ઉકેલ:
અહીં sin (3π/4) ને વિભાજિત કરીશું:
3π
4
= π –
π
4
આ ખૂણો બીજા ચરણમાં (Second Quadrant) આવે છે, જ્યાં sin ધન (+) હોય છે.
તેથી, sin (π – π/4) = sin (π/4) = 1/√2.
હવે ડાબી બાજુ (L.H.S.) માં બધી કિંમતો મૂકતાં:
sin(3π/4) = 1/√2, cos(π/4) = 1/√2, sec(π/3) = 2
= 2 (
1
√2
)2 + 2 (
1
√2
)2 + 2 (2)2

= 2 (
1
2
) + 2 (
1
2
) + 2 (4)

= 1 + 1 + 8

= 10
✅ જ.બા. (R.H.S.) સાબિત થાય છે.
પ્રકરણ 3 : ત્રિકોણમિતીય વિધેયો (દાખલા 8 થી 17)
પ્રશ્ન 8: સાબિત કરો કે
cos(π + x) cos(-x)
sin(π – x) cos(π/2 + x)
= cot2 x
ઉકેલ: ચરણ (Quadrants) ના નિયમો મુજબ:
  • cos(π + x) = -cos x (ત્રીજું ચરણ, cos ઋણ)
  • cos(-x) = cos x (cos યુગ્મ વિધેય છે)
  • sin(π – x) = sin x (બીજું ચરણ, sin ધન)
  • cos(π/2 + x) = -sin x (બીજું ચરણ, cos ઋણ અને વિધેય બદલાય)
ડાબી બાજુ (LHS) માં કિંમતો મૂકતાં:
LHS =
(-cos x)(cos x)
(sin x)(-sin x)
=
-cos2 x
-sin2 x
LHS =
cos2 x
sin2 x
= cot2 x = RHS
✅ સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 9: સાબિત કરો કે cos(3π/2 + x) cos(2π + x) [cot(3π/2 – x) + cot(2π + x)] = 1
ઉકેલ: ચરણના નિયમો મુજબ:
  • cos(3π/2 + x) = sin x (ચોથું ચરણ, cos ધન, વિધેય બદલાય)
  • cos(2π + x) = cos x (પ્રથમ ચરણ, સમાન વિધેય)
  • cot(3π/2 – x) = tan x (ત્રીજું ચરણ, cot ધન, વિધેય બદલાય)
  • cot(2π + x) = cot x (પ્રથમ ચરણ, સમાન વિધેય)
LHS માં કિંમતો મૂકતાં:
LHS = (sin x)(cos x) [tan x + cot x]
= sin x cos x [
sin x
cos x
+
cos x
sin x
]
કૌંસમાં લ.સા.અ. (LCM) લેતાં:
= sin x cos x [
sin2 x + cos2 x
sin x cos x
]
sin x cos x ઉડી જશે અને (sin2 x + cos2 x) = 1.
LHS = 1 = RHS
✅ સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 10: સાબિત કરો કે sin(n + 1)x sin(n + 2)x + cos(n + 1)x cos(n + 2)x = cos x
ઉકેલ: આપેલ પદાવલિને ગોઠવીને લખતાં:
LHS = cos(n + 2)x cos(n + 1)x + sin(n + 2)x sin(n + 1)x
સૂત્ર: cos A cos B + sin A sin B = cos(A – B)
ધારો કે A = (n + 2)x અને B = (n + 1)x.
LHS = cos [ (n + 2)x – (n + 1)x ]
LHS = cos [ nx + 2x – nx – x ] = cos x = RHS
✅ સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 11: સાબિત કરો કે cos(3π/4 + x) – cos(3π/4 – x) = -√2 sin x
ઉકેલ:
સૂત્ર (C – C = -2SS): cos C – cos D = -2 sin(
C + D
2
) sin(
C – D
2
)
અહીં C = 3π/4 + x અને D = 3π/4 – x.
C + D = (3π/4 + x) + (3π/4 – x) = 6π/4 = 3π/2
C – D = (3π/4 + x) – (3π/4 – x) = 2x
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતાં:
LHS = -2 sin(
3π/2
2
) sin(
2x
2
)
LHS = -2 sin(3π/4) sin(x)
હવે sin(3π/4) = sin(π – π/4) = sin(π/4) = 1/√2.
LHS = -2 (
1
√2
) sin x = -√2 sin x = RHS
✅ સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 12: સાબિત કરો કે sin2 6x – sin2 4x = sin 2x sin 10x
ઉકેલ:
સૂત્ર: sin2 A – sin2 B = sin(A + B) sin(A – B)
અહીં A = 6x અને B = 4x લેતાં:
LHS = sin(6x + 4x) sin(6x – 4x)
LHS = sin(10x) sin(2x) = sin 2x sin 10x = RHS
✅ સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 13: સાબિત કરો કે cos2 2x – cos2 6x = sin 4x sin 8x
ઉકેલ:
સૂત્ર: cos2 A – cos2 B = sin(B + A) sin(B – A)
અહીં A = 2x અને B = 6x લેતાં:
LHS = sin(6x + 2x) sin(6x – 2x)
LHS = sin(8x) sin(4x) = sin 4x sin 8x = RHS
✅ સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 14: સાબિત કરો કે sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x = 4 cos2 x sin 4x
ઉકેલ: LHS માં પ્રથમ અને અંતિમ પદને ભેગા કરીએ:
LHS = (sin 6x + sin 2x) + 2 sin 4x
સૂત્ર (S + S = 2SC): sin C + sin D = 2 sin(
C + D
2
) cos(
C – D
2
)
sin 6x + sin 2x = 2 sin(
8x
2
) cos(
4x
2
) = 2 sin 4x cos 2x
આ કિંમત LHS માં મૂકતાં:
LHS = 2 sin 4x cos 2x + 2 sin 4x
2 sin 4x સામાન્ય (common) કાઢતાં:
LHS = 2 sin 4x (cos 2x + 1)
આપણે જાણીએ છીએ કે 1 + cos 2x = 2 cos2 x.
LHS = 2 sin 4x (2 cos2 x) = 4 cos2 x sin 4x = RHS
✅ સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 15: સાબિત કરો કે cot 4x (sin 5x + sin 3x) = cot x (sin 5x – sin 3x)
ઉકેલ: આપણે LHS અને RHS બંનેનું સાદુંરૂપ આપીને સરખા સાબિત કરીશું.
LHS માટે (S + S = 2SC):
LHS = cot 4x (sin 5x + sin 3x)
=
cos 4x
sin 4x
[ 2 sin(
8x
2
) cos(
2x
2
) ]
=
cos 4x
sin 4x
(2 sin 4x cos x)
sin 4x ઉડી જશે:
LHS = 2 cos 4x cos x
RHS માટે (S – S = 2CS):
RHS = cot x (sin 5x – sin 3x)
=
cos x
sin x
[ 2 cos(
8x
2
) sin(
2x
2
) ]
=
cos x
sin x
(2 cos 4x sin x)
sin x ઉડી જશે:
RHS = 2 cos 4x cos x
✅ અહીં LHS = RHS હોવાથી સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 16: સાબિત કરો કે
cos 9x – cos 5x
sin 17x – sin 3x
= –
sin 2x
cos 10x
ઉકેલ: અંશ અને છેદમાં સૂત્રો વાપરતાં:
  • અંશ માટે (C – C = -2SS): cos 9x – cos 5x = -2 sin(7x) sin(2x)
  • છેદ માટે (S – S = 2CS): sin 17x – sin 3x = 2 cos(10x) sin(7x)
આ કિંમતો LHS માં મૂકતાં:
LHS =
-2 sin 7x sin 2x
2 cos 10x sin 7x
અંશ અને છેદમાંથી 2 અને sin 7x ઉડી જશે:
LHS = –
sin 2x
cos 10x
= RHS
✅ સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 17: સાબિત કરો કે
sin 5x + sin 3x
cos 5x + cos 3x
= tan 4x
ઉકેલ: અંશ અને છેદમાં સૂત્રો વાપરતાં:
  • અંશ માટે (S + S = 2SC): sin 5x + sin 3x = 2 sin(4x) cos(x)
  • છેદ માટે (C + C = 2CC): cos 5x + cos 3x = 2 cos(4x) cos(x)
આ કિંમતો LHS માં મૂકતાં:
LHS =
2 sin 4x cos x
2 cos 4x cos x
અંશ અને છેદમાંથી 2 અને cos x ઉડી જશે:
LHS =
sin 4x
cos 4x
= tan 4x = RHS
✅ સાબિત થાય છે.

પ્રકીર્ણન Q.1

પ્રશ્ન 1: સાબિત કરો કે : 2 cos
π
13
cos
9π
13
+ cos
3π
13
+ cos
5π
13
= 0
ઉકેલ:
ડાબી બાજુ (L.H.S.) લેતાં અને પ્રથમ પદને સહેજ ગોઠવીને લખતાં:
2 cos
9π
13
cos
π
13
+ cos
3π
13
+ cos
5π
13
અહીં પ્રથમ પદમાં 2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B) સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં (જ્યાં A = 9π/13 અને B = π/13):
=   [ cos (
9π
13
+
π
13
) + cos (
9π
13
–
π
13
) ]   + cos
3π
13
+ cos
5π
13


= cos
10π
13
+ cos
8π
13
+ cos
3π
13
+ cos
5π
13
હવે આપણે છેદમાં 13 હોવાથી 10π/13 અને 8π/13 ને π ના સ્વરૂપમાં વિભાજિત કરીશું:
10π
13
= π –
3π
13
    અને    
8π
13
= π –
5π
13
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતાં:
= cos ( π –
3π
13
) + cos ( π –
5π
13
) + cos
3π
13
+ cos
5π
13
આપણે જાણીએ છીએ કે cos(π – θ) = – cos θ (કારણ કે આ ખૂણો બીજા ચરણમાં છે અને ત્યાં cos ઋણ હોય છે). તેથી:
= – cos
3π
13
 – cos
5π
13
 + cos
3π
13
+ cos
5π
13
અહીં વિરુદ્ધ નિશાનીવાળા (ધન અને ઋણ) સમાન પદો એકબીજા સાથે કેન્સલ (રદ) થઈ જશે:
= 0
✅ = જ.બા. (R.H.S.). સાબિત થાય છે.
નીચેના પ્રત્યેક પ્રશ્ન માટે sin(x/2), cos(x/2) અને tan(x/2) ની કિંમતો શોધો.
પ્રશ્ન 8: tan x = –
4
3
, x એ બીજા ચરણમાં છે.
ઉકેલ:
અહીં x એ બીજા ચરણમાં છે, એટલે કે π/2 < x < π.
તેથી x/2 માટે: π/4 < x/2 < π/2 થશે.
આમ, x/2 એ પ્રથમ ચરણમાં છે, જ્યાં બધા જ ત્રિકોણમિતીય વિધેયો ધન (+) હોય છે.
આપણને tan x = –
4
3
આપેલ છે. સૂત્રો માટે આપણે cos x શોધવો પડશે.
sec2x = 1 + tan2x = 1 + (–
4
3
)2 = 1 +
16
9
=
25
9
x બીજા ચરણમાં હોવાથી sec x ઋણ મળશે: sec x = –
5
3
 ⇒  cos x = –
3
5
હવે અર્ધખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતાં:
sin(x/2) = √
1 – cos x
2
 = √
1 – (–
3
5
)
2
 = √
8
5
2
 = √
4
5
 =
2
√5
=
2√5
5
cos(x/2) = √
1 + cos x
2
 = √
1 + (–
3
5
)
2
 = √
2
5
2
 = √
1
5
 =
1
√5
=
√5
5
tan(x/2) =
sin(x/2)
cos(x/2)
=
2
√5
1
√5
= 2
✅ જવાબ: sin(x/2) =
2√5
5
, cos(x/2) =
√5
5
, tan(x/2) = 2
પ્રશ્ન 9: cos x = –
1
3
, x એ ત્રીજા ચરણમાં છે.
ઉકેલ:
અહીં x એ ત્રીજા ચરણમાં છે, એટલે કે π < x < 3π/2.
તેથી x/2 માટે: π/2 < x/2 < 3π/4 થશે.
આમ, x/2 એ બીજા ચરણમાં છે, જ્યાં માત્ર sin ધન હોય છે, જ્યારે cos અને tan ઋણ (-) હોય છે.
અહીં આપણને cos x = –
1
3
સીધું જ આપેલ છે. અર્ધખૂણાના સૂત્રો વાપરતાં:
sin(x/2) = + √
1 – (–
1
3
)
2
 = √
4
3
2
 = √
2
3
 =
√6
3
cos(x/2) = – √
1 + (–
1
3
)
2
 = – √
2
3
2
 = – √
1
3
 = –
√3
3
tan(x/2) =
sin(x/2)
cos(x/2)
=
√2
√3
–
1
√3
= – √2
✅ જવાબ: sin(x/2) =
√6
3
, cos(x/2) = –
√3
3
, tan(x/2) = -√2
પ્રશ્ન 10: sin x =
1
4
, x એ બીજા ચરણમાં છે.
ઉકેલ:
અહીં x એ બીજા ચરણમાં છે, એટલે કે π/2 < x < π.
તેથી x/2 માટે: π/4 < x/2 < π/2 થશે.
આમ, x/2 એ પ્રથમ ચરણમાં છે, જ્યાં બધા જ વિધેયો ધન (+) હોય છે.
આપણને sin x =
1
4
આપેલ છે. આપણે cos x શોધવો પડશે.
cos2x = 1 – sin2x = 1 – (
1
4
)2 = 1 –
1
16
=
15
16
x બીજા ચરણમાં હોવાથી cos x ઋણ મળશે: cos x = –
√15
4
સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સાદુંરૂપ આપતાં:
sin(x/2) = √
1 – (–
√15
4
)
2
 = √
4 + √15
8
(અંશ અને છેદને 2 વડે ગુણતાં)
= √
8 + 2√15
16
 =
√8 + 2√15
4
cos(x/2) = √
1 + (–
√15
4
)
2
 = √
4 – √15
8
 = √
8 – 2√15
16
 =
√8 – 2√15
4
tan(x/2) = √
1 – cos x
1 + cos x
 = √
4 + √15
4 – √15
(છેદનું સંમેયીકરણ – Rationalization કરતાં)
= √
(4 + √15)2
16 – 15
 = 4 + √15
✅ જવાબ: sin(x/2) =
√8+2√15
4
, cos(x/2) =
√8-2√15
4
, tan(x/2) = 4 + √15

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *