સ્વાધ્યાય 3.1: 3 and 5
પ્રશ્ન 3: એક ચક્ર એક મિનિટમાં 360 પરિભ્રમણ કરે છે, તો તે એક સેકન્ડમાં કેટલા રેડિયન માપ જેટલું ફરશે ?
પહેલી રીત (તાર્કિક ગણતરી):
અહીં, ચક્ર 1 મિનિટમાં 360 પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે.
અહીં, ચક્ર 1 મિનિટમાં 360 પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે.
1 મિનિટ = 60 સેકન્ડ
તેથી, 60 સેકન્ડમાં થતા પરિભ્રમણ = 360
માટે, 1 સેકન્ડમાં થતા પરિભ્રમણ =
= 6 પરિભ્રમણ
તેથી, 60 સેકન્ડમાં થતા પરિભ્રમણ = 360
માટે, 1 સેકન્ડમાં થતા પરિભ્રમણ =
360
60
આપણે જાણીએ છીએ કે 1 પૂર્ણ પરિભ્રમણમાં ચક્ર કેન્દ્ર આગળ 2π રેડિયન જેટલો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી, 6 પરિભ્રમણમાં કપાતો કુલ ખૂણો = 6 × 2π
✅ જવાબ: 12π રેડિયન
બીજી રીત (સીધી ગણતરી):
1 પરિભ્રમણ = 2π રેડિયન
360 પરિભ્રમણ = 360 × 2π = 720π રેડિયન (એક મિનિટમાં)
360 પરિભ્રમણ = 360 × 2π = 720π રેડિયન (એક મિનિટમાં)
1 મિનિટ = 60 સેકન્ડ. એટલે 1 સેકન્ડમાં ફેરવાયેલ રેડિયન:
=
720π
60
✅ જવાબ: 12π રેડિયન
પ્રશ્ન 5: 40 સેમી વ્યાસવાળા વર્તુળમાં જીવાની લંબાઈ 20 સેમી છે. જીવાને સંગત લઘુચાપનું માપ શોધો.
પહેલી રીત (ભૂમિતિ / સમબાજુ ત્રિકોણ):
અહીં, વર્તુળનો વ્યાસ (d) = 40 સેમી આપેલ છે.
અહીં, વર્તુળનો વ્યાસ (d) = 40 સેમી આપેલ છે.
તેથી, ત્રિજ્યા (r) =
= 20 સેમી
40
2
જીવાની લંબાઈ = 20 સેમી આપેલ છે.
અહીં બે ત્રિજ્યા (20 સેમી) અને જીવા (20 સેમી) થી બનતો ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ બને છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનો દરેક ખૂણો 60° હોય છે.
અહીં બે ત્રિજ્યા (20 સેમી) અને જીવા (20 સેમી) થી બનતો ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ બને છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનો દરેક ખૂણો 60° હોય છે.
તેથી, કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો (θ) = 60°
ખૂણાને અંશમાંથી રેડિયનમાં ફેરવતાં: θ = 60 × (π/180) = π/3 રેડિયન
હવે, ચાપની લંબાઈ (l) શોધવાનું સૂત્ર: l = r θ
l = 20 ×
π
3
✅ જવાબ: લઘુચાપની લંબાઈ =
સેમી
20π
3
સ્વાધ્યાય 3.2: Q.2
પ્રશ્ન 6 થી 10 માં ત્રિકોણમિતીય વિધેયોનાં મૂલ્યો શોધો.
પ્રશ્ન 6: sin 765°
પ્રશ્ન 6: sin 765°
ઉકેલ:
આપણે જાણીએ છીએ કે sin વિધેયનાં મૂલ્યો 360° (અથવા 2π) ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે sin વિધેયનાં મૂલ્યો 360° (અથવા 2π) ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે.
તેથી, આપણે 765° ને 360 ના ગુણિતમાં ફેરવીશું:
765° = (2 × 360°) + 45°
765° = 720° + 45°
765° = 720° + 45°
હવે કિંમત મૂકતાં:
sin (765°) = sin (720° + 45°)
= sin 45°
= sin 45°
ત્રિકોણમિતીય કોષ્ટક મુજબ, sin 45° ની કિંમત 1/√2 થાય છે.
✅ જવાબ:
1
√2
પ્રશ્ન 7: cosec (-1410°)
ઉકેલ:
આપણે જાણીએ છીએ કે cosec વિધેયનાં મૂલ્યો પણ 360° ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે.
ઋણ ખૂણો હોવાથી, આપણે તેમાં 360 નો એવો ગુણિત ઉમેરીશું જે 1410 થી સહેજ મોટો હોય, જેથી ખૂણો ધન બની જાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે cosec વિધેયનાં મૂલ્યો પણ 360° ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે.
ઋણ ખૂણો હોવાથી, આપણે તેમાં 360 નો એવો ગુણિત ઉમેરીશું જે 1410 થી સહેજ મોટો હોય, જેથી ખૂણો ધન બની જાય.
360 × 4 = 1440°
તેથી, વિધેયમાં 1440° ઉમેરતાં (કારણ કે તેનાથી કિંમતમાં કોઈ ફેર પડતો નથી):
cosec (-1410°) = cosec (-1410° + 1440°)
= cosec (30°)
= cosec (30°)
કોષ્ટક મુજબ, cosec 30° ની કિંમત 2 છે.
✅ જવાબ: 2
પ્રશ્ન 8: tan
19π
3
ઉકેલ:
આપણે જાણીએ છીએ કે tan વિધેયનાં મૂલ્યો π ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે.
આપણે આપેલા ખૂણાને પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગમાં વિભાજિત કરીશું:
આપણે જાણીએ છીએ કે tan વિધેયનાં મૂલ્યો π ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે.
આપણે આપેલા ખૂણાને પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગમાં વિભાજિત કરીશું:
19π
3
π
3
હવે કિંમત મૂકતાં:
tan
(
6π +
)
= tan
π
3
π
3
કોષ્ટક મુજબ, tan (π/3) એટલે કે tan 60° ની કિંમત √3 છે.
✅ જવાબ: √3
પ્રશ્ન 9: sin
(
–
)
11π
3
ઉકેલ:
sin વિધેયનાં મૂલ્યો 2π ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે. ખૂણો ઋણ હોવાથી આપણે તેમાં 2π નો એવો ગુણિત ઉમેરીશું જેથી ખૂણો ધન બને. 2π નો ગુણિત 4π ઉમેરતાં:
sin વિધેયનાં મૂલ્યો 2π ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે. ખૂણો ઋણ હોવાથી આપણે તેમાં 2π નો એવો ગુણિત ઉમેરીશું જેથી ખૂણો ધન બને. 2π નો ગુણિત 4π ઉમેરતાં:
sin
(
–
+ 4π
)
11π
3
લ.સા.અ (LCM) લઈને સાદુંરૂપ આપતાં:
= sin
(
)
= sin
-11π + 12π
3
= sin
π
3
કોષ્ટક મુજબ, sin (π/3) એટલે કે sin 60° ની કિંમત √3/2 છે.
✅ જવાબ:
√3
2
પ્રશ્ન 10: cot
(
–
)
15π
4
ઉકેલ:
cot વિધેયનાં મૂલ્યો π ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે. આપણે ઋણ ખૂણાને ધન બનાવવા માટે 2π નો ગુણિત (અહીં 4π લઈશું) ઉમેરીશું:
cot વિધેયનાં મૂલ્યો π ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે. આપણે ઋણ ખૂણાને ધન બનાવવા માટે 2π નો ગુણિત (અહીં 4π લઈશું) ઉમેરીશું:
cot
(
–
+ 4π
)
15π
4
લ.સા.અ (LCM) લઈને સાદુંરૂપ આપતાં:
= cot
(
)
= cot
-15π + 16π
4
= cot
π
4
કોષ્ટક મુજબ, cot (π/4) એટલે કે cot 45° ની કિંમત 1 છે.
✅ જવાબ: 1
સ્વાધ્યાય 3.3: Q.1 to 4
સાબિત કરો કે : (પ્રશ્ન 1 થી 4)
પ્રશ્ન 1: sin2
+ cos2
– tan2
= –
π
6
π
3
π
4
1
2
ઉકેલ:
ડાબી બાજુ (L.H.S.) લેતાં, ત્રિકોણમિતીય કોષ્ટક મુજબ કિંમતો મૂકીએ:
sin(π/6) = 1/2, cos(π/3) = 1/2, અને tan(π/4) = 1
ડાબી બાજુ (L.H.S.) લેતાં, ત્રિકોણમિતીય કોષ્ટક મુજબ કિંમતો મૂકીએ:
sin(π/6) = 1/2, cos(π/3) = 1/2, અને tan(π/4) = 1
= (
) 2
+ (
) 2
– (1)2
=
+
– 1
= – 1
= – 1
= –
1
2
1
2
=
1
4
1
4
=
2
4
=
1
2
= –
1
2
✅ જ.બા. (R.H.S.) સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 2: 2 sin2
+ cosec2
cos2
=
π
6
7π
6
π
3
3
2
ઉકેલ:
અહીં cosec (7π/6) ની કિંમત સીધી ખબર ન હોવાથી, તેને વિભાજિત કરીશું:
અહીં cosec (7π/6) ની કિંમત સીધી ખબર ન હોવાથી, તેને વિભાજિત કરીશું:
7π
6
π
6
આ ખૂણો ત્રીજા ચરણમાં (Third Quadrant) આવે છે, જ્યાં cosec ઋણ (-) હોય છે.
તેથી, cosec (π + π/6) = – cosec (π/6) = -2.
તેથી, cosec (π + π/6) = – cosec (π/6) = -2.
હવે ડાબી બાજુ (L.H.S.) માં બધી કિંમતો મૂકતાં:
sin(π/6) = 1/2, cosec(7π/6) = -2, cos(π/3) = 1/2
sin(π/6) = 1/2, cosec(7π/6) = -2, cos(π/3) = 1/2
= 2 (
) 2
+ (-2)2 (
) 2
= 2(
)
+ (4) (
)
= + 1
= =
1
2
1
2
= 2
1
4
1
4
=
1
2
=
1 + 2
2
3
2
✅ જ.બા. (R.H.S.) સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 3: cot2
+ cosec
+ 3 tan2
= 6
π
6
5π
6
π
6
ઉકેલ:
અહીં cosec (5π/6) ને વિભાજિત કરીશું:
અહીં cosec (5π/6) ને વિભાજિત કરીશું:
5π
6
π
6
આ ખૂણો બીજા ચરણમાં (Second Quadrant) આવે છે, જ્યાં sin અને cosec ધન (+) હોય છે.
તેથી, cosec (π – π/6) = cosec (π/6) = 2.
તેથી, cosec (π – π/6) = cosec (π/6) = 2.
હવે ડાબી બાજુ (L.H.S.) માં બધી કિંમતો મૂકતાં:
cot(π/6) = √3, cosec(5π/6) = 2, tan(π/6) = 1/√3
cot(π/6) = √3, cosec(5π/6) = 2, tan(π/6) = 1/√3
= (√3)2 + 2 + 3 (
) 2
= 3 + 2 + 3(
)
= 3 + 2 + 1
= 6
1
√3
= 3 + 2 + 3
1
3
= 3 + 2 + 1
= 6
✅ જ.બા. (R.H.S.) સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 4: 2 sin2
+ 2 cos2
+ 2 sec2
= 10
3π
4
π
4
π
3
ઉકેલ:
અહીં sin (3π/4) ને વિભાજિત કરીશું:
અહીં sin (3π/4) ને વિભાજિત કરીશું:
3π
4
π
4
આ ખૂણો બીજા ચરણમાં (Second Quadrant) આવે છે, જ્યાં sin ધન (+) હોય છે.
તેથી, sin (π – π/4) = sin (π/4) = 1/√2.
તેથી, sin (π – π/4) = sin (π/4) = 1/√2.
હવે ડાબી બાજુ (L.H.S.) માં બધી કિંમતો મૂકતાં:
sin(3π/4) = 1/√2, cos(π/4) = 1/√2, sec(π/3) = 2
sin(3π/4) = 1/√2, cos(π/4) = 1/√2, sec(π/3) = 2
= 2 (
) 2
+ 2 (
) 2
+ 2 (2)2
= 2(
)
+ 2 (
)
+ 2 (4)
= 1 + 1 + 8
= 10
1
√2
1
√2
= 2
1
2
1
2
= 1 + 1 + 8
= 10
✅ જ.બા. (R.H.S.) સાબિત થાય છે.
પ્રકીર્ણન Q.1
પ્રશ્ન 1: સાબિત કરો કે :
2 cos
cos
+ cos
+ cos = 0
π
13
9π
13
3π
13
5π
13
ઉકેલ:
ડાબી બાજુ (L.H.S.) લેતાં અને પ્રથમ પદને સહેજ ગોઠવીને લખતાં:
ડાબી બાજુ (L.H.S.) લેતાં અને પ્રથમ પદને સહેજ ગોઠવીને લખતાં:
2 cos
cos
+ cos
+ cos
9π
13
π
13
3π
13
5π
13
અહીં પ્રથમ પદમાં 2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B) સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં (જ્યાં A = 9π/13 અને B = π/13):
= [ cos ( + ) + cos ( – ) ] + cos + cos
= cos
+ cos
+ cos
+ cos
9π
13
π
13
9π
13
π
13
3π
13
5π
13
= cos
10π
13
8π
13
3π
13
5π
13
હવે આપણે છેદમાં 13 હોવાથી 10π/13 અને 8π/13 ને π ના સ્વરૂપમાં વિભાજિત કરીશું:
10π
13
3π
13
8π
13
5π
13
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતાં:
= cos ( π – )
+ cos ( π – )
+ cos
+ cos
3π
13
5π
13
3π
13
5π
13
આપણે જાણીએ છીએ કે cos(π – θ) = – cos θ (કારણ કે આ ખૂણો બીજા ચરણમાં છે અને ત્યાં cos ઋણ હોય છે). તેથી:
= – cos
– cos
+ cos
+ cos
3π
13
5π
13
3π
13
5π
13
અહીં વિરુદ્ધ નિશાનીવાળા (ધન અને ઋણ) સમાન પદો એકબીજા સાથે કેન્સલ (રદ) થઈ જશે:
= 0
✅ = જ.બા. (R.H.S.). સાબિત થાય છે.
નીચેના પ્રત્યેક પ્રશ્ન માટે sin(x/2), cos(x/2) અને tan(x/2) ની કિંમતો શોધો.
પ્રશ્ન 8: tan x = – , x એ બીજા ચરણમાં છે.
4
3
ઉકેલ:
અહીં x એ બીજા ચરણમાં છે, એટલે કે π/2 < x < π.
તેથી x/2 માટે: π/4 < x/2 < π/2 થશે.
આમ, x/2 એ પ્રથમ ચરણમાં છે, જ્યાં બધા જ વિધેયો ધન (+) હોય છે.
અહીં x એ બીજા ચરણમાં છે, એટલે કે π/2 < x < π.
તેથી x/2 માટે: π/4 < x/2 < π/2 થશે.
આમ, x/2 એ પ્રથમ ચરણમાં છે, જ્યાં બધા જ વિધેયો ધન (+) હોય છે.
આપણને tan x = -4/3 આપેલ છે. સૂત્રો માટે આપણે cos x શોધવો પડશે.
sec2x = 1 + tan2x = 1 + ( – ) 2 = 1 + =
4
3
16
9
25
9
x બીજા ચરણમાં હોવાથી sec x ઋણ મળશે: sec x = -5/3 ⇒ cos x = -3/5
હવે અર્ધખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતાં:
sin(x/2) = √[ ]
= √[ ]
= √( )
= √( )
=
=
1 – cos x
2
1 – (-3/5)
2
8/5
2
4
5
2
√5
2√5
5
cos(x/2) = √[ ]
= √[ ]
= √( )
= √( )
=
=
1 + cos x
2
1 + (-3/5)
2
2/5
2
1
5
1
√5
√5
5
tan(x/2) =
= = 2
sin(x/2)
cos(x/2)
2/√5
1/√5
✅ જવાબ: sin(x/2) = 2√5/5, cos(x/2) = √5/5, tan(x/2) = 2
પ્રશ્ન 9: cos x = – , x એ ત્રીજા ચરણમાં છે.
1
3
ઉકેલ:
અહીં x એ ત્રીજા ચરણમાં છે, એટલે કે π < x < 3π/2.
તેથી x/2 માટે: π/2 < x/2 < 3π/4 થશે.
આમ, x/2 એ બીજા ચરણમાં છે, જ્યાં માત્ર sin ધન હોય છે, જ્યારે cos અને tan ઋણ (-) હોય છે.
અહીં x એ ત્રીજા ચરણમાં છે, એટલે કે π < x < 3π/2.
તેથી x/2 માટે: π/2 < x/2 < 3π/4 થશે.
આમ, x/2 એ બીજા ચરણમાં છે, જ્યાં માત્ર sin ધન હોય છે, જ્યારે cos અને tan ઋણ (-) હોય છે.
અહીં આપણને cos x = -1/3 સીધું જ આપેલ છે. અર્ધખૂણાના સૂત્રો વાપરતાં:
sin(x/2) = + √[ ]
= √( )
= √( )
=
1 – (-1/3)
2
4/3
2
2
3
√6
3
cos(x/2) = – √[ ]
= – √( )
= – √( )
= –
1 + (-1/3)
2
2/3
2
1
3
√3
3
tan(x/2) =
= = – √2
sin(x/2)
cos(x/2)
√2/√3
-1/√3
✅ જવાબ: sin(x/2) = √6/3, cos(x/2) = -√3/3, tan(x/2) = -√2
પ્રશ્ન 10: sin x = , x એ બીજા ચરણમાં છે.
1
4
ઉકેલ:
અહીં x એ બીજા ચરણમાં છે, એટલે કે π/2 < x < π.
તેથી x/2 માટે: π/4 < x/2 < π/2 થશે.
આમ, x/2 એ પ્રથમ ચરણમાં છે, જ્યાં બધા જ વિધેયો ધન (+) હોય છે.
અહીં x એ બીજા ચરણમાં છે, એટલે કે π/2 < x < π.
તેથી x/2 માટે: π/4 < x/2 < π/2 થશે.
આમ, x/2 એ પ્રથમ ચરણમાં છે, જ્યાં બધા જ વિધેયો ધન (+) હોય છે.
આપણને sin x = 1/4 આપેલ છે. આપણે cos x શોધવો પડશે.
cos2x = 1 – sin2x = 1 – (1/4)2 = 1 – 1/16 = 15/16
x બીજા ચરણમાં હોવાથી cos x ઋણ મળશે: cos x = -√15 / 4
સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સાદુંરૂપ આપતાં:
sin(x/2) = √[ ]
= √[ ]
અંશ અને છેદને 2 વડે ગુણતાં:
= √[ ]
=
1 – (-√15/4)
2
4 + √15
8
અંશ અને છેદને 2 વડે ગુણતાં:
= √
8 + 2√15
16
√(8 + 2√15)
4
cos(x/2) = √[ ]
= √[ ]
= √[ ]
=
1 + (-√15/4)
2
4 – √15
8
8 – 2√15
16
√(8 – 2√15)
4
tan(x/2) = √[ ]
= √[ ]
છેદનું સંમેયીકરણ (Rationalization) કરતાં:
= √[ ]
= 4 + √15
1 – cos x
1 + cos x
4 + √15
4 – √15
છેદનું સંમેયીકરણ (Rationalization) કરતાં:
= √
(4 + √15)2
16 – 15
✅ જવાબ: sin(x/2) = √(8+2√15)/4, cos(x/2) = √(8-2√15)/4, tan(x/2) = 4+√15