ચતુષ્કોણ ના ક્ષેત્રફળ

૧. લંબચોરસ (Rectangle)

ખાસિયત: સામસામેની બાજુઓ સમાન અને ચારેય ખૂણા કાટખૂણા હોય છે.

સાબિતી: ક્ષેત્રફળ એટલે સપાટી પર રોકાયેલી જગ્યા. જો l લંબાઈ અને b પહોળાઈ ધરાવતા નાના 1 × 1 ના ચોકઠાં ગોઠવીએ, તો કુલ l × b ચોકઠાં ગોઠવાય.

૨. ચોરસ (Square)

ખાસિયત: ચારેય બાજુઓ સમાન અને ચારેય ખૂણા કાટખૂણા હોય છે.

સાબિતી: આ લંબચોરસનો જ એક પ્રકાર છે જેમાં લંબાઈ અને પહોળાઈ સમાન (a) છે. તેથી ક્ષેત્રફળ a × a = a² થાય.

૩. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ (Parallelogram)

ખાસિયત: સામસામેની બાજુઓ સમાંતર હોય છે.

સાબિતી: જો તમે આકૃતિમાંથી ત્રાસો કાટકોણ ત્રિકોણ કાપીને તેને બીજી બાજુ જોડી દો, તો તે સીધો લંબચોરસ બની જાય છે, જેની લંબાઈ પાયા (b) જેટલી અને પહોળાઈ વેધ (h) જેટલી થાય.

૪. સમબાજુ ચતુષ્કોણ (Rhombus)

ખાસિયત: ચારેય બાજુઓ સમાન હોય છે, વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.

સાબિતી: ચતુષ્કોણની અંદર ૪ સરખા કાટકોણ ત્રિકોણ બને છે. દરેકનો પાયો d₁/2 અને વેધ d₂/2 હોય છે. ૪ ત્રિકોણનો સરવાળો કરવાથી આ સૂત્ર બને છે.

૫. સમલંબ ચતુષ્કોણ (Trapezium)

ખાસિયત: બાજુઓની માત્ર એક જ જોડ સમાંતર હોય છે.

સાબિતી: એક વિકર્ણ દોરીને આકૃતિને બે ત્રિકોણમાં વહેંચો. બંને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (½ a h અને ½ b h) નો સરવાળો કરવાથી આ સૂત્ર મળે છે.

૬. પતંગાકાર ચતુષ્કોણ (Kite)

ખાસિયત: પાસપાસેની બાજુઓની બે જોડ સમાન હોય છે.

૭. અનિયમિત ચતુષ્કોણ (માસ્ટર રીત)

ખાસિયત: કોઈ બાજુ કે ખૂણો સમાન હોતો નથી (જેમ કે કોઈ ખેતર કે પ્લોટ).

સાબિતી: આખા ચતુષ્કોણને એક વિકર્ણ (d) દ્વારા બે ત્રિકોણમાં વહેંચો. બંને ત્રિકોણનું અલગથી ક્ષેત્રફળ શોધીને સરવાળો કરવાથી સાર્વત્રિક ક્ષેત્રફળ મળે છે.

નોંધ: 3D આકારો (જેમ કે નળાકાર, શંકુ) ની બહારની સપાટીના માપને પૃષ્ઠફળ (Surface Area) કહેવામાં આવે છે.

૧. વર્તુળ (Circle)

ખાસિયત: કોઈ એક નિશ્ચિત બિંદુથી સમાન અંતરે આવેલા તમામ બિંદુઓનો સમૂહ.

સમજૂતી: અહીં r એ વર્તુળની ત્રિજ્યા (Radius) છે અને π (પાઈ) ની કિંમત આશરે 22/7 અથવા 3.14 લેવામાં આવે છે.

૨. નળાકાર (Cylinder)

ખાસિયત: તેમાં બે વર્તુળાકાર પાયા અને એક વક્ર સપાટી હોય છે (ઉદા. પાણીની પાઇપ).

સમજૂતી: માત્ર ગોળ ફરતી સપાટી ગણવી હોય તો વક્રસપાટી (CSA) નું સૂત્ર વપરાય. જો ઉપર-નીચે બંને ઢાંકણા બંધ હોય, તો કુલ પૃષ્ઠફળ (TSA) વપરાય.

૩. શંકુ (Cone)

ખાસિયત: નીચે ગોળ પાયો અને ઉપર એક ટોચ હોય છે (ઉદા. જોકરની ટોપી, આઈસ્ક્રીમનો કોન).

૪. ગોલક (Sphere)

ખાસિયત: 3D માં સંપૂર્ણ ગોળ આકાર (ઉદા. ફૂટબોલ, ક્રિકેટનો દડો). તેને કોઈ સપાટ ભાગ હોતો નથી.

સાબિતીની ઝલક: જો એક દડા પર દોરી વીંટાળવામાં આવે અને પછી એ જ દોરીથી સમાન ત્રિજ્યા વાળા ૪ વર્તુળ ભરાય છે. તેથી તેનું પૃષ્ઠફળ 4 વર્તુળ (4 × πr²) બરાબર થાય છે.

૫. અર્ધગોલક (Hemisphere)

ખાસિયત: ગોલકને બરાબર વચ્ચેથી કાપતા બનતો આકાર (ઉદા. અડધું લીંબુ, વાટકો).

સમજૂતી: ખાલી વાટકો હોય તો માત્ર નીચેનો વક્ર ભાગ (2πr²) ગણાય. પરંતુ જો વાટકો ઉપરથી ઢાંકેલો હોય (નક્કર હોય), તો ઉપરના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ (πr²) ઉમેરતાં કુલ પૃષ્ઠફળ 3πr² થાય.

ઘનફળ (Volume) એટલે શું?
કોઈપણ ત્રિપરિમાણીય (3D) આકાર અવકાશમાં જેટલી જગ્યા રોકે છે અથવા તેની અંદર પ્રવાહી કે હવા સમાવવાની જે ક્ષમતા છે, તેને તેનું ઘનફળ કહે છે. તેનો એકમ હંમેશા ઘન સેમી (cm³) કે ઘન મીટર (m³) હોય છે.

૧. સમઘન (Cube)

ખાસિયત: જેની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ ત્રણેય સમાન હોય (ઉદા. રમવાનો પાસો).

સમજૂતી: પાયાનું ક્ષેત્રફળ (a × a) ને તેની ઊંચાઈ (a) સાથે ગુણવાથી a³ મળે છે.

૨. લંબઘન (Cuboid)

ખાસિયત: ઈંટ, કંપાસ બોક્સ કે ઓરડા જેવો આકાર.

સમજૂતી: નીચેના લંબચોરસ પાયાના ક્ષેત્રફળ (l × b) પર h ઊંચાઈ સુધી થપ્પી કરતા જઈએ એટલે આખું બોક્સ ભરાઈ જાય.

૩. નળાકાર (Cylinder)

ખાસિયત: વર્તુળાકાર પાયો ધરાવતો સીધો થાંભલો કે પાણીની ટાંકી.

સમજૂતી: નીચેના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ (πr²) હોય છે. આવા વર્તુળોને h ઊંચાઈ સુધી એકની ઉપર એક ગોઠવતા નળાકાર બને છે, તેથી ક્ષેત્રફળ અને ઊંચાઈનો ગુણાકાર થાય છે.

૪. શંકુ (Cone)

ખાસિયત: નીચેથી ગોળ અને ઉપરથી અણીદાર.

તાર્કિક સમજૂતી (વિદ્યાર્થીઓ માટે ખાસ): જો એક સમાન ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ ધરાવતો નળાકાર અને શંકુ લઈએ, તો પાણીથી પૂરેપૂરો ભરેલો શંકુ ખાલી નળાકારમાં ઠાલવતા નળાકાર ત્રીજા ભાગનો જ ભરાય છે! એટલે કે શંકુનું ઘનફળ એ નળાકારના ઘનફળ કરતા બરાબર ત્રીજા (1/3) ભાગનું હોય છે.

૫. ગોલક (Sphere)

ખાસિયત: 3D માં સંપૂર્ણ ગોળ આકાર (ઉદા. પૃથ્વીનો ગોળો).

૬. અર્ધગોલક (Hemisphere)

ખાસિયત: ગોલકને બરાબર વચ્ચેથી કાપતા બનતો વાટકા જેવો આકાર.

સમજૂતી: આખા ગોલકના ઘનફળ (4/3) ને અડધું કરતા (2/3) થાય છે. આટલું જ સરળ!