4.1 no 2
📝 દ્વિઘાત સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવો (સ્વાધ્યાય 4.1)
(i) જમીનના એક લંબચોરસ ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ 528 મી² છે. તેની લંબાઈ (મીટરમાં), પહોળાઈ (મીટરમાં)ના બમણાથી એક મીટર જેટલી વધુ છે. આપણે જમીનના આ ટુકડાની લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધવી છે.
ધારો કે, લંબચોરસની પહોળાઈ = x મીટર છે.
તેથી, શરત મુજબ લંબાઈ = 2x + 1 મીટર થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે, લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ × પહોળાઈ
x(2x + 1) = 528
2x2 + x = 528
જરૂરી સમીકરણ: 2x2 + x – 528 = 0
(ii) બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર 306 છે. આપણે આ પૂર્ણાંક શોધવા છે.
ધારો કે, પ્રથમ ધન પૂર્ણાંક = x છે.
તેથી, તેનો ક્રમિક (તેના પછીનો તરત આવતો) પૂર્ણાંક = x + 1 થશે.
બંનેનો ગુણાકાર 306 આપેલો છે:
x(x + 1) = 306
x2 + x = 306
જરૂરી સમીકરણ: x2 + x – 306 = 0
(iii) રોહનની માતા તેના કરતાં 26 વર્ષ મોટાં છે. આજથી 3 વર્ષ પછી તેમની ઉંમર દર્શાવતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર 360 હશે. આપણે રોહનની હાલની ઉંમર શોધવી છે.
ધારો કે, રોહનની હાલની ઉંમર = x વર્ષ.
તેથી માતાની હાલની ઉંમર = x + 26 વર્ષ.
3 વર્ષ પછી: રોહનની ઉંમર = (x + 3) અને માતાની ઉંમર = (x + 26 + 3) = (x + 29) થશે.
બંનેનો ગુણાકાર 360 છે:
(x + 3)(x + 29) = 360
x2 + 29x + 3x + 87 = 360
x2 + 32x + 87 – 360 = 0
જરૂરી સમીકરણ: x2 + 32x – 273 = 0
(iv) એક ટ્રેન 480 કિમીનું અંતર અચળ ઝડપથી કાપે છે. જો ઝડપ 8 કિમી/કલાક ઓછી હોય, તો આટલું જ અંતર કાપવા તે 3 કલાક વધુ લે છે, તો ટ્રેનની ઝડપ શોધો.
ધારો કે, ટ્રેનની સામાન્ય અચળ ઝડપ = x કિમી/કલાક છે.
સામાન્ય રીતે લાગતો સમય t1 = અંતરઝડપ = 480x કલાક.
જ્યારે ઝડપ 8 કિમી/કલાક ઓછી થાય, ત્યારે નવી ઝડપ = (x – 8) કિમી/કલાક.
ત્યારે લાગતો સમય t2 = 480x – 8 કલાક.
શરત મુજબ, નવો સમય પહેલા કરતા 3 કલાક વધુ છે (એટલે કે t2 – t1 = 3):
480x – 8 – 480x = 3
480 સામાન્ય કાઢી લસાઅ લેતા:
480 [x – (x – 8)x(x – 8)] = 3
480 [x – (x – 8)x(x – 8)] = 3
480 × 8 = 3(x2 – 8x)
160 × 8 = x2 – 8x (બંને બાજુ 3 વડે ભાગતા)
1280 = x2 – 8x
જરૂરી સમીકરણ: x2 – 8x – 1280 = 0