📘 ધોરણ 10 ગણિત: સ્વાધ્યાય 1.2 (સંપૂર્ણ ઉકેલ)
પ્રશ્ન 1: સાબિત કરો કે √5 અસંમેય છે.
ધારો કે: વિરોધાભાસની રીતથી, ધારો કે √5 એ સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી આપણે પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો a અને b (જ્યાં b ≠ 0) એવા લઈ શકીએ કે જેથી:
√5 = ab
તેથી આપણે પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો a અને b (જ્યાં b ≠ 0) એવા લઈ શકીએ કે જેથી:
√5 = ab
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
5 = a2b2
∴ 5b2 = a2 — (સમીકરણ 1)
આનો અર્થ એ થાય કે a2 એ 5 વડે વિભાજ્ય છે. પ્રમેય 1.2 મુજબ જો a2 એ 5 વડે વિભાજ્ય હોય, તો a પણ 5 વડે વિભાજ્ય થાય.
5 = a2b2
∴ 5b2 = a2 — (સમીકરણ 1)
આનો અર્થ એ થાય કે a2 એ 5 વડે વિભાજ્ય છે. પ્રમેય 1.2 મુજબ જો a2 એ 5 વડે વિભાજ્ય હોય, તો a પણ 5 વડે વિભાજ્ય થાય.
હવે, ધારો કે a = 5c (જ્યાં c કોઈ પૂર્ણાંક છે). આ કિંમત સમીકરણ 1 માં મુકતા:
5b2 = (5c)2
5b2 = 25c2
b2 = 5c2
આ દર્શાવે છે કે b2 એ 5 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી પ્રમેય મુજબ b પણ 5 વડે વિભાજ્ય થાય.
5b2 = (5c)2
5b2 = 25c2
b2 = 5c2
આ દર્શાવે છે કે b2 એ 5 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી પ્રમેય મુજબ b પણ 5 વડે વિભાજ્ય થાય.
આમ, a અને b બંનેનો સામાન્ય અવયવ 5 મળે છે.
પરંતુ, આપણે ધાર્યું હતું કે a અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય છે (તેમનો 1 સિવાય કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી). આ વિરોધાભાસ ઉભો થયો!
પરંતુ, આપણે ધાર્યું હતું કે a અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય છે (તેમનો 1 સિવાય કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી). આ વિરોધાભાસ ઉભો થયો!
✅ આપણી ધારણા ખોટી છે. તેથી સાબિત થાય છે કે √5 અસંમેય સંખ્યા છે.
પ્રશ્ન 2: સાબિત કરો કે 3 + 2√5 અસંમેય છે.
ધારો કે: ધારો કે 3 + 2√5 એ સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી, 3 + 2√5 = ab (જ્યાં a અને b અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો છે, b ≠ 0).
તેથી, 3 + 2√5 = ab (જ્યાં a અને b અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો છે, b ≠ 0).
સાદુંરૂપ આપતા:
2√5 = ab – 3
2√5 = a – 3bb
√5 = a – 3b2b
2√5 = ab – 3
2√5 = a – 3bb
√5 = a – 3b2b
અહીં a અને b પૂર્ણાંકો હોવાથી, જમણી બાજુ a – 3b2b એ સંમેય સંખ્યા થાય.
તેથી ડાબી બાજુ √5 પણ સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે √5 અસંમેય છે. આ વિરોધાભાસ છે!
તેથી ડાબી બાજુ √5 પણ સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે √5 અસંમેય છે. આ વિરોધાભાસ છે!
✅ તેથી આપણી ધારણા ખોટી છે. 3 + 2√5 અસંમેય છે.
પ્રશ્ન 3: સાબિત કરો કે નીચેની સંખ્યાઓ અસંમેય છે.
(i) 1√2
ધારો કે તે સંમેય છે: 1√2 = ab
વ્યસ્ત કરતા: √2 = ba
અહીં a અને b પૂર્ણાંક હોવાથી b/a સંમેય થાય, જેનો અર્થ √2 સંમેય છે. પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે √2 અસંમેય છે. (વિરોધાભાસ).
સાબિત થયું કે 1√2 અસંમેય છે.
ધારો કે તે સંમેય છે: 1√2 = ab
વ્યસ્ત કરતા: √2 = ba
અહીં a અને b પૂર્ણાંક હોવાથી b/a સંમેય થાય, જેનો અર્થ √2 સંમેય છે. પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે √2 અસંમેય છે. (વિરોધાભાસ).
સાબિત થયું કે 1√2 અસંમેય છે.
(ii) 7√5
ધારો કે તે સંમેય છે: 7√5 = ab
તેથી: √5 = a7b
જમણી બાજુ સંમેય છે, તેથી √5 સંમેય થવી જોઈએ, જે હકીકતનો વિરોધાભાસ છે.
સાબિત થયું કે 7√5 અસંમેય છે.
ધારો કે તે સંમેય છે: 7√5 = ab
તેથી: √5 = a7b
જમણી બાજુ સંમેય છે, તેથી √5 સંમેય થવી જોઈએ, જે હકીકતનો વિરોધાભાસ છે.
સાબિત થયું કે 7√5 અસંમેય છે.
(iii) 6 + √2
ધારો કે તે સંમેય છે: 6 + √2 = ab
તેથી: √2 = ab – 6 = a – 6bb
જમણી બાજુ સંમેય છે, તેથી √2 સંમેય થવી જોઈએ, જે ખોટું છે (વિરોધાભાસ).
સાબિત થયું કે 6 + √2 અસંમેય છે.
ધારો કે તે સંમેય છે: 6 + √2 = ab
તેથી: √2 = ab – 6 = a – 6bb
જમણી બાજુ સંમેય છે, તેથી √2 સંમેય થવી જોઈએ, જે ખોટું છે (વિરોધાભાસ).
સાબિત થયું કે 6 + √2 અસંમેય છે.