પાયથાગોરસ અને તેમની સ્કૂલ: ગ્રીસ દેશમાં પાયથાગોરસ નામના એક ખૂબ જ મહાન ગણિતશાસ્ત્રી થઈ ગયા. તેમના જે વિદ્યાર્થીઓ કે અનુયાયીઓ હતા, તેમને ‘પાયથાગોરિયન્સ’ કહેવામાં આવતા હતા. તેઓ ગણિતને ભગવાન માનતા હતા!
એક નવી શોધ: આજથી હજારો વર્ષ પહેલાં (આશરે ઈ.સ. પૂર્વે 400 માં), આ વિદ્યાર્થીઓ ગણિતમાં ગણતરીઓ કરતા હતા ત્યારે તેમણે પહેલીવાર એવી સંખ્યાઓ શોધી જે સામાન્ય સંખ્યાઓથી અલગ હતી અને ‘સંમેય’ ન હતી.
અસંમેય સંખ્યાઓ એટલે શું? આ નવી સંખ્યાઓને તેમણે અસંમેય સંખ્યાઓ (Irrational Numbers) નામ આપ્યું. આપણે જાણીએ છીએ કે સંમેય સંખ્યાઓને આપણે અંશ અને છેદના રૂપમાં લખી શકીએ છીએ, પણ આ અસંમેય સંખ્યાઓને આપણે એ રીતે લખી શકતા નથી.
હિપ્પાસસની ભયાનક વાર્તા: આ શોધ સાથે એક રહસ્ય જોડાયેલું છે! ‘હિપ્પાસસ’ નામના પાયથાગોરસના એક તેજસ્વી શિષ્યએ સાબિત કરી દીધું કે √2 એ અસંમેય સંખ્યા છે.
હિપ્પાસસનો દુઃખદ અંત: જૂની વાર્તાઓ એવું કહે છે કે પાયથાગોરિયન્સ તેમની બધી ગણિતની શોધોને દુનિયાથી ખૂબ જ ગુપ્ત રાખતા હતા. પણ હિપ્પાસસે √2 વાળી આ રહસ્યમય વાત બહારના સામાન્ય લોકોને કહી દીધી! પાયથાગોરિયન્સના નિયમો તોડવા બદલ અને આ ગુપ્ત વાત બહાર પાડવા બદલ, હિપ્પાસસનો ખૂબ ખરાબ રીતે અંત આવ્યો હતો.
૧૮૭૦ના દાયકામાં, બે પ્રખ્યાત જર્મન ગણિતશાસ્ત્રીઓ, આર. ડેડેકિન્ડ અને જી. કેન્ટોર, એ મળીને એક ખૂબ જ મહત્વનો સિદ્ધાંત શોધી કાઢ્યો. તેમણે સાબિત કર્યું કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને સંખ્યા રેખા વચ્ચે એક અતૂટ સંબંધ છે.
વિદ્યાર્થી મિત્રો, હવે આ જુઓ અને સમજો:
૧. દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે, સંખ્યા રેખા પર એક નિશ્ચિત બિંદુ હોય છે. (જેમ કે √2 માટે એક ચોક્કસ જગ્યા છે!)
૨. અને ઉલટું, સંખ્યા રેખા પરના દરેક બિંદુ માટે, એક અનન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા હોય છે.
આનો અર્થ એ કે, બધી જ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (સંમેય અને અસંમેય બંને) અને સંખ્યા રેખાના બધા જ બિંદુઓ વચ્ચે એક-થી-એક મેળ (mapping) છે. જેવી રીતે ટાઈમલાઈન પર દરેક તારીખ માટે એક બિંદુ છે, તેમ આખી સંખ્યા રેખા વાસ્તવિક સંખ્યાઓથી ભરેલી છે અને તેમાં કોઈ પણ જગ્યા બાકી રહેતી નથી!
ગણિતમાં ‘આવૃત્ત’ શબ્દનો સીધો અર્થ થાય છે ‘ફરીથી આવવું’ અથવા ‘પુનરાવર્તન થવું’.
જ્યારે આપણે કોઈ અપૂર્ણાંકનો ભાગાકાર કરીએ અને જવાબમાં દશાંશ ચિહ્ન (પોઈન્ટ) પછી કોઈ અંક કે અંકોનો સમૂહ અટક્યા વગર અનંત સુધી વારંવાર આવતો જ રહે, ત્યારે તેને ‘અનંત આવૃત્ત’ દશાંશ અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે.
= ૦.૩૩૩૩૩૩…
અહીં ‘૩’ નો અંક અનંત સુધી પુનરાવર્તન પામે છે. ટૂંકમાં લખવા માટે આપણે તેની ઉપર લીટી (બાર) કરીએ છીએ: ૦.૩
= ૦.૧૪૨૮૫૭૧૪૨૮૫૭…
અહીં ‘૧૪૨૮૫૭’ નો આખો સમૂહ વારંવાર આવે છે, તેથી તેને આમ લખાય છે: ૦.૧૪૨૮૫૭
💡 વિદ્યાર્થીઓ માટે નોંધ: જે અંક કે અંકોના સમૂહ ઉપર લીટી (Bar) દોરેલી હોય, તેનો અર્થ એ છે કે તે જ અંકો વારંવાર રિપીટ થાય છે!
આપણે જાણીએ છીએ કે √2 એ અસંમેય સંખ્યા છે. આથી તેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ ‘અનંત અનાવૃત્ત’ મળશે. તેની કિંમત શોધવા માટે ગણિતની ‘દીર્ઘ ભાગાકારની રીત’ (Long Division Method) નો ઉપયોગ થાય છે.
ચાલો તેને સરળ સ્ટેપ્સમાં સમજીએ:
આ જ રીતે આગળના શૂન્ય નીચે ઉતારતા જઈને ગણતરી અનંત સુધી કરી શકાય છે!
2 ની પાછળ દશાંશ ચિહ્ન (પોઈન્ટ) મૂકીને 0 ની જોડીઓ (Pairs) બનાવો.
જેમ કે: 2.00 00 00 00…
એવી મોટામાં મોટી સંખ્યા વિચારો જેનો વર્ગ 2 અથવા તેનાથી ઓછો હોય. તે સંખ્યા 1 છે (1 × 1 = 1).
2 માંથી 1 બાદ કરતા શેષ 1 વધશે. ભાગફળ (જવાબ) માં સૌથી ઉપર 1 લખો.
જવાબમાં 1 પછી દશાંશ ચિહ્ન (.) મૂકો. હવે નીચે શેષ 1 ની બાજુમાં ઉપરથી 00 નીચે ઉતારો. હવે નવી સંખ્યા 100 બની.
ડાબી બાજુ (ભાજક તરીકે) 1 ના બમણા કરો (1 + 1 = 2). હવે આપણી પાસે ડાબી બાજુ 2_ છે.
2 ની જમણી બાજુ ખાલી જગ્યામાં એવો અંક મૂકો કે જેનો તે જ અંક સાથે ગુણાકાર 100 થી ઓછો થાય. જો આપણે 4 મુકીએ તો 24 × 4 = 96 થશે.
100 માંથી 96 બાદ કરો, શેષ 4 વધશે. જવાબમાં ઉપર પોઈન્ટ પછી 4 લખો. (અત્યાર સુધીનો જવાબ: 1.4)
હવે ડાબી બાજુ 24 માં 4 ઉમેરો (24 + 4 = 28). ઉપરથી ફરી 00 નીચે ઉતારો, જેથી નીચે સંખ્યા 400 બનશે.
28 ની બાજુમાં 1 મૂકો, (281 × 1 = 281). જો 2 મૂકીએ તો 564 થઈ જાય જે મોટું છે. 400 માંથી 281 બાદ કરતા શેષ 119 વધશે.
જવાબમાં ઉપર 1 લખો. (અત્યાર સુધીનો જવાબ: 1.41)
√2 = 1.41421356…
ગ્રીક પ્રતિભા આર્કિમિડીઝ: મહાન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી આર્કિમિડીઝે સૌથી પહેલા π ની દશાંશ કિંમત શોધવાની શરૂઆત કરી હતી. તેમણે સાબિત કર્યું હતું કે π ની કિંમત 3.140845 અને 3.142857 ની વચ્ચે આવેલી છે.
ભારતનું ગૌરવ આર્યભટ્ટ: આપણા મહાન ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી અને ખગોળશાસ્ત્રી આર્યભટ્ટ (૪૭૬ – ૫૫૦ C.E.) એ આ ક્ષેત્રે જબરદસ્ત કામ કર્યું! તેમણે π ની કિંમત દશાંશ ચિહ્ન પછીના ૪ અંકો સુધી એકદમ સચોટ શોધી કાઢી હતી, જે 3.1416 હતી.
સ્વાધ્યાય 1.3
આપણે એવી સંમેય સંખ્યાઓ (p/q સ્વરૂપની) ના ઉદાહરણો લઈએ, જેમનો p અને q વચ્ચે 1 સિવાય કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી અને તેમની દશાંશ અભિવ્યક્તિ સાન્ત (Terminating) છે:
અહીં છેદ q = 2 છે.
અહીં છેદ q = 4 (એટલે કે 2 × 2) છે.
અહીં છેદ q = 5 છે.
અહીં છેદ q = 10 (એટલે કે 2 × 5) છે.
અહીં છેદ q = 25 (એટલે કે 5 × 5) છે.
અવલોકન: ઉપરના બધા જ ઉદાહરણોમાં તમે જોઈ શકો છો કે છેદ (q) ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં માત્ર 2, માત્ર 5 અથવા 2 અને 5 બંને આવે છે.
(સરળ શબ્દોમાં: છેદના અવયવો માત્ર 2 કે 5 જ હોવા જોઈએ. જો તેમાં 3, 7 કે 11 જેવી કોઈ બીજી અવિભાજ્ય સંખ્યા આવે, તો તેનો દશાંશ ‘અનંત અને આવૃત્ત’ બની જાય છે, ‘સાન્ત’ રહેતો નથી.)
પ્રશ્ન: સંમેય સંખ્યાઓ 5/7 અને 9/11 ની વચ્ચે આવેલી ત્રણ ભિન્ન અસંમેય સંખ્યાઓ શોધો.
સૌથી પહેલાં બંને અપૂર્ણાંકોનો ભાગાકાર કરીએ:
- 57 = 0.714285714285… (એટલે કે 0.714285)
- 911 = 0.81818181… (એટલે કે 0.81)
આપણે જાણીએ છીએ કે અસંમેય સંખ્યાઓ ‘અનંત અનાવૃત્ત’ (Non-terminating Non-repeating) હોય છે. તેથી આપણે 0.71… અને 0.81… ની બરાબર વચ્ચે આવતી હોય તેવી કોઈપણ પેટર્ન બનાવી શકીએ (જેમ કે 0.72, 0.75 વગેરેથી શરૂ થતી).
- 0.720720072000720000…
- 0.750750075000750000…
- 0.80800800080000…
સ્વાધ્યાય 1.4 no 3, 4
આપણે જાણીએ છીએ કે π = cd (જ્યાં c = પરિઘ અને d = વ્યાસ). જો તે ગુણોત્તર છે તો તે અસંમેય કેમ છે?
જ્યારે આપણે સ્કેલ કે કોઈ સાધનથી લંબાઈ માપીએ છીએ, ત્યારે આપણને માત્ર તેનું આશરે (approximate) સંમેય મૂલ્ય મળે છે. આપણે એ નથી જાણી શકતા કે c અથવા d માંથી કોઈ એક ખરેખર અસંમેય સંખ્યા છે. આથી તેમનો ભાગાકાર પણ અસંમેય જ રહે છે.
આ ભૌમિતિક રચના છે, જેને નીચેના સ્ટેપ્સ મુજબ દોરી શકાય:
- સ્ટેપ 1: એક રેખા દોરો અને તેના પર બિંદુ A લો. AB = 9.3 એકમ થાય તેવું બિંદુ B લો.
- સ્ટેપ 2: B થી આગળ 1 એકમ અંતરે બિંદુ C લો. (એટલે કે BC = 1 એકમ).
- સ્ટેપ 3: રેખાખંડ AC નું મધ્યબિંદુ O શોધો. O ને કેન્દ્ર ગણી, અર્ધવર્તુળ દોરો.
- સ્ટેપ 4: બિંદુ B માંથી AC ને લંબ હોય તેવી રેખા દોરો, જે અર્ધવર્તુળને D માં છેદે. અહીં BD ની લંબાઈ √9.3 થશે.
- સ્ટેપ 5: હવે B ને શૂન્ય (0) માનીને અને BD જેટલી ત્રિજ્યા લઈ એક ચાપ દોરો જે સંખ્યારેખાને E બિંદુમાં છેદે. આ બિંદુ E એ √9.3 દર્શાવે છે.