Chapter 8: શ્રેણી અને શ્રેઢી (Sequences and Series)

Leave a Comment / By /

8.2

પ્રશ્ન 11: ∑k=111 (2 + 3k) ની કિંમત શોધો.
ઉકેલ:
અહીં આપણે સિગ્મા (∑ – સરવાળા) ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને આપેલા પદને બે અલગ-અલગ પદોમાં વહેંચીશું:
∑k=111 (2 + 3k) = ∑k=111 2 + ∑k=111 3k
પહેલું પદ: ∑k=111 2
આનો અર્થ એ છે કે ‘2’ નો 11 વખત સરવાળો કરવો (2 + 2 + 2 … 11 વખત).
∑k=111 2 = 2 × 11 = 22
બીજું પદ: ∑k=111 3k
આ પદને વિસ્તારતા તે એક સમગુણોત્તર શ્રેણી (Geometric Progression – G.P.) બને છે:
31 + 32 + 33 + … + 311
આ શ્રેણી માટે:
પ્રથમ પદ (a) = 3
સામાન્ય ગુણોત્તર (r) = 3
પદોની કુલ સંખ્યા (n) = 11
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર Sn =
a(rn – 1)
r – 1
 નો ઉપયોગ કરતાં:
S11 =
3(311 – 1)
3 – 1
=
3
2
(311 – 1)
અંતિમ જવાબ:
હવે બંને પદોના જવાબોનો સરવાળો કરીએ:
= 22 +
3
2
(311 – 1)
(નોંધ: પરીક્ષામાં તમે આ જવાબને ઘાત સ્વરૂપે અહીં જ છોડી શકો છો. જો પૂરું સાદુંરૂપ આપવું હોય તો: 311 = 1,77,147 મૂકીને ગણતરી કરતા 22 + 3(1,77,146)/2 = 22 + 2,65,719 = 2,65,741 થાય.)
✅ જવાબ: 22 +
3
2
(311 – 1)
પ્રશ્ન 14: સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ 3 પદોનો સરવાળો 16 છે અને પછીનાં ત્રણ પદોનો સરવાળો 128 છે, તો આ શ્રેણીનું પ્રથમ પદ, સામાન્ય ગુણોત્તર અને n પદોનો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a અને સામાન્ય ગુણોત્તર r છે.
શરત 1: પ્રથમ 3 પદોનો સરવાળો 16 છે.
a + ar + ar2 = 16
a(1 + r + r2) = 16     — (સમીકરણ 1)
શરત 2: પછીનાં ત્રણ પદો (ચોથું, પાંચમું, છઠ્ઠું) નો સરવાળો 128 છે.
ar3 + ar4 + ar5 = 128
ar3(1 + r + r2) = 128     — (સમીકરણ 2)
(સમીકરણ 2) ને (સમીકરણ 1) વડે ભાગતાં:
ar3(1 + r + r2)
a(1 + r + r2)
=
128
16


r3 = 8  ⇒  r = 2
r = 2 ની કિંમત (સમીકરણ 1) માં મૂકતાં:
a(1 + 2 + 22) = 16
a(1 + 2 + 4) = 16
7a = 16  ⇒  a =
16
7
હવે, n પદોનો સરવાળો Sn શોધવાનું સૂત્ર Sn =
a(rn – 1)
r – 1
 વાપરતાં (જ્યાં r > 1):
Sn =
(16/7) (2n – 1)
2 – 1
✅ જવાબ: પ્રથમ પદ a = 16/7, ગુણોત્તર r = 2, Sn =
16
7
(2n – 1)
પ્રશ્ન 15: આપેલ ધન પદોવાળી સમગુણોત્તર શ્રેણી માટે a = 729 અને 7 મું પદ 64 હોય તો S7 શોધો.
ઉકેલ:
અહીં a = 729 આપેલ છે. શ્રેણીનું 7 મું પદ (T7) = 64 છે.
T7 = ar6
729 × r6 = 64
r6 =
64
729


r6 = (
2
3
)6  ⇒  r =
2
3
(નોંધ: શ્રેણી “ધન પદોવાળી” હોવાથી r ની કિંમત ધન જ લઈશું).
અહીં r < 1 છે. S7 શોધવાનું સૂત્ર:
S7 =
a(1 – r7)
1 – r


S7 =
729 [1 – (2/3)7]
1 – 2/3


S7 =
729 [1 – (128 / 2187)]
1/3
છેદનો છેદ (3) અંશમાં જશે અને કૌંસમાં લ.સા.અ. લેતાં:
S7 = 729 × 3 × [
2187 – 128
2187
]

S7 = 2187 × [
2059
2187
]
2187 ઉડી જશે.
✅ જવાબ: S7 = 2059
પ્રશ્ન 16: જેનાં પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો -4 હોય અને પાંચમું પદ ત્રીજા પદથી ચાર ગણું હોય એવી સમગુણોત્તર શ્રેણી શોધો.
ઉકેલ:
શરત 1: પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો -4 છે.
a + ar = -4
a(1 + r) = -4     — (સમીકરણ 1)
શરત 2: પાંચમું પદ ત્રીજા પદથી 4 ગણું છે.
T5 = 4 × T3
ar4 = 4ar2
r2 = 4  ⇒  r = 2 અથવા r = -2
વિકલ્પ 1: જો r = 2 હોય, તો
a(1 + 2) = -4  ⇒  3a = -4  ⇒  a = -4/3
શ્રેણી: -4/3, -8/3, -16/3, …
વિકલ્પ 2: જો r = -2 હોય, તો
a(1 – 2) = -4  ⇒  –a = -4  ⇒  a = 4
શ્રેણી: 4, -8, 16, -32, …
✅ જવાબ: માંગેલ શ્રેણી (4, -8, 16…) અથવા (-4/3, -8/3, -16/3…) હોઈ શકે.
પ્રશ્ન 17: જો સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં ચોથા, દસમાં અને સોળમાં પદ અનુક્રમે x, y અને z હોય, તો સાબિત કરો કે x, y, z સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
ઉકેલ:
ધારો કે શ્રેણીનું પ્રથમ પદ A અને સામાન્ય ગુણોત્તર R છે.
ચોથું પદ: x = AR3
દસમું પદ: y = AR9
સોળમું પદ: z = AR15
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે x, y, z સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. (એટલે કે y2 = xz થવું જોઈએ).
ડાબી બાજુ (L.H.S):
y2 = (AR9)2 = A2R18
જમણી બાજુ (R.H.S):
x × z = (AR3) × (AR15) = A2R3+15 = A2R18
✅ અહીં L.H.S = R.H.S (એટલે કે y2 = xz) હોવાથી x, y, z સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 18: 8, 88, 888, 8888… શ્રેણીનાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે માંગેલ સરવાળો Sn છે.
Sn = 8 + 88 + 888 + 8888 + … (n પદો સુધી)
દરેક પદમાંથી 8 સામાન્ય (Common) કાઢતાં:
Sn = 8 [1 + 11 + 111 + 1111 + … (n પદો સુધી)]
હવે કૌંસને 9 વડે ગુણતાં અને ભાગતાં (જેથી 10 ના ગુણકમાં ફેરવી શકાય):
Sn =
8
9
[9 + 99 + 999 + 9999 + … (n પદો સુધી)]
9 ને (10 – 1), 99 ને (100 – 1) સ્વરૂપે લખતાં:
Sn =
8
9
[(10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + … + (10n – 1)]
10 વાળા પદો અને 1 વાળા પદોને અલગ-અલગ જૂથમાં ગોઠવતાં:
Sn =
8
9
[ (10 + 102 + 103 + … + 10n) – (1 + 1 + 1 + … n વખત) ]
અહીં પહેલો કૌંસ એ a=10 અને r=10 વાળી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે, અને બીજા કૌંસમાં 1 નો n વખત સરવાળો એટલે n થશે.
Sn =
8
9
[
10(10n – 1)
10 – 1
– n ]

Sn =
8
9
[
10(10n – 1)
9
– n ]
કૌંસ છોડીને સાદુંરૂપ આપતાં:
✅ જવાબ: Sn =
80
81
(10n – 1) –
8n
9
પ્રશ્ન 19: શ્રેણીઓ 2, 4, 8, 16, 32 અને 128, 32, 8, 2,
1
2
નાં સંગત પદોના ગુણાકારનો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ:
બંને શ્રેણીઓના સંગત (અનુક્રમે પહેલા સાથે પહેલું, બીજા સાથે બીજું) પદોનો ગુણાકાર કરતાં નવી શ્રેણી મળશે:
= (2 × 128), (4 × 32), (8 × 8), (16 × 2), ( 32 ×
1
2
)

= 256, 128, 64, 32, 16
અહીં મળતી નવી શ્રેણી એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે. જેમાં:
પ્રથમ પદ (a) = 256
સામાન્ય ગુણોત્તર (r) = 128 / 256 =
1
2

પદોની સંખ્યા (n) = 5
અહીં r < 1 છે, તેથી સરવાળાનું સૂત્ર Sn =
a(1 – rn)
1 – r
 વાપરતાં:
S5 =
256 [ 1 – (1/2)5 ]
1 – 1/2


S5 =
256 [ 1 – 1/32 ]
1/2


S5 =
256 [ 31 / 32 ]
1 / 2
છેદનો છેદ (2) અંશમાં ગુણાશે:
S5 = 256 ×
31
32
× 2

S5 = 8 × 31 × 2 = 16 × 31 = 496
✅ જવાબ: સંગત પદોના ગુણાકારનો સરવાળો 496 થાય.
પ્રશ્ન 20: શ્રેણીઓ a, ar, ar2, …, arn-1 અને A, AR, AR2, …, ARn-1 નાં સંગત પદોના ગુણાકાર દ્વારા મળતાં પદો સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે તેમ સાબિત કરો અને તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર શોધો.
ઉકેલ:
બંને શ્રેણીઓના સંગત પદોનો ગુણાકાર કરતાં મળતી નવી શ્રેણી:
(a × A), (ar × AR), (ar2 × AR2), …, (arn-1 × ARn-1)

aA, aA(rR), aA(rR)2, …, aA(rR)n-1
હવે આ નવી શ્રેણી સમગુણોત્તર છે કે નહિ તે ચકાસવા માટે આપણે ક્રમિક પદોનો ગુણોત્તર શોધીશું:
બીજું પદ
પ્રથમ પદ
=
aA(rR)
aA
= rR

ત્રીજું પદ
બીજું પદ
=
aA(rR)2
aA(rR)
= rR
અહીં કોઈપણ બે ક્રમિક પદોનો ગુણોત્તર સમાન (અચળ) રહે છે.
✅ તેથી સાબિત થાય છે કે આ નવી શ્રેણી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે અને તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર rR છે.
પ્રશ્ન 21: જેમાં ત્રીજું પદ, પ્રથમ પદથી 9 જેટલું વધારે હોય અને બીજું પદ ચોથા પદથી 18 જેટલું વધારે હોય તેવી સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ ચાર પદ શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પદો a, ar, ar2, ar3 છે.
શરત 1: ત્રીજું પદ (T3) = પ્રથમ પદ (T1) + 9
ar2 = a + 9
ar2 – a = 9
a(r2 – 1) = 9     — (સમીકરણ 1)
શરત 2: બીજું પદ (T2) = ચોથું પદ (T4) + 18
ar = ar3 + 18
ar – ar3 = 18
ar(1 – r2) = 18
અહીં કૌંસમાંથી માઇનસ (-) સામાન્ય કાઢતાં:
-ar(r2 – 1) = 18     — (સમીકરણ 2)
હવે (સમીકરણ 2) ને (સમીકરણ 1) વડે ભાગતાં:
-ar(r2 – 1)
a(r2 – 1)
=
18
9


-r = 2  ⇒  r = -2
r = -2 ની કિંમત (સમીકરણ 1) માં મુકતાં:
a((-2)2 – 1) = 9
a(4 – 1) = 9
3a = 9  ⇒  a = 3
હવે શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદો શોધીએ:
T1 = a = 3
T2 = ar = 3(-2) = -6
T3 = ar2 = 3(-2)2 = 12
T4 = ar3 = 3(-2)3 = -24
✅ જવાબ: માંગેલ શ્રેણીનાં પ્રથમ ચાર પદો 3, -6, 12, -24 છે.
પ્રશ્ન 22: સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં p, q, r માં પદો અનુક્રમે a, b, c હોય તો સાબિત કરો કે,
aq-r br-p cp-q = 1
ઉકેલ:
અહીં રકમમાં a, b, c અને r નો ઉપયોગ થયેલ છે, તેથી ગૂંચવાડો ન થાય તે માટે ધારો કે શ્રેણીનું પ્રથમ પદ = A અને સામાન્ય ગુણોત્તર = R છે.
આપેલી માહિતી મુજબ:
Tp = ARp-1 = a
Tq = ARq-1 = b
Tr = ARr-1 = c
હવે આપણે જે સાબિત કરવાનું છે તેની ડાબી બાજુ (L.H.S) લઈએ અને a, b, c ની કિંમતો મૂકીએ:
L.H.S = (ARp-1)q-r × (ARq-1)r-p × (ARr-1)p-q
ઘાતાંકના નિયમ મુજબ ઘાતને છૂટી પાડતાં:
= Aq-r × R(p-1)(q-r) × Ar-p × R(q-1)(r-p) × Ap-q × R(r-1)(p-q)
આધાર સમાન હોવાથી ગુણાકારમાં ઘાતોનો સરવાળો થશે. A ની ઘાતોનો સરવાળો અને R ની ઘાતોનો સરવાળો કરીએ:
= A(q – r + r – p + p – q) × R[(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)]
A ની ઘાતો કેન્સલ થઈને 0 થઈ જશે. હવે R ની ઘાતોનો ગુણાકાર કરી કૌંસ છોડીએ:
= A0 × R[(pq – pr – q + r) + (qr – pq – r + p) + (pr – qr – p + q)]
R ની ઘાતોમાં પણ પ્લસ-માઈનસ પદો ઉડી જશે:
= A0 × R0
= 1 × 1 = 1
✅ L.H.S = R.H.S (1). સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 23: સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a અને n મું પદ b છે. જો n પદોનો ગુણાકાર P હોય, તો સાબિત કરો કે P2 = (ab)n.
ઉકેલ:
અહીં પ્રથમ પદ = a અને n-મું પદ (Tn) = arn-1 = b આપેલ છે.
પ્રથમ n પદોનો ગુણાકાર P છે:
P = a × (ar) × (ar2) × (ar3) × … × (arn-1)
અહીં ‘a’ કુલ n વખત ગુણાય છે અને ‘r’ ની ઘાતોનો સરવાળો થશે:
P = an × r(1 + 2 + 3 + … + n-1)
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ (n-1) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો = n(n-1) / 2 થાય.
P = an × r[n(n-1) / 2]
હવે બંને બાજુ વર્ગ (Square) કરતાં:
P2 = (an)2 × (r[n(n-1) / 2])2

P2 = a2n × rn(n-1)
આખા પદમાંથી ઘાત ‘n’ ને સામાન્ય (common) કાઢતાં:
P2 = (a2 × rn-1)n

P2 = (a × a rn-1)n
આપણને આપેલું છે કે a rn-1 = b છે. આ કિંમત મુકતાં:
P2 = (a × b)n
✅ જે સાબિત કરવાનું હતું તે મળી ગયું છે.
પ્રશ્ન 24: સાબિત કરો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ n પદોના સરવાળાનો (n + 1) પદથી (2n) માં પદ સુધીના સરવાળા સાથેનો ગુણોત્તર
1
rn
થાય.
ઉકેલ:
ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણી a, ar, ar2, … છે.
સરવાળો 1 (S1): પ્રથમ n પદોનો સરવાળો:
S1 = a + ar + ar2 + … + arn-1
S1 =
a(1 – rn)
1 – r
    — (1)
સરવાળો 2 (S2): (n+1) માં પદથી (2n) માં પદ સુધીનો સરવાળો:
(n+1) મું પદ = arn થશે.
S2 = arn + arn+1 + arn+2 + … + ar2n-1
આ આખી લાઈનમાંથી આપણે rn સામાન્ય (common) કાઢી લઈએ:
S2 = rn (a + ar + ar2 + … + arn-1)
કૌંસમાં વધેલું પદ એ પ્રથમ n પદોના સરવાળા (S1) જેટલું જ છે. તેથી:
S2 = rn ×
a(1 – rn)
1 – r
    — (2)
હવે બંનેનો ગુણોત્તર (Ratio) લઈએ (સમીકરણ 1 ભાગ્યા સમીકરણ 2):
S1
S2
=
a(1 – rn) / (1 – r)
rn [a(1 – rn) / (1 – r)]
અંશ અને છેદમાં સમાન પદો કેન્સલ થઈ જશે.
S1
S2
=
1
rn
✅ ગુણોત્તર
1
rn
થાય છે. સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 25: જો a, b, c, d સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો બતાવો કે
(a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2) = (ab + bc + cd)2
ઉકેલ:
અહીં a, b, c, d સમગુણોત્તર શ્રેણી (G.P.) માં છે. ધારો કે સામાન્ય ગુણોત્તર r છે.
તેથી, b = ar, c = ar2, અને d = ar3
ડાબી બાજુ (L.H.S.): (a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2)
કિંમતો મૂકતાં:
= (a2 + a2r2 + a2r4) × (a2r2 + a2r4 + a2r6)
પ્રથમ કૌંસમાંથી a2 અને બીજા કૌંસમાંથી a2r2 સામાન્ય કાઢતાં:
= a2(1 + r2 + r4) × a2r2(1 + r2 + r4)
= a4r2 (1 + r2 + r4)2    — (પરિણામ 1)
જમણી બાજુ (R.H.S.): (ab + bc + cd)2
કિંમતો મૂકતાં:
= ( a(ar) + (ar)(ar2) + (ar2)(ar3) )2
= ( a2r + a2r3 + a2r5 )2
કૌંસની અંદરથી a2r સામાન્ય કાઢતાં:
= [ a2r (1 + r2 + r4) ]2
= a4r2 (1 + r2 + r4)2    — (પરિણામ 2)
✅ પરિણામ 1 અને 2 સમાન હોવાથી, L.H.S. = R.H.S. સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 26: 3 અને 81 વચ્ચે બે સંખ્યાઓ ઉમેરો કે જેથી બનતી શ્રેણી સમગુણોત્તર હોય.
ઉકેલ:
ધારો કે 3 અને 81 વચ્ચે ઉમેરવાની બે સંખ્યાઓ G1 અને G2 છે.
જેથી શ્રેણી 3, G1, G2, 81 સમગુણોત્તર શ્રેણી બને.
અહીં પ્રથમ પદ a = 3 અને ચોથું પદ T4 = 81 છે.
T4 = ar3
81 = 3 × r3
r3 =
81
3
= 27
r3 = 33  ⇒  r = 3
હવે બંને વચ્ચેની સંખ્યાઓ શોધીએ:
G1 = ar = 3 × 3 = 9
G2 = ar2 = 3 × 32 = 3 × 9 = 27
✅ જવાબ: 3 અને 81 વચ્ચે 9 અને 27 ઉમેરવા પડે.
પ્રશ્ન 27: જો a અને b નો સમગુણોત્તર મધ્યક
an+1 + bn+1
an + bn
હોય, તો n નું મૂલ્ય શોધો.
ઉકેલ:
આપણે જાણીએ છીએ કે a અને b નો સમગુણોત્તર મધ્યક (Geometric Mean) = √ab = a1/2b1/2 થાય.
આપણને રકમમાં આ મધ્યકનું એક સમીકરણ આપેલું છે, તેને સરખાવતાં:
an+1 + bn+1
an + bn
= a1/2b1/2
ચોકડી ગુણાકાર કરતાં:
an+1 + bn+1 = (an + bn) (a1/2b1/2)
an+1 + bn+1 = an + 1/2b1/2 + a1/2bn + 1/2
હવે a વાળા મોટા પદો એકબાજુ અને b વાળા પદો બીજી બાજુ ગોઠવીએ:
an+1 – an+1/2b1/2 = a1/2bn+1/2 – bn+1
ડાબી બાજુથી an+1/2 અને જમણી બાજુથી bn+1/2 સામાન્ય કાઢતાં:
an+1/2 (a1/2 – b1/2) = bn+1/2 (a1/2 – b1/2)
બંને બાજુથી કૌંસ કેન્સલ થઈ જશે:
an+1/2 = bn+1/2
an+1/2
bn+1/2
= 1
(
a
b
)n+1/2 = (
a
b
)0     (કારણકે કોઈની 0 ઘાત = 1)
ઘાતાંકને સરખાવતાં:
n +
1
2
= 0  ⇒  n = –
1
2
✅ જવાબ: n નું મૂલ્ય -1/2 છે.
પ્રશ્ન 28: બે સંખ્યાઓનો સરવાળો તેમના સમગુણોત્તર મધ્યક કરતાં 6 ગણો હોય, તો બતાવો કે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર (3 + 2√2) : (3 – 2√2) થાય.
ઉકેલ:
ધારો કે બે ધન સંખ્યાઓ a અને b છે.
રકમ મુજબ: બે સંખ્યાઓનો સરવાળો = 6 × (સમગુણોત્તર મધ્યક)
a + b = 6√ab
a + b
2√ab
=
3
1
હવે યોગ-વિયોગ પ્રમાણ (Componendo and Dividendo) ના નિયમ મુજબ (અંશ + છેદ / અંશ – છેદ):
a + b + 2√ab
a + b – 2√ab
=
3 + 1
3 – 1


(√a + √b)2
(√a – √b)2
=
4
2
=
2
1
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતાં:
√a + √b
√a – √b
=
√2
1
ફરીથી યોગ-વિયોગ પ્રમાણ લેતાં:
(√a + √b) + (√a – √b)
(√a + √b) – (√a – √b)
=
√2 + 1
√2 – 1


2√a
2√b
=
√2 + 1
√2 – 1


√a
√b
=
√2 + 1
√2 – 1
આપણને a / b જોઈએ છે, તેથી બંને બાજુ વર્ગ (Square) કરતાં:
a
b
=
(√2 + 1)2
(√2 – 1)2


a
b
=
2 + 1 + 2√2
2 + 1 – 2√2
=
3 + 2√2
3 – 2√2
✅ આમ, a : b નો ગુણોત્તર (3 + 2√2) : (3 – 2√2) મળે છે. સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 29: બે ધન સંખ્યાઓના સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યકો અનુક્રમે A અને G હોય, તો સાબિત કરો કે તે સંખ્યાઓ A ± √(A+G)(A-G) છે.
ઉકેલ:
ધારો કે બે ધન સંખ્યાઓ a અને b છે.
સમાંતર મધ્યક (A.M.) = A હોવાથી:
a + b
2
= A  ⇒  a + b = 2A     — (સમીકરણ 1)
સમગુણોત્તર મધ્યક (G.M.) = G હોવાથી:
√ab = G  ⇒  ab = G2     — (સમીકરણ 2)
હવે આપણે (a – b) ની કિંમત શોધીશું. બીજગણિતના નિત્યસમ મુજબ:
(a – b)2 = (a + b)2 – 4ab
(a – b)2 = (2A)2 – 4(G2)
(a – b)2 = 4A2 – 4G2 = 4(A2 – G2)
(a – b)2 = 4(A + G)(A – G)
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતાં:
a – b = 2√(A+G)(A-G)     — (સમીકરણ 3)
હવે (સમીકરણ 1) અને (સમીકરણ 3) નો સરવાળો કરતાં:
(a + b) + (a – b) = 2A + 2√(A+G)(A-G)
2a = 2[A + √(A+G)(A-G)]
a = A + √(A+G)(A-G)
(સમીકરણ 1) માંથી (સમીકરણ 3) ની બાદબાકી કરતાં:
(a + b) – (a – b) = 2A – 2√(A+G)(A-G)
2b = 2[A – √(A+G)(A-G)]
b = A – √(A+G)(A-G)
✅ આમ, બંને સંખ્યાઓ A ± √(A+G)(A-G) છે. સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 30: બૅક્ટેરિયાના ઉછેરમાં તેની સંખ્યા દર કલાકે બમણી થાય છે. જો શરૂઆતમાં બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા 30 હોય, તો 2 કલાક, 4 કલાક, અને n માં કલાકે બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા શોધો.
ઉકેલ:
અહીં બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા દર કલાકે બમણી (Double) થાય છે. એટલે કે આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં સામાન્ય ગુણોત્તર (r) = 2 છે.
શરૂઆતની સંખ્યા (એટલે કે પ્રથમ પદ) a = 30 છે.
યાદ રાખો: “2 કલાકના અંતે” એટલે શ્રેણીનું ત્રીજું પદ (T3) ગણાય (કારણકે શરૂઆતમાં T1 છે).
2 કલાકના અંતે = ar2 = 30 × (2)2 = 30 × 4 = 120
તેવી જ રીતે, 4 કલાકના અંતે એટલે શ્રેણીનું પાંચમું પદ (T5):
4 કલાકના અંતે = ar4 = 30 × (2)4 = 30 × 16 = 480
તેથી n કલાકના અંતે બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા (Tn+1 પદ):
n કલાકના અંતે = arn = 30 × 2n
✅ જવાબ: 2 કલાકના અંતે 120, 4 કલાકના અંતે 480 અને n કલાકના અંતે 30(2)n બૅક્ટેરિયા હશે.
પ્રશ્ન 31: બૅંકમાં ₹ 500, 10% ના વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે મૂકીએ, તો 10 વર્ષને અંતે કેટલી રકમ મળે ?
શ્રેણી અને શ્રેઢી : ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનો ઉપયોગ
પ્રશ્ન 31: બૅન્કમાં ₹ 500, 10% ના વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે મૂકીએ, તો 10 વર્ષને અંતે કેટલી રકમ મળે ?
ઉકેલ: અહીં આપણને શ્રેણી અને શ્રેઢીનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ મેળવવાનો છે.
શરૂઆતમાં બૅન્કમાં મૂકેલી રકમ = ₹ 500
વ્યાજનો દર r = 10% =
10
100
= 0.1
દર વર્ષના અંતે મળતી રકમ શોધીએ:
1 વર્ષના અંતે:
રકમ = મૂળ રકમ + વ્યાજ = 500 + 500(0.1) = 500(1 + 0.1) = 500(1.1)
2 વર્ષના અંતે:
બીજા વર્ષ માટે મુદ્દલ 500(1.1) થશે.
રકમ = 500(1.1) + [500(1.1)](0.1) = 500(1.1)(1 + 0.1) = 500(1.1)2
3 વર્ષના અંતે:
રકમ = 500(1.1)2(1 + 0.1) = 500(1.1)3
સમગુણોત્તર શ્રેણી (Geometric Progression – G.P.) ની રચના:
આમ, દર વર્ષના અંતે મળતી રકમ નીચે મુજબની સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે:
500(1.1), 500(1.1)2, 500(1.1)3, …
અહીં, શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = 500(1.1)
સામાન્ય ગુણોત્તર (Common Ratio) R = 1.1
10 વર્ષને અંતે રકમ:
આપણે 10 વર્ષના અંતે મળતી રકમ શોધવી છે, એટલે કે આ શ્રેણીનું 10મું પદ (a10) શોધવાનું છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના n-મા પદનું સૂત્ર: an = a · Rn-1
a10 = [500(1.1)] · (1.1)10 – 1
a10 = 500(1.1)1 · (1.1)9
a10 = 500(1.1)1 + 9 = 500(1.1)10
✅ જવાબ: 10 વર્ષને અંતે બૅન્કમાંથી ₹ 500(1.1)10 રકમ મળશે.
ઉકેલ:
અહીં ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ (Compound Interest) નું સીધું સૂત્ર A = P(1 + R/100)n વાપરી શકાય, જે સમગુણોત્તર શ્રેણીના જ સિદ્ધાંત પર કામ કરે છે.
અહીં મૂકવામાં આવેલી રકમ (P અથવા a) = 500
વ્યાજનો દર (R) = 10%
સમયગાળો (n) = 10 વર્ષ
A = 500 ( 1 +
10
100
)10

A = 500 ( 1 + 0.1 )10

A = 500 (1.1)10
✅ જવાબ: 10 વર્ષને અંતે બૅંકમાંથી 500(1.1)10 રૂપિયા મળશે.
પ્રશ્ન 32: જો દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજોના સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યક અનુક્રમે 8 અને 5 હોય, તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવો.
ઉકેલ:
ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ (Quadratic Equation) નાં બે બીજ (Roots) α અને β છે.
રકમ મુજબ, સમાંતર મધ્યક = 8 છે:
α + β
2
= 8  ⇒  α + β = 16    (બીજોનો સરવાળો)
અને, સમગુણોત્તર મધ્યક = 5 છે:
√(αβ) = 5  ⇒  αβ = 25    (બીજોનો ગુણાકાર)
કોઈપણ દ્વિઘાત સમીકરણ તેના બીજના સરવાળા અને ગુણાકાર પરથી નીચે મુજબ મળે છે:
x2 – (બીજોનો સરવાળો)x + (બીજોનો ગુણાકાર) = 0
x2 – (α + β)x + (αβ) = 0
આપણે શોધેલી કિંમતો મૂકતાં:
x2 – 16x + 25 = 0
✅ જવાબ: માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ x2 – 16x + 25 = 0 છે.

8.3

પ્રશ્ન 5: સાબિત કરો કે : 31/2 × 31/4 × 31/8 … = 3
ઉકેલ:
આપણે ડાબી બાજુ (L.H.S.) લઈએ:
31/2 × 31/4 × 31/8 … ∞
અહીં બધા જ પદોનો આધાર (Base) ‘3’ સમાન હોવાથી, ગુણાકારના નિયમ મુજબ ઘાતાંકોનો સરવાળો થશે:
= 3(1/2 + 1/4 + 1/8 + … ∞)
હવે માત્ર ઘાત પર ધ્યાન આપીએ. ઘાતાંકમાં રહેલી શ્રેણી (1/2 + 1/4 + 1/8 + …) એ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
આ શ્રેણી માટે:
પ્રથમ પદ (a) = 1/2
સામાન્ય ગુણોત્તર (r) = (1/4) / (1/2) = 1/2
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર S∞ =
a
1 – r
 નો ઉપયોગ કરતાં:
S∞ =
1/2
1 – 1/2
=
1/2
1/2
= 1
હવે આ સરવાળાની કિંમત આપણા મૂળ સમીકરણના ઘાતાંકમાં મૂકતાં:
= 31 = 3
✅ = જ.બા. (R.H.S.). સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 6: |a| < 1 તથા |b| < 1 માટે x = 1 + a + a2 + … અને y = 1 + b + b2 + …, સાબિત કરો કે
1 + ab + a2b2 + … =
xy
x + y – 1
ઉકેલ:
અહીં x = 1 + a + a2 + … ∞ આપેલ છે, જે અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે. (અહીં a = 1 અને r = a છે).
તેના સરવાળાના સૂત્ર S∞ =
પ્રથમ પદ
1 – ગુણોત્તર
 નો ઉપયોગ કરતાં:
x =
1
1 – a
આના પરથી આપણે a ની કિંમત શોધીએ:
1 – a =
1
x

a = 1 –
1
x
 ⇒  a =
x – 1
x
     — (સમીકરણ 1)
તેવી જ રીતે, y = 1 + b + b2 + … ∞ પરથી b ની કિંમત મેળવીએ:
y =
1
1 – b
 ⇒  1 – b =
1
y
 ⇒  b =
y – 1
y
     — (સમીકરણ 2)
હવે આપણે જે સાબિત કરવાનું છે તેની ડાબી બાજુ (L.H.S.) લઈએ:
L.H.S = 1 + ab + a2b2 + … ∞
આ પણ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે, જેમાં પ્રથમ પદ 1 અને સામાન્ય ગુણોત્તર ab છે. તેનો સરવાળો:
=
1
1 – ab
આમાં (સમીકરણ 1) અને (સમીકરણ 2) પરથી a અને b ની કિંમતો મૂકતાં:
=
1
1 – (
x – 1
x
)(
y – 1
y
)


=
1
1 –
(x – 1)(y – 1)
xy
છેદમાં લ.સા.અ. (LCM) લેતાં:
=
1
xy – (x – 1)(y – 1)
xy
છેદનો છેદ (xy) અંશમાં જશે અને કૌંસનો ગુણાકાર કરતા:
=
xy
xy – (xy – x – y + 1)


=
xy
xy – xy + x + y – 1


=
xy
x + y – 1
✅ = જ.બા. (R.H.S.). સાબિત થાય છે.

પ્રકીર્ણન સ્વાધ્યાય

પ્રશ્ન 1: જો વિધેય f(x+y) = f(x)f(y) (x, y ∈ N) એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય કે જેથી, f(1) = 3 અને ∑x=1n f(x) = 120, તો n નું મૂલ્ય શોધો.
ઉકેલ:
આપણને f(1) = 3 આપેલું છે. વિધેયના નિયમ f(x+y) = f(x)f(y) પરથી આપણે અન્ય કિંમતો શોધીએ:
x = 1, y = 1 લેતાં:
f(2) = f(1+1) = f(1) × f(1) = 3 × 3 = 32 = 9

x = 2, y = 1 લેતાં:
f(3) = f(2+1) = f(2) × f(1) = 32 × 3 = 33 = 27
આ પરથી સ્પષ્ટ છે કે f(x) = 3x. હવે આપેલ સરવાળાના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતાં:
∑x=1n f(x) = 120
f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n) = 120
31 + 32 + 33 + … + 3n = 120
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી (G.P.) છે જેમાં a = 3 અને r = 3 છે. સરવાળાનું સૂત્ર Sn = a(rn – 1)/(r – 1) વાપરતાં:
3(3n – 1)
3 – 1
= 120

3(3n – 1)
2
= 120
સાદુંરૂપ આપતાં:
3n – 1 =
120 × 2
3
= 80
3n = 80 + 1 = 81
3n = 34  ⇒  n = 4
✅ જવાબ: n નું મૂલ્ય 4 છે.
પ્રશ્ન 2: સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં કેટલાંક પદોનો સરવાળો 315 છે. તેનું પ્રથમ પદ અને સામાન્ય ગુણોત્તર અનુક્રમે 5 અને 2 છે. તેનું છેલ્લું પદ અને પદોની સંખ્યા શોધો.
ઉકેલ:
અહીં આપેલ છે: Sn = 315, પ્રથમ પદ (a) = 5, સામાન્ય ગુણોત્તર (r) = 2.
Sn ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી પદોની સંખ્યા (n) શોધીએ:
Sn =
a(rn – 1)
r – 1


315 =
5(2n – 1)
2 – 1


315 = 5(2n – 1)
5 ને ભાગાકારમાં લઈ જતાં:
2n – 1 =
315
5
= 63
2n = 63 + 1 = 64
2n = 26  ⇒  n = 6
હવે છેલ્લું પદ એટલે કે 6 મું પદ (T6) શોધીએ:
Tn = arn-1
T6 = 5(2)6-1 = 5(2)5
T6 = 5 × 32 = 160
✅ જવાબ: પદોની સંખ્યા 6 છે અને છેલ્લું પદ 160 છે.
પ્રશ્ન 3: સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ 1 છે. તેના ત્રીજા અને પાંચમાં પદોનો સરવાળો 90 છે. આ સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર શોધો.
ઉકેલ:
અહીં a = 1 આપેલ છે. શરત મુજબ ત્રીજું પદ (T3) અને પાંચમું પદ (T5) નો સરવાળો 90 છે:
T3 + T5 = 90
ar2 + ar4 = 90
a = 1 મૂકતાં:
1(r2) + 1(r4) = 90
r4 + r2 – 90 = 0
સરળતા માટે ધારો કે x = r2 છે:
x2 + x – 90 = 0
અવયવ પાડતાં (ગુણાકાર -90, સરવાળો +1): (10) અને (-9).
(x + 10)(x – 9) = 0
તેથી, x = -10 અથવા x = 9
પરંતુ x = r2 (કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ) ક્યારેય ઋણ (-10) ન હોઈ શકે. તેથી:
r2 = 9  ⇒  r = ±3
✅ જવાબ: સામાન્ય ગુણોત્તર 3 અથવા -3 છે.
પ્રશ્ન 4: સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં આવેલી ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો 56 છે. જો આ સંખ્યાઓમાંથી અનુક્રમે 1, 7 અને 21 બાદ કરવામાં આવે, તો આપણને સમાંતર શ્રેણી મળે છે. આ સંખ્યાઓ શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીની ત્રણ સંખ્યાઓ a, ar, ar2 છે.
શરત 1: ત્રણેયનો સરવાળો 56 છે.
a + ar + ar2 = 56
a(1 + r + r2) = 56    — (સમીકરણ 1)
શરત 2: તેમાંથી 1, 7, 21 બાદ કરતા સમાંતર શ્રેણી (A.P.) મળે છે. નવી સંખ્યાઓ: (a-1), (ar-7), (ar2-21).
સમાંતર શ્રેણીના નિયમ મુજબ: વચ્ચેના પદના બમણા = પહેલા અને ત્રીજા પદનો સરવાળો.
2(ar – 7) = (a – 1) + (ar2 – 21)
2ar – 14 = a + ar2 – 22
22 – 14 = a – 2ar + ar2
8 = a(1 – 2r + r2)
a(1 – r)2 = 8    — (સમીકરણ 2)
(સમીકરણ 1) ને (સમીકરણ 2) વડે ભાગતાં:
a(1 + r + r2)
a(1 – 2r + r2)
=
56
8


r2 + r + 1
r2 – 2r + 1
= 7
ચોકડી ગુણાકાર કરતાં:
r2 + r + 1 = 7r2 – 14r + 7
6r2 – 15r + 6 = 0
સમીકરણને 3 વડે ભાગતાં:
2r2 – 5r + 2 = 0
(2r – 1)(r – 2) = 0
તેથી r = 2 અથવા r = 1/2
જો r = 2 લઈએ, તો (સમીકરણ 2) મુજબ a(1-2)2 = 8 ⇒ a(1) = 8 ⇒ a = 8.
સંખ્યાઓ: 8, (8×2), (8×4) ⇒ 8, 16, 32.
જો r = 1/2 લઈએ, તો a = 32 મળે અને સંખ્યાઓ ઊલટા ક્રમમાં મળશે (32, 16, 8).
✅ જવાબ: માંગેલ સંખ્યાઓ 8, 16 અને 32 છે.
પ્રશ્ન 5: એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પદોની સંખ્યા યુગ્મ છે. જો બધાં જ પદોનો સરવાળો, અયુગ્મ સ્થાને રહેલ પદોના સરવાળા કરતાં 5 ગણો હોય, તો સામાન્ય ગુણોત્તર શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા યુગ્મ એટલે કે 2n છે.
શ્રેણી: a, ar, ar2, ar3, …, ar2n-1
તમામ પદોનો સરવાળો (S): (કુલ 2n પદો)
S = a
r2n – 1
r – 1
અયુગ્મ (Odd) સ્થાને રહેલા પદોનો સરવાળો (Sodd):
પદો: a, ar2, ar4, … (અહીં કુલ પદો અડધા એટલે કે ‘n‘ થઈ જશે અને સામાન્ય ગુણોત્તર r2 થશે).
Sodd = a
(r2)n – 1
r2 – 1
= a
r2n – 1
r2 – 1
શરત મુજબ: તમામ પદોનો સરવાળો = 5 × અયુગ્મ પદોનો સરવાળો.
a
r2n – 1
r – 1
= 5 × a
r2n – 1
r2 – 1
બંને બાજુથી અંશના a(r2n – 1) કેન્સલ થશે:
1
r – 1
=
5
(r – 1)(r + 1)
(r – 1) પણ કેન્સલ થશે:
1 =
5
r + 1

r + 1 = 5  ⇒  r = 4
✅ જવાબ: સામાન્ય ગુણોત્તર 4 છે.
પ્રશ્ન 6: જો
a+bx
a-bx
=
b+cx
b-cx
=
c+dx
c-dx
(x ≠ 0), તો સાબિત કરો કે a, b, c અને d સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
ઉકેલ:
અહીં આપણે પ્રમાણના યોગ-વિયોગ (Componendo and Dividendo) ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું.
(યોગ-વિયોગ એટલે: અંશ + છેદ / અંશ – છેદ).

સૌપ્રથમ પહેલા બે પદોને લઈએ:
a+bx
a-bx
=
b+cx
b-cx
યોગ-વિયોગ લેતાં:
(a+bx) + (a-bx)
(a+bx) – (a-bx)
=
(b+cx) + (b-cx)
(b+cx) – (b-cx)


2a
2bx
=
2b
2cx


a
bx
=
b
cx
બંને બાજુ છેદમાંથી x કેન્સલ કરતા:
a
b
=
b
c
  ⇒   b2 = ac
આ બતાવે છે કે a, b, c સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
તેવી જ રીતે, જો બીજા અને ત્રીજા પદનો યોગ-વિયોગ લઈએ તો:
b+cx
b-cx
=
c+dx
c-dx

…ગણતરી કરતાં…
b
c
=
c
d
  ⇒   c2 = bd
આ બતાવે છે કે b, c, d પણ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
✅ બંને પરિણામો પરથી સ્પષ્ટ છે કે, અચળ ગુણોત્તર જળવાઈ રહે છે, તેથી a, b, c, d સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 7: જો સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો S, ગુણાકાર P અને પ્રથમ n પદોનાં વ્યસ્ત પદોનો સરવાળો R હોય, તો સાબિત કરો કે P2Rn = Sn.
ઉકેલ:
ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીના પદો a, ar, ar2, …, arn-1 છે.
સરવાળો (S):
S =
a(rn – 1)
r – 1
ગુણાકાર (P):
P = a × ar × ar2 × … × arn-1
P = an × r(1+2+…+(n-1))
P = an × rn(n-1)/2
વ્યસ્ત પદોનો સરવાળો (R): (આ શ્રેણીનો ગુણોત્તર 1/r થશે)
R =
1
a
+
1
ar
+ … +
1
arn-1


R =
1
a
[
1 – (1/r)n
1 – 1/r
]

R =
1
a
[
(rn – 1) / rn
(r – 1) / r
]

R =
rn – 1
arn-1(r – 1)
હવે જે સાબિત કરવાનું છે તેની ડાબી બાજુ (L.H.S) લઈએ: P2Rn
= ( an × rn(n-1)/2 )2 × (
rn – 1
arn-1(r – 1)
)n

= ( a2n × rn(n-1) ) ×
(rn – 1)n
an rn(n-1) (r – 1)n
અહીં અંશ અને છેદમાંથી rn(n-1) કેન્સલ થશે, અને a2n / an = an વધશે:
= an ×
(rn – 1)n
(r – 1)n


= [
a(rn – 1)
r – 1
]n
કૌંસમાં બચેલું પદ S (સરવાળા) નું જ સૂત્ર છે.
= Sn
✅ L.H.S = R.H.S. સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 8: જો a, b, c, d સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો સાબિત કરો કે (an + bn), (bn + cn), (cn + dn) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
ઉકેલ:
અહીં a, b, c, d સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. ધારો કે તેમનો ગુણોત્તર r છે.
તેથી, b = ar, c = ar2, d = ar3 થશે.
આપણે ચકાસવાનું છે કે આપેલા ત્રણ પદો સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે કે નહીં. આ માટે આપણે તેમનો ગુણોત્તર (Ratio) શોધીશું.

પહેલો ગુણોત્તર: (બીજું પદ / પ્રથમ પદ)
=
bn + cn
an + bn


=
(ar)n + (ar2)n
an + (ar)n


=
anrn + anr2n
an + anrn
અંશમાંથી anrn અને છેદમાંથી an સામાન્ય કાઢતાં:
=
anrn (1 + rn)
an (1 + rn)
= rn

બીજો ગુણોત્તર: (ત્રીજું પદ / બીજું પદ)
=
cn + dn
bn + cn


=
(ar2)n + (ar3)n
(ar)n + (ar2)n


=
anr2n + anr3n
anrn + anr2n
અંશમાંથી anr2n અને છેદમાંથી anrn સામાન્ય કાઢતાં:
=
anr2n (1 + rn)
anrn (1 + rn)
=
r2n
rn
= rn
✅ અહીં ક્રમિક પદોનો ગુણોત્તર સમાન (rn) મળે છે. તેથી આપેલા ત્રણ પદો સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 9: જો a, b, c, d સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય અને જો a અને b, x2 – 3x + p = 0 નાં બીજ હોય અને c, d, x2 – 12x + q = 0 નાં બીજ હોય તો સાબિત કરો કે (q + p) : (q – p) = 17:15.
ઉકેલ:
અહીં a, b, c, d સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. ધારો કે તેમનો સામાન્ય ગુણોત્તર r છે. તેથી b = ar, c = ar2, d = ar3 થશે.
સમીકરણ 1: x2 – 3x + p = 0 ના બીજ a અને b છે.
બીજોનો સરવાળો: a + b = 3  ⇒  a + ar = 3  ⇒  a(1 + r) = 3     — (1)
બીજોનો ગુણાકાર: ab = p  ⇒  a(ar) = p  ⇒  a2r = p     — (2)
સમીકરણ 2: x2 – 12x + q = 0 ના બીજ c અને d છે.
બીજોનો સરવાળો: c + d = 12  ⇒  ar2 + ar3 = 12  ⇒  ar2(1 + r) = 12     — (3)
બીજોનો ગુણાકાર: cd = q  ⇒  (ar2)(ar3) = q  ⇒  a2r5 = q     — (4)
હવે, (3) ને (1) વડે ભાગતાં:
ar2(1 + r)
a(1 + r)
=
12
3
 ⇒  r2 = 4  ⇒  r4 = 16
આપણે જે ગુણોત્તર શોધવાનો છે તેની ડાબી બાજુ લઈએ:
q + p
q – p
=
a2r5 + a2r
a2r5 – a2r
અંશ અને છેદમાંથી a2r સામાન્ય કાઢતાં:
=
a2r (r4 + 1)
a2r (r4 – 1)
=
r4 + 1
r4 – 1
હવે r4 = 16 ની કિંમત મૂકતાં:
=
16 + 1
16 – 1
=
17
15
✅ આમ, (q + p) : (q – p) = 17 : 15 સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 10: બે સંખ્યાઓ a અને b ના સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યકોનો ગુણોત્તર m : n છે. બતાવો કે, a : b = (m + √(m2 – n2)) : (m – √(m2 – n2)).
ઉકેલ:
ધારો કે બે સંખ્યાઓ a અને b છે.
સમાંતર મધ્યક (A.M.) =
a + b
2

સમગુણોત્તર મધ્યક (G.M.) = √ab
રકમ મુજબ તેમનો ગુણોત્તર m/n છે:
(a + b) / 2
√ab
=
m
n
 ⇒ 
a + b
2√ab
=
m
n
યોગ-વિયોગ (Componendo & Dividendo) નો નિયમ લેતાં (અંશ + છેદ / અંશ – છેદ):
a + b + 2√ab
a + b – 2√ab
=
m + n
m – n


(√a + √b)2
(√a – √b)2
=
m + n
m – n
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતાં:
√a + √b
√a – √b
=
√(m + n)
√(m – n)
ફરીથી યોગ-વિયોગ પ્રમાણ લેતાં:
(√a + √b) + (√a – √b)
(√a + √b) – (√a – √b)
=
√(m + n) + √(m – n)
√(m + n) – √(m – n)


2√a
2√b
=
√(m + n) + √(m – n)
√(m + n) – √(m – n)
બંને બાજુ વર્ગ (Square) કરતાં a/b મળશે:
a
b
=
(m+n) + (m-n) + 2√((m+n)(m-n))
(m+n) + (m-n) – 2√((m+n)(m-n))


a
b
=
2m + 2√(m2-n2)
2m – 2√(m2-n2)
=
m + √(m2-n2)
m – √(m2-n2)
✅ જે સાબિત કરવાનું હતું તે મળી ગયું છે.
પ્રશ્ન 11: નીચેની શ્રેણીનાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો શોધો :
(i) 5 + 55 + 555 + …
(ii) 0.6 + 0.66 + 0.666 + …
ઉકેલ (i): Sn = 5 + 55 + 555 + … (n પદો સુધી)
5 સામાન્ય કાઢતાં: Sn = 5 [1 + 11 + 111 + …]
9 વડે ગુણતાં અને ભાગતાં: Sn =
5
9
[9 + 99 + 999 + …]
Sn =
5
9
[(10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + …]

Sn =
5
9
[ (10 + 102 + … + 10n) – (1 + 1 + … n વખત) ]

Sn =
5
9
[
10(10n – 1)
9
– n ]
✅ જવાબ (i): Sn =
50
81
(10n – 1) –
5n
9
ઉકેલ (ii): Sn = 0.6 + 0.66 + 0.666 + …
6 સામાન્ય કાઢતાં: Sn = 6 [0.1 + 0.11 + 0.111 + …]
9 વડે ગુણતાં અને ભાગતાં: Sn =
6
9
[0.9 + 0.99 + 0.999 + …] =
2
3
[0.9 + 0.99 + …]
Sn =
2
3
[(1 – 0.1) + (1 – 0.01) + (1 – 0.001) + …]

Sn =
2
3
[ (1 + 1 + … n વખત) – (0.1 + 0.01 + 0.001 + …) ]

Sn =
2
3
[ n –
(1/10) [1 – (1/10)n]
1 – 1/10
]

Sn =
2
3
[ n –
1/10 [1 – 10-n]
9/10
]
✅ જવાબ (ii): Sn =
2n
3
–
2
27
(1 – 10-n)
પ્રશ્ન 12: શ્રેઢી 2 × 4 + 4 × 6 + 6 × 8 + … (n પદો) નું 20 મું પદ શોધો.
ઉકેલ:
અહીં શ્રેણીના પદો બે સંખ્યાઓના ગુણાકાર સ્વરૂપે છે.
પહેલો ભાગ: 2, 4, 6… આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેનું n મું પદ 2n છે.
બીજો ભાગ: 4, 6, 8… આ પણ સમાંતર શ્રેણી છે જેનું n મું પદ 2n + 2 છે.
તેથી આ શ્રેણીનું વ્યાપક પદ (n મું પદ) Tn નીચે મુજબ થાય:
Tn = (2n) × (2n + 2)
આપણે 20 મું પદ (T20) શોધવાનું છે, તેથી n = 20 મૂકતાં:
T20 = (2 × 20) × (2 × 20 + 2)
T20 = 40 × (40 + 2)
T20 = 40 × 42 = 1680
✅ જવાબ: 20 મું પદ 1680 છે.
પ્રશ્ન 13: એક ખેડૂત પુન:વેચાણનું ટ્રેક્ટર ₹ 12,000 માં ખરીદે છે. તે ₹ 6000 રોકડા ચૂકવે છે અને બાકીની રકમ ₹ 500 ના વાર્ષિક હપતામાં અને 12 % વ્યાજે ચૂકવે છે, તો તેણે ટ્રેક્ટરની શું કિંમત ચૂકવી હશે ?
ઉકેલ:
ટ્રેક્ટરની કુલ કિંમત = ₹ 12,000.
રોકડા ચૂકવ્યા = ₹ 6,000.
બાકી રહેલી રકમ = 12000 – 6000 = ₹ 6,000.
આ ₹ 6,000 ની રકમ તે વાર્ષિક ₹ 500 ના હપતાથી ચૂકવે છે.
તેથી હપતાની સંખ્યા = 6000 / 500 = 12 હપતા (12 વર્ષ).
વ્યાજની ગણતરી (12% લેખે):
પહેલા વર્ષે 6000 પર વ્યાજ લાગશે.
બીજા વર્ષે 5500 (6000-500) પર વ્યાજ લાગશે.
આમ છેલ્લે 500 પર વ્યાજ લાગશે.
કુલ વ્યાજ = 12% of (6000 + 5500 + 5000 + … + 500)
અહીં કૌંસમાં રહેલી સંખ્યા સમાંતર શ્રેણી (A.P.) બનાવે છે. 500 સામાન્ય કાઢતાં:
=
12
100
× 500 × (12 + 11 + 10 + … + 1)
= 60 × [
12 × 13
2
]
= 60 × 78 = ₹ 4,680 (કુલ વ્યાજ)
ખેડૂતે ચૂકવેલી કુલ રકમ = મૂળ કિંમત + કુલ વ્યાજ
= 12000 + 4680 = 16680
✅ જવાબ: તેણે ટ્રેક્ટરની કુલ ₹ 16,680 કિંમત ચૂકવી હશે.
પ્રશ્ન 14: શમશાદ અલી એક સ્કૂટર ₹ 22,000 માં ખરીદે છે. તે ₹ 4000 રોકડા ચૂકવે છે અને બાકીની રકમ ₹ 1000 ના વાર્ષિક હપતાથી અને 10 % વ્યાજે ચૂકવે છે, તો તેણે સ્કૂટરની શું કિંમત ચૂકવી હશે ?
ઉકેલ:
આ દાખલો અગાઉના 13મા દાખલા જેવો જ છે.
સ્કૂટરની કુલ કિંમત = ₹ 22,000.
રોકડા ચૂકવ્યા = ₹ 4,000.
બાકી રહેલી રકમ = 22000 – 4000 = ₹ 18,000.
આ ₹ 18,000 ની રકમ તે વાર્ષિક ₹ 1000 ના હપતાથી ચૂકવે છે.
તેથી હપતાની સંખ્યા = 18000 / 1000 = 18 હપતા (18 વર્ષ).
વ્યાજની ગણતરી (10% લેખે):
કુલ વ્યાજ = 10% of (18000 + 17000 + 16000 + … + 1000)

=
10
100
× 1000 × (18 + 17 + … + 1)
= 100 × [
18 × 19
2
]
= 100 × 171 = ₹ 17,100 (કુલ વ્યાજ)
ચૂકવેલી કુલ રકમ = મૂળ કિંમત + કુલ વ્યાજ
= 22000 + 17100 = 39100
✅ જવાબ: તેણે સ્કૂટરની કુલ ₹ 39,100 કિંમત ચૂકવી હશે.
પ્રશ્ન 15: એક માણસ તેના ચાર મિત્રોને પત્ર લખે છે. તે દરેકને સૂચના આપે છે કે આ પત્ર તેમના અન્ય ચાર મિત્રોને મોકલે અને તેમને પણ આ જ પ્રમાણેની સાંકળ આગળ વધારવાની છે. માની લઈએ કે આ સાંકળ તૂટતી નથી અને દરેક પત્ર મોકલવાનો ખર્ચ 50 પૈસા આવે છે, તો 8 વખત પત્ર મોકલવાનો ખર્ચ શોધો.
ઉકેલ:
અહીં પત્રો મોકલવાની સાંકળ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે.
પહેલી વાર પત્રોની સંખ્યા = 4
બીજી વાર પત્રોની સંખ્યા = 4 × 4 = 16
ત્રીજી વાર = 16 × 4 = 64 … આમ 8 વખત સુધી ચાલે છે.
અહીં પ્રથમ પદ (a) = 4, ગુણોત્તર (r) = 4, અને પદોની સંખ્યા (n) = 8.
કુલ મોકલાયેલા પત્રોની સંખ્યા (S8):
S8 =
a(r8 – 1)
r – 1
=
4(48 – 1)
4 – 1


S8 =
4(65536 – 1)
3
=
4(65535)
3
= 4 × 21845 = 87,380 પત્રો
દરેક પત્રનો ખર્ચ 50 પૈસા (એટલે કે ₹ 0.5 અથવા 1/2 રૂપિયા) છે.
કુલ ખર્ચ = 87380 ×
1
2
= 43,690
✅ જવાબ: 8 વખત સુધીની સાંકળનો કુલ ખર્ચ ₹ 43,690 આવશે.
પ્રશ્ન 16: એક માણસ વાર્ષિક 5% ના સાદા વ્યાજે બૅંકમાં ₹ 10,000 જમા કરાવે છે, તો તેણે જમા કરાવેલ રકમથી 15માં વર્ષમાં જમા રકમ અને 20 વર્ષ પછીની કુલ રકમ શોધો.
ઉકેલ:
સાદા વ્યાજ (Simple Interest) નો નિયમ સમાંતર શ્રેણી (A.P.) પર આધારિત છે.
જમા રકમ (P) = 10,000. વ્યાજનો દર (R) = 5%.
દર વર્ષે મળતું વ્યાજ (d) = 10000 × 5% = ₹ 500.
(i) 15માં વર્ષમાં જમા રકમ:
15માં વર્ષની શરૂઆતમાં જમા રકમ એટલે કે 14 વર્ષ પૂરા થયા પછીની રકમ.
રકમ = P + (14 વર્ષનું વ્યાજ)
= 10000 + (14 × 500) = 10000 + 7000 = 17,000
(ii) 20 વર્ષ પછીની કુલ રકમ:
રકમ = P + (20 વર્ષનું વ્યાજ)
= 10000 + (20 × 500) = 10000 + 10000 = 20,000
✅ જવાબ: 15માં વર્ષમાં રકમ ₹ 17,000 અને 20 વર્ષ પછી ₹ 20,000 હશે.
પ્રશ્ન 17: એક વેપારી ગણતરી કરે છે કે એક મશીન તેને ₹ 15,625 માં મળે છે અને દર વર્ષે તેનો ઘસારો 20 % છે, તો પાંચ વર્ષ પછી આ મશીનની અંદાજિત કિંમત કેટલી હશે ?
ઉકેલ:
ઘસારો (Depreciation) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજના સૂત્ર મુજબ ઘટે છે. અહી વ્યાજની જેમ વધવાને બદલે કિંમત ઘટે છે તેથી સૂત્રમાં માઇનસ (-) આવશે.
મૂળ કિંમત (P) = 15,625, ઘસારાનો દર (R) = 20%, સમય (n) = 5 વર્ષ.
કિંમત (A) = P ( 1 –
R
100
)n

A = 15625 ( 1 –
20
100
)5 = 15625 ( 1 –
1
5
)5

A = 15625 (
4
5
)5

A = 15625 ×
1024
3125
3125 × 5 = 15625 થાય, તેથી:
A = 5 × 1024 = 5120
✅ જવાબ: પાંચ વર્ષ પછી મશીનની અંદાજિત કિંમત ₹ 5,120 હશે.
પ્રશ્ન 18: એક કામ અમુક દિવસમાં પૂરું કરવા 150 માણસો રોકાયેલા હતા. બીજા દિવસે 4 માણસ કામ છોડી દે છે, ત્રીજા દિવસે બીજા 4 માણસો કામ છોડી દે છે અને આમ ચાલ્યા કરે છે. આવું થવાથી કામ પૂરું થવામાં 8 દિવસ વધુ લાગે છે તો કામ કેટલા દિવસમાં પૂરું થાય તે શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે મૂળ શરત પ્રમાણે કામ n દિવસમાં પૂરું થવાનું હતું.
જો બધા 150 માણસો રોજે કામ કરે તો કુલ જરૂરી કામ (man-days) = 150n.
પરંતુ, ખરેખર દરરોજ માણસો ઘટે છે: 150, 146, 142…
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં a = 150 અને d = -4 છે.
આવું થવાથી કામ પૂરું થતાં 8 દિવસ વધુ લાગે છે, એટલે કે કામ (n + 8) દિવસ ચાલ્યું.
આ (n + 8) દિવસોનું કુલ કામ = Sn+8. આ કામ પેલા મૂળ કામ (150n) બરાબર જ હોવું જોઈએ.
150n = Sn+8
150n =
n+8
2
[ 2(150) + (n + 8 – 1)(-4) ]

300n = (n + 8) [ 300 – 4(n + 7) ]
300n = (n + 8) [ 300 – 4n – 28 ]
300n = (n + 8) [ 272 – 4n ]
જમણી બાજુમાંથી 4 સામાન્ય કાઢતાં:
300n = 4(n + 8) [ 68 – n ]
75n = (n + 8)(68 – n)
75n = 68n – n2 + 544 – 8n
75n = 60n – n2 + 544
બધા પદો ડાબી બાજુ લાવતાં:
n2 + 15n – 544 = 0
544 ના એવા અવયવ પાડો જેની બાદબાકી 15 થાય: 32 × 17 = 544.
(n + 32)(n – 17) = 0
દિવસો ક્યારેય ઋણ ન હોય તેથી n = -32 શક્ય નથી. તેથી n = 17 મળે.
અહીં ‘n’ એ મૂળ દિવસો છે. કામ ખરેખર (n + 8) દિવસોમાં પૂરું થયું છે.
કુલ લાગેલા દિવસો = 17 + 8 = 25
✅ જવાબ: કામ પૂરું થતાં 25 દિવસ લાગે.

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *