સ્વાધ્યાય 6.1 : રાશિઓના ફેરફારનો દર (દાખલા 1 થી 13)
પ્રશ્ન 1: જ્યારે (a) r = 3 સેમી તથા (b) r = 4 સેમી હોય ત્યારે વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાં તેની ત્રિજ્યા r ને સાપેક્ષ થતા ફેરફારનો દર શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ A અને ત્રિજ્યા r છે.
ક્ષેત્રફળ A = πr2
ત્રિજ્યા r ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં (ફેરફારનો દર):
dA
dr
d
dr
(a) જ્યારે r = 3 સેમી હોય:
dA
dr
(b) જ્યારે r = 4 સેમી હોય:
dA
dr
✅ જવાબ: (a) 6π સેમી2/સેમી, (b) 8π સેમી2/સેમી
પ્રશ્ન 2: એક સમઘનનું કદ 8 સેમી3/સે ના દરથી વધે છે. જ્યારે સમઘનની ધારની લંબાઈ 12 સેમી હોય ત્યારે તેનું પૃષ્ઠફળ કેટલી ઝડપથી વધે ?
ઉકેલ: ધારો કે સમઘનની ધારની લંબાઈ x સેમી, કદ (ઘનફળ) V અને પૃષ્ઠફળ S છે.
આપેલ છે: કદ વધવાનો દર = 8 સેમી3/સે.
dV
dt
સમઘનનું ઘનફળ V = x3
સમય t ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:
dV
dt
dx
dt
8 = 3x2 · ⇒ =
dx
dt
dx
dt
8
3x2
હવે, સમઘનનું પૃષ્ઠફળ S = 6x2. પૃષ્ઠફળ વધવાનો દર:
dS
dt
dx
dt
dx
dt
dS
dt
8
3x2
32
x
જ્યારે x = 12 સેમી હોય:
dS
dt
32
12
8
3
✅ જવાબ: પૃષ્ઠફળ સેમી2/સે ના દરથી વધે છે.
8
3
પ્રશ્ન 3: એક વર્તુળની ત્રિજ્યા એકધારી 3 સેમી/સે ના દરથી વધે છે. જ્યારે વર્તુળની ત્રિજ્યા 10 સેમી હોય ત્યારે વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાં થતા વધારાનો દર શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે ત્રિજ્યા r અને ક્ષેત્રફળ A છે.
આપેલ છે: = 3 સેમી/સે.
dr
dt
ક્ષેત્રફળ A = πr2. સમય t ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:
dA
dt
dr
dt
જ્યારે r = 10 સેમી હોય:
dA
dt
✅ જવાબ: ક્ષેત્રફળ 60π સેમી2/સે ના દરથી વધે છે.
પ્રશ્ન 4: એક સમઘનની ધાર 3 સેમી/સે ના દરથી વધે છે. જ્યારે સમઘનની ધારની લંબાઈ 10 સેમી હોય ત્યારે તે સમઘનનું ઘનફળ કેટલી ઝડપથી વધે ?
ઉકેલ: ધારો કે ધારની લંબાઈ x અને ઘનફળ V છે.
આપેલ છે: = 3 સેમી/સે.
dx
dt
ઘનફળ V = x3. વિકલન કરતાં:
dV
dt
dx
dt
જ્યારે x = 10 સેમી હોય:
dV
dt
✅ જવાબ: ઘનફળ 900 સેમી3/સે ની ઝડપથી વધે છે.
પ્રશ્ન 5: શાંત સરોવરમાં એક પથ્થર નાંખવામાં આવે છે અને પાણીમાં વર્તુળાકાર વમળો સર્જાય છે. વર્તુળાકાર વમળોની ત્રિજ્યા 5 સેમી/સે ની ઝડપે વધે છે. જ્યારે વર્તુળાકાર વમળની ત્રિજ્યા 8 સેમી હોય, ત્યારે આ વર્તુળાકાર વમળોનું ક્ષેત્રફળ કેટલી ઝડપે વધે છે ?
ઉકેલ: ધારો કે વમળની ત્રિજ્યા r અને ક્ષેત્રફળ A છે.
આપેલ છે: = 5 સેમી/સે.
dr
dt
ક્ષેત્રફળ A = πr2. વિકલન કરતાં:
dA
dt
dr
dt
જ્યારે r = 8 સેમી હોય:
dA
dt
✅ જવાબ: ક્ષેત્રફળ 80π સેમી2/સે ની ઝડપે વધે છે.
પ્રશ્ન 6: એક વર્તુળની ત્રિજ્યા 0.7 સેમી/સે ના દરે વધે છે, તો વર્તુળના પરિઘના વધવાનો દર કેટલો હશે ?
ઉકેલ: ધારો કે ત્રિજ્યા r અને પરિઘ C છે.
આપેલ છે: = 0.7 સેમી/સે.
dr
dt
વર્તુળનો પરિઘ C = 2πr. સમય t ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:
dC
dt
dr
dt
dC
dt
✅ જવાબ: પરિઘ 1.4π સેમી/સે ના દરે વધશે.
પ્રશ્ન 7: એક લંબચોરસની લંબાઈ x, 5 સેમી/મિનિટના દરે ઘટે છે અને તેની પહોળાઈ y, 4 સેમી/મિનિટના દરે વધે છે. જ્યારે x = 8 સેમી અને y = 6 સેમી હોય, ત્યારે (a) લંબચોરસની પરિમિતિ અને (b) લંબચોરસના ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારનો દર શોધો.
ઉકેલ: લંબાઈ x ઘટે છે તેથી = -5 સેમી/મિનિટ.
પહોળાઈ y વધે છે તેથી = +4 સેમી/મિનિટ.
dx
dt
પહોળાઈ y વધે છે તેથી
dy
dt
(a) પરિમિતિ (P) માં ફેરફાર:
પરિમિતિ P = 2(x + y). વિકલન કરતાં:
dP
dt
dx
dt
dy
dt
(– નિશાની દર્શાવે છે કે પરિમિતિ 2 સેમી/મિનિટ ના દરે ઘટે છે).
(b) ક્ષેત્રફળ (A) માં ફેરફાર:
ક્ષેત્રફળ A = x · y. ગુણાકારના નિયમથી વિકલન કરતાં:
dA
dt
dy
dt
dx
dt
x = 8 અને y = 6 મૂકતાં:
dA
dt
✅ જવાબ: (a) પરિમિતિ 2 સેમી/મિનિટ ના દરે ઘટે છે. (b) ક્ષેત્રફળ 2 સેમી2/મિનિટ ના દરે વધે છે.
પ્રશ્ન 8: એક ગોળાકાર ફુગ્ગામાં તેનું કદ 900 સેમી3/સે ના દરે વધે એવી રીતે હવા ભરવામાં આવે છે. જ્યારે ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા 15 સેમી હોય ત્યારે ત્રિજ્યાના વધવાનો દર શોધો. ફુગ્ગો ગોળાકાર જ રહે છે.
ઉકેલ: ધારો કે ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા r અને ઘનફળ V છે.
આપેલ છે: = 900 સેમી3/સે.
dV
dt
ગોલકનું ઘનફળ V = πr3. વિકલન કરતાં:
4
3
dV
dt
4
3
dr
dt
dr
dt
કિંમતો મુકતાં (r = 15):
900 = 4π(15)2 ·
dr
dt
900 = 4π(225) · ⇒ 900 = 900π ·
dr
dt
dr
dt
dr
dt
900
900π
1
π
✅ જવાબ: ત્રિજ્યા સેમી/સે ના દરે વધે છે.
1
π
પ્રશ્ન 9: એક ગોળાકાર ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા ચલિત થાય છે અને તે ફુગ્ગો ગોળાકાર જ રહે છે. જ્યારે તેની ત્રિજ્યા 10 સેમી હોય ત્યારે તેના ઘનફળમાં ત્રિજ્યાને સાપેક્ષ થતા વધારાનો દર શોધો.
ઉકેલ: અહીં સમયને સાપેક્ષ નહીં, પણ ત્રિજ્યાને સાપેક્ષ (એટલે કે ) શોધવાનું છે.
dV
dr
ગોલકનું ઘનફળ V = πr3. r ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:
4
3
dV
dr
4
3
જ્યારે r = 10 સેમી હોય:
dV
dr
✅ જવાબ: ઘનફળ 400π સેમી3/સેમી ના દરે વધે છે.
પ્રશ્ન 10: એક 5 મીટર લાંબી નિસરણી દીવાલે ટેકવી છે. સીડીનો નીચેનો છેડો જમીન પર 2 સેમી/સે ના દરે દીવાલથી દૂર લઈ જવામાં આવે છે. જ્યારે સીડીનો નીચેનો છેડો દીવાલથી 4 મીટર દૂર હોય, ત્યારે દીવાલ પર નિસરણીની ઊંચાઈ કેટલી ઝડપથી ઘટે છે ?
ઉકેલ: ધારો કે દીવાલથી સીડીના નીચેના છેડાનું અંતર x મીટર અને જમીનથી સીડીની ઊંચાઈ y મીટર છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ બનતો હોવાથી પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: x2 + y2 = (લંબાઈ)2
x2 + y2 = 52 = 25
આપેલું છે કે x = 4 મીટર છે. તેથી 42 + y2 = 25 ⇒ y2 = 9 ⇒ y = 3 મીટર.
આપણને = 2 સેમી/સે આપેલું છે. સમીકરણનું t ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:
dx
dt
2x + 2y = 0
dx
dt
dy
dt
2 ઉડાડતાં અને કિંમતો મૂકતાં: (અહીં x, y મીટરમાં છે પણ ગુણોત્તરમાં એકમ ઉડી જશે, તેથી dx/dt સેમી/સે માં રાખી શકાય).
(4)(2) + (3) = 0
dy
dt
8 + 3 = 0 ⇒ = – સેમી/સે.
dy
dt
dy
dt
8
3
✅ જવાબ: દીવાલ પરની ઊંચાઈ સેમી/સે ની ઝડપથી ઘટે છે. (અહીં – નિશાની ઘટાડો સૂચવે છે).
8
3
પ્રશ્ન 11: એક પદાર્થ, વક્ર 6y = x3 + 2 પર ગતિ કરે છે. વક્ર પરનાં જે બિંદુઓએ તેમના y-યામમાં તેમના x-યામ કરતાં 8 ગણી ઝડપે ફેરફાર થાય, તે બિંદુઓ શોધો.
ઉકેલ: આપેલું છે: = 8 · .
dy
dt
dx
dt
વક્રનું સમીકરણ: 6y = x3 + 2. સમય t ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:
6 = 3x2
dy
dt
dx
dt
dy
dt
dx
dt
6 ( 8 ) = 3x2
dx
dt
dx
dt
48 = 3x2 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = 4 અથવા x = -4
જો x = 4 હોય તો: 6y = (4)3 + 2 = 64 + 2 = 66 ⇒ y = 11. (બિંદુ: (4, 11))
જો x = -4 હોય તો: 6y = (-4)3 + 2 = -64 + 2 = -62 ⇒ y = -31/3. (બિંદુ: (-4, -31/3))
✅ જવાબ: માગેલાં બિંદુઓ (4, 11) અને ( -4, –) છે.
31
3
પ્રશ્ન 12: હવાના પરપોટાની ત્રિજ્યા સેમી/સે ના દરથી વધે છે. જ્યારે પરપોટાની ત્રિજ્યા 1 સેમી હોય ત્યારે તેના કદમાં થતા વધારાનો દર કેટલો હોય ?
1
2
ઉકેલ: પરપોટો ગોળાકાર હોય છે. આપેલ છે = સેમી/સે.
dr
dt
1
2
ઘનફળ V = πr3. વિકલન કરતાં:
4
3
dV
dt
4
3
dr
dt
dr
dt
જ્યારે r = 1 સેમી હોય:
dV
dt
1
2
✅ જવાબ: કદ 2π સેમી3/સે ના દરે વધે છે.
પ્રશ્ન 13: એક ગોળાકાર ફુગ્ગાનો વ્યાસ (2x + 1) છે, તો આ ફુગ્ગાના ઘનફળમાં x ને સાપેક્ષ થતા ફેરફારનો દર શોધો. ફુગ્ગો ગોળાકાર જ રહે છે.
3
2
ઉકેલ: અહીં વ્યાસ d = (2x + 1) આપેલ છે. તેથી ત્રિજ્યા r = = (2x + 1) થશે.
3
2
d
2
3
4
ગોલકનું ઘનફળ V = πr3. ત્રિજ્યાની કિંમત મૂકતાં:
4
3
V = π [ (2x + 1) ] 3 = π ( ) (2x + 1)3 = (2x + 1)3
4
3
3
4
4
3
27
64
9π
16
હવે x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં ():
dV
dx
dV
dx
9π
16
d
dx
dV
dx
9π
16
27π
8
✅ જવાબ: = (2x + 1)2
dV
dx
27π
8
સ્વાધ્યાય 6.1 : રાશિઓના ફેરફારનો દર (દાખલા 14 થી 18)
પ્રશ્ન 14: એક પાઇપ દ્વારા 12 સેમી3/સે ના દરથી રેતી નાખવામાં આવે છે. આ રેતી દ્વારા જમીન પર શંકુ બને છે. તેની ઊંચાઈ હંમેશાં તેના પાયાની ત્રિજ્યા કરતાં 1/6 ગણી રહે છે. જ્યારે ઊંચાઈ 4 સેમી હોય ત્યારે રેતીના આ શંકુની ઊંચાઈના વધવાનો દર શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા r, ઊંચાઈ h અને ઘનફળ V છે.
આપેલ છે: ઘનફળ વધવાનો દર = 12 સેમી3/સે.
dV
dt
શરત મુજબ: ઊંચાઈ h = r ⇒ r = 6h. (આપણે ઊંચાઈનો દર શોધવો છે તેથી ત્રિજ્યાને ઊંચાઈમાં ફેરવીશું).
1
6
શંકુનું ઘનફળ V = π r2 h
1
3
r = 6h મૂકતાં:
V = π (6h)2 h = π (36h2) h = 12π h3
1
3
1
3
સમય t ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:
dV
dt
dh
dt
dh
dt
આપેલ કિંમતો ( = 12 અને h = 4) મૂકતાં:
dV
dt
12 = 36π (4)2 ·
dh
dt
12 = 36π (16) · ⇒ 12 = 576π ·
dh
dt
dh
dt
dh
dt
12
576π
1
48π
✅ જવાબ: શંકુની ઊંચાઈ સેમી/સે ના દરથી વધે છે.
1
48π
પ્રશ્ન 15: એક વસ્તુના x એકમના ઉત્પાદનનો કુલ ખર્ચ (રૂપિયામાં) C(x) = 0.007x3 – 0.003x2 + 15x + 4000 દ્વારા મળે છે. જ્યારે 17 એકમનું ઉત્પાદન થયેલ હોય ત્યારે સીમાંત ખર્ચ શોધો.
ઉકેલ: સીમાંત ખર્ચ (Marginal Cost – MC) એટલે ખર્ચ વિધેય C(x) નું x ની સાપેક્ષે વિકલિત.
MC = [C(x)] = (0.007x3 – 0.003x2 + 15x + 4000)
d
dx
d
dx
MC = 0.007(3x2) – 0.003(2x) + 15(1) + 0
MC = 0.021x2 – 0.006x + 15
MC = 0.021x2 – 0.006x + 15
જ્યારે ઉત્પાદન x = 17 હોય:
MC = 0.021(17)2 – 0.006(17) + 15
MC = 0.021(289) – 0.102 + 15
MC = 6.069 – 0.102 + 15
MC = 5.967 + 15 = 20.967
MC = 0.021(289) – 0.102 + 15
MC = 6.069 – 0.102 + 15
MC = 5.967 + 15 = 20.967
✅ જવાબ: 17 એકમ માટે સીમાંત ખર્ચ ₹ 20.967 છે.
પ્રશ્ન 16: એક વસ્તુના x એકમના વેચાણથી મળતી કુલ આવક (રૂપિયામાં) R(x) = 13x2 + 26x + 15 દ્વારા મળે છે. જ્યારે x = 7 હોય ત્યારે સીમાંત આવક શોધો.
ઉકેલ: સીમાંત આવક (Marginal Revenue – MR) એટલે આવક વિધેય R(x) નું x ની સાપેક્ષે વિકલિત.
MR = [R(x)] = (13x2 + 26x + 15)
d
dx
d
dx
MR = 13(2x) + 26(1) + 0 = 26x + 26
જ્યારે x = 7 હોય:
MR = 26(7) + 26 = 182 + 26 = 208
✅ જવાબ: x = 7 માટે સીમાંત આવક ₹ 208 છે.
સૂચના: પ્રશ્નો 17 તથા 18 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો.
પ્રશ્ન 17: જ્યારે ત્રિજ્યા 6 સેમી હોય ત્યારે વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાં તેની ત્રિજ્યાને સાપેક્ષ થતા ફેરફારનો દર …….. હોય.
(A) 10π (B) 12π (C) 8π (D) 11π
(A) 10π (B) 12π (C) 8π (D) 11π
ઉકેલ: વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ A = πr2.
ત્રિજ્યા r ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:
dA
dr
જ્યારે r = 6 હોય:
dA
dr
✅ સાચો વિકલ્પ: (B) 12π
પ્રશ્ન 18: એક વસ્તુના x એકમના વેચાણથી મળતી કુલ આવક (રૂપિયામાં) R(x) = 3x2 + 36x + 5 દ્વારા મળે છે. જ્યારે x = 15 હોય ત્યારે થતી સીમાંત આવક ₹ …….. હોય.
(A) 116 (B) 96 (C) 90 (D) 126
(A) 116 (B) 96 (C) 90 (D) 126
ઉકેલ: સીમાંત આવક MR = .
dR
dx
MR = (3x2 + 36x + 5) = 6x + 36
d
dx
જ્યારે x = 15 હોય:
MR = 6(15) + 36 = 90 + 36 = 126
✅ સાચો વિકલ્પ: (D) 126
6.2
સ્વાધ્યાય 6.2 : વધતાં અને ઘટતાં વિધેયો (દાખલા 9 થી 19)
પ્રશ્ન 9: સાબિત કરો કે y = – θ એ θ ∈ [0, π/2] માં વધતું વિધેય છે.
4 sin θ
2 + cos θ
ઉકેલ: θ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં (ભાગાકારનો નિયમ વાપરતાં):
dy
dθ
(2 + cos θ) · (4 cos θ) – (4 sin θ) · (-sin θ)
(2 + cos θ)2
કૌંસ છોડતાં:
= – 1
8 cos θ + 4 cos2 θ + 4 sin2 θ
(2 + cos θ)2
આપણે જાણીએ છીએ કે 4(cos2 θ + sin2 θ) = 4(1) = 4.
= – 1
8 cos θ + 4
(2 + cos θ)2
લ.સા.અ. લેતાં:
= =
8 cos θ + 4 – (2 + cos θ)2
(2 + cos θ)2
8 cos θ + 4 – (4 + 4 cos θ + cos2 θ)
(2 + cos θ)2
= =
4 cos θ – cos2 θ
(2 + cos θ)2
cos θ (4 – cos θ)
(2 + cos θ)2
અંતરાલ [0, π/2] (પ્રથમ ચરણ) માં, cos θ ≥ 0 હોય છે.
વધુમાં, cos θ ની કિંમત 1 થી વધુ ન હોઈ શકે, તેથી (4 – cos θ) હંમેશા ધન જ રહેશે.
છેદમાં રહેલો વર્ગ (2 + cos θ)2 પણ ધન છે.
વધુમાં, cos θ ની કિંમત 1 થી વધુ ન હોઈ શકે, તેથી (4 – cos θ) હંમેશા ધન જ રહેશે.
છેદમાં રહેલો વર્ગ (2 + cos θ)2 પણ ધન છે.
આથી, ≥ 0.
dy
dθ
✅ સાબિત થાય છે કે વિધેય [0, π/2] માં વધતું વિધેય છે.
પ્રશ્ન 10: સાબિત કરો કે લઘુગણકીય વિધેય અંતરાલ (0, ∞) પર વધતું વિધેય છે.
ઉકેલ: ધારો કે લઘુગણકીય વિધેય f(x) = log x છે.
તેનું વિકલન f'(x) = થાય.
1
x
અંતરાલ (0, ∞) નો અર્થ છે કે x > 0 (ધન સંખ્યાઓ).
જ્યારે x ધન હોય, ત્યારે પણ હંમેશા ધન જ મળે. એટલે કે f'(x) > 0.
જ્યારે x ધન હોય, ત્યારે
1
x
✅ f'(x) > 0 હોવાથી સાબિત થાય છે કે લઘુગણકીય વિધેય (0, ∞) પર વધતું વિધેય છે.
પ્રશ્ન 11: સાબિત કરો કે f(x) = x2 – x + 1, અંતરાલ (-1, 1) પર વધતું કે ઘટતું વિધેય નથી.
ઉકેલ: f(x) = x2 – x + 1
વિકલન f'(x) = 2x – 1
નિર્ણાયક બિંદુ શોધવા માટે f'(x) = 0 મુકતાં:
2x – 1 = 0 ⇒ x = 1/2
અહીં અંતરાલ (-1, 1) ના બે ભાગ પડે છે: (-1, 1/2) અને (1/2, 1).
- અંતરાલ (-1, 1/2) માં દા.ત. x = 0 લઈએ તો f’(0) = -1 < 0 (ઘટતું વિધેય).
- અંતરાલ (1/2, 1) માં દા.ત. x = 0.8 લઈએ તો f’(0.8) = 1.6 – 1 = 0.6 > 0 (વધતું વિધેય).
આપેલા અંતરાલ (-1, 1) માં વિધેય અડધા ભાગમાં ઘટે છે અને બાકીના ભાગમાં વધે છે.
✅ તેથી સાબિત થાય છે કે તે આખા અંતરાલ (-1, 1) પર સંપૂર્ણપણે વધતું કે ઘટતું વિધેય નથી.
પ્રશ્ન 12: નીચે આપેલાં વિધેયોમાંથી કયું વિધેય અંતરાલ (0, π/2) પર ઘટતું વિધેય છે ?
(A) cos x (B) cos 2x (C) cos 3x (D) tan x
(A) cos x (B) cos 2x (C) cos 3x (D) tan x
ઉકેલ: તમામ વિકલ્પો ચકાસીએ. અહીં અંતરાલ x ∈ (0, π/2) એટલે કે પ્રથમ ચરણ છે.
- (A) cos x : વિકલન f'(x) = -sin x. પ્રથમ ચરણમાં sin x ધન હોય છે, તેથી -sin x < 0. આ ઘટતું વિધેય છે.
- (B) cos 2x : વિકલન f'(x) = -2sin 2x. જો 0 < x < π/2 હોય, તો 0 < 2x < π (પ્રથમ અને દ્વિતીય ચરણ). બંને ચરણમાં sin ધન છે, તેથી -2sin 2x < 0. આ પણ ઘટતું વિધેય છે.
- (C) cos 3x : વિકલન f'(x) = -3sin 3x. અહીં 0 < 3x < 3π/2 થાય. આ ત્રીજા ચરણમાં પણ જાય છે જ્યાં sin ઋણ હોય. તેથી આ સંપૂર્ણ અંતરાલમાં માત્ર ઘટતું નથી (વધે પણ છે).
- (D) tan x : વિકલન f'(x) = sec2 x. વર્ગ હંમેશા ધન હોય (> 0). આ વધતું વિધેય છે.
નોંધ: વિકલ્પ (A) અને (B) બંને ગાણિતિક રીતે સાચા જવાબો છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે મૂળભૂત વિધેય તરીકે (A) ને મુખ્ય જવાબ ગણવામાં આવે છે.
✅ યોગ્ય વિકલ્પ: (A) cos x (અને B પણ).
પ્રશ્ન 13: વિધેય f(x) = x100 + sin x – 1 એ નીચે આપેલા અંતરાલો પૈકી કયા અંતરાલમાં ઘટે છે ?
(A) (0, 1) (B) (π/2, π) (C) (0, π/2) (D) આપેલ પૈકી એક પણ નહિ.
(A) (0, 1) (B) (π/2, π) (C) (0, π/2) (D) આપેલ પૈકી એક પણ નહિ.
ઉકેલ: f(x) = x100 + sin x – 1
વિકલન f'(x) = 100x99 + cos x
- (A) (0, 1) માં: x ધન હોવાથી 100x99 > 0 અને cos x પણ ધન હોય (કારણ કે 1 રેડિયન આશરે 57° છે). તેથી f'(x) > 0 (વધે છે).
- (B) (π/2, π) માં: અહીં x > 1 હોવાથી 100x99 ખૂબ મોટી ધન સંખ્યા (100 થી મોટી) થશે. cos x ભલે ઋણ હોય (તેની કિંમત -1 થી 0 વચ્ચે જ હોય), પણ સરવાળો f'(x) ધન જ રહેશે. (વધે છે).
- (C) (0, π/2) માં: અહીં બંને પદો ધન છે, તેથી f'(x) > 0 (વધે છે).
એક પણ અંતરાલમાં f'(x) < 0 થતું નથી.
✅ સાચો વિકલ્પ: (D) આપેલ પૈકી એક પણ નહિ.
પ્રશ્ન 14: ‘a‘ ની કઈ કિંમત માટે વિધેય f(x) = x2 + ax + 1 એ અંતરાલ [1, 2] પર વધે છે ?
ઉકેલ: f(x) = x2 + ax + 1
વિકલન f'(x) = 2x + a
વિધેય વધતું હોવા માટે f'(x) ≥ 0 થવું જોઈએ. એટલે કે 2x + a ≥ 0.
આ શરત આખા અંતરાલ [1, 2] માટે પળાવી જોઈએ.
2x + a એ x નું વધતું વિધેય હોવાથી, તેની ન્યૂનતમ કિંમત (x = 1 આગળ) પણ શૂન્ય કે તેથી મોટી હોવી જોઈએ.
2x + a એ x નું વધતું વિધેય હોવાથી, તેની ન્યૂનતમ કિંમત (x = 1 આગળ) પણ શૂન્ય કે તેથી મોટી હોવી જોઈએ.
f’(1) = 2(1) + a ≥ 0
2 + a ≥ 0
a ≥ -2
2 + a ≥ 0
a ≥ -2
✅ જવાબ: a ની કિંમત -2 કે તેથી મોટી (a ≥ -2) હોવી જોઈએ. (ન્યૂનતમ કિંમત -2 છે).
પ્રશ્ન 15: જો I કોઈ વિવૃત અંતરાલ હોય અને I ∩ [-1, 1] = ∅ હોય, તો સાબિત કરો કે f(x) = x + એ I પર વધતું વિધેય છે.
1
x
ઉકેલ: f(x) = x + x-1
વિકલન f'(x) = 1 – =
1
x2
x2 – 1
x2
અહીં આપેલ છે કે I ∩ [-1, 1] = ∅. તેનો અર્થ એ કે અંતરાલ I માં -1 થી 1 વચ્ચેની કોઈ સંખ્યા નથી. એટલે કે I માં x > 1 અથવા x < -1 હશે.
બંને કિસ્સાઓમાં x2 ની કિંમત 1 થી મોટી જ થશે (x2 > 1).
તેથી, x2 – 1 > 0 થશે.
અને છેદ x2 પણ હંમેશા ધન છે. આથી f'(x) > 0 થશે.
✅ f'(x) > 0 હોવાથી સાબિત થાય છે કે વિધેય I પર વધતું વિધેય છે.
પ્રશ્ન 16: સાબિત કરો કે વિધેય f(x) = log(sin x) એ (0, π/2) પર વધતું વિધેય છે તથા (π/2, π) પર ઘટતું વિધેય છે.
ઉકેલ: f(x) = log(sin x)
વિકલન (સાંકળના નિયમથી): f'(x) = · cos x = cot x
1
sin x
- અંતરાલ (0, π/2) માં: આ પ્રથમ ચરણ છે. તેમાં બધા જ ત્રિકોણમિતિય વિધેયો ધન હોય છે. તેથી cot x > 0.
f'(x) > 0 હોવાથી તે વધતું વિધેય છે. - અંતરાલ (π/2, π) માં: આ દ્વિતીય ચરણ છે. તેમાં માત્ર sin અને cosec ધન હોય છે, તેથી cot x < 0 થાય.
f'(x) < 0 હોવાથી તે ઘટતું વિધેય છે.
✅ સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 17: સાબિત કરો કે વિધેય f(x) = log|cos x| એ (0, π/2) પર ઘટતું વિધેય છે તથા (3π/2, 2π) પર વધતું વિધેય છે.
ઉકેલ: f(x) = log|cos x|
આપેલા બંને અંતરાલોમાં (પ્રથમ અને ચતુર્થ ચરણ) cos x ની કિંમત ધન જ હોય છે. તેથી આપણે |cos x| ને સીધું cos x લખી શકીએ.
વિકલન f'(x) = · (-sin x) = -tan x
1
cos x
- અંતરાલ (0, π/2) માં: પ્રથમ ચરણમાં tan x ધન હોય છે. તેથી -tan x ઋણ થશે. f'(x) < 0 હોવાથી તે ઘટતું વિધેય છે.
- અંતરાલ (3π/2, 2π) માં: આ ચતુર્થ ચરણ છે. તેમાં tan x ઋણ હોય છે. તેથી -tan x ધન (માઇનસ માઇનસ પ્લસ) થશે. f'(x) > 0 હોવાથી તે વધતું વિધેય છે.
✅ સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 18: સાબિત કરો કે f(x) = x3 – 3x2 + 3x – 100 એ R પર વધતું વિધેય છે.
ઉકેલ: f(x) = x3 – 3x2 + 3x – 100
વિકલન કરતાં: f'(x) = 3x2 – 6x + 3
આમાંથી 3 સામાન્ય કાઢતાં:
f'(x) = 3(x2 – 2x + 1)
f'(x) = 3(x – 1)2
f'(x) = 3(x – 1)2
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા ધન અથવા શૂન્ય હોય છે, એટલે કે પ્રત્યેક x ∈ R માટે (x – 1)2 ≥ 0.
આથી, f'(x) ≥ 0. (ફક્ત x = 1 આગળ જ 0 થાય છે, બાકી બધે ધન છે).
✅ f'(x) ≥ 0 હોવાથી સાબિત થાય છે કે વિધેય R પર વધતું વિધેય છે.
પ્રશ્ન 19: નીચે આપેલા અંતરાલો પૈકી કયા અંતરાલમાં y = x2 e-x વધતું વિધેય છે ?
(A) (-∞, ∞) (B) (-2, 0) (C) (2, ∞) (D) (0, 2)
(A) (-∞, ∞) (B) (-2, 0) (C) (2, ∞) (D) (0, 2)
ઉકેલ: y = x2 e-x
ગુણાકારના નિયમથી વિકલન કરતાં:
dy
dx
d
dx
d
dx
= x2(-e-x) + e-x(2x)
= e-x (-x2 + 2x) = x(2 – x)e-x
વિધેય વધતું હોવા માટે > 0 થવું જોઈએ.
dy
dx
અહીં ઘાતાંકીય વિધેય e-x હંમેશા ધન જ હોય છે. તેથી ચિહ્નનો આધાર x(2 – x) પર રહેલો છે.
x(2 – x) > 0
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે x ની કિંમત 0 અને 2 ની વચ્ચે હોય. એટલે કે 0 < x < 2.
✅ સાચો વિકલ્પ: (D) (0, 2)