સ્વાધ્યાય 6.3
પ્રશ્ન 9: MONDAY શબ્દના મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરી પુનરાવર્તન સિવાય અર્થસભર કે અર્થરહિત કેટલા શબ્દો નીચેના વિકલ્પો અનુસાર બનાવી શકાય ?
(i) કોઈ પણ 4 મૂળાક્ષરો એક સાથે લેતાં
(ii) બધા જ મૂળાક્ષરો એક સાથે લેતાં
(iii) પ્રથમ મૂળાક્ષર સ્વર હોય તે રીતે બધા જ મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરતા
(i) કોઈ પણ 4 મૂળાક્ષરો એક સાથે લેતાં
(ii) બધા જ મૂળાક્ષરો એક સાથે લેતાં
(iii) પ્રથમ મૂળાક્ષર સ્વર હોય તે રીતે બધા જ મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરતા
ઉકેલ:
અહીં, આપેલ શબ્દ MONDAY છે.
કુલ મૂળાક્ષરોની સંખ્યા (n) = 6 (M, O, N, D, A, Y)
તેમાંથી સ્વર (Vowels) = 2 (O, A)
વ્યંજન (Consonants) = 4 (M, N, D, Y)
શરત: મૂળાક્ષરોનું પુનરાવર્તન કરવાનું નથી.
અહીં, આપેલ શબ્દ MONDAY છે.
કુલ મૂળાક્ષરોની સંખ્યા (n) = 6 (M, O, N, D, A, Y)
તેમાંથી સ્વર (Vowels) = 2 (O, A)
વ્યંજન (Consonants) = 4 (M, N, D, Y)
શરત: મૂળાક્ષરોનું પુનરાવર્તન કરવાનું નથી.
(i) કોઈ પણ 4 મૂળાક્ષરો એક સાથે લેતાં:
અહીં કુલ 6 માંથી કોઈપણ 4 મૂળાક્ષરોની ગોઠવણી કરવાની છે. આ માટે ક્રમચય (Permutation – nPr) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
6P4 = 6 × 5 × 4 × 3
= 360
= 360
✅ જવાબ (i): 360 શબ્દો બનાવી શકાય.
(ii) બધા જ મૂળાક્ષરો એક સાથે લેતાં:
અહીં બધા જ 6 મૂળાક્ષરોની એકસાથે ગોઠવણી કરવાની છે. એટલે કે 6 સ્થાનો પર 6 અક્ષરો ગોઠવવાના છે.
6P6 = 6!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 720
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 720
✅ જવાબ (ii): 720 શબ્દો બનાવી શકાય.
(iii) પ્રથમ મૂળાક્ષર સ્વર હોય તે રીતે બધા જ મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરતા:
અહીં કુલ 6 સ્થાનો ભરવાના છે, પરંતુ શરત છે કે પહેલો અક્ષર સ્વર જ હોવો જોઈએ.
પહેલું સ્થાન: આપણી પાસે 2 સ્વર (O અને A) છે. તેથી પ્રથમ સ્થાન 2 રીતે ભરી શકાય.
બાકીના સ્થાનો: એક અક્ષર પ્રથમ સ્થાને વપરાઈ ગયા પછી, આપણી પાસે 5 સ્થાનો અને 5 અક્ષરો બાકી રહે છે. તેને 5! રીતે ગોઠવી શકાય.
પહેલું સ્થાન: આપણી પાસે 2 સ્વર (O અને A) છે. તેથી પ્રથમ સ્થાન 2 રીતે ભરી શકાય.
બાકીના સ્થાનો: એક અક્ષર પ્રથમ સ્થાને વપરાઈ ગયા પછી, આપણી પાસે 5 સ્થાનો અને 5 અક્ષરો બાકી રહે છે. તેને 5! રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ શક્ય શબ્દો = 2 × 5!
= 2 × (5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 2 × 120
= 240
= 2 × (5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 2 × 120
= 240
✅ જવાબ (iii): 240 શબ્દો બનાવી શકાય.
પ્રશ્ન 10: MISSISSIPPI શબ્દના કેટલા ભિન્ન ક્રમચયોમાં ચાર I સાથે ન આવે ?
ઉકેલ:
અહીં MISSISSIPPI શબ્દમાં કુલ 11 મૂળાક્ષરો છે.
જેમાં, I = 4 વખત, S = 4 વખત, P = 2 વખત અને M = 1 વખત આવે છે.
અહીં MISSISSIPPI શબ્દમાં કુલ 11 મૂળાક્ષરો છે.
જેમાં, I = 4 વખત, S = 4 વખત, P = 2 વખત અને M = 1 વખત આવે છે.
પગથિયું 1: કુલ શક્ય ગોઠવણીઓ (કોઈ પણ શરત વગર)
=
=
= 34,650
11!
4! × 4! × 2!
=
11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!
24 × 24 × 2
= 34,650
પગથિયું 2: ચારેય ‘I’ એકસાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ
જો ચારેય I ને એકસાથે રાખવાના હોય, તો તેમને એક જ બોક્સ (IIII) માની લઈએ.
હવે ગોઠવવાના એકમો = (IIII), M, S, S, S, S, P, P ⇒ કુલ 8 એકમો.
આ 8 એકમોમાં S = 4 વખત અને P = 2 વખત આવે છે. ચારેય I અંદર-અંદર બદલાય તો પણ તે સમાન જ રહે (કારણ કે બધા I છે).
જો ચારેય I ને એકસાથે રાખવાના હોય, તો તેમને એક જ બોક્સ (IIII) માની લઈએ.
હવે ગોઠવવાના એકમો = (IIII), M, S, S, S, S, P, P ⇒ કુલ 8 એકમો.
આ 8 એકમોમાં S = 4 વખત અને P = 2 વખત આવે છે. ચારેય I અંદર-અંદર બદલાય તો પણ તે સમાન જ રહે (કારણ કે બધા I છે).
ચારેય I સાથે હોય તેવા ક્રમચય =
=
= 840
8!
4! × 2!
=
8 × 7 × 6 × 5 × 4!
24 × 2
= 840
પગથિયું 3: ચારેય ‘I’ સાથે ન આવે તેવી ગોઠવણીઓ
આ શોધવા માટે, કુલ ગોઠવણીઓમાંથી ‘ચારેય I સાથે હોય’ તેવી ગોઠવણીઓ બાદ કરીશું.
આ શોધવા માટે, કુલ ગોઠવણીઓમાંથી ‘ચારેય I સાથે હોય’ તેવી ગોઠવણીઓ બાદ કરીશું.
= કુલ ગોઠવણી – ચારેય I સાથે હોય તેવી ગોઠવણી
= 34,650 – 840
= 33,810
= 34,650 – 840
= 33,810
✅ જવાબ: 33,810 ક્રમચયોમાં ચાર I સાથે ન આવે.
પ્રશ્ન 11: PERMUTATIONS શબ્દના મૂળાક્ષરોની ગોઠવણી કેટલા પ્રકારે નીચેના વિકલ્પોમાં કરી શકાય ?
(i) શબ્દો P થી શરૂ થાય અને S માં અંત પામે.
(ii) બધા સ્વરો સાથે હોય.
(iii) P અને S ની વચ્ચે હંમેશાં 4 મૂળાક્ષરો હોય.
(i) શબ્દો P થી શરૂ થાય અને S માં અંત પામે.
(ii) બધા સ્વરો સાથે હોય.
(iii) P અને S ની વચ્ચે હંમેશાં 4 મૂળાક્ષરો હોય.
ઉકેલ:
અહીં PERMUTATIONS શબ્દમાં કુલ 12 મૂળાક્ષરો છે.
જેમાં માત્ર T = 2 વખત આવે છે, બાકી બધા એક જ વાર આવે છે.
સ્વરો (Vowels) = E, U, A, I, O (કુલ 5 સ્વરો)
વ્યંજનો (Consonants) = P, R, M, T, T, N, S (કુલ 7 વ્યંજનો)
અહીં PERMUTATIONS શબ્દમાં કુલ 12 મૂળાક્ષરો છે.
જેમાં માત્ર T = 2 વખત આવે છે, બાકી બધા એક જ વાર આવે છે.
સ્વરો (Vowels) = E, U, A, I, O (કુલ 5 સ્વરો)
વ્યંજનો (Consonants) = P, R, M, T, T, N, S (કુલ 7 વ્યંજનો)
(i) શબ્દો P થી શરૂ થાય અને S માં અંત પામે:
અહીં પ્રથમ સ્થાને P અને 12મા (છેલ્લા) સ્થાને S ફિક્સ કરી દીધા છે.
હવે વચ્ચેનાં 10 સ્થાનો પર બાકીના 10 અક્ષરોની ગોઠવણી કરવાની છે, જેમાં T = 2 વખત છે.
હવે વચ્ચેનાં 10 સ્થાનો પર બાકીના 10 અક્ષરોની ગોઠવણી કરવાની છે, જેમાં T = 2 વખત છે.
ગોઠવણીના પ્રકાર =
=
= 18,14,400
10!
2!
=
3,62,88,000
2
✅ જવાબ (i): 18,14,400 પ્રકારે ગોઠવી શકાય.
(ii) બધા સ્વરો સાથે હોય:
બધા 5 સ્વરો (E, U, A, I, O) ને એક જ બોક્સ અથવા એકમ માની લઈએ.
હવે કુલ એકમો = 1 (સ્વરોનું બોક્સ) + 7 વ્યંજનો = 8 એકમો.
આ 8 એકમોની ગોઠવણીમાં T = 2 વખત આવે છે. તેથી તેમની ગોઠવણીના પ્રકાર = 8! / 2!
વળી, પેલા 5 સ્વરો પણ અંદર-અંદર 5! રીતે ગોઠવાઈ શકે છે.
હવે કુલ એકમો = 1 (સ્વરોનું બોક્સ) + 7 વ્યંજનો = 8 એકમો.
આ 8 એકમોની ગોઠવણીમાં T = 2 વખત આવે છે. તેથી તેમની ગોઠવણીના પ્રકાર = 8! / 2!
વળી, પેલા 5 સ્વરો પણ અંદર-અંદર 5! રીતે ગોઠવાઈ શકે છે.
કુલ ગોઠવણીઓ = ( ) × 5!
=( ) × 120
= 20,160 × 120 = 24,19,200
8!
2!
=
40,320
2
= 20,160 × 120 = 24,19,200
✅ જવાબ (ii): 24,19,200 પ્રકારે ગોઠવી શકાય.
(iii) P અને S ની વચ્ચે હંમેશાં 4 મૂળાક્ષરો હોય:
કુલ 12 સ્થાનો છે (1 થી 12). P અને S વચ્ચે 4 અક્ષરો રાખવા માટે, તેમનાં સ્થાનોની નીચે મુજબની 7 જોડ બની શકે:
(1 અને 6), (2 અને 7), (3 અને 8), (4 અને 9), (5 અને 10), (6 અને 11), (7 અને 12).
આ 7 શક્યતાઓમાં P પહેલાં અને S પછી અથવા S પહેલાં અને P પછી આવી શકે, તેથી P અને S ની ગોઠવણી 7 × 2 = 14 રીતે થઈ શકે.
P અને S ગોઠવાઈ ગયા પછી, બાકીનાં 10 સ્થાનો પર બાકીના 10 અક્ષરો (જેમાં T = 2 વખત છે) ગોઠવવાના છે. તેના પ્રકાર = 10! / 2!
(1 અને 6), (2 અને 7), (3 અને 8), (4 અને 9), (5 અને 10), (6 અને 11), (7 અને 12).
આ 7 શક્યતાઓમાં P પહેલાં અને S પછી અથવા S પહેલાં અને P પછી આવી શકે, તેથી P અને S ની ગોઠવણી 7 × 2 = 14 રીતે થઈ શકે.
P અને S ગોઠવાઈ ગયા પછી, બાકીનાં 10 સ્થાનો પર બાકીના 10 અક્ષરો (જેમાં T = 2 વખત છે) ગોઠવવાના છે. તેના પ્રકાર = 10! / 2!
કુલ ગોઠવણીઓ = 14 × ( )
= 14 × 18,14,400
= 2,54,01,600
10!
2!
= 14 × 18,14,400
= 2,54,01,600
✅ જવાબ (iii): 2,54,01,600 પ્રકારે ગોઠવી શકાય.
પ્રશ્ન 11 (iii): PERMUTATIONS શબ્દમાં P અને S ની વચ્ચે હંમેશાં 4 મૂળાક્ષરો હોય, તેવી કેટલી ગોઠવણી કરી શકાય?
એકદમ સરળ સમજૂતી:
PERMUTATIONS શબ્દમાં કુલ 12 અક્ષરો છે. એટલે કે ગોઠવણી માટે આપણી પાસે 12 ખુરશીઓ લાઈનમાં મૂકેલી છે એમ માની લો:
PERMUTATIONS શબ્દમાં કુલ 12 અક્ષરો છે. એટલે કે ગોઠવણી માટે આપણી પાસે 12 ખુરશીઓ લાઈનમાં મૂકેલી છે એમ માની લો:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
સ્ટેપ 1: P અને S માટે ખુરશીઓ નક્કી કરો.
શરત એવી છે કે P અને S ની વચ્ચે 4 ખુરશીઓ ખાલી રહેવી જોઈએ. ચાલો જોઈએ તેઓ ક્યાં ક્યાં બેસી શકે:
- જો P ને ખુરશી 1 પર બેસાડીએ, તો 4 ખુરશી (2,3,4,5) છોડીને S ને ખુરશી 6 પર બેસાડવો પડે. → જોડ 1: (1, 6)
- તેવી જ રીતે, જો P ને 2 પર બેસાડીએ, તો S 7 પર આવે. → જોડ 2: (2, 7)
- આમ આગળ વધતા જઈએ: (3, 8), (4, 9), (5, 10), (6, 11) અને છેલ્લે (7, 12).
તમે જોઈ શકો છો કે 12 નંબર પછી કોઈ ખુરશી નથી, તેથી P અને S ને બેસાડવાની આવી કુલ 7 જગ્યાઓ (જોડ) મળે છે.
સ્ટેપ 2: P અને S ની અદલાબદલી (Swapping)
હવે વિચારો, એવું તો ક્યાંય નથી લખ્યું કે P હંમેશા આગળ જ હોવો જોઈએ!
પહેલા S બેસે અને પછી P બેસે (દા.ત. S પહેલા નંબર પર અને P છઠ્ઠા નંબર પર), તો પણ વચ્ચે 4 અક્ષરો જ રહેવાના.
એટલે કે ઉપરની 7 જગ્યાઓમાં P અને S બે રીતે બેસી શકે (P…S અથવા S…P).
પહેલા S બેસે અને પછી P બેસે (દા.ત. S પહેલા નંબર પર અને P છઠ્ઠા નંબર પર), તો પણ વચ્ચે 4 અક્ષરો જ રહેવાના.
એટલે કે ઉપરની 7 જગ્યાઓમાં P અને S બે રીતે બેસી શકે (P…S અથવા S…P).
તેથી, P અને S ને ગોઠવવાના કુલ પ્રકાર = 7 જગ્યાઓ × 2 રસ્તા = 14
સ્ટેપ 3: બાકીની 10 ખુરશીઓ ભરો
હવે P અને S તો બેસી ગયા. 12 માંથી 2 ખુરશીઓ ભરાઈ ગઈ, એટલે 10 ખુરશીઓ ખાલી છે.
આપણી પાસે મૂળાક્ષરો પણ 10 બાકી છે (E, R, M, U, T, A, T, I, O, N).
ધ્યાનથી જુઓ, આ 10 અક્ષરોમાં ‘T’ બે વાર આવે છે. તેથી આ 10 અક્ષરોને ગોઠવવાનું સૂત્ર:
આપણી પાસે મૂળાક્ષરો પણ 10 બાકી છે (E, R, M, U, T, A, T, I, O, N).
ધ્યાનથી જુઓ, આ 10 અક્ષરોમાં ‘T’ બે વાર આવે છે. તેથી આ 10 અક્ષરોને ગોઠવવાનું સૂત્ર:
બાકીના અક્ષરોની ગોઠવણી =
10!
2!
સ્ટેપ 4: ફાઇનલ ગુણાકાર
હવે P અને S ની ગોઠવણી અને બાકીના અક્ષરોની ગોઠવણીનો ગુણાકાર કરીએ:
કુલ ગોઠવણીઓ = 14 × ( )
= 14 ×
= 14 × 18,14,400
= 2,54,01,600
10!
2!
= 14 ×
3,62,88,000
2
= 14 × 18,14,400
= 2,54,01,600
✅ જવાબ: 2,54,01,600 પ્રકારે ગોઠવી શકાય.
6.4
પ્રશ્ન 1: જો nC8 = nC2 હોય, તો nC2 શોધો.
ઉકેલ:
સંચયના નિયમ મુજબ, જો nCx = nCy હોય, તો કાં તો x = y થાય અથવા x + y = n થાય.
સંચયના નિયમ મુજબ, જો nCx = nCy હોય, તો કાં તો x = y થાય અથવા x + y = n થાય.
અહીં 8 ≠ 2 હોવાથી, n = 8 + 2
n = 10
n = 10
હવે આપણે nC2 શોધવાનું છે. તેમાં n ની કિંમત 10 મૂકતાં:
10C2 =
=
= 45
10 × 9
2 × 1
90
2
✅ જવાબ: 45
પ્રશ્ન 2: n ની કિંમત શોધો :
(i) 2nC3 : nC3 = 12 : 1
(ii) 2nC3 : nC3 = 11 : 1
(i) 2nC3 : nC3 = 12 : 1
(ii) 2nC3 : nC3 = 11 : 1
ઉકેલ (i):
2nC3
nC3
2n(2n-1)(2n-2) / 3!
n(n-1)(n-2) / 3!
3! રદ થશે અને 2n-2 માંથી 2 સામાન્ય (common) કાઢતાં:
2n(2n-1) × 2(n-1)
n(n-1)(n-2)
n અને (n-1) કેન્સલ થશે:
4(2n-1)
n-2
4(2n-1) = 12(n-2)
2n – 1 = 3(n – 2)
2n – 1 = 3n – 6
6 – 1 = 3n – 2n
5 = n
✅ (i) નો જવાબ: n = 5
ઉકેલ (ii): બરાબર ઉપરની ગણતરી મુજબ જ આગળ વધતાં:
4(2n-1)
n-2
4(2n – 1) = 11(n – 2)
8n – 4 = 11n – 22
22 – 4 = 11n – 8n
18 = 3n
n = 6
✅ (ii) નો જવાબ: n = 6
પ્રશ્ન 3: વર્તુળ પરનાં 21 બિંદુમાંથી કેટલી જીવા દોરી શકાય ?
ઉકેલ:
વર્તુળની જીવા (Chord) દોરવા માટે 2 બિંદુઓની જરૂર પડે છે.
અહીં આપણી પાસે કુલ 21 બિંદુઓ છે. એટલે કે આપણે 21 માંથી 2 બિંદુઓ પસંદ કરવાના છે.
વર્તુળની જીવા (Chord) દોરવા માટે 2 બિંદુઓની જરૂર પડે છે.
અહીં આપણી પાસે કુલ 21 બિંદુઓ છે. એટલે કે આપણે 21 માંથી 2 બિંદુઓ પસંદ કરવાના છે.
જીવાઓની સંખ્યા = 21C2
=
= 21 × 10 = 210
=
21 × 20
2 × 1
= 21 × 10 = 210
✅ જવાબ: 210 જીવા દોરી શકાય.
પ્રશ્ન 4: 5 કુમાર અને 4 કુમારીમાંથી 3 કુમારો અને 3 કુમારીઓની કેટલી ટુકડી બનાવી શકાય ?
ઉકેલ:
અહીં 5 કુમારોમાંથી 3 કુમારો પસંદ કરવાના છે અને 4 કુમારીઓમાંથી 3 કુમારીઓ પસંદ કરવાની છે. (વચ્ચે ‘અને’ હોવાથી ગુણાકાર થશે).
અહીં 5 કુમારોમાંથી 3 કુમારો પસંદ કરવાના છે અને 4 કુમારીઓમાંથી 3 કુમારીઓ પસંદ કરવાની છે. (વચ્ચે ‘અને’ હોવાથી ગુણાકાર થશે).
ટુકડીના પ્રકાર = 5C3 × 4C3
ગણતરી કરતાં (નોંધ: nCr = nCn-r વાપરતા 5C3 = 5C2 થાય):
=
×
= 10 × 4 = 40
5 × 4
2 × 1
4 × 3 × 2
3 × 2 × 1
= 10 × 4 = 40
✅ જવાબ: 40 ટુકડી બનાવી શકાય.
પ્રશ્ન 5: 6 લાલ દડા, 5 સફેદ દડા અને 5 વાદળી દડામાંથી દરેક રંગના 3 દડા એમ 9 દડાની પસંદગી કેટલા પ્રકારે કરી શકાય ?
ઉકેલ:
આપણે દરેક રંગના 3 દડા પસંદ કરવાના છે:
6 લાલમાંથી 3 પસંદગી × 5 સફેદમાંથી 3 પસંદગી × 5 વાદળીમાંથી 3 પસંદગી
આપણે દરેક રંગના 3 દડા પસંદ કરવાના છે:
6 લાલમાંથી 3 પસંદગી × 5 સફેદમાંથી 3 પસંદગી × 5 વાદળીમાંથી 3 પસંદગી
કુલ પસંદગી = 6C3 × 5C3 × 5C3
=
×
×
= 20 × 10 × 10
= 2000
=
6 × 5 × 4
3 × 2 × 1
5 × 4 × 3
3 × 2 × 1
5 × 4 × 3
3 × 2 × 1
= 20 × 10 × 10
= 2000
✅ જવાબ: 2000 પ્રકારે પસંદગી કરી શકાય.
પ્રશ્ન 6: 52 પત્તાંમાંથી 5 પત્તાંની પસંદગીમાં બરાબર એક જ એક્કો આવે તે કેટલા પ્રકારે બને ?
ઉકેલ:
52 પત્તાંની ડેકમાં કુલ 4 એક્કા હોય છે અને બાકીના 48 પત્તાં અન્ય હોય છે.
આપણે 5 પત્તાં પસંદ કરવાના છે જેમાં બરાબર 1 જ એક્કો હોવો જોઈએ. એટલે કે 1 એક્કો અને બાકીના 4 પત્તાં અન્ય પત્તાંમાંથી હોવા જોઈએ.
52 પત્તાંની ડેકમાં કુલ 4 એક્કા હોય છે અને બાકીના 48 પત્તાં અન્ય હોય છે.
આપણે 5 પત્તાં પસંદ કરવાના છે જેમાં બરાબર 1 જ એક્કો હોવો જોઈએ. એટલે કે 1 એક્કો અને બાકીના 4 પત્તાં અન્ય પત્તાંમાંથી હોવા જોઈએ.
પસંદગીના પ્રકાર = 4C1 (એક્કામાંથી) × 48C4 (અન્ય પત્તાંમાંથી)
= 4 ×
= 4 × 194580
= 778320
= 4 ×
48 × 47 × 46 × 45
4 × 3 × 2 × 1
= 4 × 194580
= 778320
✅ જવાબ: 7,78,320 પ્રકારે બને.
પ્રશ્ન 7: ક્રિકેટની રમતના 17 ખેલાડીઓ આવેલા છે. તે પૈકી 5 ખેલાડીઓ બોલિંગ કરી શકે છે. દરેક ટુકડીમાં 4 બોલર હોય એવી 11 ખેલાડીઓની ક્રિકેટની કેટલી ટુકડી બનાવી શકાય ?
ઉકેલ:
કુલ ખેલાડીઓ = 17
બોલર = 5
બાકીના ખેલાડીઓ (બેટ્સમેન/કીપર) = 17 – 5 = 12
આપણે 11 ની ટીમ બનાવવાની છે જેમાં બરાબર 4 બોલર હોવા જોઈએ. તેથી બાકીના 7 ખેલાડીઓ અન્યમાંથી પસંદ કરવા પડશે.
કુલ ખેલાડીઓ = 17
બોલર = 5
બાકીના ખેલાડીઓ (બેટ્સમેન/કીપર) = 17 – 5 = 12
આપણે 11 ની ટીમ બનાવવાની છે જેમાં બરાબર 4 બોલર હોવા જોઈએ. તેથી બાકીના 7 ખેલાડીઓ અન્યમાંથી પસંદ કરવા પડશે.
ટીમના પ્રકાર = 5C4 (બોલરમાંથી) × 12C7 (અન્યમાંથી)
નોંધ: 5C4 = 5C1 અને 12C7 = 12C5 થશે.
= 5 ×
= 5 × 792
= 3960
12 × 11 × 10 × 9 × 8
5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 5 × 792
= 3960
✅ જવાબ: 3960 ટુકડી બનાવી શકાય.
પ્રશ્ન 8: એક થેલીમાં 5 કાળા અને 6 લાલ દડા છે. 2 કાળા તથા 3 લાલ દડાની પસંદગી કેટલા પ્રકારે થઈ શકે ?
ઉકેલ:
5 કાળા દડામાંથી 2 કાળા દડા પસંદ કરવાના છે = 5C2
6 લાલ દડામાંથી 3 લાલ દડા પસંદ કરવાના છે = 6C3
5 કાળા દડામાંથી 2 કાળા દડા પસંદ કરવાના છે = 5C2
6 લાલ દડામાંથી 3 લાલ દડા પસંદ કરવાના છે = 6C3
કુલ પસંદગી = 5C2 × 6C3
=
×
= 10 × 20 = 200
=
5 × 4
2 × 1
6 × 5 × 4
3 × 2 × 1
= 10 × 20 = 200
✅ જવાબ: 200 પ્રકારે પસંદગી થઈ શકે.
પ્રશ્ન 9: જો વિદ્યાર્થીએ 2 ચોક્કસ વિષયો પસંદ કરવાના ફરજિયાત હોય, તો વિદ્યાર્થી ઉપલબ્ધ 9 વિષયોમાંથી 5 વિષયો કેટલા પ્રકારે પસંદ કરી શકે.
ઉકેલ:
કુલ વિષયો 9 છે અને પસંદ કરવાના વિષયો 5 છે.
શરત મુજબ 2 વિષયો લેવા ફરજિયાત જ છે (એટલે કે તેની પસંદગીનો પ્રકાર માત્ર 1 જ છે).
હવે વિદ્યાર્થીએ બાકી રહેલા 7 વિષયોમાંથી (9 – 2) માત્ર 3 જ વિષયો (5 – 2) પસંદ કરવાના રહે છે.
કુલ વિષયો 9 છે અને પસંદ કરવાના વિષયો 5 છે.
શરત મુજબ 2 વિષયો લેવા ફરજિયાત જ છે (એટલે કે તેની પસંદગીનો પ્રકાર માત્ર 1 જ છે).
હવે વિદ્યાર્થીએ બાકી રહેલા 7 વિષયોમાંથી (9 – 2) માત્ર 3 જ વિષયો (5 – 2) પસંદ કરવાના રહે છે.
પસંદગીના પ્રકાર = 7C3
=
= 35
=
7 × 6 × 5
3 × 2 × 1
= 35
✅ જવાબ: 35 પ્રકારે પસંદ કરી શકે.