Chapter 12: સંભાવના (Probability)

Leave a Comment / By /
સંભાવના : શરતી સંભાવના (દાખલા 1 થી 10)
મુખ્ય સૂત્ર: શરતી સંભાવના P(E|F) =
P(E ∩ F)
P(F)
   (જ્યાં P(F) ≠ 0)
પ્રશ્ન 1: ઘટનાઓ E અને F માટે P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 અને P(E ∩ F) = 0.2 આપેલ છે. P(E|F) અને P(F|E) શોધો.
ઉકેલ:
P(E|F) =
P(E ∩ F)
P(F)
=
0.2
0.3
=
2
3
P(F|E) =
P(E ∩ F)
P(E)
=
0.2
0.6
=
2
6
=
1
3
✅ જવાબ: P(E|F) = 2/3 અને P(F|E) = 1/3
પ્રશ્ન 2: જો P(B) = 0.5 અને P(A ∩ B) = 0.32 હોય, તો P(A|B) શોધો.
ઉકેલ:
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
=
0.32
0.5
=
32
50
=
16
25
✅ જવાબ: P(A|B) = 16/25 (અથવા 0.64)
પ્રશ્ન 3: જો P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 અને P(B|A) = 0.4 હોય, તો (i) P(A ∩ B), (ii) P(A|B) અને (iii) P(A ∪ B) શોધો.
ઉકેલ:
(i) P(A ∩ B): P(B|A) ના સૂત્ર પરથી: P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)
P(A ∩ B) = P(B|A) × P(A) = 0.4 × 0.8 = 0.32
(ii) P(A|B):
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
=
0.32
0.5
= 0.64
(iii) P(A ∪ B): સરવાળાના નિયમ મુજબ:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0.8 + 0.5 – 0.32 = 1.3 – 0.32 = 0.98
✅ જવાબ: (i) 0.32, (ii) 0.64, (iii) 0.98
પ્રશ્ન 4: જો 2P(A) = P(B) =
5
13
અને P(A|B) =
2
5
હોય, તો P(A ∪ B) ની કિંમત શોધો.
ઉકેલ: આપેલું છે કે 2P(A) = 5/13 ⇒ P(A) = 5/26 અને P(B) = 5/13.
P(A|B) પરથી P(A ∩ B) શોધીએ:
P(A ∩ B) = P(A|B) × P(B) = (
2
5
) × (
5
13
) =
2
13
હવે P(A ∪ B) શોધીએ:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) =
5
26
+
5
13
–
2
13
=
5 + 10 – 4
26
=
11
26
✅ જવાબ: P(A ∪ B) = 11/26
પ્રશ્ન 5: જો P(A) =
6
11
, P(B) =
5
11
અને P(A ∪ B) =
7
11
હોય, તો (i) P(A ∩ B), (ii) P(A|B), (iii) P(B|A) શોધો.
ઉકેલ:
(i) P(A ∩ B):
P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) =
6
11
+
5
11
–
7
11
=
11 – 7
11
=
4
11
(ii) P(A|B):
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
=
4/11
5/11
=
4
5
(iii) P(B|A):
P(B|A) =
P(A ∩ B)
P(A)
=
4/11
6/11
=
4
6
=
2
3
✅ જવાબ: (i) 4/11, (ii) 4/5, (iii) 2/3
પ્રશ્નો 6 થી 9 માં P(E|F) શોધો :
પ્રશ્ન 6: એક સિક્કાને ત્રણ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
(i) E : ત્રીજી વખત ઉછાળતાં છાપ મળે.     F : પ્રથમ બે વખત ઉછાળતાં છાપ મળે.
(ii) E : ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળે.     F : વધુમાં વધુ બે છાપ મળે.
(iii) E : વધુમાં વધુ બે કાંટા મળે.          F : ઓછામાં ઓછો એક કાંટો મળે.
ઉકેલ: નિદર્શાવકાશ S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}. કુલ પરિણામો n(S) = 8. (છાપ = H, કાંટો = T)
(i) E = {HHH, HTH, THH, TTH}, F = {HHH, HHT}
E ∩ F = {HHH}. અહીં n(E ∩ F) = 1 અને n(F) = 2.
P(E|F) =
n(E ∩ F)
n(F)
=
1
2
(ii) E = ઓછામાં ઓછી 2 છાપ = {HHT, HTH, THH, HHH}
F = વધુમાં વધુ 2 છાપ = HHH સિવાયના બાકીના 7 પરિણામો. n(F) = 7.
E ∩ F = {HHT, HTH, THH}. n(E ∩ F) = 3.
P(E|F) =
n(E ∩ F)
n(F)
=
3
7
(iii) E = વધુમાં વધુ 2 કાંટા = TTT સિવાયના 7 પરિણામો.
F = ઓછામાં ઓછો 1 કાંટો = HHH સિવાયના 7 પરિણામો. n(F) = 7.
E ∩ F = HHH અને TTT સિવાયના બાકીના 6 પરિણામો. n(E ∩ F) = 6.
P(E|F) =
n(E ∩ F)
n(F)
=
6
7
✅ જવાબ: (i) 1/2, (ii) 3/7, (iii) 6/7
પ્રશ્ન 7: બે સિક્કાઓ એક વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
(i) E : એક સિક્કા પર કાંટો મળે.     F : એક સિક્કા પર છાપ મળે.
(ii) E : એક પણ કાંટો ન મળે.         F : એક પણ છાપ ન મળે.
ઉકેલ: નિદર્શાવકાશ S = {HH, HT, TH, TT}. કુલ પરિણામો n(S) = 4.
(i) E = {HT, TH}, F = {HT, TH}
E ∩ F = {HT, TH}. અહીં n(E ∩ F) = 2 અને n(F) = 2.
P(E|F) =
2
2
= 1
(ii) E = {HH}, F = {TT}
E ∩ F = ખાલી ગણ (∅). અહીં n(E ∩ F) = 0 અને n(F) = 1.
P(E|F) =
0
1
= 0
✅ જવાબ: (i) 1, (ii) 0
પ્રશ્ન 8: પાસાને ત્રણ વખત ફેંકવામાં આવે છે.
E : ત્રીજી વખત ફેંકતા 4 મળે.
F : પ્રથમ બે વખત ફેંકતા અનુક્રમે 6 અને 5 મળે છે.
ઉકેલ: પાસાને 3 વખત ફેંકતા કુલ પરિણામો = 6 × 6 × 6 = 216.
ઘટના F = પ્રથમ બે 6 અને 5 હોય = {(6,5,1), (6,5,2), (6,5,3), (6,5,4), (6,5,5), (6,5,6)}. તેથી n(F) = 6.
ઘટના E ∩ F = પ્રથમ બે 6 અને 5 હોય અને ત્રીજો 4 હોય = {(6, 5, 4)}. તેથી n(E ∩ F) = 1.
P(E|F) =
n(E ∩ F)
n(F)
=
1
6
✅ જવાબ: 1/6
પ્રશ્ન 9: કુટુંબના ફોટા માટે માતા-પિતા અને પુત્ર યાદચ્છિક રીતે એકસાથે હારમાં ઊભા રહે છે.
E : પુત્ર એક છેડા પર છે.     F : પિતા મધ્યમાં છે.
ઉકેલ: ધારો કે માતા = M, પિતા = F, પુત્ર = S. કુલ ગોઠવણી S = {MFS, MSF, FMS, FSM, SMF, SFM}. n(S) = 6.
E (પુત્ર છેડા પર) = {SMF, SFM, MFS, FMS}.
F (પિતા મધ્યમાં) = {MFS, SFM}. n(F) = 2.
E ∩ F = {MFS, SFM}. n(E ∩ F) = 2.
P(E|F) =
n(E ∩ F)
n(F)
=
2
2
= 1
✅ જવાબ: 1
પ્રશ્ન 10: એક કાળા રંગના અને એક લાલ રંગના પાસાને ફેંકવામાં આવે છે.
(a) જો કાળા રંગના પાસા પર સંખ્યા 5 મળે છે તેમ આપેલ હોય, તો બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો 9 કરતાં વધુ હોય તેની શરતી સંભાવના શોધો.
(b) જો લાલ રંગના પાસા પર 4 કરતાં નાની સંખ્યા મળે છે તેમ આપેલ હોય, તો બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો 8 મળે તેની શરતી સંભાવના શોધો.
ઉકેલ: 2 પાસા ફેંકતા કુલ પરિણામો 36 મળે. ધારો કે (કાળો, લાલ) યામ છે.
(a) F = કાળા પાસા પર 5 મળે = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}. n(F) = 6.
E = સરવાળો 9 થી વધુ હોય.
E ∩ F = કાળા પાસા પર 5 અને સરવાળો > 9 = {(5,5), (5,6)}. n(E ∩ F) = 2.
P(E|F) =
2
6
=
1
3
(b) F = લાલ પાસા પર 4 થી નાની સંખ્યા (1, 2 કે 3) મળે. n(F) = 6 × 3 = 18 પરિણામો.
E = સરવાળો 8 થાય = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}.
E ∩ F = સરવાળો 8 અને લાલ પાસા પર < 4 = {(5,3), (6,2)}. n(E ∩ F) = 2.
P(E|F) =
2
18
=
1
9
✅ જવાબ: (a) 1/3, (b) 1/9
સંભાવના : દાખલા 11 થી 17
પ્રશ્ન 11: એક સમતોલ પાસાને ફેંકવામાં આવે છે. ઘટનાઓ E = {1, 3, 5}, F = {2, 3} અને G = {2, 3, 4, 5} નો વિચાર કરો.
(i) P(E|F) અને P(F|E) શોધો.
(ii) P(E|G) અને P(G|E) શોધો.
(iii) P((E ∪ F)|G) અને P((E ∩ F)|G) શોધો.
ઉકેલ: પાસો ફેંકતા નિદર્શાવકાશ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, કુલ પરિણામો n(S) = 6.
(i) P(E|F) અને P(F|E):
E ∩ F = {3}. P(E ∩ F) = 1/6. P(F) = 2/6, P(E) = 3/6.
P(E|F) =
P(E ∩ F)
P(F)
=
1/6
2/6
=
1
2
P(F|E) =
P(E ∩ F)
P(E)
=
1/6
3/6
=
1
3
(ii) P(E|G) અને P(G|E):
E ∩ G = {3, 5}. P(E ∩ G) = 2/6. P(G) = 4/6.
P(E|G) =
P(E ∩ G)
P(G)
=
2/6
4/6
=
2
4
=
1
2
P(G|E) =
P(E ∩ G)
P(E)
=
2/6
3/6
=
2
3
(iii) P((E ∪ F)|G) અને P((E ∩ F)|G):
E ∪ F = {1, 2, 3, 5}. હવે, (E ∪ F) ∩ G = {2, 3, 5}. તેથી, P((E ∪ F) ∩ G) = 3/6.
P((E ∪ F)|G) =
P((E ∪ F) ∩ G)
P(G)
=
3/6
4/6
=
3
4
E ∩ F = {3}. હવે, (E ∩ F) ∩ G = {3} ∩ {2, 3, 4, 5} = {3}. તેથી, P((E ∩ F) ∩ G) = 1/6.
P((E ∩ F)|G) =
P((E ∩ F) ∩ G)
P(G)
=
1/6
4/6
=
1
4
પ્રશ્ન 12: ધારો કે પ્રત્યેક જન્મેલું બાળક છોકરો અથવા છોકરી હોય તે સમસંભાવી છે. એક કુટુંબમાં બે બાળકો છે.
(i) સૌથી નાનું બાળક છોકરી છે, (ii) ઓછામાં ઓછી એક છોકરી છે, તેમ આપેલ હોય, તો બંને છોકરીઓ હોય તેની શરતી સંભાવના કેટલી થાય?
ઉકેલ: ધારો કે B = છોકરો, G = છોકરી. નિદર્શાવકાશ S = {BB, BG, GB, GG} (જ્યાં પહેલો અક્ષર મોટું બાળક અને બીજો અક્ષર નાનું બાળક દર્શાવે છે). n(S) = 4.
ઘટના E = બંને છોકરીઓ હોય = {GG}.
(i) F1 = સૌથી નાનું બાળક છોકરી છે = {BG, GG}. n(F1) = 2.
E ∩ F1 = {GG}. n(E ∩ F1) = 1.
P(E|F1) =
n(E ∩ F1)
n(F1)
=
1
2
(ii) F2 = ઓછામાં ઓછી એક છોકરી છે = {BG, GB, GG}. n(F2) = 3.
E ∩ F2 = {GG}. n(E ∩ F2) = 1.
P(E|F2) =
n(E ∩ F2)
n(F2)
=
1
3
✅ જવાબ: (i) 1/2, (ii) 1/3
પ્રશ્ન 13: એક માર્ગદર્શક પાસે પ્રશ્નબેંક છે. તેમાં સત્ય/અસત્ય પ્રકારના 300 સરળ તથા 200 કઠિન પ્રશ્નો છે. તદુપરાંત, બહુવિકલ્પી પ્રકારના 500 સરળ તથા 400 કઠિન પ્રશ્નો છે. જો પસંદ કરેલ પ્રશ્ન બહુવિકલ્પી પ્રકારનો છે તેમ આપેલ હોય, તો તે સરળ પ્રશ્ન હોય તેની સંભાવના શોધો.
ઉકેલ: માહિતીને નીચે મુજબ વર્ગીકૃત કરીએ:
  • બહુવિકલ્પી (MCQ) પ્રશ્નો: 500 (સરળ) + 400 (કઠિન) = કુલ 900 પ્રશ્નો
અહીં શરત F = પસંદ કરેલ પ્રશ્ન બહુવિકલ્પી (MCQ) છે. તેથી, n(F) = 900.
ઘટના E = પ્રશ્ન સરળ હોય.
E ∩ F = પ્રશ્ન સરળ અને બહુવિકલ્પી હોય. રકમ મુજબ આવા પ્રશ્નોની સંખ્યા n(E ∩ F) = 500 છે.
P(E|F) =
n(E ∩ F)
n(F)
=
500
900
=
5
9
✅ જવાબ: 5/9
પ્રશ્ન 14: બે પાસા ફેંકવાથી મળતી સંખ્યાઓ ભિન્ન છે તેમ આપેલ હોય, તો ‘બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો 4 હોય’ તે ઘટનાની સંભાવના શોધો.
ઉકેલ: બે પાસા ફેંકતા કુલ પરિણામો = 36.
ઘટના F = બંને પાસા પરની સંખ્યાઓ ભિન્ન છે.
(સમાન સંખ્યાઓવાળા 6 પરિણામો: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) બાદ કરતાં)
n(F) = 36 – 6 = 30.
ઘટના E = સરવાળો 4 હોય = {(1,3), (2,2), (3,1)}.
E ∩ F = સરવાળો 4 હોય અને સંખ્યાઓ ભિન્ન હોય = {(1,3), (3,1)}.
n(E ∩ F) = 2.
P(E|F) =
n(E ∩ F)
n(F)
=
2
30
=
1
15
✅ જવાબ: 1/15
પ્રશ્ન 15: પાસાને ફેંકવાના પ્રયોગનો વિચાર કરો. પાસા પર મળતો પૂર્ણાંક 3 નો ગુણિત હોય, તો તે પાસાને ફરીથી ફેંકો અને જો પાસા પર અન્ય કોઈ પૂર્ણાંક મળે તો એક સિક્કાને ઉછાળો. પાસા પર ઓછામાં ઓછી એક વખત પૂર્ણાંક 3 મળે તેમ આપેલ હોય, તો સિક્કા પર કાંટો મળે તે ઘટનાની શરતી સંભાવના શોધો.
ઉકેલ: આ પ્રયોગને ધ્યાનથી સમજીએ:
  • જો પાસા પર 3 અથવા 6 આવે (સંભાવના 2/6), તો બીજો પાસો ફેંકાય છે.
  • જો પાસા પર 1, 2, 4, 5 આવે (સંભાવના 4/6), તો સિક્કો ઉછાળાય છે.
શરત F = પાસા પર ઓછામાં ઓછી એક વખત પૂર્ણાંક 3 મળે.
F ના પરિણામો: (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) અને (6,3). કુલ 7 પરિણામો.
આ દરેક પરિણામની સંભાવના =
1
6
×
1
6
=
1
36
છે.
તેથી P(F) = 7 ×
1
36
=
7
36
.
ઘટના E = સિક્કા પર કાંટો (T) મળે.
હવે E ∩ F એટલે કે સિક્કા પર કાંટો મળે અને પાસા પર 3 આવે.
વિચારો: સિક્કો ત્યારે જ ઉછાળાય છે જ્યારે પાસા પર 1, 2, 4, 5 આવે. એટલે કે સિક્કો ઉછાળાય ત્યારે પાસા પર 3 ક્યારેય હોતો જ નથી.
તેથી, E ∩ F શક્ય જ નથી (અશક્ય ઘટના).
P(E ∩ F) = 0.
P(E|F) =
P(E ∩ F)
P(F)
=
0
7/36
= 0
✅ જવાબ: 0
સૂચના: પ્રશ્નો 16 તથા 17 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો.
પ્રશ્ન 16: જો P(A) =
1
2
, P(B) = 0 હોય, તો P(A|B) = ………

(A) 0          (B)
1
2
         (C) અવ્યાખ્યાયિત          (D) 1
ઉકેલ: શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
છે.
અહીં છેદમાં P(B) = 0 આપેલું છે. ગણિતમાં કોઈપણ સંખ્યાને શૂન્ય (0) વડે ભાગાકાર શક્ય નથી (અવ્યાખ્યાયિત છે).
✅ સાચો વિકલ્પ: (C) અવ્યાખ્યાયિત
પ્રશ્ન 17: જો ઘટનાઓ A અને B માટે P(A|B) = P(B|A) હોય, તો ………

(A) A ⊂ B પરંતુ A ≠ B      (B) A = B      (C) A ∩ B = ∅      (D) P(A) = P(B)
ઉકેલ: આપેલું છે કે P(A|B) = P(B|A). બંનેનાં સૂત્રો મૂકતાં:
P(A ∩ B)
P(B)
=
P(A ∩ B)
P(A)
જો P(A ∩ B) ≠ 0 હોય, તો બંને બાજુથી અંશ ઉડી જશે, એટલે કે:
1
P(B)
=
1
P(A)
 ⇒  P(A) = P(B)
✅ સાચો વિકલ્પ: (D) P(A) = P(B)

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *