12.1
લક્ષ (Limits): દાખલા 1 થી 12
પ્રશ્ન 1: limx→3 (x + 3) શોધો.
ઉકેલ:
અહીં x ની કિંમત સીધી 3 મૂકી શકાય છે (કારણ કે છેદ શૂન્ય થતો નથી).
અહીં x ની કિંમત સીધી 3 મૂકી શકાય છે (કારણ કે છેદ શૂન્ય થતો નથી).
= 3 + 3 = 6
✅ જવાબ: 6
પ્રશ્ન 2: limx→π ( x – ) શોધો.
22
7
ઉકેલ:
અહીં પણ x ની જગ્યાએ સીધી π ની કિંમત મૂકતાં:
અહીં પણ x ની જગ્યાએ સીધી π ની કિંમત મૂકતાં:
= π –
22
7
(નોંધ: π ની ચોક્કસ કિંમત 22/7 નથી હોતી, તેથી આમને આમ જ રાખવું).
✅ જવાબ: π – 22/7
પ્રશ્ન 3: limr→1 πr2 શોધો.
ઉકેલ:
અહીં r ની જગ્યાએ 1 મૂકતાં:
અહીં r ની જગ્યાએ 1 મૂકતાં:
= π(1)2
= π × 1 = π
= π × 1 = π
✅ જવાબ: π
પ્રશ્ન 4: limx→4 શોધો.
4x + 3
x – 2
ઉકેલ:
અહીં x = 4 મૂકતાં છેદ (4 – 2 = 2) શૂન્ય થતો નથી, તેથી સીધી કિંમત મૂકી શકાય.
અહીં x = 4 મૂકતાં છેદ (4 – 2 = 2) શૂન્ય થતો નથી, તેથી સીધી કિંમત મૂકી શકાય.
=
= =
4(4) + 3
4 – 2
=
16 + 3
2
19
2
✅ જવાબ: 19/2
પ્રશ્ન 5: limx→-1 શોધો.
x10 + x5 + 1
x – 1
ઉકેલ:
x = -1 સીધું મૂકતાં:
x = -1 સીધું મૂકતાં:
=
(-1)10 + (-1)5 + 1
-1 – 1
આપણે જાણીએ છીએ કે ઋણ સંખ્યાની બેકી (Even) ઘાત ધન બને અને એકી (Odd) ઘાત ઋણ રહે છે:
=
= = –
1 + (-1) + 1
-2
=
1
-2
1
2
✅ જવાબ: -1/2
પ્રશ્ન 6: limx→0 શોધો.
(x + 1)5 – 1
x
ઉકેલ:
જો આપણે x = 0 મૂકીએ તો 0/0 સ્વરૂપ મળે છે. આને સરળ બનાવવા માટે ધારો કે y = x + 1.
જ્યારે x → 0 હોય, ત્યારે y → 1 થશે.
અને x = y – 1 થશે. આ કિંમતો રકમમાં મૂકતાં:
જો આપણે x = 0 મૂકીએ તો 0/0 સ્વરૂપ મળે છે. આને સરળ બનાવવા માટે ધારો કે y = x + 1.
જ્યારે x → 0 હોય, ત્યારે y → 1 થશે.
અને x = y – 1 થશે. આ કિંમતો રકમમાં મૂકતાં:
limy→1
y5 – 1
y – 1
હવે આપણે પ્રમાણિત સૂત્ર limx→a (xn – an) / (x – a) = n · an-1 નો ઉપયોગ કરીશું:
= 5 × (1)5-1
= 5 × 14 = 5
= 5 × 14 = 5
✅ જવાબ: 5
પ્રશ્ન 7: limx→2 શોધો.
3x2 – x – 10
x2 – 4
ઉકેલ:
x = 2 મૂકતાં છેદ (4-4=0) શૂન્ય થાય છે (0/0 સ્વરૂપ). તેથી અંશ અને છેદના અવયવ (Factors) પાડીશું.
x = 2 મૂકતાં છેદ (4-4=0) શૂન્ય થાય છે (0/0 સ્વરૂપ). તેથી અંશ અને છેદના અવયવ (Factors) પાડીશું.
અંશ: 3x2 – x – 10
(ગુણાકાર 3 × -10 = -30, સરવાળો -1 થાય તેવા ભાગ પાડો: -6 અને 5)
= 3x2 – 6x + 5x – 10
= 3x(x – 2) + 5(x – 2)
= (x – 2)(3x + 5)
(ગુણાકાર 3 × -10 = -30, સરવાળો -1 થાય તેવા ભાગ પાડો: -6 અને 5)
= 3x2 – 6x + 5x – 10
= 3x(x – 2) + 5(x – 2)
= (x – 2)(3x + 5)
છેદ: x2 – 4 = (x – 2)(x + 2)
હવે લક્ષમાં મૂકતાં:
limx→2
(x – 2)(3x + 5)
(x – 2)(x + 2)
(x – 2) કેન્સલ કરતાં અને x = 2 મૂકતાં:
= = =
3(2) + 5
2 + 2
6 + 5
4
11
4
✅ જવાબ: 11/4
પ્રશ્ન 8: limx→3 શોધો.
x4 – 81
2x2 – 5x – 3
ઉકેલ:
અહીં પણ 0/0 સ્વરૂપ હોવાથી અવયવ પાડીશું.
અહીં પણ 0/0 સ્વરૂપ હોવાથી અવયવ પાડીશું.
અંશ: x4 – 81 = (x2)2 – 92
= (x2 – 9)(x2 + 9)
= (x – 3)(x + 3)(x2 + 9)
= (x2 – 9)(x2 + 9)
= (x – 3)(x + 3)(x2 + 9)
છેદ: 2x2 – 5x – 3 (ભાગ પાડો: -6 અને 1)
= 2x2 – 6x + x – 3
= 2x(x – 3) + 1(x – 3)
= (x – 3)(2x + 1)
= 2x2 – 6x + x – 3
= 2x(x – 3) + 1(x – 3)
= (x – 3)(2x + 1)
લક્ષમાં મૂકતાં:
limx→3
(x – 3)(x + 3)(x2 + 9)
(x – 3)(2x + 1)
(x – 3) કેન્સલ કરી x = 3 મૂકતાં:
=
= = =
(3 + 3)(32 + 9)
2(3) + 1
=
6(9 + 9)
6 + 1
6 × 18
7
108
7
✅ જવાબ: 108/7
પ્રશ્ન 9: limx→0 શોધો.
ax + b
cx + 1
ઉકેલ:
અહીં x = 0 મૂકતાં છેદ શૂન્ય થતો નથી, તેથી સીધી કિંમત મૂકી શકાય છે.
અહીં x = 0 મૂકતાં છેદ શૂન્ય થતો નથી, તેથી સીધી કિંમત મૂકી શકાય છે.
=
= = = b
a(0) + b
c(0) + 1
=
0 + b
0 + 1
b
1
✅ જવાબ: b
પ્રશ્ન 10: limz→1 શોધો.
z1/3 – 1
z1/6 – 1
ઉકેલ:
સરળતા માટે ધારો કે z1/6 = t છે. તેથી z1/3 = (z1/6)2 = t2 થાય.
જ્યારે z → 1 હોય, ત્યારે t → 1 થશે. હવે કિંમતો મૂકતાં:
સરળતા માટે ધારો કે z1/6 = t છે. તેથી z1/3 = (z1/6)2 = t2 થાય.
જ્યારે z → 1 હોય, ત્યારે t → 1 થશે. હવે કિંમતો મૂકતાં:
limt→1
t2 – 1
t – 1
t2 – 1 ના અવયવ (t – 1)(t + 1) પાડતાં:
limt→1
(t – 1)(t + 1)
t – 1
(t – 1) કેન્સલ કરી t = 1 મૂકતાં:
= 1 + 1 = 2
✅ જવાબ: 2
પ્રશ્ન 11: limx→1 શોધો. (જ્યાં a + b + c ≠ 0)
ax2 + bx + c
cx2 + bx + a
ઉકેલ:
અહીં x = 1 મૂકતાં છેદ (c + b + a) થાય છે, જે શૂન્ય નથી (કારણ કે શરત આપેલી છે). તેથી સીધી કિંમત મૂકી શકાય:
અહીં x = 1 મૂકતાં છેદ (c + b + a) થાય છે, જે શૂન્ય નથી (કારણ કે શરત આપેલી છે). તેથી સીધી કિંમત મૂકી શકાય:
=
=
a(1)2 + b(1) + c
c(1)2 + b(1) + a
=
a + b + c
c + b + a
અંશ અને છેદ સમાન હોવાથી તે ઉડી જશે.
= 1
✅ જવાબ: 1
પ્રશ્ન 12: limx→-2 + શોધો.
1
x
1
2
x + 2
ઉકેલ:
જો x = -2 મૂકીએ તો 0/0 સ્વરૂપ બને છે. તેથી અંશનું સાદુંરૂપ (લ.સા.અ. લઈને) આપીશું:
જો x = -2 મૂકીએ તો 0/0 સ્વરૂપ બને છે. તેથી અંશનું સાદુંરૂપ (લ.સા.અ. લઈને) આપીશું:
અંશ: + =
1
x
1
2
2 + x
2x
આ કિંમત મૂળ લક્ષમાં મૂકતાં:
limx→-2
= limx→-2
2 + x
2x
x + 2
= limx→-2
x + 2
2x (x + 2)
અંશ અને છેદમાંથી (x + 2) કેન્સલ કરતાં:
= limx→-2
1
2x
હવે x = -2 મૂકતાં:
= = –
1
2(-2)
1
4
✅ જવાબ: -1/4
લક્ષ (Limits): દાખલા 13 થી 28
પ્રશ્ન 13: limx→0
sin ax
bx
ઉકેલ:
અહીં આપણે પ્રમાણિત સૂત્ર limθ→0 (sin θ / θ) = 1 નો ઉપયોગ કરીશું.
સૂત્ર બનાવવા માટે અંશ અને છેદને a વડે ગુણતાં:
અહીં આપણે પ્રમાણિત સૂત્ર limθ→0 (sin θ / θ) = 1 નો ઉપયોગ કરીશું.
સૂત્ર બનાવવા માટે અંશ અને છેદને a વડે ગુણતાં:
= limx→0 ×
= limx→0
= × limx→0
sin ax
bx
a
a
= limx→0
a × sin ax
b × ax
=
a
b
sin ax
ax
જ્યારે x → 0 હોય, ત્યારે ax → 0 જ થાય. તેથી લક્ષની કિંમત 1 થશે:
= × (1) =
a
b
a
b
✅ જવાબ: a/b
પ્રશ્ન 14: limx→0 , a,b ≠ 0
sin ax
sin bx
ઉકેલ:
અંશ અને છેદ બંનેને x વડે ભાગતાં:
અંશ અને છેદ બંનેને x વડે ભાગતાં:
= limx→0
(sin ax) / x
(sin bx) / x
હવે અંશમાં a વડે અને છેદમાં b વડે ગુણતા અને ભાગતા:
=
= =
limx→0 a ×
sin ax
ax
limx→0 b ×
sin bx
bx
=
a(1)
b(1)
a
b
✅ જવાબ: a/b
પ્રશ્ન 15: limx→π
sin(π – x)
π(π – x)
ઉકેલ:
અહીં ધારો કે y = π – x.
જ્યારે x → π હોય, ત્યારે y → 0 થાય. હવે લક્ષમાં કિંમત મૂકતાં:
અહીં ધારો કે y = π – x.
જ્યારે x → π હોય, ત્યારે y → 0 થાય. હવે લક્ષમાં કિંમત મૂકતાં:
= limy→0
= × limy→0
sin y
π y
=
1
π
sin y
y
પ્રમાણિત સૂત્ર મુજબ (sin y / y) નું લક્ષ 1 થાય:
= × (1) =
1
π
1
π
✅ જવાબ: 1/π
પ્રશ્ન 16: limx→0
cos x
π – x
ઉકેલ:
જો x = 0 મૂકીએ, તો છેદ શૂન્ય થતો નથી (π – 0 = π). તેથી સીધી જ x ની કિંમત મૂકી શકાય:
જો x = 0 મૂકીએ, તો છેદ શૂન્ય થતો નથી (π – 0 = π). તેથી સીધી જ x ની કિંમત મૂકી શકાય:
=
cos(0)
π – 0
આપણે જાણીએ છીએ કે cos(0) = 1 થાય:
=
1
π
✅ જવાબ: 1/π
પ્રશ્ન 17: limx→0
cos 2x – 1
cos x – 1
ઉકેલ:
અહીં x = 0 મૂકતાં 0/0 સ્વરૂપ બને છે. ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમ cos 2x = 2cos2x – 1 નો ઉપયોગ કરતાં:
અહીં x = 0 મૂકતાં 0/0 સ્વરૂપ બને છે. ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમ cos 2x = 2cos2x – 1 નો ઉપયોગ કરતાં:
= limx→0
= limx→0
(2cos2x – 1) – 1
cos x – 1
= limx→0
2cos2x – 2
cos x – 1
અંશમાંથી 2 સામાન્ય કાઢતાં:
= limx→0
2(cos2x – 1)
cos x – 1
(a2 – b2) = (a – b)(a + b) મુજબ અવયવ પાડતાં:
= limx→0
2(cos x – 1)(cos x + 1)
cos x – 1
(cos x – 1) કેન્સલ થશે, હવે x = 0 મૂકતાં:
= limx→0 2(cos x + 1)
= 2(cos(0) + 1)
= 2(1 + 1) = 2(2) = 4
= 2(cos(0) + 1)
= 2(1 + 1) = 2(2) = 4
✅ જવાબ: 4
પ્રશ્ન 18: limx→0
ax + x cos x
b sin x
ઉકેલ:
અંશમાંથી x સામાન્ય કાઢતાં:
અંશમાંથી x સામાન્ય કાઢતાં:
= limx→0
x (a + cos x)
b sin x
આને આપણે આ રીતે ગોઠવી શકીએ:
= limx→0
a + cos x
b × (sin x / x)
હવે લક્ષ મૂકતાં (sin x / x = 1):
=
=
a + cos(0)
b × 1
=
a + 1
b
✅ જવાબ: (a + 1) / b
પ્રશ્ન 19: limx→0 x sec x
ઉકેલ:
અહીં કોઈ 0/0 સ્વરૂપ નથી, તેથી સીધી જ કિંમત મૂકી શકાય:
અહીં કોઈ 0/0 સ્વરૂપ નથી, તેથી સીધી જ કિંમત મૂકી શકાય:
= 0 × sec(0)
આપણે જાણીએ છીએ કે sec(0) = 1 થાય:
= 0 × 1 = 0
✅ જવાબ: 0
પ્રશ્ન 20: limx→0 , a, b, a+b ≠ 0
sin ax + bx
ax + sin bx
ઉકેલ:
અંશ અને છેદનાં દરેક પદને x વડે ભાગતાં:
અંશ અને છેદનાં દરેક પદને x વડે ભાગતાં:
= limx→0
(sin ax / x) + b
a + (sin bx / x)
sin ax ના છેદમાં ax લાવવા a વડે ગુણીએ અને sin bx ના છેદમાં bx લાવવા b વડે ગુણીએ:
= limx→0
a (sin ax / ax) + b
a + b (sin bx / bx)
હવે લક્ષ મૂકતાં (sin θ/θ = 1):
=
= = 1
a(1) + b
a + b(1)
=
a + b
a + b
✅ જવાબ: 1
પ્રશ્ન 21: limx→0 (cosec x – cot x)
ઉકેલ:
cosec અને cot ને sin અને cos માં ફેરવતાં:
cosec અને cot ને sin અને cos માં ફેરવતાં:
= limx→0 ( – )
= limx→0
1
sin x
cos x
sin x
= limx→0
1 – cos x
sin x
ત્રિકોણમિતિના અડધા ખૂણાના સૂત્રો: 1 – cos x = 2sin2(x/2) અને sin x = 2sin(x/2)cos(x/2) વાપરતાં:
= limx→0
2sin2(x/2)
2sin(x/2)cos(x/2)
2 અને એક sin(x/2) કેન્સલ થતાં:
= limx→0 = limx→0 tan(x/2)
sin(x/2)
cos(x/2)
હવે x = 0 મૂકતાં:
= tan(0/2) = tan(0) = 0
✅ જવાબ: 0
પ્રશ્ન 22: limx→π/2
tan 2x
x – π/2
ઉકેલ:
અહીં ધારો કે y = x – π/2. આથી x = y + π/2 થશે.
જ્યારે x → π/2 હોય, ત્યારે y → 0 થાય. હવે લક્ષમાં કિંમતો મૂકતાં:
અહીં ધારો કે y = x – π/2. આથી x = y + π/2 થશે.
જ્યારે x → π/2 હોય, ત્યારે y → 0 થાય. હવે લક્ષમાં કિંમતો મૂકતાં:
= limy→0
= limy→0
tan 2(y + π/2)
y
= limy→0
tan(2y + π)
y
ત્રિકોણમિતિ મુજબ ત્રીજા ચરણમાં tan ધન હોય છે, તેથી tan(π + 2y) = tan 2y:
= limy→0
tan 2y
y
સૂત્ર બનાવવા 2 વડે ગુણતાં અને ભાગતાં:
= limy→0 2 ×
= 2 × 1 = 2
tan 2y
2y
= 2 × 1 = 2
✅ જવાબ: 2
પ્રશ્ન 23: જો f(x) = { 2x+3 (x ≤ 0), 3(x+1) (x > 0) } તો limx→0 f(x) અને limx→1 f(x) શોધો.
ઉકેલ: (i) limx→0 f(x) માટે
અહીં x=0 આગળ વિધેય બદલાય છે, તેથી આપણે ડાબી અને જમણી બાજુનું લક્ષ અલગથી શોધવું પડશે.
અહીં x=0 આગળ વિધેય બદલાય છે, તેથી આપણે ડાબી અને જમણી બાજુનું લક્ષ અલગથી શોધવું પડશે.
ડાબી બાજુનું લક્ષ (LHL – x → 0–): અહીં x < 0 હોવાથી f(x) = 2x+3 લઈશું.
LHL = limx→0 (2x + 3) = 2(0) + 3 = 3
જમણી બાજુનું લક્ષ (RHL – x → 0+): અહીં x > 0 હોવાથી f(x) = 3(x+1) લઈશું.
RHL = limx→0 3(x + 1) = 3(0 + 1) = 3(1) = 3
અહીં LHL = RHL = 3 હોવાથી, limx→0 f(x) = 3.
(ii) limx→1 f(x) માટે
અહીં x = 1 છે, જે 0 કરતાં મોટો (x > 0) છે. તેથી સીધું જ f(x) = 3(x+1) લેવાય.
અહીં x = 1 છે, જે 0 કરતાં મોટો (x > 0) છે. તેથી સીધું જ f(x) = 3(x+1) લેવાય.
= limx→1 3(x + 1) = 3(1 + 1) = 3(2) = 6
✅ જવાબ: x → 0 માટે લક્ષ 3 છે, અને x → 1 માટે લક્ષ 6 છે.
પ્રશ્ન 24: જો f(x) = { x2-1 (x ≤ 1), -x2-1 (x > 1) } તો limx→1 f(x) શોધો.
ઉકેલ:
અહીં x=1 આગળ વિધેય બદલાય છે.
અહીં x=1 આગળ વિધેય બદલાય છે.
ડાબી બાજુનું લક્ષ (LHL – x → 1–): અહીં x ≤ 1 હોવાથી f(x) = x2-1 લઈશું.
LHL = limx→1 (x2 – 1) = (1)2 – 1 = 1 – 1 = 0
જમણી બાજુનું લક્ષ (RHL – x → 1+): અહીં x > 1 હોવાથી f(x) = -x2-1 લઈશું.
RHL = limx→1 (-x2 – 1) = -(1)2 – 1 = -1 – 1 = -2
અહીં LHL (0) ≠ RHL (-2).
✅ બંને બાજુના લક્ષ સમાન ન હોવાથી, લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
પ્રશ્ન 25: જો f(x) = { |x|/x (x ≠ 0), 0 (x = 0) } તો limx→0 f(x) ની ગણતરી કરો.
ઉકેલ:
માનાંક |x| નો નિયમ છે કે જો x ધન હોય તો |x| = x થાય, અને જો x ઋણ હોય તો |x| = -x થાય.
માનાંક |x| નો નિયમ છે કે જો x ધન હોય તો |x| = x થાય, અને જો x ઋણ હોય તો |x| = -x થાય.
ડાબી બાજુનું લક્ષ (LHL – x → 0–): x ઋણ (< 0) હોવાથી |x| = -x થશે.
LHL = limx→0 = limx→0 (-1) = -1
-x
x
જમણી બાજુનું લક્ષ (RHL – x → 0+): x ધન (> 0) હોવાથી |x| = x થશે.
RHL = limx→0 = limx→0 (1) = 1
x
x
અહીં LHL (-1) ≠ RHL (1).
✅ લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
પ્રશ્ન 26: જો f(x) = { x/|x| (x ≠ 0), 0 (x = 0) } તો limx→0 f(x) શોધો.
ઉકેલ:
આ દાખલો 25મા દાખલા જેવો જ છે.
આ દાખલો 25મા દાખલા જેવો જ છે.
ડાબી બાજુનું લક્ષ (LHL – x → 0–): x < 0 હોવાથી |x| = -x.
LHL = limx→0 = -1
x
-x
જમણી બાજુનું લક્ષ (RHL – x → 0+): x > 0 હોવાથી |x| = x.
RHL = limx→0 = 1
x
x
✅ LHL ≠ RHL હોવાથી લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
પ્રશ્ન 27: જો f(x) = |x| – 5 તો limx→5 f(x) શોધો.
ઉકેલ:
જ્યારે x → 5 હોય, ત્યારે x ધન (પોઝિટિવ) જ હશે. તેથી |x| = x થશે.
જ્યારે x → 5 હોય, ત્યારે x ધન (પોઝિટિવ) જ હશે. તેથી |x| = x થશે.
= limx→5 (x – 5)
હવે સીધી કિંમત મૂકતાં:
= 5 – 5 = 0
✅ જવાબ: 0
પ્રશ્ન 28: ધારો કે f(x) = { a+bx (x < 1), 4 (x = 1), b-ax (x > 1) } અને limx→1 f(x) = f(1) હોય, તો a અને b ની શક્ય કિંમતો શોધો.
ઉકેલ:
આપણને આપેલું છે કે limx→1 f(x) અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે f(1) બરાબર છે.
x = 1 આગળ f(1) = 4 આપેલ છે.
તેથી LHL = RHL = 4 થવું જોઈએ.
આપણને આપેલું છે કે limx→1 f(x) અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે f(1) બરાબર છે.
x = 1 આગળ f(1) = 4 આપેલ છે.
તેથી LHL = RHL = 4 થવું જોઈએ.
LHL (x → 1–): અહીં x < 1 વાળું વિધેય a+bx લઈશું.
limx→1 (a + bx) = a + b(1) = a + b
તેથી, a + b = 4 — (સમીકરણ 1)
તેથી, a + b = 4 — (સમીકરણ 1)
RHL (x → 1+): અહીં x > 1 વાળું વિધેય b-ax લઈશું.
limx→1 (b – ax) = b – a(1) = b – a
તેથી, b – a = 4 (અથવા -a + b = 4) — (સમીકરણ 2)
તેથી, b – a = 4 (અથવા -a + b = 4) — (સમીકરણ 2)
સમીકરણ 1 અને 2 નો સરવાળો (લોપની રીત) કરતાં:
(a + b) + (-a + b) = 4 + 4
2b = 8 ⇒ b = 4
2b = 8 ⇒ b = 4
b ની કિંમત સમીકરણ 1 માં મૂકતાં:
a + 4 = 4 ⇒ a = 0
✅ જવાબ: a = 0 અને b = 4.
લક્ષ (Limits): દાખલા 29 થી 32
પ્રશ્ન 29: ધારો કે a1, a2, …, an એ નિશ્ચિત વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને f(x) = (x – a1)(x – a2)…(x – an) વ્યાખ્યાયિત કરો, તો limx→a1 f(x) શું થાય ? કોઈક a ≠ a1, a2, …, an હોય તો limx→a f(x) ગણો.
ઉકેલ: (ભાગ 1)
આપણને વિધેય f(x) = (x – a1)(x – a2)…(x – an) આપેલું છે. આ એક બહુપદી છે, તેથી આપણે સીધી જ કિંમત મૂકી શકીએ છીએ.
આપણને વિધેય f(x) = (x – a1)(x – a2)…(x – an) આપેલું છે. આ એક બહુપદી છે, તેથી આપણે સીધી જ કિંમત મૂકી શકીએ છીએ.
limx→a1 f(x) = limx→a1 [ (x – a1)(x – a2)…(x – an) ]
x ની જગ્યાએ a1 મૂકતાં, પહેલો કૌંસ (a1 – a1) = 0 થઈ જશે. 0 સાથે કોઈપણ સંખ્યાનો ગુણાકાર 0 જ થાય.
= (a1 – a1)(a1 – a2)…(a1 – an)
= 0 × (a1 – a2)…(a1 – an) = 0
= 0 × (a1 – a2)…(a1 – an) = 0
✅ જવાબ 1: limx→a1 f(x) = 0.
ઉકેલ: (ભાગ 2)
હવે આપણે x → a માટે લક્ષ શોધવાનું છે:
હવે આપણે x → a માટે લક્ષ શોધવાનું છે:
limx→a f(x) = limx→a [ (x – a1)(x – a2)…(x – an) ]
સીધી x = a કિંમત મૂકતાં:
✅ જવાબ 2: limx→a f(x) = (a – a1)(a – a2)…(a – an).
પ્રશ્ન 30: જો f(x) = { |x| + 1, x < 0 ; 0, x = 0 ; |x| – 1, x > 0 }
a ની કઈ કિંમત (કે કિંમતો) માટે limx→a f(x) નું અસ્તિત્વ છે ?
a ની કઈ કિંમત (કે કિંમતો) માટે limx→a f(x) નું અસ્તિત્વ છે ?
ઉકેલ:
માનાંક |x| ના નિયમ મુજબ જો x < 0 હોય તો |x| = –x અને જો x > 0 હોય તો |x| = x થાય. તેથી વિધેયને ફરીથી લખીએ:
માનાંક |x| ના નિયમ મુજબ જો x < 0 હોય તો |x| = –x અને જો x > 0 હોય તો |x| = x થાય. તેથી વિધેયને ફરીથી લખીએ:
f(x) = { –x + 1 (x < 0), 0 (x = 0), x – 1 (x > 0) }
વિધેય x = 0 આગળ બદલાય છે, તેથી આપણે પહેલાં a = 0 માટે ચકાસીશું.
ડાબી બાજુનું લક્ષ (LHL – x → 0–): x < 0 વાળું વિધેય લઈશું.
ડાબી બાજુનું લક્ષ (LHL – x → 0–): x < 0 વાળું વિધેય લઈશું.
LHL = limx→0 (-x + 1) = -(0) + 1 = 1
જમણી બાજુનું લક્ષ (RHL – x → 0+): x > 0 વાળું વિધેય લઈશું.
RHL = limx→0 (x – 1) = (0) – 1 = -1
અહીં LHL (1) ≠ RHL (-1). તેથી a = 0 આગળ લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
હવે a ≠ 0 માટે વિચારીએ:
- જો a < 0 હોય, તો વિધેય f(x) = -x + 1 બહુપદી હોવાથી તેનું લક્ષ હંમેશા અસ્તિત્વ ધરાવે.
- જો a > 0 હોય, તો વિધેય f(x) = x – 1 બહુપદી હોવાથી તેનું લક્ષ હંમેશા અસ્તિત્વ ધરાવે.
✅ જવાબ: a = 0 સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (a ≠ 0) માટે લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
પ્રશ્ન 31: જો વિધેય f(x), limx→1 = π ને સંતોષે, તો limx→1 f(x) શોધો.
f(x) – 2
x2 – 1
ઉકેલ:
આપણને આપેલું છે કે:
આપણને આપેલું છે કે:
limx→1 = π
f(x) – 2
x2 – 1
લક્ષના નિયમ મુજબ અંશ અને છેદનું લક્ષ અલગ-અલગ લઈ શકાય (જો છેદ શૂન્ય ન થતો હોય તો). અહીં x → 1 લેતાં છેદનું લક્ષ:
limx→1 (x2 – 1) = 12 – 1 = 0 થાય છે.
અગત્યનો તર્ક: જો કોઈ અપૂર્ણાંકના છેદનું લક્ષ 0 થતું હોય, અને છતાં આખા પદનું લક્ષ એક નિશ્ચિત વાસ્તવિક સંખ્યા (π) મળતી હોય, તો એનો સ્પષ્ટ અર્થ એ છે કે અંશનું લક્ષ પણ 0 જ થવું જોઈએ (જેથી 0/0 સ્વરૂપ બને અને લક્ષ મળી શકે).
તેથી, અંશનું લક્ષ બરાબર 0 લેતાં:
તેથી, અંશનું લક્ષ બરાબર 0 લેતાં:
limx→1 (f(x) – 2) = 0
limx→1 f(x) – limx→1 2 = 0
limx→1 f(x) – limx→1 2 = 0
અચળ પદ 2 નું લક્ષ 2 જ રહે છે, તેથી:
limx→1 f(x) – 2 = 0
limx→1 f(x) = 2
limx→1 f(x) = 2
✅ જવાબ: limx→1 f(x) = 2
પ્રશ્ન 32: જો f(x) = { mx2 + n (x < 0) ; nx + m (0 ≤ x ≤ 1) ; nx3 + m (x > 1) }
તો કયા પૂર્ણાંકો m અને n માટે limx→0 f(x) અને limx→1 f(x) એ બંને લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય ?
તો કયા પૂર્ણાંકો m અને n માટે limx→0 f(x) અને limx→1 f(x) એ બંને લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય ?
ઉકેલ:
અહીં x = 0 અને x = 1 આગળ વિધેય બદલાય છે. બંને સ્થાને લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે LHL = RHL થવું જોઈએ.
અહીં x = 0 અને x = 1 આગળ વિધેય બદલાય છે. બંને સ્થાને લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે LHL = RHL થવું જોઈએ.
1. limx→0 f(x) ના અસ્તિત્વ માટે:
LHL (x → 0–): x < 0 વાળું વિધેય લેતાં:
LHL = limx→0 (mx2 + n) = m(0)2 + n = n
RHL (x → 0+): 0 ≤ x ≤ 1 વાળું વિધેય લેતાં:
RHL = limx→0 (nx + m) = n(0) + m = m
લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે LHL = RHL હોવું જરૂરી છે. તેથી m = n થવું જોઈએ. — (શરત 1)
2. limx→1 f(x) ના અસ્તિત્વ માટે:
LHL (x → 1–): 0 ≤ x ≤ 1 વાળું વિધેય લેતાં:
LHL = limx→1 (nx + m) = n(1) + m = n + m
RHL (x → 1+): x > 1 વાળું વિધેય લેતાં:
RHL = limx→1 (nx3 + m) = n(1)3 + m = n + m
અહીં સ્પષ્ટપણે LHL (n+m) = RHL (n+m) જ છે. એટલે કે x = 1 આગળ લક્ષ હંમેશાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે, પછી ભલે m અને n ની કોઈ પણ કિંમત હોય.
તારણ:
બંને લક્ષ એકસાથે અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે માત્ર x = 0 વાળી શરત (શરત 1) નું પાલન થવું પૂરતું છે.
✅ જવાબ: m = n હોય તેવા કોઈપણ પૂર્ણાંકો m અને n માટે બંને લક્ષનું અસ્તિત્વ છે.
સ્વાધ્યાય 12.2 : ઘાતાંકીય અને લઘુગુણકીય લક્ષ (દાખલા 1 થી 8)
પ્રશ્ન 1: limx→0 શોધો.
e4x – 1
x
ઉકેલ:
પ્રમાણિત સૂત્ર limy→0 (ey – 1) / y = 1 મુજબ, e ની ઘાતમાં જે પદ હોય તે જ પદ છેદમાં હોવું જોઈએ. અહીં ઘાતમાં 4x છે, તેથી છેદમાં 4x લાવવા માટે અંશ અને છેદને 4 વડે ગુણીશું:
પ્રમાણિત સૂત્ર limy→0 (ey – 1) / y = 1 મુજબ, e ની ઘાતમાં જે પદ હોય તે જ પદ છેદમાં હોવું જોઈએ. અહીં ઘાતમાં 4x છે, તેથી છેદમાં 4x લાવવા માટે અંશ અને છેદને 4 વડે ગુણીશું:
= limx→0 × 4
e4x – 1
4x
જ્યારે x → 0 હોય, ત્યારે 4x → 0 જ થાય. તેથી પ્રમાણિત લક્ષ મુજબ કિંમત મૂકતાં:
= (1) × 4 = 4
✅ જવાબ: 4
પ્રશ્ન 2: limx→0 શોધો.
e2+x – e2
x
ઉકેલ:
અંશમાંથી e2 ને સામાન્ય (Common) કાઢતાં:
અંશમાંથી e2 ને સામાન્ય (Common) કાઢતાં:
= limx→0
= limx→0
e2 · ex – e2
x
= limx→0
e2 (ex – 1)
x
e2 એ અચળ પદ હોવાથી તેને લક્ષની બહાર કાઢી શકાય:
= e2 × limx→0
ex – 1
x
પ્રમાણિત લક્ષની કિંમત 1 મૂકતાં:
= e2 × (1) = e2
✅ જવાબ: e2
પ્રશ્ન 3: limx→5 શોધો.
ex – e5
x – 5
ઉકેલ:
આ દાખલાને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે ધારો કે y = x – 5. આથી x = y + 5 થશે.
જ્યારે x → 5 હોય, ત્યારે y → 0 થાય. હવે લક્ષમાં કિંમતો મૂકતાં:
આ દાખલાને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે ધારો કે y = x – 5. આથી x = y + 5 થશે.
જ્યારે x → 5 હોય, ત્યારે y → 0 થાય. હવે લક્ષમાં કિંમતો મૂકતાં:
= limy→0
ey+5 – e5
y
અગાઉના દાખલાની જેમ અંશમાંથી e5 સામાન્ય કાઢતાં:
= limy→0
= e5 × limy→0
e5 (ey – 1)
y
= e5 × limy→0
ey – 1
y
લક્ષની કિંમત 1 મૂકતાં:
= e5 × 1 = e5
✅ જવાબ: e5
પ્રશ્ન 4: limx→0 શોધો.
esin x – 1
x
ઉકેલ:
અહીં e ની ઘાતમાં sin x છે, તેથી છેદમાં પણ sin x લાવવા માટે અંશ અને છેદને sin x વડે ગુણીશું:
અહીં e ની ઘાતમાં sin x છે, તેથી છેદમાં પણ sin x લાવવા માટે અંશ અને છેદને sin x વડે ગુણીશું:
= limx→0 ×
esin x – 1
sin x
sin x
x
લક્ષના ગુણધર્મ મુજબ બંને પદોને અલગ-અલગ લક્ષ આપતાં:
= [ limsin x→0 ] × [ limx→0 ]
esin x – 1
sin x
sin x
x
બંને પ્રમાણિત સ્વરૂપ બની ગયા છે, તેથી બંનેની કિંમત 1 થશે:
= (1) × (1) = 1
✅ જવાબ: 1
પ્રશ્ન 5: limx→3 શોધો.
ex – e3
x – 3
ઉકેલ:
આ દાખલો બરાબર દાખલા 3 જેવો જ છે. ધારો કે y = x – 3. તેથી x = y + 3 થાય.
જ્યારે x → 3 હોય, ત્યારે y → 0 થાય.
આ દાખલો બરાબર દાખલા 3 જેવો જ છે. ધારો કે y = x – 3. તેથી x = y + 3 થાય.
જ્યારે x → 3 હોય, ત્યારે y → 0 થાય.
= limy→0
ey+3 – e3
y
અંશમાંથી e3 સામાન્ય કાઢતાં:
= limy→0
= e3 × limy→0
e3 (ey – 1)
y
= e3 × limy→0
ey – 1
y
= e3 × (1) = e3
✅ જવાબ: e3
પ્રશ્ન 6: limx→0 શોધો.
x (ex – 1)
1 – cos x
ઉકેલ:
ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમ 1 – cos x = 2sin2(x/2) નો ઉપયોગ કરતાં:
ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમ 1 – cos x = 2sin2(x/2) નો ઉપયોગ કરતાં:
= limx→0
x (ex – 1)
2sin2(x/2)
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવવા અંશ અને છેદને x2 વડે ભાગતાં:
= limx→0
x (ex – 1)
x2
2sin2(x/2)
x2
અંશમાં એક x ઉડી જશે. છેદમાં sin વાળા પદને સેટ કરીએ:
= limx→0
ex – 1
x
2 × ( ) 2
sin(x/2)
x
છેદમાં x/2 લાવવા 2 વડે ભાગીને અને ગુણીએ (કૌંસની અંદર):
= limx→0
ex – 1
x
2 × ( ) 2
sin(x/2)
2 × (x/2)
હવે લક્ષ લેતાં (અંશનું લક્ષ = 1, અને છેદમાં sin વાળું લક્ષ = 1):
=
= =
1
2 × ( × 1 ) 2
1
2
=
1
2 ×
1
4
1
1/2
છેદનો છેદ અંશમાં જશે:
= 2
✅ જવાબ: 2
પ્રશ્ન 7: limx→0 શોધો.
loge(1 + 2x)
x
ઉકેલ:
લઘુગુણકનું પ્રમાણિત સૂત્ર limy→0 loge(1 + y) / y = 1 છે.
અહીં કૌંસમાં 2x છે, તેથી છેદમાં પણ 2x લાવવા માટે અંશ અને છેદને 2 વડે ગુણીશું:
લઘુગુણકનું પ્રમાણિત સૂત્ર limy→0 loge(1 + y) / y = 1 છે.
અહીં કૌંસમાં 2x છે, તેથી છેદમાં પણ 2x લાવવા માટે અંશ અને છેદને 2 વડે ગુણીશું:
= limx→0 × 2
loge(1 + 2x)
2x
જ્યારે x → 0 હોય, ત્યારે 2x → 0 જ થાય. તેથી લક્ષની કિંમત મૂકતાં:
= (1) × 2 = 2
✅ જવાબ: 2
પ્રશ્ન 8: limx→0 શોધો.
log(1 + x3)
sin3 x
ઉકેલ:
અંશ અને છેદને x3 વડે ભાગતાં:
અંશ અને છેદને x3 વડે ભાગતાં:
= limx→0
log(1 + x3)
x3
sin3 x
x3
છેદના પદને આખા કૌંસના ઘન તરીકે લખતાં:
=
limx→0
log(1 + x3)
x3
limx→0 ( ) 3
sin x
x
જ્યારે x → 0 હોય, ત્યારે x3 → 0 થાય. તેથી અંશ અને છેદ બંનેમાં પ્રમાણિત સૂત્રો લાગુ પડશે (બંનેની કિંમત 1 થાય):
= = = 1
1
(1)3
1
1
✅ જવાબ: 1
12.3
વિકલન (Derivatives) : દાખલા 1 થી 5
પ્રશ્ન 1: x2 – 2 નું x = 10 આગળનું વિકલિત મેળવો.
ઉકેલ:
ધારો કે વિધેય f(x) = x2 – 2 છે.
સૂત્ર d/dx (xn) = nxn-1 મુજબ આનું x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:
ધારો કે વિધેય f(x) = x2 – 2 છે.
સૂત્ર d/dx (xn) = nxn-1 મુજબ આનું x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:
f'(x) = (x2 – 2)
f'(x) = 2x – 0 = 2x
d
dx
f'(x) = 2x – 0 = 2x
હવે x = 10 આગળ વિકલિત શોધવા માટે, x ની જગ્યાએ 10 મૂકતાં:
f'(10) = 2(10) = 20
✅ જવાબ: 20
પ્રશ્ન 2: x નું x = 1 આગળનું વિકલિત મેળવો.
ઉકેલ:
ધારો કે વિધેય f(x) = x છે.
x નું x ની સાપેક્ષે વિકલન હંમેશા 1 થાય છે.
ધારો કે વિધેય f(x) = x છે.
x નું x ની સાપેક્ષે વિકલન હંમેશા 1 થાય છે.
f'(x) = (x) = 1
d
dx
અહીં વિકલિત અચળ (Constant) છે, તેથી x ની કોઈપણ કિંમત માટે જવાબ 1 જ રહેશે. x = 1 મૂકતાં:
f'(1) = 1
✅ જવાબ: 1
પ્રશ્ન 3: 99x નું x = 100 આગળનું વિકલિત મેળવો.
ઉકેલ:
ધારો કે વિધેય f(x) = 99x છે.
વિકલન કરતાં (99 અચળ હોવાથી બહાર રહેશે અને x નું વિકલન 1 થશે):
ધારો કે વિધેય f(x) = 99x છે.
વિકલન કરતાં (99 અચળ હોવાથી બહાર રહેશે અને x નું વિકલન 1 થશે):
f'(x) = 99 × (x) = 99(1) = 99
d
dx
આ વિકલિત પણ x થી સ્વતંત્ર છે. x = 100 મૂકતાં:
f'(100) = 99
✅ જવાબ: 99
પ્રશ્ન 4: નીચેનાં વિધેયોના વિકલિત પ્રથમ સિદ્ધાંતથી (First Principle) શોધો :
(i) x3 – 27 (ii) (x – 1)(x – 2) (iii) (iv)
(i) x3 – 27 (ii) (x – 1)(x – 2) (iii)
1
x2
x + 1
x – 1
પ્રથમ સિદ્ધાંતથી વિકલન શોધવાનું મુખ્ય સૂત્ર:
f'(x) = limh→0
f'(x) = limh→0
f(x + h) – f(x)
h
(i) f(x) = x3 – 27
અહીં f(x + h) = (x + h)3 – 27 = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 – 27
f'(x) = limh→0
= limh→0
[x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 – 27] – [x3 – 27]
h
= limh→0
3x2h + 3xh2 + h3
h
અંશમાંથી h સામાન્ય કાઢીને છેદ સાથે કેન્સલ કરતાં:
= limh→0
= limh→0 (3x2 + 3xh + h2)
h (3x2 + 3xh + h2)
h
= limh→0 (3x2 + 3xh + h2)
હવે h = 0 મૂકતાં:
✅ જવાબ (i): 3x2
(ii) f(x) = (x – 1)(x – 2) = x2 – 3x + 2
અહીં f(x + h) = (x + h)2 – 3(x + h) + 2 = x2 + 2xh + h2 – 3x – 3h + 2
f'(x) = limh→0
= limh→0
[x2 + 2xh + h2 – 3x – 3h + 2] – [x2 – 3x + 2]
h
= limh→0
2xh + h2 – 3h
h
h સામાન્ય કાઢીને ઉડાડતાં:
= limh→0 (2x + h – 3)
h = 0 મૂકતાં:
✅ જવાબ (ii): 2x – 3
(iii) f(x) = 1 / x2
અહીં f(x + h) = 1 / (x + h)2
f'(x) = limh→0 –
1
(x+h)2
1
x2
h
અંશમાં લ.સા.અ. લેતાં:
= limh→0
= limh→0
= limh→0
x2 – (x+h)2
h · x2(x+h)2
= limh→0
x2 – (x2 + 2xh + h2)
h · x2(x+h)2
= limh→0
-2xh – h2
h · x2(x+h)2
અંશમાંથી h કાઢીને છેદ સાથે કેન્સલ કરતાં:
= limh→0
-2x – h
x2(x+h)2
હવે h = 0 મૂકતાં:
= =
-2x – 0
x2(x+0)2
-2x
x4
✅ જવાબ (iii): -2 / x3
(iv) f(x) = (x + 1) / (x – 1)
અહીં f(x + h) = (x + h + 1) / (x + h – 1)
f'(x) = limh→0 –
x+h+1
x+h-1
x+1
x-1
h
અંશમાં લ.સા.અ. લઈ ચોકડી ગુણાકાર કરતાં:
= limh→0
[(x+h+1)(x-1)] – [(x+1)(x+h-1)]
h (x+h-1)(x-1)
કૌંસ છોડીને ગુણાકાર કરતાં:
= limh→0
= limh→0
= limh→0
[x2-x+hx-h+x-1] – [x2+hx-x+x+h-1]
h (x+h-1)(x-1)
= limh→0
[x2+hx-h-1] – [x2+hx+h-1]
h (x+h-1)(x-1)
= limh→0
-2h
h (x+h-1)(x-1)
h ઉડાડીને, h = 0 મૂકતાં:
=
-2
(x+0-1)(x-1)
✅ જવાબ (iv): -2 / (x – 1)2
પ્રશ્ન 5: વિધેય f(x) = + + … + + x + 1 માટે સાબિત કરો કે f'(1) = 100 f'(0).
x100
100
x99
99
x2
2
ઉકેલ:
સૌપ્રથમ આપેલ વિધેયનું x ની સાપેક્ષે વિકલન (Derivative) કરીએ. d/dx(xn) = nxn-1 નો ઉપયોગ કરતાં:
સૌપ્રથમ આપેલ વિધેયનું x ની સાપેક્ષે વિકલન (Derivative) કરીએ. d/dx(xn) = nxn-1 નો ઉપયોગ કરતાં:
f'(x) = + + … + + 1 + 0
100x99
100
99x98
99
2x
2
અંશ અને છેદ સમાન હોવાથી તે ઉડી જશે. તેથી આપણને મળશે:
f'(x) = x99 + x98 + … + x + 1
હવે f'(1) શોધીએ (x = 1 મૂકતાં):
f'(1) = 199 + 198 + … + 1 + 1
f'(1) = 1 + 1 + … + 1 + 1
f'(1) = 1 + 1 + … + 1 + 1
અહીં x ની ઘાત 1 થી લઈને 99 સુધી છે (એટલે 99 પદો) અને છેલ્લે એક ‘1’ અલગથી છે. કુલ પદો 100 છે.
f'(1) = 100 — (પરિણામ 1)
હવે f'(0) શોધીએ (x = 0 મૂકતાં):
f'(0) = 099 + 098 + … + 0 + 1
f'(0) = 1 — (પરિણામ 2)
f'(0) = 1 — (પરિણામ 2)
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે f'(1) = 100 f'(0). જમણી બાજુમાં કિંમત મૂકતાં:
100 × f'(0) = 100 × (1) = 100
✅ અહીં f'(1) ની કિંમત પણ 100 છે. તેથી f'(1) = 100 f'(0) સાબિત થાય છે.
વિકલન (Derivatives) : દાખલા 6 થી 11
પ્રશ્ન 6: કોઈક નિશ્ચિત વાસ્તવિક સંખ્યા a માટે xn + axn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an નું વિકલિત શોધો.
ઉકેલ:
અહીં f(x) = xn + axn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an છે.
વિકલનનો મૂળભૂત નિયમ d/dx(xk) = kxk-1 નો ઉપયોગ કરીશું. (નોંધ: a એ અચળ પદ હોવાથી an નું વિકલન શૂન્ય થશે).
અહીં f(x) = xn + axn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an છે.
વિકલનનો મૂળભૂત નિયમ d/dx(xk) = kxk-1 નો ઉપયોગ કરીશું. (નોંધ: a એ અચળ પદ હોવાથી an નું વિકલન શૂન્ય થશે).
f'(x) = n xn-1 + a(n-1) xn-2 + a2(n-2) xn-3 + … + an-1(1) + 0
✅ જવાબ: nxn-1 + a(n-1)xn-2 + a2(n-2)xn-3 + … + an-1
પ્રશ્ન 7: કોઈ અચળ a અને b માટે વિકલિત શોધો :
(i) (x – a)(x – b) (ii) (ax2 + b)2 (iii)
(i) (x – a)(x – b) (ii) (ax2 + b)2 (iii)
x – a
x – b
(i) f(x) = (x – a)(x – b)
સૌપ્રથમ કૌંસનો ગુણાકાર કરી વિસ્તરણ કરીએ:
f(x) = x2 – ax – bx + ab = x2 – (a + b)x + ab
હવે x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:
f'(x) = 2x – (a + b)(1) + 0
✅ જવાબ (i): 2x – a – b
(ii) f(x) = (ax2 + b)2
(A+B)2 ના સૂત્ર મુજબ વિસ્તરણ કરીએ:
f(x) = a2x4 + 2abx2 + b2
હવે વિકલન કરીએ (ઘાત આગળ આવશે અને એક ઘાત ઘટશે):
f'(x) = a2(4x3) + 2ab(2x) + 0
f'(x) = 4a2x3 + 4abx
f'(x) = 4a2x3 + 4abx
✅ જવાબ (ii): 4ax(ax2 + b) અથવા 4a2x3 + 4abx
(iii) f(x) = (x – a) / (x – b)
અહીં ભાગાકારનો નિયમ (Quotient Rule) વાપરીશું:
d/dx [u/v] = (v·u’ – u·v’) / v2
d/dx [u/v] = (v·u’ – u·v’) / v2
f'(x) =
(x – b) · (x – a) – (x – a) · (x – b)
d
dx
d
dx
(x – b)2
x – a અને x – b બંનેનું વિકલન 1 થાય છે:
f'(x) =
f'(x) =
(x – b)(1) – (x – a)(1)
(x – b)2
f'(x) =
x – b – x + a
(x – b)2
✅ જવાબ (iii):
a – b
(x – b)2
પ્રશ્ન 8: કોઈક અચળ a માટે નું વિકલિત શોધો.
xn – an
x – a
ઉકેલ:
અહીં પણ આપણે ભાગાકારનો નિયમ વાપરીશું.
અહીં પણ આપણે ભાગાકારનો નિયમ વાપરીશું.
f'(x) =
(x – a) · (xn – an) – (xn – an) · (x – a)
d
dx
d
dx
(x – a)2
(xn – an) નું વિકલન nxn-1 થશે અને (x – a) નું વિકલન 1 થશે:
=
=
(x – a)(nxn-1) – (xn – an)(1)
(x – a)2
=
nxn – naxn-1 – xn + an
(x – a)2
પ્રથમ અને ત્રીજા પદમાંથી xn સામાન્ય કાઢતાં:
✅ જવાબ:
(n – 1)xn – naxn-1 + an
(x – a)2
પ્રશ્ન 9: વિકલિત શોધો :
(i) 2x – (ii) (5x3 + 3x – 1)(x – 1) (iii) x-3(5 + 3x)
(iv) x5(3 – 6x-9) (v) x-4(3 – 4x-5) (vi) –
(i) 2x –
3
4
(iv) x5(3 – 6x-9) (v) x-4(3 – 4x-5) (vi)
2
x + 1
x2
3x – 1
ઉકેલ: બધા દાખલાઓમાં પહેલા ગુણાકાર (વિસ્તરણ) કરીશું અને પછી વિકલન કરીશું.
(i) f(x) = 2x – 3/4
f'(x) = 2(1) – 0 = 2
f'(x) = 2(1) – 0 = 2
(ii) f(x) = (5x3 + 3x – 1)(x – 1)
વિસ્તરણ કરતાં: f(x) = 5x4 – 5x3 + 3x2 – 3x – x + 1
f(x) = 5x4 – 5x3 + 3x2 – 4x + 1
વિકલન: f'(x) = 5(4x3) – 5(3x2) + 3(2x) – 4(1)
f'(x) = 20x3 – 15x2 + 6x – 4
વિસ્તરણ કરતાં: f(x) = 5x4 – 5x3 + 3x2 – 3x – x + 1
f(x) = 5x4 – 5x3 + 3x2 – 4x + 1
વિકલન: f'(x) = 5(4x3) – 5(3x2) + 3(2x) – 4(1)
f'(x) = 20x3 – 15x2 + 6x – 4
(iii) f(x) = x-3(5 + 3x)
કૌંસ છોડતાં: f(x) = 5x-3 + 3x-2
વિકલન: f'(x) = 5(-3x-4) + 3(-2x-3)
f'(x) = -15x-4 – 6x-3
કૌંસ છોડતાં: f(x) = 5x-3 + 3x-2
વિકલન: f'(x) = 5(-3x-4) + 3(-2x-3)
f'(x) = -15x-4 – 6x-3
(iv) f(x) = x5(3 – 6x-9)
કૌંસ છોડતાં (ઘાતોનો સરવાળો થાય): f(x) = 3x5 – 6x-4
વિકલન: f'(x) = 3(5x4) – 6(-4x-5)
f'(x) = 15x4 + 24x-5
કૌંસ છોડતાં (ઘાતોનો સરવાળો થાય): f(x) = 3x5 – 6x-4
વિકલન: f'(x) = 3(5x4) – 6(-4x-5)
f'(x) = 15x4 + 24x-5
(v) f(x) = x-4(3 – 4x-5)
કૌંસ છોડતાં: f(x) = 3x-4 – 4x-9
વિકલન: f'(x) = 3(-4x-5) – 4(-9x-10)
f'(x) = -12x-5 + 36x-10
કૌંસ છોડતાં: f(x) = 3x-4 – 4x-9
વિકલન: f'(x) = 3(-4x-5) – 4(-9x-10)
f'(x) = -12x-5 + 36x-10
(vi) f(x) = 2 / (x + 1) – x2 / (3x – 1)
અહીં બંને પદો માટે ભાગાકારનો નિયમ વાપરવો પડશે.
પ્રથમ પદનું વિકલન: =
બીજા પદનું વિકલન: = =
બંને ભેગા કરતાં:
f'(x) = –
અહીં બંને પદો માટે ભાગાકારનો નિયમ વાપરવો પડશે.
પ્રથમ પદનું વિકલન:
(x+1)(0) – 2(1)
(x+1)2
-2
(x+1)2
બીજા પદનું વિકલન:
(3x-1)(2x) – x2(3)
(3x-1)2
6x2 – 2x – 3x2
(3x-1)2
3x2 – 2x
(3x-1)2
બંને ભેગા કરતાં:
f'(x) =
-2
(x + 1)2
3x2 – 2x
(3x – 1)2
પ્રશ્ન 10: પ્રથમ સિદ્ધાંતથી (First Principle) cos x નું વિકલિત શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે f(x) = cos x છે, તો f(x + h) = cos(x + h) થશે.
પ્રથમ સિદ્ધાંતના સૂત્ર મુજબ:
ધારો કે f(x) = cos x છે, તો f(x + h) = cos(x + h) થશે.
પ્રથમ સિદ્ધાંતના સૂત્ર મુજબ:
f'(x) = limh→0
f'(x) = limh→0
f(x + h) – f(x)
h
f'(x) = limh→0
cos(x + h) – cos x
h
અહીં ત્રિકોણમિતિના c – c = -2ss સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
[cos C – cos D = -2 sin((C+D)/2) sin((C-D)/2)]
[cos C – cos D = -2 sin((C+D)/2) sin((C-D)/2)]
= limh→0
= limh→0
-2 sin( ) · sin( )
x + h + x
2
x + h – x
2
h
= limh→0
-2 sin(x + h/2) · sin(h/2)
h
અંશમાં રહેલા 2 ને છેદના છેદમાં લઈ જતાં:
= limh→0 -sin(x + h/2) ×
sin(h/2)
h/2
લક્ષ લાગુ પાડતાં, limh→0 [sin(h/2) / (h/2)] = 1 થશે:
= -sin(x + 0/2) × 1
= -sin(x)
= -sin(x)
✅ જવાબ: cos x નું વિકલિત -sin x છે.
પ્રશ્ન 11: નીચેનાં વિધેયોનાં વિકલિત શોધો :
(i) sin x cos x (ii) sec x (iii) 5sec x + 4cos x (iv) cosec x
(v) 3cot x + 5cosec x (vi) 5sin x – 6cos x + 7 (vii) 2tan x – 7sec x
(i) sin x cos x (ii) sec x (iii) 5sec x + 4cos x (iv) cosec x
(v) 3cot x + 5cosec x (vi) 5sin x – 6cos x + 7 (vii) 2tan x – 7sec x
ઉકેલ: અહીં આપણે ત્રિકોણમિતિનાં પ્રમાણિત વિકલિતોના સૂત્રોનો સીધો ઉપયોગ કરીશું.
(i) f(x) = sin x cos x
ગુણાકારનો નિયમ (u·v’ + v·u’) વાપરતાં:
f'(x) = sin x · d/dx(cos x) + cos x · d/dx(sin x)
f'(x) = sin x (-sin x) + cos x (cos x) = cos2x – sin2x = cos 2x
ગુણાકારનો નિયમ (u·v’ + v·u’) વાપરતાં:
f'(x) = sin x · d/dx(cos x) + cos x · d/dx(sin x)
f'(x) = sin x (-sin x) + cos x (cos x) = cos2x – sin2x = cos 2x
(ii) f(x) = sec x
પ્રમાણિત સૂત્ર મુજબ:
f'(x) = sec x · tan x
પ્રમાણિત સૂત્ર મુજબ:
f'(x) = sec x · tan x
(iii) f(x) = 5sec x + 4cos x
બંને પદનું અલગ વિકલન:
f'(x) = 5(sec x · tan x) + 4(-sin x) = 5sec x tan x – 4sin x
બંને પદનું અલગ વિકલન:
f'(x) = 5(sec x · tan x) + 4(-sin x) = 5sec x tan x – 4sin x
(iv) f(x) = cosec x
પ્રમાણિત સૂત્ર મુજબ:
f'(x) = -cosec x · cot x
પ્રમાણિત સૂત્ર મુજબ:
f'(x) = -cosec x · cot x
(v) f(x) = 3cot x + 5cosec x
cot x નું વિકલન -cosec2x થાય છે:
f'(x) = 3(-cosec2x) + 5(-cosec x · cot x)
f'(x) = -3cosec2x – 5cosec x cot x
cot x નું વિકલન -cosec2x થાય છે:
f'(x) = 3(-cosec2x) + 5(-cosec x · cot x)
f'(x) = -3cosec2x – 5cosec x cot x
(vi) f(x) = 5sin x – 6cos x + 7
અચળ પદ 7 નું શૂન્ય થશે:
f'(x) = 5(cos x) – 6(-sin x) + 0
f'(x) = 5cos x + 6sin x
અચળ પદ 7 નું શૂન્ય થશે:
f'(x) = 5(cos x) – 6(-sin x) + 0
f'(x) = 5cos x + 6sin x
(vii) f(x) = 2tan x – 7sec x
tan x નું વિકલન sec2x થાય છે:
f'(x) = 2(sec2x) – 7(sec x · tan x)
f'(x) = 2sec2x – 7sec x tan x
tan x નું વિકલન sec2x થાય છે:
f'(x) = 2(sec2x) – 7(sec x · tan x)
f'(x) = 2sec2x – 7sec x tan x