૧. શું સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે?
હા, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો આ મૂળભૂત ગુણધર્મ છે. તેમાં સામસામેની બાજુઓની બંને જોડ એકબીજાને સમાંતર (parallel) પણ હોય છે અને તેમના માપ પણ સમાન (equal) હોય છે.
૨. શું તેના વિકર્ણોના માપ સરખા હોય છે?
ના, સામાન્ય રીતે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો (diagonals) ના માપ સરખા હોતા નથી. એક વિકર્ણ લાંબો અને બીજો ટૂંકો હોઈ શકે છે.
- ખાસ નોંધ: તેના વિકર્ણોના માપ ભલે અલગ હોય, પરંતુ તેઓ એકબીજાને દુભાગે છે (એટલે કે જ્યાં છેદે છે ત્યાંથી બંનેના બે એકસરખા ભાગ થાય છે).
૩. તે ચોરસ અને લંબચોરસથી કઈ રીતે અલગ પડે છે?
ચોરસ અને લંબચોરસ એ હકીકતમાં સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના જ વિશિષ્ટ પ્રકારો છે, પરંતુ તેમાં કેટલાક વધારાના ગુણધર્મો હોય છે જે તેમને અલગ બનાવે છે.
પ્રકરણ 11 : ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ 11.2 no 5
પ્રશ્ન 5: બિંદુ A (4, 0, 0) અને B (-4, 0, 0) થી જેમનાં અંતરોનો સરવાળો 10 થતો હોય તેવા બિંદુગણ P નું સમીકરણ મેળવો.
ઉકેલ: ધારો કે માંગેલ બિંદુગણ પરનું કોઈ એક બિંદુ P(x, y, z) છે.
આપેલ શરત મુજબ, P નું બિંદુ A અને B થી અંતરનો સરવાળો 10 છે.
PA + PB = 10
ત્રિપરિમાણીય અંતરસૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં:
√
(x – 4)2 + y2 + z2
+
√
(x + 4)2 + y2 + z2
= 10
ગણતરી સરળ કરવા એક વર્ગમૂળ વાળા પદને જમણી બાજુ લઈ જઈએ:
√
(x + 4)2 + y2 + z2
= 10 –
√
(x – 4)2 + y2 + z2
બંને બાજુ વર્ગ (Square) કરતાં:
(x + 4)2 + y2 + z2 = 100 – 20√(x – 4)2 + y2 + z2 + (x – 4)2 + y2 + z2
કૌંસ છોડતાં અને બંને બાજુથી સમાન પદો (y2, z2) ઉડાડતાં:
x2 + 8x + 16 = 100 – 20√(x – 4)2 + y2 + z2 + x2 – 8x + 16
બંને બાજુથી x2 અને 16 ઉડાડતાં અને પદો ગોઠવતાં:
8x = 100 – 20√(x – 4)2 + y2 + z2 – 8x
16x – 100 = – 20√(x – 4)2 + y2 + z2
બંને બાજુથી સામાન્ય અવયવ -4 વડે ભાગતાં:
-4x + 25 = 5√(x – 4)2 + y2 + z2
વર્ગમૂળ દૂર કરવા ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતાં:
(25 – 4x)2 = 25 [ (x – 4)2 + y2 + z2 ]
625 – 200x + 16x2 = 25 [ x2 – 8x + 16 + y2 + z2 ]
625 – 200x + 16x2 = 25x2 – 200x + 400 + 25y2 + 25z2
બંને બાજુથી -200x ઉડી જશે. હવે બધા પદોને એક બાજુ ભેગા કરીએ:
25x2 – 16x2 + 25y2 + 25z2 = 625 – 400
9x2 + 25y2 + 25z2 = 225
✅ જવાબ: માંગેલ બિંદુગણ P નું સમીકરણ 9x2 + 25y2 + 25z2 = 225 છે.
પ્રકીર્ણ સ્વાધ્યાય 11 : ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ
પ્રશ્ન 1: A(3, -1, 2), B(1, 2, -4) અને C(-1, 1, 2) એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCD નાં શિરોબિંદુઓ હોય, તો ચોથા શિરોબિંદુના યામ શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે ચોથા શિરોબિંદુ D ના યામ (x, y, z) છે.
નિયમ: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો (Diagonals) પરસ્પર દુભાગે છે. એટલે કે વિકર્ણ AC નું મધ્યબિંદુ = વિકર્ણ BD નું મધ્યબિંદુ.
1. વિકર્ણ AC નું મધ્યબિંદુ:
3 + (-1)
2
-1 + 1
2
2 + 2
2
2
2
0
2
4
2
2. વિકર્ણ BD નું મધ્યબિંદુ:
1 + x
2
2 + y
2
-4 + z
2
3. બંને મધ્યબિંદુઓ સરખાવતાં:
1 + x
2
2 + y
2
-4 + z
2
✅ જવાબ: ચોથા શિરોબિંદુ D ના યામ (1, -2, 8) છે.
પ્રશ્ન 2: A(0, 0, 6), B(0, 4, 0) અને C(6, 0, 0) શિરોબિંદુઓવાળા ત્રિકોણની મધ્યગાઓની લંબાઈ શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે બાજુઓ BC, CA અને AB નાં મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે D, E અને F છે.
1. મધ્યગાઓનાં અંત્યબિંદુઓ (મધ્યબિંદુઓ) શોધીએ:
D (BC નું મધ્યબિંદુ) = ( , , ) = (3, 2, 0)
0+6
2
4+0
2
0+0
2
E (CA નું મધ્યબિંદુ) = ( , , ) = (3, 0, 3)
6+0
2
0+0
2
0+6
2
F (AB નું મધ્યબિંદુ) = ( , , ) = (0, 2, 3)
0+0
2
0+4
2
6+0
2
2. મધ્યગા AD ની લંબાઈ:
AD = √(3 – 0)2 + (2 – 0)2 + (0 – 6)2
AD = √9 + 4 + 36 = √49 = 7
3. મધ્યગા BE ની લંબાઈ:
BE = √(3 – 0)2 + (0 – 4)2 + (3 – 0)2
BE = √9 + 16 + 9 = √34
4. મધ્યગા CF ની લંબાઈ:
CF = √(0 – 6)2 + (2 – 0)2 + (3 – 0)2
CF = √36 + 4 + 9 = √49 = 7
✅ જવાબ: મધ્યગાઓની લંબાઈ 7, √34 અને 7 એકમ છે.
પ્રશ્ન 3: ΔPQR નાં શિરોબિંદુઓ P(2a, 2, 6), Q(-4, 3b, -10) અને R(8, 14, 2c) હોય તથા મધ્યકેન્દ્ર ઊગમબિંદુ હોય, તો a, b અને c નાં મૂલ્યો શોધો.
ઉકેલ: આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર (Centroid) ના યામ G = ( , , ) છે.
x1+x2+x3
3
y1+y2+y3
3
z1+z2+z3
3
અહીં મધ્યકેન્દ્ર ઊગમબિંદુ (0, 0, 0) છે. યામ સરખાવતાં:
1. x-યામ માટે:
2a – 4 + 8
3
2. y-યામ માટે:
2 + 3b + 14
3
16
3
3. z-યામ માટે:
6 – 10 + 2c
3
✅ જવાબ: a = -2, b = –, c = 2
16
3
પ્રશ્ન 4: જો A(3, 4, 5) અને B(-1, 3, -7) આપેલ બિંદુઓ હોય. તો એવા બિંદુઓ P ના બિંદુ ગણનું સમીકરણ મેળવો કે જેથી PA2 + PB2 = k2 થાય, જ્યાં k અચળ છે.
ઉકેલ: ધારો કે બિંદુ P ના યામ (x, y, z) છે.
આપેલ શરત: PA2 + PB2 = k2
અંતરસૂત્ર મુજબ વર્ગ હોવાથી વર્ગમૂળ નીકળી જશે:
કૌંસ છોડતાં અને વિસ્તરણ કરતાં:
(x2 – 6x + 9 + y2 – 8y + 16 + z2 – 10z + 25)
+ (x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 + z2 + 14z + 49) = k2
+ (x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 + z2 + 14z + 49) = k2
સમાન પદોનો સરવાળો કરતાં:
(x2 + x2) + (y2 + y2) + (z2 + z2) + (-6x + 2x) + (-8y – 6y) + (-10z + 14z)
+ (9 + 16 + 25 + 1 + 9 + 49) = k2
+ (9 + 16 + 25 + 1 + 9 + 49) = k2
2x2 + 2y2 + 2z2 – 4x – 14y + 4z + 109 = k2
✅ જવાબ: માંગેલ બિંદુ ગણનું સમીકરણ 2x2 + 2y2 + 2z2 – 4x – 14y + 4z + 109 – k2 = 0 છે.