Chapter 1: સંબંધ અને વિધેય

Leave a Comment / By /

1.1

સ્વાધ્યાય 1.1 : દાખલા 1 થી 6
પ્રશ્ન 1: નીચે આપેલા સંબંધો પૈકી પ્રત્યેક માટે તે સ્વવાચક, સંમિત અથવા પરંપરિત સંબંધ છે કે નહિ તે નક્કી કરો :
(i) ગણ A = {1, 2, 3,…, 13, 14} પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(x, y) : 3x – y = 0}
અહીં 3x – y = 0 એટલે કે y = 3x થાય. આ શરત મુજબ સંબંધ R ની યાદી બનાવીએ:
R = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)}
સ્વવાચક: (1, 1) ∉ R. તેથી સ્વવાચક નથી.
સંમિત: (1, 3) ∈ R છે, પરંતુ (3, 1) ∉ R. તેથી સંમિત નથી.
પરંપરિત: (1, 3) ∈ R અને (3, 9) ∈ R છે, પરંતુ (1, 9) ∉ R. તેથી પરંપરિત નથી.
✅ R એ સ્વવાચક, સંમિત કે પરંપરિત નથી.
(ii) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ N પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(x, y) : y = x + 5 અને x < 4}
અહીં x < 4 હોવાથી x ની કિંમત 1, 2, 3 જ લઈ શકાય. R ની યાદી:
R = {(1, 6), (2, 7), (3, 8)}
સ્વવાચક: (1, 1) ∉ R. તેથી સ્વવાચક નથી.
સંમિત: (1, 6) ∈ R છે, પરંતુ (6, 1) ∉ R. તેથી સંમિત નથી.
પરંપરિત: અહીં (x, y) ∈ R હોય અને (y, z) ∈ R હોય તેવી કોઈ જ જોડ મળતી નથી. આથી પરંપરિત હોવાની શરતનો ભંગ થતો નથી. તેથી આ સંબંધ પરંપરિત છે.
✅ R એ સ્વવાચક અને સંમિત નથી, પરંતુ પરંપરિત છે.
(iii) ગણ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(x, y) : y એ x વડે વિભાજ્ય છે.}
સ્વવાચક: પ્રત્યેક x, પોતાના વડે વિભાજ્ય હોય જ છે. એટલે કે (x, x) ∈ R. તેથી સ્વવાચક છે.
સંમિત: દા.ત. 4 એ 2 વડે વિભાજ્ય છે એટલે (2, 4) ∈ R. પરંતુ 2 એ 4 વડે વિભાજ્ય નથી એટલે (4, 2) ∉ R. તેથી સંમિત નથી.
પરંપરિત: જો y એ x વડે વિભાજ્ય હોય અને z એ y વડે વિભાજ્ય હોય, તો z એ x વડે હંમેશા વિભાજ્ય થાય જ. તેથી પરંપરિત છે.
✅ R એ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે, પરંતુ સંમિત નથી.
(iv) પૂર્ણાંકોના ગણ Z પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(x, y) : x – y એ પૂર્ણાંક છે.}
સ્વવાચક: પ્રત્યેક x માટે x – x = 0, જે એક પૂર્ણાંક છે. તેથી (x, x) ∈ R. સ્વવાચક છે.
સંમિત: જો x – y પૂર્ણાંક હોય, તો તેનું વિરોધી (y – x) પણ પૂર્ણાંક જ થાય. તેથી સંમિત છે.
પરંપરિત: જો (x – y) પૂર્ણાંક હોય અને (y – z) પૂર્ણાંક હોય, તો બંનેનો સરવાળો (x – y) + (y – z) = (x – z) પણ પૂર્ણાંક જ થાય. તેથી પરંપરિત છે.
✅ R એ સ્વવાચક, સંમિત અને પરંપરિત ત્રણેય છે (આ સામ્ય સંબંધ છે).
(v) કોઈ ચોક્કસ સમયે કોઈ એક નગરમાં વસતા મનુષ્યોના ગણ A પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R
(a) R = {(x, y) : x અને y એક જ સ્થળે કામ કરે છે.}: આ સંબંધ સ્વવાચક, સંમિત અને પરંપરિત ત્રણેય છે.
(b) R = {(x, y) : x અને y એક જ વિસ્તારમાં રહે છે.}: આ સંબંધ પણ સ્વવાચક, સંમિત અને પરંપરિત ત્રણેય છે.
(c) R = {(x, y) : x એ y કરતાં બરાબર 7 સેમી ઊંચો છે.}:
– સ્વવાચક નથી (કોઈ વ્યક્તિ પોતાનાથી 7 સેમી ઊંચો ન હોઈ શકે).
– સંમિત નથી (જો x ઊંચો હોય, તો y નીચો થાય, ઊંચો નહિ).
– પરંપરિત નથી (જો x એ y કરતા 7 સેમી ઊંચો હોય, અને y એ z કરતા 7 સેમી ઊંચો હોય, તો x એ z કરતા 14 સેમી ઊંચો થાય, 7 સેમી નહિ).
(d) R = {(x, y) : x એ y ની પત્ની છે.}:
– સ્વવાચક નથી (કોઈ પોતાની જ પત્ની ન હોઈ શકે).
– સંમિત નથી (જો x પત્ની હોય, તો y પતિ થાય, પત્ની નહિ).
– પરંપરિત છે (જો x એ y ની પત્ની હોય, તો y પુરુષ થયો. એટલે y કોઈની પત્ની ન બની શકે. આમ શરતનો ભંગ થતો નથી, તેથી પરંપરિત છે).
(e) R = {(x, y) : x એ y ના પિતા છે.}:
– સ્વવાચક નથી (પોતાના જ પિતા ન બનાય).
– સંમિત નથી (જો x પિતા હોય, તો y પુત્ર/પુત્રી થાય).
– પરંપરિત નથી (જો x એ y ના પિતા હોય અને y એ z ના પિતા હોય, તો x એ z ના દાદા થાય, પિતા નહિ).
પ્રશ્ન 2: સાબિત કરો કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ R પર S = {(a, b) : a ≤ b2} વડે વ્યાખ્યાયિત સંબંધ S સ્વવાચક, સંમિત અને પરંપરિત સંબંધ પૈકી એક પણ નથી.
ઉકેલ: આપણે ઉદાહરણો લઈને આ સાબિત કરીશું.
સ્વવાચક નથી: ધારો કે a = 1/2 લઈએ.
શું 1/2 ≤ (1/2)2 છે? ના, કારણ કે 1/2 એ 1/4 કરતાં મોટો છે. તેથી (1/2, 1/2) ∉ S.
સંમિત નથી: ધારો કે a = 1 અને b = 2 લઈએ.
1 ≤ 22 (એટલે કે 1 ≤ 4) જે સત્ય છે. એટલે (1, 2) ∈ S.
પરંતુ, 2 ≤ 12 (એટલે કે 2 ≤ 1) જે ખોટું છે. એટલે (2, 1) ∉ S.
પરંપરિત નથી: ધારો કે a = 3, b = -2, c = 1 લઈએ.
3 ≤ (-2)2 (3 ≤ 4 સત્ય છે) એટલે (3, -2) ∈ S.
-2 ≤ 12 (-2 ≤ 1 સત્ય છે) એટલે (-2, 1) ∈ S.
પરંતુ, શું 3 ≤ 12 છે? ના, 3 એ 1 કરતાં મોટો છે. એટલે (3, 1) ∉ S.
✅ આમ, S એ સ્વવાચક, સંમિત કે પરંપરિત પૈકી એક પણ નથી. સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 3: ગણ {1, 2, 3, 4, 5, 6} પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(a, b) : b = a + 1} એ સ્વવાચક, સંમિત કે પરંપરિત સંબંધ છે કે નહિ તે ચકાસો.
ઉકેલ:
અહીં શરત b = a + 1 છે. તે મુજબ R ની યાદી બનાવીએ:
R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
સ્વવાચક: (1, 1), (2, 2) વગેરે R માં નથી. તેથી સ્વવાચક નથી.
સંમિત: (1, 2) ∈ R છે, પરંતુ (2, 1) ∉ R. તેથી સંમિત નથી.
પરંપરિત: (1, 2) ∈ R અને (2, 3) ∈ R છે, પરંતુ (1, 3) ∉ R. તેથી પરંપરિત નથી.
✅ જવાબ: આ સંબંધ સ્વવાચક, સંમિત કે પરંપરિત પૈકી એક પણ નથી.
પ્રશ્ન 4: સાબિત કરો કે R પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ S = {(a, b) : a ≤ b} એ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે, પરંતુ સંમિત સંબંધ નથી.
ઉકેલ:
સ્વવાચક: કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા પોતાના જેટલી જ હોય છે. એટલે કે પ્રત્યેક a ∈ R માટે a ≤ a સત્ય છે. તેથી (a, a) ∈ S. આમ, તે સ્વવાચક છે.

પરંપરિત: જો a ≤ b હોય અને b ≤ c હોય, તો ગણિતના નિયમ મુજબ હંમેશા a ≤ c થાય જ. તેથી (a, c) ∈ S. આમ, તે પરંપરિત છે.

સંમિત નથી: ઉદાહરણ તરીકે a = 1 અને b = 2 લઈએ. 1 ≤ 2 સત્ય છે એટલે (1, 2) ∈ S. પરંતુ 2 ≤ 1 ખોટું છે, તેથી (2, 1) ∉ S. આમ, તે સંમિત નથી.
✅ જે સાબિત કરવાનું હતું તે મળી ગયું છે.
પ્રશ્ન 5: R પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ S = {(a, b) : a ≤ b3} એ સ્વવાચક, સંમિત અથવા પરંપરિત સંબંધ છે કે નહિ તે ચકાસો.
ઉકેલ: આ દાખલો બીજા દાખલા જેવો જ છે. આપણે ઉદાહરણો લઈશું.
સ્વવાચક નથી: ધારો કે a = 1/2 લઈએ.
શું 1/2 ≤ (1/2)3 છે? ના, કારણ કે 1/2 એ 1/8 કરતાં મોટો છે. તેથી (1/2, 1/2) ∉ S.
સંમિત નથી: ધારો કે a = 1 અને b = 2 લઈએ.
1 ≤ 23 (1 ≤ 8) સત્ય છે. એટલે (1, 2) ∈ S.
પરંતુ, 2 ≤ 13 (2 ≤ 1) ખોટું છે. એટલે (2, 1) ∉ S.
પરંપરિત નથી: ધારો કે a = 10, b = 3, c = 2 લઈએ.
10 ≤ 33 (10 ≤ 27) સત્ય છે.
3 ≤ 23 (3 ≤ 8) સત્ય છે.
પરંતુ, 10 ≤ 23 (10 ≤ 8) જે ખોટું છે. એટલે (10, 2) ∉ S.
✅ જવાબ: આ સંબંધ સ્વવાચક, સંમિત કે પરંપરિત પૈકી એક પણ નથી.
પ્રશ્ન 6: સાબિત કરો કે ગણ {1, 2, 3} પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(1, 2), (2, 1)} સંમિત છે પરંતુ સ્વવાચક કે પરંપરિત સંબંધ નથી.
ઉકેલ:
અહીં ગણ A = {1, 2, 3} છે અને સંબંધ R = {(1, 2), (2, 1)} આપેલ છે.
સ્વવાચક નથી: ગણ A ના તમામ સભ્યો માટે (1, 1), (2, 2) અને (3, 3) એ R માં હોવા જોઈએ. પરંતુ તે અહી નથી. તેથી સ્વવાચક નથી.

સંમિત છે: અહીં (1, 2) ∈ R છે અને તેનું ઊલટું (2, 1) પણ R માં હાજર છે. તેથી આ સંબંધ સંમિત છે.

પરંપરિત નથી: અહીં (1, 2) ∈ R અને (2, 1) ∈ R છે. પરંપરિત થવા માટે (1, 1) R માં હોવું જોઈએ, જે નથી. તેથી આ સંબંધ પરંપરિત નથી.
✅ જે સાબિત કરવાનું હતું તે મળી ગયું છે.
સ્વાધ્યાય 1.1 : દાખલા 7 થી 16
પ્રશ્ન 7: સાબિત કરો કે કૉલેજના ગ્રંથાલયનાં બધાં જ પુસ્તકોના ગણ A પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(x, y) : x અને y નાં પૃષ્ઠોની સંખ્યા સમાન છે.} એ સામ્ય સંબંધ છે.
ઉકેલ:
કોઈપણ સંબંધને સામ્ય સંબંધ (Equivalence Relation) સાબિત કરવા માટે તે સ્વવાચક, સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
1. સ્વવાચક (Reflexive): કોઈપણ પુસ્તક x લઈએ, તો x અને x નાં પૃષ્ઠોની સંખ્યા હંમેશા સમાન જ હોય. તેથી (x, x) ∈ R. આમ, તે સ્વવાચક છે.

2. સંમિત (Symmetric): ધારો કે (x, y) ∈ R. તેનો અર્થ છે કે x અને y નાં પૃષ્ઠો સમાન છે. આને ઉલટાવીને કહી શકાય કે y અને x નાં પૃષ્ઠો સમાન છે. તેથી (y, x) ∈ R. આમ, તે સંમિત છે.

3. પરંપરિત (Transitive): ધારો કે (x, y) ∈ R અને (y, z) ∈ R. એટલે કે x ના પૃષ્ઠો = y ના પૃષ્ઠો, અને y ના પૃષ્ઠો = z ના પૃષ્ઠો. આ પરથી સ્પષ્ટ છે કે x ના પૃષ્ઠો = z ના પૃષ્ઠો થાય. તેથી (x, z) ∈ R. આમ, તે પરંપરિત છે.
✅ સંબંધ R એ ત્રણેય શરતોનું પાલન કરતો હોવાથી તે સામ્ય સંબંધ છે.
પ્રશ્ન 8: સાબિત કરો કે ગણ A = {1, 2, 3, 4, 5} પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(a, b) : |a – b| યુગ્મ છે} સામ્ય સંબંધ છે. સાબિત કરો કે {1, 3, 5} ના બધા જ ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધ ધરાવે છે અને {2, 4} ના બધા જ ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધ ધરાવે છે. પરંતુ {1, 3, 5} નો એક પણ ઘટક {2, 4} ના કોઈ પણ ઘટક સાથે સંબંધ ધરાવતો નથી.
ભાગ 1: સામ્ય સંબંધની સાબિતી
સ્વવાચક: પ્રત્યેક a ∈ A માટે, |a – a| = 0. અને શૂન્ય (0) એ યુગ્મ (Even) સંખ્યા છે. તેથી (a, a) ∈ R. (સ્વવાચક છે).
સંમિત: જો (a, b) ∈ R હોય, તો |a – b| યુગ્મ છે. માનાંકની અંદર નિશાની બદલવાથી ફેર પડતો નથી, તેથી |b – a| પણ યુગ્મ જ રહે. એટલે (b, a) ∈ R. (સંમિત છે).
પરંપરિત: જો (a, b) ∈ R અને (b, c) ∈ R હોય, તો (a – b) અને (b – c) બંને યુગ્મ પૂર્ણાંકો છે. આપણે જાણીએ છીએ કે બે યુગ્મ સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશા યુગ્મ થાય. તેથી (a – b) + (b – c) = (a – c) પણ યુગ્મ થાય. એટલે |a – c| યુગ્મ છે અને (a, c) ∈ R. (પરંપરિત છે).
નિષ્કર્ષ: R એ સામ્ય સંબંધ છે.
ભાગ 2: ઉપગણો વચ્ચેનો સંબંધ
1. {1, 3, 5} ના ઘટકો: આ ગણના તમામ સભ્યો અયુગ્મ (Odd) છે. કોઈપણ બે અયુગ્મ સંખ્યાઓનો તફાવત હંમેશા યુગ્મ (Even) આવે છે (દા.ત. |1-3|=2, |5-1|=4). તેથી તેઓ એકબીજા સાથે સંબંધ R ધરાવે છે.

2. {2, 4} ના ઘટકો: આ ગણના તમામ સભ્યો યુગ્મ (Even) છે. કોઈપણ બે યુગ્મ સંખ્યાઓનો તફાવત હંમેશા યુગ્મ જ આવે છે (દા.ત. |4-2|=2). તેથી તેઓ એકબીજા સાથે સંબંધ R ધરાવે છે.

3. {1, 3, 5} અને {2, 4} વચ્ચેનો સંબંધ: જો એક સંખ્યા અયુગ્મ હોય અને બીજી યુગ્મ હોય, તો તેમનો તફાવત હંમેશા અયુગ્મ (Odd) જ આવે છે (દા.ત. |3-2|=1, |5-4|=1). સંબંધ R ની શરત (તફાવત યુગ્મ હોવો જોઈએ) નું પાલન થતું નથી.
✅ તેથી સાબિત થાય છે કે {1, 3, 5} નો કોઈ ઘટક {2, 4} ના કોઈ ઘટક સાથે સંબંધ ધરાવતો નથી.
પ્રશ્ન 9: સાબિત કરો કે ગણ A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12} પર વ્યાખ્યાયિત નીચે દર્શાવેલ પ્રત્યેક સંબંધ R, એ સામ્ય સંબંધ છે. પ્રત્યેક વિકલ્પમાં 1 સાથે સંબંધ R ધરાવતા ઘટકોનો ગણ શોધો.
(i) R = {(a, b) : |a – b| એ 4 નો ગુણિત છે.}
(ii) R = {(a, b) : a = b}
ગણ A = {0, 1, 2, 3, …, 12} છે.
(i) R = {(a, b) : |a – b| એ 4 નો ગુણિત છે.}
સ્વવાચક: |a – a| = 0. અને 0 એ 4 નો ગુણિત છે (0 × 4 = 0). તેથી (a, a) ∈ R.
સંમિત: |a – b| એ 4 નો ગુણિત હોય, તો |b – a| પણ સમાન મૂલ્ય આપશે અને તે પણ 4 નો ગુણિત થશે. તેથી (b, a) ∈ R.
પરંપરિત: જો |a – b| અને |b – c| એ 4 ના ગુણિત હોય (ધારો કે 4m અને 4n), તો (a – b) + (b – c) = a – c પણ 4 નો ગુણિત થશે (4m + 4n = 4(m+n)). તેથી (a, c) ∈ R.
આમ, તે સામ્ય સંબંધ છે.
1 સાથે સંબંધ ધરાવતા ઘટકો: આપણે એવા b ∈ A શોધવાના છે કે જેથી |1 – b| એ 4 નો ગુણિત હોય.
|1 – b| ની શક્ય કિંમતો {0, 4, 8, 12} હોઈ શકે.
– જો |1 – b| = 0 ⇒ b = 1
– જો |1 – b| = 4 ⇒ b = 5
– જો |1 – b| = 8 ⇒ b = 9
– જો |1 – b| = 12 ⇒ b = 13 (પરંતુ 13 ગણ A માં નથી).
1 સાથે સંબંધિત ગણ = {1, 5, 9}
(ii) R = {(a, b) : a = b}
સ્વવાચક: પ્રત્યેક a માટે a = a સત્ય છે. (a, a) ∈ R.
સંમિત: a = b હોય તો b = a હંમેશા થાય. (b, a) ∈ R.
પરંપરિત: a = b અને b = c હોય તો a = c થાય. (a, c) ∈ R.
આમ, તે સામ્ય સંબંધ છે.
1 સાથે સંબંધ ધરાવતા ઘટકો: શરત મુજબ b = a લેવાનું છે. અહીં a = 1 છે, તેથી b = 1 જ મળે.
1 સાથે સંબંધિત ગણ = {1}
પ્રશ્ન 10: જે (i) સંમિત હોય પરંતુ સ્વવાચક કે પરંપરિત ના હોય, (ii) પરંપરિત હોય પરંતુ સ્વવાચક કે સંમિત ના હોય, (iii) સ્વવાચક અને સંમિત હોય પરંતુ પરંપરિત ના હોય, (iv) સ્વવાચક અને પરંપરિત હોય પરંતુ સંમિત ના હોય, (v) સંમિત અને પરંપરિત હોય પરંતુ સ્વવાચક ના હોય, તેવા સંબંધોનાં ઉદાહરણો આપો.
ઉકેલ: ધારો કે આપણો ગણ A = {1, 2, 3} છે. આ ગણ પર સંબંધ R ની યાદી બનાવીશું.
(i) સંમિત હોય પરંતુ સ્વવાચક/પરંપરિત ન હોય:
R = {(1, 2), (2, 1)}
અહીં (1,2) અને (2,1) છે એટલે સંમિત છે. (1,1) નથી એટલે સ્વવાચક નથી. (1,2) અને (2,1) છે પણ (1,1) નથી એટલે પરંપરિત નથી.

(ii) પરંપરિત હોય પરંતુ સ્વવાચક/સંમિત ન હોય:
R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}
આ પરંપરિત છે. પરંતુ (1,1) નથી એટલે સ્વવાચક નથી. (1,2) છે પણ (2,1) નથી એટલે સંમિત નથી. (અથવા સાદું ઉદાહરણ R = {(1,2)} પણ ચાલે).

(iii) સ્વવાચક અને સંમિત હોય પરંતુ પરંપરિત ન હોય:
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)}
બધા સમાન ઘટકો છે એટલે સ્વવાચક છે. જોડની ઉલટી જોડ છે એટલે સંમિત છે. પરંતુ (1,2) અને (2,3) છે છતાં (1,3) નથી, એટલે પરંપરિત નથી.

(iv) સ્વવાચક અને પરંપરિત હોય પરંતુ સંમિત ન હોય:
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2)}
સ્વવાચક છે. પરંપરિતની શરતનો ભંગ થતો નથી એટલે પરંપરિત છે. પરંતુ (1,2) છે પણ (2,1) નથી એટલે સંમિત નથી.

(v) સંમિત અને પરંપરિત હોય પરંતુ સ્વવાચક ન હોય:
R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
ઉલટી જોડો છે એટલે સંમિત છે. પરંપરિત પણ છે. પરંતુ 3 ∈ A હોવા છતાં (3,3) ∉ R હોવાથી તે સ્વવાચક નથી.
પ્રશ્ન 11: સાબિત કરો કે સમતલમાં આવેલાં બિંદુઓના ગણ A પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(P, Q) : ઊગમબિંદુથી બિંદુ P નું અંતર એ ઊગમબિંદુથી બિંદુ Q ના અંતર જેટલું જ છે} હોય, તો R એ સામ્ય સંબંધ છે. સાબિત કરો કે ઊગમબિંદુ સિવાયના બિંદુ P સાથે સંબંધ R ધરાવતા બધાં જ બિંદુઓનો ગણ એ P માંથી પસાર થતું અને ઊગમબિંદુ કેન્દ્રવાળું વર્તુળ છે.
ઉકેલ: ધારો કે ઊગમબિંદુ O(0,0) છે. શરત મુજબ OP = OQ.
સ્વવાચક: કોઈપણ બિંદુ P માટે OP = OP થાય જ. તેથી (P, P) ∈ R.
સંમિત: જો (P, Q) ∈ R હોય તો OP = OQ થાય. તેને OQ = OP પણ લખાય, એટલે કે (Q, P) ∈ R.
પરંપરિત: જો (P, Q) ∈ R (OP = OQ) અને (Q, S) ∈ R (OQ = OS) હોય, તો સ્પષ્ટ છે કે OP = OS થાય. તેથી (P, S) ∈ R.
આમ, R એ સામ્ય સંબંધ છે.
ભૌમિતિક અર્થઘટન:
આપણને બિંદુ P સાથે સંબંધ ધરાવતા બિંદુઓ Q શોધવા છે. એટલે કે એવા બિંદુઓ જેમના માટે OQ = OP હોય.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈ એક ચોક્કસ બિંદુ (ઊગમબિંદુ O) થી સમાન અંતરે (ત્રિજ્યા r = OP) આવેલા તમામ બિંદુઓનો ગણ એક વર્તુળ (Circle) બનાવે છે. તેથી સાબિત થાય છે કે આ ગણ એ P માંથી પસાર થતું અને ઊગમબિંદુ કેન્દ્રવાળું વર્તુળ છે.
પ્રશ્ન 12: સાબિત કરો કે બધા જ ત્રિકોણોના ગણ A પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(T1, T2) : ત્રિકોણ T1 એ ત્રિકોણ T2 ને સમરૂપ છે}, એ સામ્ય સંબંધ છે. ત્રણ કાટકોણ ત્રિકોણો, T1 ની બાજુઓ 3, 4, 5; T2 ની બાજુઓ 5, 12, 13 અને T3 ની બાજુઓ 6, 8, 10 છે, તો T1, T2 અને T3 માંથી કયા ત્રિકોણો સંબંધ R દ્વારા સંબંધિત છે ?
ઉકેલ: અહીં શરત સમરૂપતા (Similarity ~) ની છે.
સ્વવાચક: પ્રત્યેક ત્રિકોણ પોતાની જાત સાથે સમરૂપ હોય જ (T1 ~ T1). તેથી સ્વવાચક છે.
સંમિત: જો T1 ~ T2 હોય, તો T2 ~ T1 પણ થાય. તેથી સંમિત છે.
પરંપરિત: જો T1 ~ T2 અને T2 ~ T3 હોય, તો T1 ~ T3 થાય. તેથી પરંપરિત છે.
આમ, આ સામ્ય સંબંધ છે.
ત્રિકોણોની ચકાસણી: બે ત્રિકોણો સમરૂપ ત્યારે જ કહેવાય જ્યારે તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર (Ratio) સમાન હોય.
– T1 (3, 4, 5) અને T2 (5, 12, 13) નો ગુણોત્તર સમાન નથી (3/5 ≠ 4/12).
– T1 (3, 4, 5) અને T3 (6, 8, 10) નો ગુણોત્તર તપાસીએ:
3
6
=
4
8
=
5
10
=
1
2
✅ અહીં બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોવાથી T1 અને T3 સમરૂપ છે, તેથી તેઓ સંબંધ R દ્વારા સંબંધિત છે.
પ્રશ્ન 13: સાબિત કરો કે તમામ બહુકોણોના ગણ A પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(P1, P2) : P1 અને P2 ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે.} એ સામ્ય સંબંધ છે. 3, 4 અને 5 લંબાઈની બાજુઓવાળા કાટકોણ ત્રિકોણ સાથે સંબંધ R ધરાવતા ગણ A ના તમામ ઘટકોનો ગણ શું મળશે ?
ઉકેલ: અહીં શરત બાજુઓની સમાન સંખ્યા છે. આ દાખલો 7મા દાખલા (પુસ્તકના પૃષ્ઠો) જેવો જ છે.
– સ્વવાચક: P1 અને P1 ની બાજુઓ સમાન જ હોય.
– સંમિત: P1 ની બાજુઓ = P2 ની બાજુઓ, તો P2 ની બાજુઓ = P1 ની બાજુઓ.
– પરંપરિત: જો P1 = P2 અને P2 = P3 તો P1 = P3 થાય.
તેથી, આ સામ્ય સંબંધ છે.
ત્રિકોણ સાથે સંબંધ ધરાવતો ગણ: 3, 4, 5 લંબાઈ ધરાવતો કાટકોણ ‘ત્રિકોણ’ છે, એટલે કે તેમાં બાજુઓની સંખ્યા 3 છે.
સંબંધની શરત મુજબ 3 બાજુઓ ધરાવતો કોઈપણ બહુકોણ તેની સાથે સંબંધ ધરાવશે. 3 બાજુઓવાળા બહુકોણને આપણે ત્રિકોણ કહીએ છીએ.
✅ માંગેલ ગણ = બધા જ ત્રિકોણોનો ગણ (Set of all triangles) મળશે.
પ્રશ્ન 14: XY સમતલની બધી જ રેખાઓનો ગણ L લો અને L પર સંબંધ R = {(L1, L2) : રેખા L1 એ રેખા L2 ને સમાંતર છે} વડે વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે R સામ્ય સંબંધ છે. જે રેખાઓ y = 2x + 4 સાથે સંબંધ R દ્વારા સંબંધિત હોય તેવી તમામ રેખાઓનો ગણ શોધો.
ઉકેલ: સંબંધ સમાંતર (Parallel ||) રેખાઓનો છે.
– સ્વવાચક: કોઈપણ રેખા L1 પોતાની જાતને સમાંતર ગણી શકાય (L1 || L1).
– સંમિત: જો L1 || L2 હોય, તો L2 || L1 થાય જ.
– પરંપરિત: જો L1 || L2 અને L2 || L3 હોય, તો L1 || L3 હંમેશા થાય.
તેથી, આ સામ્ય સંબંધ છે.
y = 2x + 4 સાથે સંબંધિત રેખાઓ:
આપેલ રેખાનો ઢાળ (Slope) m = 2 છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સમાંતર રેખાઓના ઢાળ હંમેશા સમાન હોય છે. તેથી માંગેલી તમામ રેખાઓનો ઢાળ પણ 2 જ હશે. પરંતુ તેમનો y-અંતઃખંડ (c) કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે.
✅ સંબંધિત રેખાઓનો ગણ = {y = 2x + c, જ્યાં c ∈ R}.
પ્રશ્ન 15: ગણ {1, 2, 3, 4} પર સંબંધ R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} દ્વારા આપેલ છે. સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો :
(A) R સ્વવાચક અને સંમિત છે, પરંતુ પરંપરિત નથી.
(B) R સ્વવાચક અને પરંપરિત છે, પરંતુ સંમિત નથી.
(C) R સંમિત અને પરંપરિત છે, પરંતુ સ્વવાચક નથી.
(D) R સામ્ય સંબંધ છે.
ઉકેલ ચકાસણી: ગણ A = {1, 2, 3, 4} છે.
સ્વવાચક: ગણના 4 સભ્યો માટે (1,1), (2,2), (3,3) અને (4,4) એ R માં હાજર છે. તેથી તે સ્વવાચક છે.
સંમિત: સંબંધમાં (1, 2) હાજર છે, પરંતુ તેનું ઊલટું (2, 1) R માં નથી. તેથી તે સંમિત નથી.
પરંપરિત: જોડીઓ ચકાસીએ: (1, 3) ∈ R અને (3, 2) ∈ R છે. પરંપરિત થવા માટે (1, 2) હોવું જોઈએ, જે R માં હાજર છે. બીજી કોઈ શરતનો ભંગ થતો નથી, તેથી તે પરંપરિત છે.
✅ યોગ્ય વિકલ્પ: (B) R એ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે, પરંતુ સંમિત નથી.
પ્રશ્ન 16: સંબંધ R એ ગણ N પર R = {(a, b) : a = b – 2, b > 6} દ્વારા આપેલ છે. સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો:
(A) (2, 4) ∈ R      (B) (3, 8) ∈ R      (C) (6, 8) ∈ R      (D) (8, 7) ∈ R
ઉકેલ: આપણી પાસે બે શરતો છે: a = b – 2 અને b > 6.
વિકલ્પો ચકાસીએ:
(A) (2, 4): અહીં b = 4 છે. પરંતુ શરત છે કે b > 6 હોવું જોઈએ. તેથી આ ખોટું છે.
(B) (3, 8): અહીં b = 8 (>6) છે. હવે ચકાસીએ: a = 8 – 2 = 6 થવું જોઈએ. પરંતુ અહીં a = 3 આપેલ છે. તેથી આ ખોટું છે.
(C) (6, 8): અહીં b = 8 (>6) છે. હવે ચકાસીએ: a = 8 – 2 = 6 થાય છે. અહીં a = 6 આપેલ છે, જે બંને શરતોને સંતોષે છે.
(D) (8, 7): અહીં b = 7 (>6) છે. ચકાસીએ: a = 7 – 2 = 5 થવું જોઈએ. પરંતુ અહીં a = 8 આપેલ છે. ખોટું.
✅ યોગ્ય વિકલ્પ: (C) (6, 8) ∈ R.

1.2

સ્વાધ્યાય 1.2 : દાખલા 1 થી 12
પ્રશ્ન 1: ધારો કે R* તમામ શૂન્યેતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. સાબિત કરો કે વિધેય f : R* → R*, f(x) =
1
x
વડે વ્યાખ્યાયિત વિધેય f એક-એક અને વ્યાપ્ત છે. જો પ્રદેશ R* ના બદલે N લેવામાં આવે અને સહપ્રદેશ R* જ રહે તો શું આ પરિણામ સત્ય રહેશે ?
ભાગ 1: f : R* → R* માટે
એક-એક (One-one): ધારો કે x1, x2 ∈ R* છે. જો f(x1) = f(x2) હોય, તો:
1
x1
=
1
x2
 ⇒  x1 = x2
તેથી, f એક-એક છે.

વ્યાપ્ત (Onto): ધારો કે સહપ્રદેશમાંથી કોઈપણ y ∈ R* લઈએ. આપણે જાણીએ છીએ કે y ≠ 0.
હવે f(x) = y લઈએ, તો
1
x
= y  ⇒  x =
1
y
.
અહીં y ≠ 0 હોવાથી 1/y પણ શૂન્યેતર વાસ્તવિક સંખ્યા જ મળે (એટલે કે x ∈ R*).
તેથી, પ્રત્યેક y માટે પૂર્વપ્રતિબિંબ x અસ્તિત્વ ધરાવે છે. f વ્યાપ્ત છે.
ભાગ 2: f : N → R* માટે (પ્રદેશ બદલતાં)
એક-એક: x1, x2 ∈ N માટે 1/x1 = 1/x2 ⇒ x1 = x2. આથી એક-એક રહેશે.

વ્યાપ્ત: સહપ્રદેશ R* માંથી ધારો કે y = 1.5 (અથવા 3/2) લઈએ.
સૂત્ર મુજબ x = 1/y = 1 / 1.5 = 2/3 થાય. પરંતુ 2/3 એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી (2/3 ∉ N).
આનો અર્થ એ કે 1.5 ને કોઈ પૂર્વપ્રતિબિંબ નથી. આથી આ વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
✅ નિષ્કર્ષ: જો પ્રદેશ N કરવામાં આવે, તો વિધેય એક-એક રહેશે, પરંતુ વ્યાપ્ત રહેશે નહિ. પરિણામ બદલાઈ જશે.
પ્રશ્ન 2: નીચે આપેલ વિધેયો એક-એક અથવા વ્યાપ્ત અથવા બંને ગુણધર્મ ધરાવતાં વિધેયો છે કે નહિ તે ચકાસો :
(i) f : N → N, f(x) = x2
એક-એક: x12 = x22 ⇒ x1 = x2 (કારણ કે N માં માત્ર ધન સંખ્યાઓ જ હોય છે). એક-એક છે.
વ્યાપ્ત: સહપ્રદેશ N માંથી y = 2 લઈએ. x2 = 2 ⇒ x = √2, પરંતુ √2 ∉ N. વ્યાપ્ત નથી.
(ii) f : Z → Z, f(x) = x2
એક-એક: f(-1) = (-1)2 = 1 અને f(1) = 12 = 1. -1 ≠ 1 છતાં પ્રતિબિંબ સમાન છે. એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત: સહપ્રદેશ Z માંથી y = -2 લઈએ. કોઈ પણ પૂર્ણાંકનો વર્ગ ઋણ ન હોઈ શકે (x2 = -2 શક્ય નથી). વ્યાપ્ત નથી.
(iii) f : R → R, f(x) = x2
એક-એક: Z ની જેમ જ, f(-1) = 1 અને f(1) = 1. એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત: Z ની જેમ જ, y = -2 માટે કોઈ વાસ્તવિક x નથી કે જેથી x2 = -2 થાય. વ્યાપ્ત નથી.
(iv) f : N → N, f(x) = x3
એક-એક: x13 = x23 ⇒ x1 = x2. એક-એક છે.
વ્યાપ્ત: સહપ્રદેશ N માંથી y = 2 લઈએ. x3 = 2 ⇒ x = 21/3, જે N માં નથી. વ્યાપ્ત નથી.
(v) f : Z → Z, f(x) = x3
એક-એક: પૂર્ણાંકો માટે ઘન (Cube) અજોડ હોય છે (x13 = x23 ⇒ x1 = x2). એક-એક છે.
વ્યાપ્ત: સહપ્રદેશ Z માંથી y = 2 લઈએ. x3 = 2 ⇒ x = 21/3, જે Z (પૂર્ણાંક) નથી. વ્યાપ્ત નથી.
પ્રશ્ન 3: સાબિત કરો કે f : R → R, f(x) = [x] દ્વારા વ્યાખ્યાયિત મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય (Greatest integer function) એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.
એક-એક નથી: મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય અપૂર્ણાંક કિંમતોને તેની નીચેના પૂર્ણાંકમાં ફેરવે છે.
ધારો કે x1 = 1.2 અને x2 = 1.9.
f(1.2) = [1.2] = 1 અને f(1.9) = [1.9] = 1.
અહીં 1.2 ≠ 1.9 છતાં તેમના પ્રતિબિંબ સમાન છે. તેથી તે એક-એક નથી.

વ્યાપ્ત નથી: આ વિધેયનો વિસ્તાર (Range) માત્ર પૂર્ણાંકો (Z) છે.
જો આપણે સહપ્રદેશ R માંથી y = 1.5 લઈએ, તો [x] = 1.5 થાય એવો કોઈ વાસ્તવિક x અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી. તેથી તે વ્યાપ્ત નથી.
✅ જે સાબિત કરવાનું હતું તે મળી ગયું છે.
પ્રશ્ન 4: સાબિત કરો કે માનાંક વિધેય f : R → R, f(x) = |x| દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય એક-એક નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.
એક-એક નથી: માનાંક ઋણ સંખ્યાને ધન બનાવે છે.
ધારો કે x1 = -1 અને x2 = 1.
f(-1) = |-1| = 1 અને f(1) = |1| = 1.
અહીં -1 ≠ 1 છતાં પ્રતિબિંબ સમાન છે. તેથી તે એક-એક નથી.

વ્યાપ્ત નથી: માનાંક વિધેયનો જવાબ ક્યારેય ઋણ આવતો નથી. (વિસ્તાર [0, ∞) છે).
સહપ્રદેશ R માંથી કોઈ ઋણ સંખ્યા, ધારો કે y = -2 લઈએ. |x| = -2 થાય તેવો કોઈ વાસ્તવિક x હોઈ શકે નહિ. તેથી તે વ્યાપ્ત નથી.
✅ જે સાબિત કરવાનું હતું તે મળી ગયું છે.
પ્રશ્ન 5: સાબિત કરો કે ચિહ્ન વિધેય (Signum Function) f : R → R,
f(x) = 1 (x > 0), 0 (x = 0), -1 (x < 0) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય એક-એક નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.
એક-એક નથી: ચિહ્ન વિધેય મુજબ તમામ ધન સંખ્યાઓનો જવાબ 1 જ આવે છે.
f(1) = 1 અને f(2) = 1.
1 ≠ 2 હોવા છતાં જવાબ સમાન છે. તેથી તે એક-એક નથી.

વ્યાપ્ત નથી: આ વિધેયનો વિસ્તાર માત્ર ત્રણ જ સંખ્યાઓ {-1, 0, 1} નો બનેલો છે.
જો સહપ્રદેશ R માંથી y = 2 લઈએ, તો એવો કોઈ x નથી કે જેના માટે f(x) = 2 થાય. તેથી તે વ્યાપ્ત નથી.
✅ જે સાબિત કરવાનું હતું તે મળી ગયું છે.
પ્રશ્ન 6: A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} છે અને વિધેય f : A → B, f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે f એક-એક છે.
ઉકેલ:
અહીં f નાં ક્રમયુક્ત જોડ (Ordered pairs) પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
f(1) = 4
f(2) = 5
f(3) = 6
પ્રદેશ A ના પ્રત્યેક ભિન્ન ઘટકનું સહપ્રદેશ B માં પ્રતિબિંબ ભિન્ન (અલગ-અલગ) મળે છે.
કોઈપણ બે ઘટકોનો જવાબ એકસરખો આવતો નથી.
✅ તેથી વિધેય f એ એક-એક (One-one) વિધેય છે. સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 7: નીચે આપેલ પ્રત્યેક પ્રશ્નમાં આપેલાં વિધેય એક-એક છે કે નહિ, વ્યાપ્ત છે કે નહિ અથવા એક-એક અને વ્યાપ્ત છે કે નહિ તે નક્કી કરો. તમારા જવાબનું સમર્થન કરો :
(i) f : R → R એ f(x) = 3 – 4x દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે.
(ii) f : R → R એ f(x) = 1 + x2 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે.
(i) f(x) = 3 – 4x
એક-એક: ધારો કે f(x1) = f(x2)
3 – 4x1 = 3 – 4x2
-4x1 = -4x2  ⇒  x1 = x2. તેથી તે એક-એક છે.

વ્યાપ્ત: ધારો કે સહપ્રદેશ R માં y છે. y = 3 – 4x લેતાં:
4x = 3 – y  ⇒  x =
3 – y
4
.
પ્રત્યેક વાસ્તવિક y માટે, (3 – y)/4 પણ વાસ્તવિક સંખ્યા જ થાય (x ∈ R). અને f((3-y)/4) = y મળે છે. તેથી તે વ્યાપ્ત છે.
✅ આ વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને (Bijective) છે.
(ii) f(x) = 1 + x2
એક-એક: f(1) = 1 + 12 = 2 અને f(-1) = 1 + (-1)2 = 2.
1 ≠ -1 હોવા છતાં f(1) = f(-1) છે. તેથી તે એક-એક નથી.

વ્યાપ્ત: સહપ્રદેશ R માંથી y = -2 લઈએ.
1 + x2 = -2 ⇒ x2 = -3. કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ ન હોઈ શકે. તેથી તે વ્યાપ્ત નથી.
✅ આ વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.
પ્રશ્ન 8: A અને B આપેલ ગણ છે. સાબિત કરો કે f : A × B → B × A, f(a, b) = (b, a) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.
ઉકેલ:
એક-એક: ધારો કે (a1, b1) અને (a2, b2) ∈ A × B છે. જો f(a1, b1) = f(a2, b2) હોય, તો વિધેયના નિયમ મુજબ:
(b1, a1) = (b2, a2)
ક્રમયુક્ત જોડની સમાનતા મુજબ: b1 = b2 અને a1 = a2.
તેથી, (a1, b1) = (a2, b2) સાબિત થાય છે. આથી વિધેય એક-એક છે.
વ્યાપ્ત: સહપ્રદેશ B × A માં આવેલી કોઈપણ ક્રમયુક્ત જોડ (b, a) માટે, પ્રદેશ A × B માં હંમેશા એવી જોડ (a, b) હાજર હોય જ, કે જેથી f(a, b) = (b, a) થાય. આથી વિધેય વ્યાપ્ત છે.
✅ તેથી સાબિત થાય છે કે વિધેય f એક-એક અને વ્યાપ્ત (Bijective) છે.
પ્રશ્ન 9: ધારો કે, f : N → N,
f(n) = {
n + 1
2
(જ્યારે n અયુગ્મ હોય),
n
2
(જ્યારે n યુગ્મ હોય) } દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય આપેલ છે. વિધેય f એક-એક છે કે નહિ તથા વ્યાપ્ત છે કે નહિ તે નિશ્ચિત કરો. તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
એક-એક નથી: ચાલો n = 1 (અયુગ્મ) અને n = 2 (યુગ્મ) લઈએ.
f(1) = (1+1)/2 = 2/2 = 1.
f(2) = 2/2 = 1.
અહીં 1 ≠ 2 હોવા છતાં f(1) = f(2) થાય છે. તેથી આ વિધેય એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત છે: સહપ્રદેશ N ની કોઈપણ સંખ્યા y માટે:
જો n = 2y (જે હંમેશા યુગ્મ હશે) લઈએ, તો f(2y) = 2y/2 = y મળે છે.
એટલે કે દરેક y માટે પૂર્વપ્રતિબિંબ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી તે વ્યાપ્ત છે.
✅ જવાબ: આ વિધેય વ્યાપ્ત છે, પરંતુ એક-એક નથી. (તેથી તે Bijective નથી).
પ્રશ્ન 10: A = R – {3} અને B = R – {1} છે. f(x) =
x – 2
x – 3
દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય f : A → B નો વિચાર કરો. શું f એક-એક અને વ્યાપ્ત છે ? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
એક-એક: ધારો કે f(x1) = f(x2) છે.
x1 – 2
x1 – 3
=
x2 – 2
x2 – 3

ચોકડી ગુણાકાર કરતાં:
(x1 – 2)(x2 – 3) = (x2 – 2)(x1 – 3)
x1x2 – 3x1 – 2x2 + 6 = x1x2 – 2x1 – 3x2 + 6
-3x1 – 2x2 = -2x1 – 3x2
-x1 = -x2  ⇒  x1 = x2. તેથી તે એક-એક છે.
વ્યાપ્ત: ધારો કે y ∈ B. y = f(x) લેતાં:
y =
x – 2
x – 3

y(x – 3) = x – 2
xy – 3y = x – 2
xy – x = 3y – 2
x(y – 1) = 3y – 2  ⇒  x =
3y – 2
y – 1
અહીં y ∈ B (R – {1}) હોવાથી y ≠ 1 છે, તેથી x વ્યાખ્યાયિત છે.
વળી, જો x = 3 હોય, તો 3 = (3y – 2)/(y – 1) ⇒ 3y – 3 = 3y – 2 ⇒ -3 = -2 જે અશક્ય છે. એટલે કે x ≠ 3 (જેથી x ∈ A થાય).
પ્રત્યેક y માટે યોગ્ય x મળતો હોવાથી આ વિધેય વ્યાપ્ત છે.
✅ જવાબ: હા, વિધેય f એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.
પ્રશ્ન 11: f : R → R, f(x) = x4 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.
ચકાસણી:
– એક-એક નથી: f(1) = 14 = 1 અને f(-1) = (-1)4 = 1. 1 ≠ -1 છતાં જવાબ સમાન છે.
– વ્યાપ્ત નથી: સહપ્રદેશ R માંથી y = -2 લઈએ. x4 = -2. કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યાની 4 ઘાત ઋણ ન હોઈ શકે.
✅ સાચો વિકલ્પ: (D) f એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.
પ્રશ્ન 12: વિધેય f : R → R, f(x) = 3x દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.
ચકાસણી:
– એક-એક છે: 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2.
– વ્યાપ્ત છે: કોઈપણ વાસ્તવિક y માટે, y = 3x ⇒ x = y/3 જે વાસ્તવિક સંખ્યા (R) છે.
✅ સાચો વિકલ્પ: (A) f એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.
પ્રકીર્ણ સ્વાધ્યાય 1 : સંબંધ અને વિધેય
પ્રશ્ન 1: સાબિત કરો કે વિધેય f : R → {x ∈ R : -1 < x < 1}, f(x) =
x
1 + |x|
, એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે.
(i) એક-એક વિધેય માટે:
ધારો કે f(x) = f(y). આપણે સાબિત કરવું પડે કે x = y. અહીં આપણે ત્રણ વિકલ્પો વિચારીશું:
વિકલ્પ 1: જો x ≥ 0 અને y ≥ 0 હોય, તો |x| = x અને |y| = y.
x
1 + x
=
y
1 + y
 ⇒  x(1 + y) = y(1 + x)  ⇒  x + xy = y + xy  ⇒  x = y
વિકલ્પ 2: જો x < 0 અને y < 0 હોય, તો |x| = –x અને |y| = –y.
x
1 – x
=
y
1 – y
 ⇒  x(1 – y) = y(1 – x)  ⇒  x – xy = y – xy  ⇒  x = y
વિકલ્પ 3: જો x ≥ 0 અને y < 0 હોય, તો |x| = x અને |y| = –y.
x
1 + x
=
y
1 – y
 ⇒  x(1 – y) = y(1 + x)  ⇒  x – xy = y + xy  ⇒  x – y = 2xy
અહીં ડાબી બાજુ (x – y) ધન છે, જ્યારે જમણી બાજુ (2xy) ઋણ છે, જે શક્ય નથી. તેથી આવો વિકલ્પ અશક્ય છે.
આમ, દરેક શક્ય વિકલ્પ માટે f(x) = f(y) ⇒ x = y હોવાથી, f એક-એક વિધેય છે.
(ii) વ્યાપ્ત વિધેય માટે:
ધારો કે કોઈ y ∈ (-1, 1) માટે f(x) = y છે.
જો 0 ≤ y < 1 હોય: તો x ≥ 0 હશે.
x
1 + x
= y  ⇒  x = y + xy  ⇒  x(1 – y) = y  ⇒  x =
y
1 – y
અહીં y < 1 હોવાથી 1 – y > 0 થાય, તેથી x ≥ 0 મળે છે.
જો -1 < y < 0 હોય: તો x < 0 હશે.
x
1 – x
= y  ⇒  x = y – xy  ⇒  x(1 + y) = y  ⇒  x =
y
1 + y
અહીં y > -1 હોવાથી 1 + y > 0 થાય, અને અંશ ઋણ હોવાથી x < 0 મળે છે.
આમ, સહપ્રદેશના દરેક y માટે પ્રદેશમાં પૂર્વ-પ્રતિબિંબ x મળે જ છે. તેથી f વ્યાપ્ત વિધેય છે.
✅ સાબિત થાય છે કે f એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે.
પ્રશ્ન 2: સાબિત કરો કે વિધેય f : R → R, f(x) = x3 એક-એક છે.
ઉકેલ: ધારો કે પ્રદેશ R માંથી બે સભ્યો x1 અને x2 એવા છે કે જેથી f(x1) = f(x2).
x13 = x23
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતાં (વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે જો બે સંખ્યાઓના ઘન સમાન હોય, તો તે સંખ્યાઓ પણ સમાન જ હોય):
x1 = x2
✅ આમ, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 સાબિત થતું હોવાથી, f એક-એક વિધેય છે.
પ્રશ્ન 3: X એ આપેલ અરિક્ત ગણ છે. X ના તમામ ઉપગણોના ગણ P(X) નો વિચાર કરો. P(X) માં સંબંધ R આ પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત છે :
P(X) ના ઉપગણો A અને B માટે, A ⊂ B તો અને તો જ ARB.
R, P(X) પર સામ્ય સંબંધ છે ? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
ઉકેલ: સામ્ય સંબંધ માટે સંબંધ R એ સ્વવાચક, સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
અહીં સંબંધ R વ્યાખ્યાયિત છે: A R B ⇔ A ⊂ B
1. સ્વવાચક (Reflexive):
કોઈપણ ગણ A માટે, તે પોતાનો જ ઉપગણ હોય છે. એટલે કે A ⊂ A.
તેથી A R A સત્ય છે. R સ્વવાચક સંબંધ છે.
2. સંમિત (Symmetric):
જો A R B હોય, તો A ⊂ B થાય. પરંતુ આનો અર્થ એવો નથી થતો કે B ⊂ A પણ થાય જ (સિવાય કે A = B).
ઉદાહરણ તરીકે: ધારો કે X = {1, 2}. A = {1} અને B = {1, 2}.
અહીં A ⊂ B છે (એટલે કે A R B), પરંતુ B ⊄ A (એટલે કે B R A સત્ય નથી).
તેથી R સંમિત સંબંધ નથી.
જો સંબંધ સંમિત જ ન હોય, તો તે સામ્ય સંબંધ બની શકે નહીં.
✅ જવાબ: ના, R એ P(X) પર સામ્ય સંબંધ નથી.
પ્રશ્ન 4: ગણ {1, 2, 3, …, n} થી {1, 2, 3, …, n} સુધીનાં તમામ વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા શોધો.
ઉકેલ: આપેલ ગણ A = {1, 2, 3, …, n} છે. અહીં પ્રદેશ અને સહપ્રદેશ બંને સમાન છે અને તેમાં n ઘટકો છે.
જ્યારે કોઈ શાંત ગણ પરથી તે જ ગણ પર કોઈ વિધેય વ્યાપ્ત (Onto) હોય, ત્યારે તે ફરજિયાતપણે એક-એક (One-One) વિધેય પણ હોય જ છે.
આવા એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા એટલે કે ગણ A ના n ઘટકોની n સ્થાનો પર ગોઠવણી (ક્રમચય – Permutation).
n વસ્તુઓને n સ્થાનો પર ગોઠવવાના પ્રકાર = n! (n ફેક્ટોરિયલ).
✅ જવાબ: તમામ વ્યાપ્ત વિધેયોની કુલ સંખ્યા n! છે.
પ્રશ્ન 5: A = {-1, 0, 1, 2}, B = {-4, -2, 0, 2} અને વિધેયો f, g : A → B, f(x) = x2 – x, x ∈ A અને g(x) = 2|x –
1
2
| – 1, x ∈ A દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. f અને g સમાન વિધેયો છે ? તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસો.
ઉકેલ: બે વિધેયો f અને g સમાન ત્યારે જ કહેવાય જ્યારે તેમના પ્રદેશ સમાન હોય અને પ્રદેશના પ્રત્યેક ઘટક a માટે f(a) = g(a) થાય.
અહીં પ્રદેશ A = {-1, 0, 1, 2} છે. આપણે દરેક ઘટક માટે કિંમતો શોધીએ:
x = -1 માટે:
f(-1) = (-1)2 – (-1) = 1 + 1 = 2
g(-1) = 2|-1 –
1
2
| – 1 = 2|–
3
2
| – 1 = 2(
3
2
) – 1 = 3 – 1 = 2
x = 0 માટે:
f(0) = (0)2 – 0 = 0
g(0) = 2|0 –
1
2
| – 1 = 2|–
1
2
| – 1 = 2(
1
2
) – 1 = 1 – 1 = 0
x = 1 માટે:
f(1) = (1)2 – 1 = 1 – 1 = 0
g(1) = 2|1 –
1
2
| – 1 = 2|
1
2
| – 1 = 2(
1
2
) – 1 = 1 – 1 = 0
x = 2 માટે:
f(2) = (2)2 – 2 = 4 – 2 = 2
g(2) = 2|2 –
1
2
| – 1 = 2|
3
2
| – 1 = 2(
3
2
) – 1 = 3 – 1 = 2
આમ, દરેક x ∈ A માટે f(x) = g(x) થાય છે.
✅ જવાબ: હા, f અને g સમાન વિધેયો છે.
સૂચના: પ્રશ્નો 6 તથા 7 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો.
પ્રશ્ન 6: ગણ A = {1, 2, 3} લો. ઘટક (1, 2) અને (1, 3) સમાવતા હોય અને સ્વવાચક અને સંમિત હોય, પરંતુ પરંપરિત ન હોય તેવા સંબંધોની સંખ્યા ……… છે.

(A) 1               (B) 2               (C) 3               (D) 4
ઉકેલ: ધારો કે સંબંધ R છે.
1. સ્વવાચક હોવાથી તેમાં (1,1), (2,2), (3,3) હોવા જ જોઈએ.
2. રકમ મુજબ તેમાં (1,2) અને (1,3) હોવા જોઈએ.
3. સંમિત હોવાથી, જો (1,2) હોય તો (2,1) હોવું જોઈએ અને (1,3) હોય તો (3,1) હોવું જોઈએ.
આ શરતોને આધીન ન્યૂનતમ સંબંધ આવો બને:
R1 = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1)}
હવે ચકાસીએ કે શું આ પરંપરિત છે?
અહીં (2,1) ∈ R1 અને (1,3) ∈ R1 છે, પરંતુ (2,3) ∉ R1. તેથી તે પરંપરિત નથી.
જો આપણે આ સંબંધમાં (2,3) ઉમેરીએ, તો સંમિતતા જાળવવા (3,2) પણ ઉમેરવું પડે. આમ કરવાથી તે સાર્વત્રિક સંબંધ A × A બની જશે, જે પરંપરિત પણ છે! પરંતુ આપણને પરંપરિત “ન હોય” તેવો સંબંધ જોઈએ છે.
તેથી આવો માત્ર એક જ સંબંધ R1 શક્ય છે.
✅ સાચો વિકલ્પ: (A) 1
પ્રશ્ન 7: ગણ A = {1, 2, 3} લો. (1, 2) ને સમાવતા સામ્ય સંબંધોની સંખ્યા ……… છે.

(A) 1               (B) 2               (C) 3               (D) 4
ઉકેલ: સામ્ય સંબંધ સ્વવાચક, સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
1. સ્વવાચક હોવાથી: (1,1), (2,2), (3,3) હોવા જોઈએ.
2. આપેલ શરત: (1,2) હોવું જોઈએ.
3. સંમિત હોવાથી: (2,1) પણ હોવું જોઈએ.
આટલા ઘટકોથી બનતો સંબંધ R1 = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)} છે. આ સંબંધ પરંપરિત પણ છે જ. તેથી આ પ્રથમ સામ્ય સંબંધ થયો.
હવે જો આપણે આમાં કોઈ નવો ઘટક ઉમેરીએ, ધારો કે (1,3) ઉમેરીએ. તો સંમિતતા માટે (3,1) ઉમેરવું પડે.
હવે (3,1) અને (1,2) હાજર છે, તો પરંપરિતતા જાળવવા (3,2) પણ ઉમેરવું પડે. સંમિતતા માટે (2,3) પણ ઉમેરાશે.
આમ કરવાથી આ સંબંધ સાર્વત્રિક સંબંધ (Universal Relation) R2 = A × A બની જાય છે. સાર્વત્રિક સંબંધ હંમેશા સામ્ય સંબંધ હોય જ છે. આ બીજો સામ્ય સંબંધ થયો.
આનાથી વિશેષ કોઈ સંબંધ શક્ય નથી.
✅ સાચો વિકલ્પ: (B) 2

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *