સ્વાધ્યાય 11.1 : ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ
પ્રશ્ન 1: જો કોઈ રેખા x-અક્ષ, y-અક્ષ અને z-અક્ષ સાથે અનુક્રમે 90°, 135°, 45° માપના ખૂણા બનાવે, તો તેની દિક્કોસાઈન શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે રેખા યામાક્ષો સાથે અનુક્રમે α, β અને γ ખૂણા બનાવે છે.
α = 90°, β = 135°, γ = 45°
દિક્કોસાઈન l, m, n નીચે મુજબ શોધી શકાય:
l = cos α = cos 90° = 0
m = cos β = cos 135° = cos(180° – 45°) = -cos 45° = –
1
√2
n = cos γ = cos 45° =
1
√2
✅ જવાબ: માંગેલી રેખાની દિક્કોસાઈન (0, –, ) છે.
1
√2
1
√2
પ્રશ્ન 2: યામાક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવતી રેખાની દિક્કોસાઈન શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે રેખા યામાક્ષો સાથે સમાન ખૂણો α બનાવે છે.
તેથી, દિક્કોસાઈન l = cos α, m = cos α અને n = cos α થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે, l2 + m2 + n2 = 1.
cos2 α + cos2 α + cos2 α = 1
3 cos2 α = 1
cos2 α = ⇒ cos α = ±
3 cos2 α = 1
cos2 α =
1
3
1
√3
તેથી l = ±1/√3, m = ±1/√3, n = ±1/√3.
✅ જવાબ: સમાન ખૂણા બનાવતી રેખાની દિક્કોસાઈન ( ±, ±, ±) છે.
1
√3
1
√3
1
√3
પ્રશ્ન 3: જો રેખાના દિક્ગુણોત્તર -18, 12, -4 હોય, તો તેની દિક્કોસાઈન શોધો.
ઉકેલ: અહીં આપેલ રેખાના દિક્ગુણોત્તર (Direction Ratios) a = -18, b = 12 અને c = -4 છે.
સૌથી પહેલા $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ શોધીએ:
r = √((-18)2 + 122 + (-4)2)
r = √(324 + 144 + 16)
r = √484 = 22
r = √(324 + 144 + 16)
r = √484 = 22
દિક્કોસાઈન l, m, n માટે સૂત્ર: l = a/r, m = b/r, n = c/r.
l = = –
m = =
n = = –
-18
22
9
11
m =
12
22
6
11
n =
-4
22
2
11
✅ જવાબ: રેખાની દિક્કોસાઈન ( –, , –) છે.
9
11
6
11
2
11
પ્રશ્ન 4: સાબિત કરો કે બિંદુઓ (2, 3, 4), (-1, -2, 1), (5, 8, 7) સમરેખ છે.
ઉકેલ: ધારો કે આપેલ બિંદુઓ A(2, 3, 4), B(-1, -2, 1) અને C(5, 8, 7) છે.
સમરેખતા ચકાસવા માટે આપણે રેખાખંડ AB અને BC ના દિક્ગુણોત્તર મેળવીશું.
રેખા AB ના દિક્ગુણોત્તર:
(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = (-1 – 2, -2 – 3, 1 – 4) = (-3, -5, -3)
રેખા BC ના દિક્ગુણોત્તર:
(5 – (-1), 8 – (-2), 7 – 1) = (5 + 1, 8 + 2, 7 – 1) = (6, 10, 6)
અહીં સ્પષ્ટપણે જોઈ શકાય છે કે BC ના દિક્ગુણોત્તર એ AB ના દિક્ગુણોત્તરના -2 ગણા છે.
(6, 10, 6) = -2 (-3, -5, -3)
આનો અર્થ એ થાય કે રેખા AB અને રેખા BC ના દિક્ગુણોત્તર સમપ્રમાણમાં છે. તેથી, રેખા AB સમાંતર રેખા BC થાય. પરંતુ, બંનેમાં બિંદુ B સામાન્ય (Common) છે.
✅ આમ, સામાન્ય બિંદુ B હોવાથી અને દિક્ગુણોત્તર સમપ્રમાણમાં હોવાથી સાબિત થાય છે કે A, B અને C સમરેખ બિંદુઓ છે.
પ્રશ્ન 5: (3, 5, -4), (-1, 1, 2) અને (-5, -5, -2) શિરોબિંદુવાળા ત્રિકોણની બાજુઓની દિક્કોસાઈન શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ A(3, 5, -4), B(-1, 1, 2) અને C(-5, -5, -2) છે. આપણે ત્રણેય બાજુઓ AB, BC અને CA ની દિક્કોસાઈન શોધવાની છે.
બાજુ AB માટે:
AB ના દિક્ગુણોત્તર = (-1 – 3, 1 – 5, 2 – (-4)) = (-4, -4, 6)
AB નું માન = √((-4)2 + (-4)2 + 62) = √(16 + 16 + 36) = √68 = 2√17
AB ની દિક્કોસાઈન:
-4
2√17
-4
2√17
6
2√17
2
√17
2
√17
3
√17
બાજુ BC માટે:
BC ના દિક્ગુણોત્તર = (-5 – (-1), -5 – 1, -2 – 2) = (-4, -6, -4)
BC નું માન = √((-4)2 + (-6)2 + (-4)2) = √(16 + 36 + 16) = √68 = 2√17
BC ની દિક્કોસાઈન:
-4
2√17
-6
2√17
-4
2√17
2
√17
3
√17
2
√17
બાજુ CA માટે:
CA ના દિક્ગુણોત્તર = (3 – (-5), 5 – (-5), -4 – (-2)) = (8, 10, -2)
CA નું માન = √(82 + 102 + (-2)2) = √(64 + 100 + 4) = √168 = √(4 × 42) = 2√42
CA ની દિક્કોસાઈન:
8
2√42
10
2√42
-2
2√42
4
√42
5
√42
1
√42
✅ જવાબ:
AB ની દિક્કોસાઈન = (-2/√17, -2/√17, 3/√17)
BC ની દિક્કોસાઈન = (-2/√17, -3/√17, -2/√17)
CA ની દિક્કોસાઈન = (4/√42, 5/√42, -1/√42)
AB ની દિક્કોસાઈન = (-2/√17, -2/√17, 3/√17)
BC ની દિક્કોસાઈન = (-2/√17, -3/√17, -2/√17)
CA ની દિક્કોસાઈન = (4/√42, 5/√42, -1/√42)
સ્વાધ્યાય 11.2 : રેખાના સમીકરણો
પ્રશ્ન 1: સાબિત કરો કે , , ; , , ; , , દિક્કોસાઈનવાળી ત્રણ રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
12
13
-3
13
-4
13
4
13
12
13
3
13
3
13
-4
13
12
13
ઉકેલ: ધારો કે ત્રણ રેખાઓ L1, L2 અને L3 ની દિક્કોસાઈન અનુક્રમે (l1, m1, n1), (l2, m2, n2) અને (l3, m3, n3) છે. બે રેખાઓ લંબ થવા માટેની શરત l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 છે.
(i) L1 અને L2 માટે:
l1l2 + m1m2 + n1n2 = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( )
12
13
4
13
-3
13
12
13
-4
13
3
13
= – – = = 0
48
169
36
169
12
169
48 – 48
169
તેથી L1 ⊥ L2.
(ii) L2 અને L3 માટે:
l2l3 + m2m3 + n2n3 = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( )
4
13
3
13
12
13
-4
13
3
13
12
13
= – + = = 0
12
169
48
169
36
169
48 – 48
169
તેથી L2 ⊥ L3.
(iii) L3 અને L1 માટે:
l3l1 + m3m1 + n3n1 = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( )
3
13
12
13
-4
13
-3
13
12
13
-4
13
= + – = = 0
36
169
12
169
48
169
48 – 48
169
તેથી L3 ⊥ L1.
✅ ત્રણેય શરતોનું પાલન થતું હોવાથી, સાબિત થાય છે કે ત્રણેય રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
પ્રશ્ન 2: સાબિત કરો કે (1, -1, 2), (3, 4, -2) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા, (0, 3, 2) અને (3, 5, 6) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાને લંબ છે.
ઉકેલ: ધારો કે રેખા AB એ બિંદુઓ A(1, -1, 2) અને B(3, 4, -2) માંથી પસાર થાય છે, અને રેખા CD એ બિંદુઓ C(0, 3, 2) અને D(3, 5, 6) માંથી પસાર થાય છે.
રેખા AB ના દિક્ગુણોત્તર (a1, b1, c1):
(3 – 1, 4 – (-1), -2 – 2) = (2, 5, -4)
રેખા CD ના દિક્ગુણોત્તર (a2, b2, c2):
(3 – 0, 5 – 3, 6 – 2) = (3, 2, 4)
બે રેખાઓ લંબ હોવાની શરત a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0 ચકાસીએ:
(2)(3) + (5)(2) + (-4)(4) = 6 + 10 – 16 = 16 – 16 = 0
✅ અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય મળતો હોવાથી, સાબિત થાય છે કે બંને રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
પ્રશ્ન 3: સાબિત કરો કે (4, 7, 8), (2, 3, 4) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા, (-1, -2, 1), (1, 2, 5) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાને સમાંતર છે.
ઉકેલ: ધારો કે પ્રથમ રેખા L1 બિંદુઓ A(4, 7, 8) અને B(2, 3, 4) માંથી પસાર થાય છે, અને બીજી રેખા L2 બિંદુઓ C(-1, -2, 1) અને D(1, 2, 5) માંથી પસાર થાય છે.
રેખા L1 ના દિક્ગુણોત્તર (a1, b1, c1):
(2 – 4, 3 – 7, 4 – 8) = (-2, -4, -4)
રેખા L2 ના દિક્ગુણોત્તર (a2, b2, c2):
(1 – (-1), 2 – (-2), 5 – 1) = (2, 4, 4)
જો બે રેખાઓ સમાંતર હોય, તો તેમના દિક્ગુણોત્તર સમપ્રમાણમાં હોય છે:
a1
a2
-2
2
b1
b2
-4
4
c1
c2
-4
4
✅ ગુણોત્તર સમાન (-1) હોવાથી સાબિત થાય છે કે બંને રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
પ્રશ્ન 4: બિંદુ (1, 2, 3) માંથી પસાર થતી અને સદિશ 3i + 2j – 2k ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉકેલ: આપેલ બિંદુનો સ્થાનસદિશ a = i + 2j + 3k છે.
રેખાની દિશાનો સદિશ b = 3i + 2j – 2k છે.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ: r = a + λb (જ્યાં λ કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે).
✅ જવાબ: રેખાનું સમીકરણ r = (i + 2j + 3k) + λ(3i + 2j – 2k) છે.
પ્રશ્ન 5: જેનો સ્થાનસદિશ 2i – j + 4k હોય તેવા બિંદુમાંથી પસાર થતી અને i + 2j – k દિશાવાળી રેખાનું સમીકરણ સદિશ અને કાર્તેઝિય સ્વરૂપમાં મેળવો.
ઉકેલ: આપેલ બિંદુ a = 2i – j + 4k, એટલે કે યામ (x1, y1, z1) = (2, -1, 4) છે.
રેખાની દિશા b = i + 2j – k, એટલે કે દિક્ગુણોત્તર (a, b, c) = (1, 2, -1) છે.
(i) સદિશ સમીકરણ (r = a + λb):
✅ r = (2i – j + 4k) + λ(i + 2j – k)
(ii) કાર્તેઝિય સમીકરણ ( = = ) :
x – x1
a
y – y1
b
z – z1
c
x – 2
1
y – (-1)
2
z – 4
-1
✅ = =
x – 2
1
y + 1
2
z – 4
-1
પ્રશ્ન 6: બિંદુ (-2, 4, -5) માંથી પસાર થતી અને રેખા = = ને સમાંતર રેખાનું કાર્તેઝિય સમીકરણ શોધો.
x + 3
3
y – 4
5
z + 8
6
ઉકેલ: આપેલ રેખાને સમાંતર હોવાથી, માંગેલી રેખાની દિશા પણ સમાન જ થશે. આપેલ રેખાના છેદ પરથી દિક્ગુણોત્તર (a, b, c) = (3, 5, 6) મળે છે.
માંગેલ રેખા બિંદુ (x1, y1, z1) = (-2, 4, -5) માંથી પસાર થાય છે.
કાર્તેઝિય સમીકરણનું સૂત્ર:
x – x1
a
y – y1
b
z – z1
c
x – (-2)
3
y – 4
5
z – (-5)
6
✅ જવાબ: રેખાનું સમીકરણ = = છે.
x + 2
3
y – 4
5
z + 5
6
પ્રશ્ન 7: રેખાનું કાર્તેઝિય સમીકરણ = = છે. તેનું સદિશ સ્વરૂપ લખો.
x – 5
3
y + 4
7
z – 6
2
ઉકેલ: આપેલ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ ( = = ) સાથે સરખાવતાં:
x – x1
a
y – y1
b
z – z1
c
x – 5
3
y – (-4)
7
z – 6
2
અહીંથી પસાર થતું બિંદુ (x1, y1, z1) = (5, -4, 6) મળે છે, તેથી સ્થાનસદિશ a = 5i – 4j + 6k.
દિશા (a, b, c) = (3, 7, 2) મળે છે, તેથી દિશા સદિશ b = 3i + 7j + 2k.
સદિશ સમીકરણ r = a + λb મુજબ:
✅ જવાબ: r = (5i – 4j + 6k) + λ(3i + 7j + 2k)
સ્વાધ્યાય 11.2 : રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો અને લઘુત્તમ અંતર
પ્રશ્ન 8: નીચે આપેલી રેખાઓની જોડ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો:
(i) r = 2i – 5j + k + λ(3i + 2j + 6k) અને r = 7i – 6k + μ(i + 2j + 2k)
ઉકેલ: અહીં દિશા સદિશો b1 = 3i + 2j + 6k અને b2 = i + 2j + 2k છે.
ખૂણા માટે સૂત્ર: cos θ =
|b1 · b2|
|b1| |b2|
b1 · b2 = (3)(1) + (2)(2) + (6)(2) = 3 + 4 + 12 = 19
|b1| = √(32 + 22 + 62) = √(9 + 4 + 36) = √49 = 7
|b2| = √(12 + 22 + 22) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
cos θ = =
19
7 × 3
19
21
✅ જવાબ (i): θ = cos-1( )
19
21
(ii) r = 3i + j – 2k + λ(i – j – 2k) અને r = 2i – j – 56k + μ(3i – 5j – 4k)
ઉકેલ: અહીં b1 = i – j – 2k અને b2 = 3i – 5j – 4k છે.
b1 · b2 = (1)(3) + (-1)(-5) + (-2)(-4) = 3 + 5 + 8 = 16
|b1| = √(12 + (-1)2 + (-2)2) = √(1 + 1 + 4) = √6
|b2| = √(32 + (-5)2 + (-4)2) = √(9 + 25 + 16) = √50 = 5√2
cos θ = = = = =
16
√6 × 5√2
16
5√12
16
5 × 2√3
16
10√3
8
5√3
✅ જવાબ (ii): θ = cos-1( ) અથવા cos-1( )
8
5√3
8√3
15
પ્રશ્ન 9: નીચેની રેખાઓની જોડ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો:
(i) = = અને = =
x – 2
2
y – 1
5
z + 3
-3
x + 2
-1
y – 4
8
z – 5
4
ઉકેલ: અહીં દિક્ગુણોત્તર (2, 5, -3) અને (-1, 8, 4) છે.
cos θ = =
| (2)(-1) + (5)(8) + (-3)(4) |
√(4+25+9) √(1+64+16)
| -2 + 40 – 12 |
√38 √81
=
26
9√38
✅ જવાબ (i): θ = cos-1( )
26
9√38
(ii) = = અને = =
x
2
y
2
z
1
x – 5
4
y – 2
1
z – 3
8
ઉકેલ: અહીં દિક્ગુણોત્તર (2, 2, 1) અને (4, 1, 8) છે.
cos θ = =
| (2)(4) + (2)(1) + (1)(8) |
√(4+4+1) √(16+1+64)
8 + 2 + 8
√9 √81
= = =
18
3 × 9
18
27
2
3
✅ જવાબ (ii): θ = cos-1( )
2
3
પ્રશ્ન 10: રેખાઓ = = અને = = પરસ્પર લંબ હોય, તો p નું મૂલ્ય શોધો.
1 – x
3
7y – 14
2p
z – 3
2
7 – 7x
3p
y – 5
1
6 – z
5
ઉકેલ: પહેલા બંને સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ ( = = ) માં ફેરવીએ, જ્યાં x, y, z ના સહગુણક 1 હોવા જોઈએ.
x-x1
a
y-y1
b
z-z1
c
રેખા 1: = = ⇒ = =
-(x – 1)
3
7(y – 2)
2p
z – 3
2
x – 1
-3
y – 2
2p/7
z – 3
2
અહીં a1 = -3, b1 = 2p/7, c1 = 2.
રેખા 2: = = ⇒ = =
-7(x – 1)
3p
y – 5
1
-(z – 6)
5
x – 1
-3p/7
y – 5
1
z – 6
-5
અહીં a2 = -3p/7, b2 = 1, c2 = -5.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી: a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
(-3)( ) + ( ) (1) + (2)(-5) = 0
-3p
7
2p
7
9p
7
2p
7
11p
7
11p = 70 ⇒ p =
70
11
✅ જવાબ: p =
70
11
પ્રશ્ન 11: દર્શાવો કે રેખાઓ = = અને = = પરસ્પર લંબ છે.
x – 5
7
y + 2
-5
z
1
x
1
y
2
z
3
ઉકેલ: રેખાઓના દિક્ગુણોત્તર (7, -5, 1) અને (1, 2, 3) છે. લંબતાની શરત ચકાસીએ:
a1a2 + b1b2 + c1c2 = (7)(1) + (-5)(2) + (1)(3)
= 7 – 10 + 3 = 10 – 10 = 0
✅ અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થતો હોવાથી સાબિત થાય છે કે રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
પ્રશ્ન 12: રેખાઓ r = (i + 2j + k) + λ(i – j + k) અને r = 2i – j – k + μ(2i + j + 2k) વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો.
ઉકેલ: લઘુત્તમ અંતર (Shortest Distance – SD) નું સૂત્ર: d =
|(a2 – a1) · (b1 × b2)|
|b1 × b2|
અહીં a1 = i + 2j + k, b1 = i – j + k
અને a2 = 2i – j – k, b2 = 2i + j + 2k
1. a2 – a1 શોધીએ:
a2 – a1 = (2-1)i + (-1-2)j + (-1-1)k = i – 3j – 2k
2. b1 × b2 શોધીએ:
b1 × b2 =
| i | j | k |
| 1 | -1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 |
= i(-2 – 1) – j(2 – 2) + k(1 – (-2)) = -3i + 0j + 3k
3. |b1 × b2| શોધીએ:
= √((-3)2 + 02 + 32) = √(9 + 9) = √18 = 3√2
4. અંશનો અદિશ ગુણાકાર (a2 – a1) · (b1 × b2):
= (1)(-3) + (-3)(0) + (-2)(3) = -3 + 0 – 6 = -9
5. સૂત્રમાં કિંમત મૂકતાં:
d = = = =
|-9|
3√2
9
3√2
3
√2
3√2
2
✅ જવાબ: લઘુત્તમ અંતર = એકમ.
3√2
2
પ્રશ્ન 13: રેખાઓ = = અને = = વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો.
x + 1
7
y + 1
-6
z + 1
1
x – 3
1
y – 5
-2
z – 7
1
ઉકેલ: અહીં a1 = –i – j – k, b1 = 7i – 6j + k
અને a2 = 3i + 5j + 7k, b2 = i – 2j + k
a2 – a1 = (3 – (-1))i + (5 – (-1))j + (7 – (-1))k = 4i + 6j + 8k
b1 × b2 =
= i(-6 + 2) – j(7 – 1) + k(-14 + 6) = -4i – 6j – 8k
| i | j | k |
| 7 | -6 | 1 |
| 1 | -2 | 1 |
|b1 × b2| = √((-4)2 + (-6)2 + (-8)2) = √(16 + 36 + 64) = √116 = 2√29
(a2 – a1) · (b1 × b2) = (4)(-4) + (6)(-6) + (8)(-8) = -16 – 36 – 64 = -116
d = = = √116 = 2√29
|-116|
√116
116
√116
✅ જવાબ: લઘુત્તમ અંતર = 2√29 એકમ.
પ્રશ્ન 14: જે રેખાઓનાં સદિશ સમીકરણ r = (i + 2j + 3k) + λ(i – 3j + 2k) અને r = 4i + 5j + 6k + μ(2i + 3j + k) હોય, તે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો.
ઉકેલ: અહીં a1 = i + 2j + 3k, b1 = i – 3j + 2k
અને a2 = 4i + 5j + 6k, b2 = 2i + 3j + k
a2 – a1 = 3i + 3j + 3k
b1 × b2 =
= i(-3 – 6) – j(1 – 4) + k(3 – (-6)) = -9i + 3j + 9k
| i | j | k |
| 1 | -3 | 2 |
| 2 | 3 | 1 |
|b1 × b2| = √((-9)2 + 32 + 92) = √(81 + 9 + 81) = √171 = 3√19
(a2 – a1) · (b1 × b2) = (3)(-9) + (3)(3) + (3)(9) = -27 + 9 + 27 = 9
d = = =
|9|
3√19
3
√19
3√19
19
✅ જવાબ: લઘુત્તમ અંતર = એકમ.
3
√19
પ્રશ્ન 15: જે બે રેખાઓનાં સદિશ સમીકરણ r = (1 – t)i + (t – 2)j + (3 – 2t)k અને r = (s + 1)i + (2s – 1)j – (2s + 1)k હોય, તે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો.
ઉકેલ: પહેલા સમીકરણોને r = a + λb સ્વરૂપમાં ગોઠવીએ:
રેખા 1: r = (i – 2j + 3k) + t(-i + j – 2k). તેથી a1 = i – 2j + 3k, b1 = –i + j – 2k
રેખા 2: r = (i – j + 0k) + s(i + 2j – 2k). તેથી a2 = i – j, b2 = i + 2j – 2k
a2 – a1 = (1-1)i + (-1 – (-2))j + (0-3)k = 0i + 1j – 3k
b1 × b2 =
= i(-2 – (-4)) – j(2 – (-2)) + k(-2 – 1) = 2i – 4j – 3k
| i | j | k |
| -1 | 1 | -2 |
| 1 | 2 | -2 |
|b1 × b2| = √(22 + (-4)2 + (-3)2) = √(4 + 16 + 9) = √29
(a2 – a1) · (b1 × b2) = (0)(2) + (1)(-4) + (-3)(-3) = 0 – 4 + 9 = 5
d = = =
|5|
√29
5
√29
5√29
29
✅ જવાબ: લઘુત્તમ અંતર = એકમ.
5
√29
પ્રકીર્ણ સ્વાધ્યાય 11 : ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ
પ્રશ્ન 1: જો રેખાઓના દિક્ગુણોત્તર a, b, c અને b – c, c – a, a – b હોય તે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
ઉકેલ: ધારો કે પ્રથમ રેખાનો દિક્ સદિશ d1 = (a, b, c) છે અને બીજી રેખાનો દિક્ સદિશ d2 = (b – c, c – a, a – b) છે.
ખૂણો શોધવા માટે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (d1 · d2) કરીએ:
d1 · d2 = a(b – c) + b(c – a) + c(a – b)
= ab – ac + bc – ab + ac – bc
સમાન પદો ઉડી જશે:
d1 · d2 = 0
જ્યારે બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય, ત્યારે તે બે સદિશો (અને તેથી રેખાઓ) પરસ્પર લંબ હોય છે.
✅ જવાબ: રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો π/2 (અથવા 90°) છે.
પ્રશ્ન 2: x-અક્ષને સમાંતર અને ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉકેલ: રેખા x-અક્ષને સમાંતર હોવાથી, તેની દિશા x-અક્ષની દિશા જ થશે.
તેથી દિક્ગુણોત્તર (a, b, c) = (1, 0, 0) થશે. (અથવા દિશા સદિશ b = i)
રેખા ઊગમબિંદુ (0, 0, 0) માંથી પસાર થાય છે, તેથી (x1, y1, z1) = (0, 0, 0).
કાર્તેઝિય સમીકરણ:
x – 0
1
y – 0
0
z – 0
0
x
1
y
0
z
0
સદિશ સમીકરણ: r = a + λb મુજબ:
✅ જવાબ: કાર્તેઝિય સ્વરૂપ: = = . સદિશ સ્વરૂપ: r = λi.
x
1
y
0
z
0
પ્રશ્ન 3: જો રેખાઓ = = અને = = પરસ્પર લંબ હોય, તો k શોધો.
x – 1
-3
y – 2
2k
z – 3
2
x – 1
3k
y – 1
1
z – 6
-5
ઉકેલ: બંને રેખાઓ પહેલેથી જ પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં છે. તેમના દિક્ગુણોત્તર છેદ પરથી મળશે:
રેખા 1 માટે: (a1, b1, c1) = (-3, 2k, 2)
રેખા 2 માટે: (a2, b2, c2) = (3k, 1, -5)
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાની શરત: a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0
-9k + 2k – 10 = 0
-7k – 10 = 0 ⇒ -7k = 10 ⇒ k = –
10
7
✅ જવાબ: k = –
10
7
પ્રશ્ન 4: રેખાઓ r = 6i + 2j + 2k + λ(i – 2j + 2k) અને r = -4i – k + μ(3i – 2j – 2k) વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર શોધો.
ઉકેલ: લઘુતમ અંતર (Shortest Distance) નું સૂત્ર: d =
|(a2 – a1) · (b1 × b2)|
|b1 × b2|
અહીં a1 = 6i + 2j + 2k, b1 = i – 2j + 2k
અને a2 = -4i + 0j – k, b2 = 3i – 2j – 2k
a2 – a1 = (-4 – 6)i + (0 – 2)j + (-1 – 2)k = -10i – 2j – 3k
b1 × b2 =
| i | j | k |
| 1 | -2 | 2 |
| 3 | -2 | -2 |
= i(4 – (-4)) – j(-2 – 6) + k(-2 – (-6)) = 8i + 8j + 4k
|b1 × b2| = √(82 + 82 + 42) = √(64 + 64 + 16) = √144 = 12
(a2 – a1) · (b1 × b2) = (-10)(8) + (-2)(8) + (-3)(4) = -80 – 16 – 12 = -108
d = = = 9
|-108|
12
108
12
✅ જવાબ: લઘુતમ અંતર 9 એકમ છે.
પ્રશ્ન 5: બિંદુ (1, 2, -4) માંથી પસાર થતી અને બે રેખાઓ = = તથા = = ને લંબ હોય તેવી રેખાનું સદિશ સમીકરણ શોધો.
x – 8
3
y + 19
-16
z – 10
7
x – 15
3
y – 29
8
z – 5
-5
ઉકેલ: ધારો કે માંગેલ રેખાનો દિશા સદિશ b છે. તે આપેલ બંને રેખાઓને લંબ છે, તેથી તેની દિશા આપેલ બંને રેખાઓના દિશા સદિશોના સદિશ ગુણાકાર (Cross Product) ની દિશામાં હશે.
આપેલ રેખાઓના દિક્ગુણોત્તર b1 = 3i – 16j + 7k અને b2 = 3i + 8j – 5k છે.
b = b1 × b2 =
| i | j | k |
| 3 | -16 | 7 |
| 3 | 8 | -5 |
= i(80 – 56) – j(-15 – 21) + k(24 – (-48))
= 24i – (-36)j + (24 + 48)k = 24i + 36j + 72k
ગણતરી સરળ કરવા માટે આપણે આ સદિશમાંથી 12 સામાન્ય કાઢી શકીએ, તેથી દિક્ગુણોત્તર (2, 3, 6) થશે. એટલે કે દિશા b’ = 2i + 3j + 6k લઈ શકાય.
માંગેલ રેખા બિંદુ A(1, 2, -4) માંથી પસાર થાય છે, તેથી a = i + 2j – 4k.
સદિશ સમીકરણ: r = a + λb’
✅ જવાબ: r = (i + 2j – 4k) + λ(24i + 36j + 72k)
અથવા r = (i + 2j – 4k) + μ(2i + 3j + 6k)
અથવા r = (i + 2j – 4k) + μ(2i + 3j + 6k)