Chapter 5: સાતત્ય અને વિકલનીયતા – Continuity and Differentiability

ઉકેલ: અહી f(x) એ બહુપદી વિધેય છે, જે હંમેશા સતત હોય છે. લક્ષ (Limit) ની રીતે ચકાસીએ:

ઉકેલ: x = 3 આગળ લક્ષ લઈએ:

હવે, f(3) = 2(3)² – 1 = 17

અહીં lim_{x → 3} f(x) = f(3) હોવાથી…

આ એક સુરેખ બહુપદી છે. પ્રત્યેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે તે વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે.

આ સંમેય વિધેય છે. છેદ શૂન્ય ન થવો જોઈએ, તેથી x = 5 સિવાયની તમામ કિંમતો માટે તે સતત છે.

અંશના અવયવ પાડીએ તો: (x – 5)(x + 5). છેદ સાથે ઉડી જતાં f(x) = x – 5 બને છે (જ્યાં x ≠ -5).

માનાંક વિધેય હંમેશા પ્રત્યેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે સતત હોય છે.

ઉકેલ:
ધારો કે c કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
લક્ષ લઈએ: lim_{x → c} f(x) = lim_{x → c} xⁿ = cⁿ
અને f(c) = cⁿ
બંને સમાન હોવાથી,

(i) x = 0 આગળ:
અહીં 0 ≤ 1 હોવાથી f(x) = x લેવાય.
lim_{x → 0} f(x) = 0 અને f(0) = 0. (સતત છે).

(ii) x = 1 આગળ (ખાસ કિસ્સો):
ડાબી બાજુનું લક્ષ (LHL): lim_{x → 1^–} f(x) = lim_{x → 1} x = 1
જમણી બાજુનું લક્ષ (RHL): lim_{x → 1⁺} f(x) = lim_{x → 1} 5 = 5
અહીં ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન નથી (1 ≠ 5). (અસતત છે).

(iii) x = 2 આગળ:
અહીં 2 > 1 હોવાથી f(x) = 5 લેવાય.
lim_{x → 2} f(x) = 5 અને f(2) = 5. (સતત છે).

ઉકેલ: માત્ર x = 2 આગળ જ વિધેય બદલાય છે, તેથી ત્યાં જ ચકાસણી કરીશું.

LHL (x → 2^–) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
RHL (x → 2⁺) = 2(2) – 3 = 4 – 3 = 1
LHL ≠ RHL.

ઉકેલ: અહીં બે બિંદુઓ x = -3 અને x = 3 આગળ વિધેય બદલાય છે.

x = -3 આગળ:
LHL = |-3| + 3 = 3 + 3 = 6
RHL = -2(-3) = 6
f(-3) = |-3| + 3 = 6
અહીં LHL = RHL = f(-3), તેથી x = -3 આગળ સતત છે.

x = 3 આગળ:
LHL = -2(3) = -6
RHL = 6(3) + 2 = 18 + 2 = 20
LHL ≠ RHL.

ઉકેલ:
જો x < 0 હોય, તો |x| = –x થાય, તેથી f(x) = –x / x = -1.
જો x > 0 હોય, તો |x| = x થાય, તેથી f(x) = x / x = 1.

LHL (x → 0^–) = -1
RHL (x → 0⁺) = 1
LHL ≠ RHL.

ઉકેલ:
જો x < 0 હોય, તો |x| = –x થાય.
તેથી f(x) = x / –x = -1 (જ્યારે x < 0).

LHL (x → 0^–) = -1
RHL (x → 0⁺) = -1 (રકમમાં આપેલ છે)
અને f(0) = -1.
LHL = RHL = f(0) હોવાથી x = 0 આગળ સતત છે.

ઉકેલ: અહીં વિધેય માત્ર x = 1 આગળ બદલાય છે, તેથી ત્યાં જ સાતત્ય ચકાસીશું.

ડાબી બાજુનું લક્ષ (LHL): lim_{x → 1^–} (x² + 1) = 1² + 1 = 2
જમણી બાજુનું લક્ષ (RHL): lim_{x → 1⁺} (x + 1) = 1 + 1 = 2
અને f(1) = 1 + 1 = 2.
અહીં LHL = RHL = f(1) હોવાથી વિધેય x = 1 આગળ સતત છે.

ઉકેલ: અહીં વિધેય x = 2 આગળ બદલાય છે.

LHL (x → 2^–) = 2³ – 3 = 8 – 3 = 5
RHL (x → 2⁺) = 2² + 1 = 4 + 1 = 5
અને f(2) = 2³ – 3 = 5.
LHL = RHL = f(2) હોવાથી x = 2 આગળ સતત છે.

ઉકેલ: x = 1 આગળ ચકાસીએ:

LHL (x → 1^–) = 1¹⁰ – 1 = 1 – 1 = 0
RHL (x → 1⁺) = 1² = 1
અહીં LHL ≠ RHL. તેથી લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

ઉકેલ: x = 1 આગળ લક્ષ ચકાસીએ:

LHL (x → 1^–) = 1 + 5 = 6
RHL (x → 1⁺) = 1 – 5 = -4
LHL ≠ RHL.

ઉકેલ: અહીં બે બિંદુઓ x = 1 અને x = 3 આગળ ચકાસણી કરવી પડશે.

x = 1 આગળ:
LHL (x → 1^–) = 3
RHL (x → 1⁺) = 4
LHL ≠ RHL, તેથી x = 1 આગળ અસતત છે.

x = 3 આગળ:
LHL (x → 3^–) = 4
RHL (x → 3⁺) = 5
LHL ≠ RHL, તેથી x = 3 આગળ પણ અસતત છે.

ઉકેલ: અહીં બે બિંદુઓ x = 0 અને x = 1 આગળ ચકાસણી કરવી પડશે.

x = 0 આગળ:
LHL (x → 0^–) = 2(0) = 0
RHL (x → 0⁺) = 0
f(0) = 0. તેથી x = 0 આગળ સતત છે.

x = 1 આગળ:
LHL (x → 1^–) = 0
RHL (x → 1⁺) = 4(1) = 4
LHL ≠ RHL, તેથી x = 1 આગળ અસતત છે.

ઉકેલ: અહીં બે બિંદુઓ x = -1 અને x = 1 આગળ ચકાસણી કરીએ.

x = -1 આગળ:
LHL (x → -1^–) = -2
RHL (x → -1⁺) = 2(-1) = -2
f(-1) = -2. તેથી x = -1 આગળ સતત છે.

x = 1 આગળ:
LHL (x → 1^–) = 2(1) = 2
RHL (x → 1⁺) = 2
f(1) = 2. તેથી x = 1 આગળ પણ સતત છે.

ઉકેલ: વિધેય x = 3 આગળ સતત હોવાથી LHL = RHL = f(3) થવું જોઈએ.

LHL = lim_{x → 3^–} (ax + 1) = 3a + 1
RHL = lim_{x → 3⁺} (bx + 3) = 3b + 3
આ બંનેને સરખાવતાં:
3a + 1 = 3b + 3
3a – 3b = 2
3(a – b) = 2
a – b = 2/3 અથવા a = b + 2/3

ઉકેલ:
x = 0 આગળ:
LHL (x → 0^–) = λ(0 – 0) = 0
RHL (x → 0⁺) = 4(0) + 1 = 1
અહીં 0 ≠ 1, એટલે કે ડાબી અને જમણી બાજુના લક્ષ સમાન જ નથી. λ ની કોઈપણ કિંમત મૂકવા છતાં LHL હંમેશા 0 જ રહેશે. તેથી λ ની કોઈ પણ કિંમત માટે તે સતત બની શકે નહિ.

x = 1 આગળ:
જ્યારે x = 1 (જે 0 કરતા મોટો છે), ત્યારે f(x) = 4x + 1 લાગુ પડે છે.
આ એક બહુપદી હોવાથી તે x = 1 આગળ હંમેશા સતત જ છે. અને આમાં λ આવતો જ નથી. તેથી λ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત (પ્રત્યેક λ ∈ R) માટે તે x = 1 આગળ સતત છે.

ઉકેલ: ધારો કે c એ કોઈ પૂર્ણાંક સંખ્યા (Integer) છે (જેમ કે 1, 2, 3 વગેરે).

g(c) = c – [c] = c – c = 0
LHL (x → c^–): જ્યારે x ની કિંમત પૂર્ણાંક c થી થોડીક જ નાની હોય, ત્યારે [x] = c – 1 થાય.
તેથી, lim_{x → c^–} (x – [x]) = c – (c – 1) = c – c + 1 = 1

RHL (x → c⁺): જ્યારે x ની કિંમત c થી સહેજ મોટી હોય, ત્યારે [x] = c થાય.
તેથી, lim_{x → c⁺} (x – [x]) = c – c = 0

અહીં LHL ≠ RHL. તેથી લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

ઉકેલ: x = π આગળ લક્ષ અને વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ:

lim_{x → π} (x² – sin x + 5)
= π² – sin(π) + 5
આપણે જાણીએ છીએ કે sin(π) = 0.
= π² – 0 + 5 = π² + 5

અને f(π) = π² – sin(π) + 5 = π² + 5

લક્ષ અને વિધેયનું મૂલ્ય સમાન છે.

ઉકેલ: આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતિય વિધેયો sin x અને cos x તેમના પ્રદેશ (R) પર હંમેશા સતત હોય છે.

સાતત્યના બીજગણિતના નિયમ મુજબ: જો બે વિધેયો સતત હોય, તો તેમનો સરવાળો, બાદબાકી અને ગુણાકાર પણ સતત જ થાય છે.

ઉકેલ: સાતત્યના નિયમો મુજબ:

ઉકેલ: x = 0 આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:

LHL (x → 0^–) = lim_{x → 0} = 1 (પ્રમાણિત લક્ષનું સૂત્ર)

RHL (x → 0⁺) = lim_{x → 0} (x + 1) = 0 + 1 = 1

અને f(0) = 0 + 1 = 1.

અહીં LHL = RHL = f(0) છે. તેથી વિધેય x = 0 આગળ સતત છે. x < 0 અને x > 0 માટે તે સ્પષ્ટપણે સતત જ છે.

ઉકેલ: x = 0 આગળ લક્ષ ચકાસીએ.

આપણે જાણીએ છીએ કે, કોઈપણ x ≠ 0 માટે,
-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1

બંને બાજુ x² વડે ગુણતાં (x² ધન હોવાથી અસમતા બદલાશે નહિ):

હવે, સેન્ડવીચ પ્રમેય (Squeeze Theorem) મુજબ, જ્યારે x → 0 હોય, ત્યારે lim (-x²) = 0 અને lim (x²) = 0 થાય છે.

તેથી, lim_{x → 0} x² sin(1/x) = 0 થશે.

અને રકમ મુજબ f(0) = 0 આપેલ છે.
અહીં લક્ષ અને વિધેયનું મૂલ્ય સમાન છે.

ઉકેલ: x = 0 આગળ લક્ષ ચકાસીએ.

અને રકમમાં f(0) = -1 આપેલ છે.
અહીં lim_{x → 0} f(x) = f(0) છે.

ઉકેલ: વિધેય x = π/2 આગળ સતત હોવાથી, lim_{x → π/2} f(x) = f(π/2) = 3 થવું જોઈએ.

લક્ષ શોધવા માટે, ધારો કે x = π/2 – h લઈએ. જ્યારે x → π/2, ત્યારે h → 0 થાય.

આપણે જાણીએ છીએ કે cos(π/2 – h) = sin h. છેદનું સાદુંરૂપ આપીએ: π – π + 2h = 2h.

પ્રમાણિત લક્ષ મુજબ lim (sin h / h) = 1 થાય.

ઉકેલ: x = 2 આગળ સતત હોવાથી ડાબી બાજુનું લક્ષ (LHL) = જમણી બાજુનું લક્ષ (RHL).

LHL = lim_{x → 2^–} (kx²) = k(2)² = 4k
RHL = lim_{x → 2⁺} (3) = 3
બંનેને સરખાવતાં: 4k = 3  ⇒  k = 3/4

ઉકેલ: x = π આગળ LHL = RHL થવું જોઈએ.

LHL = lim_{x → π^–} (kx + 1) = kπ + 1
RHL = lim_{x → π⁺} (cos x) = cos π = -1
બંનેને સરખાવતાં:
kπ + 1 = -1
kπ = -2  ⇒  k = -2 / π

ઉકેલ: x = 5 આગળ LHL = RHL થવું જોઈએ.

LHL = lim_{x → 5^–} (kx + 1) = 5k + 1
RHL = lim_{x → 5⁺} (3x – 5) = 3(5) – 5 = 15 – 5 = 10
બંનેને સરખાવતાં:
5k + 1 = 10
5k = 9  ⇒  k = 9/5

ઉકેલ: વિધેય સતત હોવાથી તે x = 2 અને x = 10 બંને આગળ સતત હોવું જોઈએ.

x = 2 આગળ સતત છે:

LHL = 5
RHL = lim_{x → 2⁺} (ax + b) = 2a + b
તેથી, 2a + b = 5 … (સમીકરણ 1)

x = 10 આગળ સતત છે:

LHL = lim_{x → 10^–} (ax + b) = 10a + b
RHL = 21
તેથી, 10a + b = 21 … (સમીકરણ 2)

સમીકરણ 2 માંથી 1 બાદ કરતાં:

આ કિંમત સમીકરણ 1 માં મુકતાં:

ઉકેલ: ધારો કે g(x) = cos x અને h(x) = x² બે વિધેયો છે.

આપણે જાણીએ છીએ કે બહુપદી વિધેય h(x) અને ત્રિકોણમિતિય વિધેય g(x) પ્રત્યેક વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે સતત છે.
હવે તેમનું સંયોજિત વિધેય (Composite function) લઈએ:
(g ∘ h)(x) = g(h(x)) = g(x²) = cos(x²)
સતત વિધેયોનું સંયોજન હંમેશા સતત હોય છે.

ઉકેલ: ધારો કે g(x) = |x| અને h(x) = cos x બે વિધેયો છે.

આપણે જાણીએ છીએ કે માનાંક વિધેય g(x) અને કોસાઇન વિધેય h(x) બંને સતત વિધેયો છે.
તેમનું સંયોજિત વિધેય:
(g ∘ h)(x) = g(h(x)) = g(cos x) = |cos x|
બે સતત વિધેયોનું સંયોજન સતત હોવાથી,

ઉકેલ: ધારો કે g(x) = sin x અને h(x) = |x|.

sin x અને |x| બંને પ્રત્યેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે સતત છે.
સંયોજિત વિધેય:
(g ∘ h)(x) = g(h(x)) = g(|x|) = sin |x|
સંયોજિત વિધેયના પ્રમેય મુજબ,

ઉકેલ: ધારો કે g(x) = |x| અને h(x) = |x + 1|.

આપણે જાણીએ છીએ કે માનાંક વિધેયો g(x) અને h(x) પ્રત્યેક x ∈ R માટે સતત છે.
સાતત્યના બીજગણિત મુજબ, બે સતત વિધેયોની બાદબાકી પણ હંમેશા સતત જ હોય છે.
તેથી f(x) = g(x) – h(x) = |x| – |x + 1| એ પ્રત્યેક x માટે સતત છે.

ઉકેલ: ધારો કે y = sin(x² + 5)

x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

સાંકળના નિયમ મુજબ, પહેલાં sin નું વિકલન અને પછી કૌંસ (x² + 5) નું વિકલન:

ઉકેલ: ધારો કે y = cos(sin x)

x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = sin(ax + b)

ઉકેલ: ધારો કે y = sec(tan(√x))

અહીં સાંકળનો નિયમ ત્રણ સ્તરમાં લાગુ પડશે: sec → tan → √x

આપણે જાણીએ છીએ કે √x નું વિકલન 1 / (2√x) થાય છે:

ઉકેલ: અહીં ભાગાકારનો નિયમ (Quotient Rule) લાગુ પડશે.

ધારો કે અંશ u = sin(ax + b) અને છેદ v = cos(cx + d).
u’ = a cos(ax + b)
v’ = –c sin(cx + d)

ઉકેલ: અહીં ગુણાકારનો નિયમ (Product Rule) અને સાંકળનો નિયમ બંને લાગુ પડશે.

ધારો કે u = cos(x³) અને v = sin²(x⁵) = [sin(x⁵)]².

u’ = -sin(x³) · (3x²) = -3x² sin(x³)
v’ = 2 sin(x⁵) · cos(x⁵) · (5x⁴) = 10x⁴ sin(x⁵) cos(x⁵)

ઉકેલ: ધારો કે y = 2[cot(x²)]^1/2

ઉકેલ: ધારો કે y = cos(√x)

ઉકેલ: કોઈ વિધેય કોઈ બિંદુએ વિકલનીય હોવા માટે, ડાબી બાજુનું વિકલિત (LHD) અને જમણી બાજુનું વિકલિત (RHD) સમાન હોવા જોઈએ.

અહીં c = 1 છે. f(1) = |1 – 1| = 0.

LHD (ડાબી બાજુનું વિકલિત): h → 0^–

અહીં h < 0 (ઋણ) હોવાથી, |h| = –h થાય.

RHD (જમણી બાજુનું વિકલિત): h → 0⁺

અહીં h > 0 (ધન) હોવાથી, |h| = h થાય.

અહીં LHD ≠ RHL (-1 ≠ 1).

ઉકેલ: આપણે 9મા દાખલાની જેમ LHD અને RHD ચકાસીશું.

(i) x = 1 આગળ:

f(1) = [1] = 1.

જ્યારે h ઋણ (0 ની ખૂબ નજીક) હોય, ત્યારે 1 + h એ 0.999… જેવું થાય. તેથી તેનું મહત્તમ પૂર્ણાંક મૂલ્ય [1 + h] = 0 થાય.

LHD જ અસ્તિત્વ ધરાવતું ન હોવાથી x = 1 આગળ વિકલનીય નથી. (તમે RHD ચેક કરો તો તે 0 આવશે, પરંતુ LHD ≠ RHD).

(ii) x = 2 આગળ:

f(2) = [2] = 2.

અહીં [2 + h] (જ્યાં h ઋણ છે) એટલે કે 1.999… નું મૂલ્ય 1 થશે.

અહીં પણ LHD અસ્તિત્વમાં નથી.

ઉકેલ: બંને બાજુ x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: બંને બાજુ x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

વાળા પદો એક બાજુ ભેગા કરતાં:

ઉકેલ: બંને બાજુ x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં (xy માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરતાં):

હવે વાળા પદો ડાબી બાજુ અને બાકીના જમણી બાજુ લેતાં:

ઉકેલ: x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં (ગુણાકારના નિયમ સાથે):

ઉકેલ: x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં (અચળ k નું વિકલન 0 થાય):

આપણે જાણીએ છીએ કે 2sin y cos y = sin 2y:

ઉકેલ: x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

સૂત્ર sin 2θ = 2sin θ cos θ નો ઉપયોગ કરતાં:

ઉકેલ: આદેશ x = tan θ લેતાં, તેથી θ = tan^-1x થાય.

હવે x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: આદેશ x = tan θ લેતાં, તેથી θ = tan^-1x.

વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: આદેશ x = tan θ લેતાં, θ = tan^-1x.

વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: આદેશ x = tan θ લેતાં, θ = tan^-1x.

આપણે જાણીએ છીએ કે cos 2θ = sin(π/2 – 2θ).

વિકલન કરતાં (અચળ π/2 નું વિકલન શૂન્ય થાય):

ઉકેલ: આદેશ x = tan θ લેતાં, θ = tan^-1x.

આપણે જાણીએ છીએ કે sin 2θ = cos(π/2 – 2θ).

વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: આદેશ x = sin θ લેતાં, θ = sin^-1x.

વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: આદેશ x = cos θ લેતાં, θ = cos^-1x.

વિકલન કરતાં (યાદ રાખો cos^-1x નું વિકલન ઋણ હોય છે):

ઉકેલ: ધારો કે y =

અહીં ભાગાકારનો નિયમ (Quotient Rule) લાગુ પડશે.

અંશમાંથી e^x સામાન્ય કાઢતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = e^{sin-1 x}

અહીં સાંકળનો નિયમ (Chain Rule) વાપરીશું. પહેલા e ની ઘાતનું અને પછી ઘાતનું વિકલન.

આપણે જાણીએ છીએ કે sin^-1 x નું વિકલન 1 / √(1 – x²) થાય છે.

ઉકેલ: ધારો કે y = e^x3

સાંકળના નિયમ મુજબ:

ઉકેલ: ધારો કે y = sin(tan^-1 e^-x)

અહીં સાંકળનો નિયમ ત્રણ સ્તરમાં લાગુ પડશે: sin → tan^-1 → e^-x

ઉકેલ: ધારો કે y = log(cos e^x)

સાંકળના નિયમ મુજબ (log u નું વિકલન 1/u થાય):

sin/cos = tan મૂકતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = e^x + e^x2 + e^x3 + e^x4 + e^x5

દરેક પદનું અલગથી વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = √(e^√x)

√u નું વિકલન 1 / (2√u) થાય છે:

સાદુંરૂપ આપતાં e^√x / √(e^√x) = √(e^√x) થાય છે.

ઉકેલ: ધારો કે y = log(log x)

સાંકળના નિયમ મુજબ:

ઉકેલ: ધારો કે y =

ભાગાકારનો નિયમ વાપરતાં:

અંશમાં x નો લ.સા.અ. (LCM) લેતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = cos(log x + e^x)

સાંકળના નિયમ મુજબ:

આને સહેજ સાદુંરૂપ આપીને લખી શકાય:

ઉકેલ: ધારો કે y = cos x · cos 2x · cos 3x

બંને બાજુ log લેતાં:

લઘુગુણકના ગુણાકારના નિયમ મુજબ:

હવે x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

y ની કિંમત પાછી મૂકતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = [ ]^1/2

બંને બાજુ log લેતાં (ઘાત આગળ આવશે):

x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

y ને જમણી બાજુ લઈ જતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = (log x)^{cos x}

બંને બાજુ log લેતાં:

ગુણાકારના નિયમથી વિકલન કરતાં:

y ને સામે લઈ જતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = u – v, જ્યાં u = x^x અને v = 2^{sin x} છે. તેથી = – થશે.

(i) u માટે:

(ii) v માટે:

a^x નું વિકલન a^x log a થાય છે.

બંને કિંમતો મૂકતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = (x + 3)²(x + 4)³(x + 5)⁴

બંને બાજુ log લેતાં:

વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = u + v.

(i) u માટે:

u = (x + 1/x)^x  ⇒  log u = x log(x + 1/x) = x log((x² + 1)/x)

(ii) v માટે:

v = x^{(1 + 1/x)}  ⇒  log v = (1 + 1/x) log x

બંનેનો સરવાળો કરતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = u + v.

(i) u માટે:

(ii) v માટે:

ઉકેલ: ધારો કે y = u + v.

(i) u માટે:

(ii) v માટે (અહીં log લેવાની જરૂર નથી):

ઉકેલ: ધારો કે y = u + v. તેથી = + થશે.

u = x^{sin x}  ⇒  log u = sin x · log x

v = (sin x)^{cos x}  ⇒  log v = cos x · log(sin x)

બંનેનો સરવાળો કરતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = u + v.

u = x^{x cos x}  ⇒  log u = x cos x · log x

અહીં ત્રણ વિધેયોનો ગુણાકાર છે (x, cos x, અને log x):

v = (ભાગાકારના નિયમથી)

ઉકેલ: ધારો કે y = u + v.

u = (x cos x)^x  ⇒  log u = x log(x cos x) = x [log x + log(cos x)]

v = (x sin x)^1/x  ⇒  log v = log(x sin x)

ઉકેલ: ધારો કે u = x^y અને v = y^x. તેથી u + v = 1  ⇒  + = 0

u = x^y  ⇒  log u = y log x
= (log x) + y(1/x)  ⇒  = x^y [ log x · + ] = x^y log x · + y x^y-1

v = y^x  ⇒  log v = x log y
= 1 · log y + x(1/y)  ⇒  = y^x [ log y + ] = y^x log y + x y^x-1

બંનેનો સરવાળો = 0 મુકતાં:

ઉકેલ: બંને બાજુ log લેતાં:

x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

વાળા પદો ભેગા કરતાં:

ઉકેલ: બંને બાજુ log લેતાં:

વિકલન કરતાં:

પદોની ગોઠવણી કરતાં:

ઉકેલ: બંને બાજુ log લેતાં (યાદ રાખો log e = 1):

વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: બંને બાજુ log લેતાં:

વિકલન કરતાં:

હવે x = 1 મૂકતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = (x² – 5x + 8)(x³ + 7x + 9).

(1) ગુણાકારના નિયમથી:

કૌંસ છોડતાં:

(2) વિસ્તરણ કરી બહુપદી વિધેયથી:

પહેલા y નું વિસ્તરણ કરીએ:

વિકલન કરતાં સીધો જવાબ મળશે:

(3) લઘુગુણકીય વિકલનથી:

અહીં છેદ અને બહારનો y ઉડી જશે, એટલે કૌંસનો ગુણાકાર વધશે (જે રીત 1 મુજબ જ છે). સાદુંરૂપ આપતાં:

ધારો કે y = u · v · w

આપણે આને બે વિધેયોના ગુણાકાર તરીકે કૌંસમાં લખીએ: y = (u · v) · w

હવે x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં (બે પદોના ગુણાકારનો નિયમ વાપરતાં):

હવે ફરીથી u · v માટે અંદરના ભાગમાં ગુણાકારનો નિયમ વાપરતાં:

કૌંસ છોડીને w નો અંદરના બંને પદો સાથે ગુણાકાર કરતાં:

આમ, પ્રથમ રીતથી પરિણામ સાબિત થાય છે.

ધારો કે y = u · v · w

બંને બાજુ log (લઘુગુણક) લેતાં:

લઘુગુણકના ગુણાકારના નિયમ મુજબ (ગુણાકારનો સરવાળો થાય):

હવે x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

છેદમાં રહેલા y ને જમણી બાજુ લઈ જતાં:

હવે y = (u · v · w) ની કિંમત પાછી મૂકતાં:

કૌંસની અંદર ગુણાકાર કરતાં અનુક્રમે છેદમાંથી u, v અને w ઉડી જશે:

ઉકેલ: બંને સમીકરણોનું t ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

પ્રચલ સમીકરણના સૂત્ર મુજબ:

ઉકેલ: બંનેનું θ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: t ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

સૂત્ર sin 2t = 2 sin t cos t નો ઉપયોગ કરતાં:

ઉકેલ: t ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: θ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: θ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

અડધા ખૂણાના સૂત્રો વાપરતાં (sin θ = 2 sin(θ/2) cos(θ/2) અને 1 – cos θ = 2 sin²(θ/2)):

ઉકેલ: આ દાખલો થોડો લાંબો છે. ભાગાકારના નિયમથી વિકલન કરીએ.

(i) x નું t ની સાપેક્ષે વિકલન:

અંશમાં લ.સા.અ. √(cos 2t) લેતાં:

sin 2t = 2 sin t cos t મૂકતાં અને sin² t cos t સામાન્ય કાઢતાં:

cos 2t = 1 – 2 sin² t મૂકતાં: [3(1 – 2 sin² t) + 2 sin² t] = [3 – 4 sin² t].

(ii) y નું t ની સાપેક્ષે વિકલન:

આ જ રીતે y માટે ગણતરી કરતાં:

લ.સા.અ. લઈને અને cos 2t = 2 cos² t – 1 મૂકતાં:

(iii) મેળવીએ:

બંનેનો ગુણોત્તર લેતાં, છેદ ઉડી જશે:

એક cos અને એક sin ઉડી જશે. કૌંસ ખોલતાં:

આપણે જાણીએ છીએ કે (4 cos³ t – 3 cos t) = cos 3t અને (3 sin t – 4 sin³ t) = sin 3t થાય.

ઉકેલ: t ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

સાંકળના નિયમ મુજબનું આ પદ સાદુંરૂપ આપીએ:

તેથી, = a [ -sin t + ] = a [ ] =

y = a sin t  ⇒  = a cos t

ઉકેલ: θ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

sec અને tan ને sin/cos માં ફેરવતાં:

ઉકેલ: θ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં (અહીં θ sin θ માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરીશું):

ઉકેલ (ખૂબ સરળ રીત): બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતાં:

આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતિય પ્રતિવિધેયોના ગુણધર્મ મુજબ, sin^-1 t + cos^-1 t = π/2 થાય છે.

અહીં a અને π અચળ હોવાથી જમણી બાજુનું આખું પદ અચળ (Constant) થઈ જશે. ધારો કે આ અચળ c છે.

હવે બંને બાજુ x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં (ગુણાકારના નિયમ મુજબ):

ઉકેલ: ધારો કે y = x² + 3x + 2

પ્રથમ વિકલન કરતાં:

ફરીથી x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં (દ્વિતીય વિકલિત):

ઉકેલ: ધારો કે y = x²⁰

ફરીથી વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = x cos x

ગુણાકારના નિયમથી પ્રથમ વિકલન:

ફરીથી વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = log x

ફરીથી વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = x³ log x

પ્રથમ વિકલન (ગુણાકારનો નિયમ):

ફરીથી વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = e^x sin 5x

પ્રથમ વિકલન:

ફરીથી વિકલન કરતાં (ગુણાકારનો નિયમ):

e^x સામાન્ય કાઢીને પદો ભેગા કરતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = e^6x cos 3x

પ્રથમ વિકલન:

ફરીથી વિકલન કરતાં:

કૌંસમાંથી 3 સામાન્ય કાઢતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = tan^-1 x

ફરીથી વિકલન કરતાં (સાંકળનો નિયમ):

ઉકેલ: ધારો કે y = log(log x)

ફરીથી વિકલન કરતાં:

ઉકેલ: ધારો કે y = sin(log x)

પ્રથમ વિકલન:

ફરીથી વિકલન કરતાં (ભાગાકારનો નિયમ):

અંશમાં x ઉડી જશે:

ઉકેલ: y = 5 cos x – 3 sin x

x ની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન કરતાં:

ફરીથી x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

જમણી બાજુમાંથી (-) સામાન્ય કાઢતાં:

પરંતુ, કૌંસમાં રહેલી કિંમત એ મૂળ વિધેય y જ છે. તેથી:

ઉકેલ: આપેલું છે y = cos^-1 x  ⇒  x = cos y

y ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં:

તેથી, = – = -cosec y

હવે x ની સાપેક્ષે ફરીથી વિકલન કરીએ (સાંકળનો નિયમ લાગુ પડશે):

હવે = -cosec y મુકતાં:

ઉકેલ: y₁ એટલે અને y₂ એટલે .

પ્રથમ વિકલન કરતાં:

બંને બાજુ x વડે ગુણતાં (જેથી ફરી વિકલન સહેલું બને):

હવે ફરીથી x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં (ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ લાગશે):

ફરીથી બંને બાજુ x વડે ગુણતાં:

અહીં જમણી બાજુ કૌંસમાં રહેલી કિંમત y છે:

ઉકેલ: પ્રથમ અને દ્વિતીય વિકલિત શોધીએ.

હવે ડાબી બાજુ (LHS) ના પદમાં આ કિંમતો મુકતાં:

કૌંસ છોડીને ગુણાકાર કરતાં:

બધાં જ પદો એકબીજા સાથે ઉડી જશે.

ઉકેલ: પ્રથમ વિકલન કરતાં:

ફરીથી વિકલન કરતાં:

આમાંથી 49 સામાન્ય કાઢતાં:

ઉકેલ (સરળ રીત): સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય:

બંને બાજુ log લેતાં:

પ્રથમ વિકલન કરતાં:

ફરીથી વિકલન કરતાં (જેમ કે -1/x નું 1/x² થાય):

હવે નોંધ કરો કે:

ઉકેલ: પ્રથમ વિકલન y₁ મેળવીએ:

છેદને ડાબી બાજુ ગુણાકારમાં લઈ જતાં (આ સાબિતીની સૌથી બેસ્ટ ટ્રીક છે):

હવે બંને બાજુ x ની સાપેક્ષે ફરી વિકલન કરતાં (ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ):

ફરીથી છેદ (1 + x²) ને ડાબી બાજુ ગુણાકારમાં લઈ જતાં: