4.2 : 15
નિશ્ચાયક (Determinants) : અગત્યનો MCQ
પ્રશ્ન 5: જો (2, -6), (5, 4) અને (k, 4) શિરોબિંદુવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ 35 ચોરસ એકમ હોય, તો k નું મૂલ્ય ………. .
(A) 12 (B) -2 (C) -12, -2 (D) 12, -2
(A) 12 (B) -2 (C) -12, -2 (D) 12, -2
ઉકેલ:
અહીં ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ (2, -6), (5, 4) અને (k, 4) આપેલાં છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ Δ = 35 આપેલ છે.
અહીં ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ (2, -6), (5, 4) અને (k, 4) આપેલાં છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ Δ = 35 આપેલ છે.
નિશ્ચાયકની મદદથી ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર:
Δ = |D|
1
2
જ્યાં D એ નીચે મુજબનો નિશ્ચાયક છે:
D =
| 2 | -6 | 1 |
| 5 | 4 | 1 |
| k | 4 | 1 |
આપણને Δ = 35 આપેલ છે, તેથી:
1
2
|D| = 70
માનાંક (| |) દૂર કરીએ ત્યારે નિશ્ચાયક D નું મૂલ્ય +70 અથવા -70 હોઈ શકે. તેથી, D = ±70.
હવે, પ્રથમ હાર (Row) ની સાપેક્ષે નિશ્ચાયક D નું વિસ્તરણ કરીએ:
2(4×1 – 4×1) – (-6)(5×1 – k×1) + 1(5×4 – k×4) = ±70
2(4 – 4) + 6(5 – k) + 1(20 – 4k) = ±70
2(0) + 30 – 6k + 20 – 4k = ±70
50 – 10k = ±70
2(4 – 4) + 6(5 – k) + 1(20 – 4k) = ±70
2(0) + 30 – 6k + 20 – 4k = ±70
50 – 10k = ±70
આના પરથી આપણને બે વિકલ્પો મળશે:
વિકલ્પ 1: ધન (+) ચિહ્ન લેતાં
50 – 10k = 70
-10k = 70 – 50
-10k = 20
k = -2
-10k = 70 – 50
-10k = 20
k = -2
વિકલ્પ 2: ઋણ (-) ચિહ્ન લેતાં
50 – 10k = -70
-10k = -70 – 50
-10k = -120
k = 12
-10k = -70 – 50
-10k = -120
k = 12
આમ, k નાં બે મૂલ્યો 12 અને -2 મળે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી (D) માં આ બંને કિંમતો આપેલી છે.
✅ સાચો વિકલ્પ: (D) 12, -2
4.3: 4, 5
નિશ્ચાયક (Determinants) : દાખલા 4 અને 5
પ્રશ્ન 4: ત્રીજા સ્તંભના ઘટકોના સહઅવયવના ઉપયોગથી Δ =
નું મૂલ્ય શોધો.
| 1 | x | yz |
| 1 | y | zx |
| 1 | z | xy |
ઉકેલ:
અહીં આપણને ત્રીજા સ્તંભ (Column 3) ના ઘટકો અને તેમના સહઅવયવો (Cofactors) નો ઉપયોગ કરી નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
અહીં આપણને ત્રીજા સ્તંભ (Column 3) ના ઘટકો અને તેમના સહઅવયવો (Cofactors) નો ઉપયોગ કરી નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
ત્રીજા સ્તંભના ઘટકો: a13 = yz, a23 = zx, a33 = xy
હવે આ ઘટકોના સહઅવયવો (Aij) શોધીએ:
A13 = (-1)1+3
= 1(z – y) = z – y
| 1 | y |
| 1 | z |
A23 = (-1)2+3
= -(z – x) = x – z
| 1 | x |
| 1 | z |
A33 = (-1)3+3
= 1(y – x) = y – x
| 1 | x |
| 1 | y |
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય Δ = a13A13 + a23A23 + a33A33
Δ = yz(z – y) + zx(x – z) + xy(y – x)
કૌંસ છોડીને સાદુંરૂપ આપતાં:
= yz2 – y2z + zx2 – z2x + xy2 – x2y
પદોને યોગ્ય રીતે ગોઠવીને સામાન્ય કાઢતાં:
= zx2 – x2y + xy2 – z2x + yz2 – y2z
= x2(z – y) – x(z2 – y2) + yz(z – y)
= x2(z – y) – x(z2 – y2) + yz(z – y)
= x2(z – y) – x(z – y)(z + y) + yz(z – y)
બધા પદોમાંથી (z – y) સામાન્ય કાઢતાં:
= (z – y) [ x2 – x(z + y) + yz ]
= (z – y) [ x2 – xz – xy + yz ]
= (z – y) [ x(x – z) – y(x – z) ]
= (z – y)(x – z)(x – y)
= (z – y) [ x2 – xz – xy + yz ]
= (z – y) [ x(x – z) – y(x – z) ]
= (z – y)(x – z)(x – y)
નિશાનીઓ (-1) સામાન્ય કાઢીને ક્રમમાં ગોઠવતાં:
= (-)(y – z) · (-)(z – x) · (x – y)
= (x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y – z)(z – x)
✅ જવાબ: Δ = (x – y)(y – z)(z – x)
પ્રશ્ન 5: જો Δ =
અને aij નો સહઅવયવ Aij હોય, તો Δ નું મૂલ્ય ………. .
(A) a11A31 + a12A32 + a13A33 (B) a11A11 + a12A21 + a13A31
(C) a21A11 + a22A12 + a23A13 (D) a11A11 + a21A21 + a31A31
| a11 | a12 | a13 |
| a21 | a22 | a23 |
| a31 | a32 | a33 |
(A) a11A31 + a12A32 + a13A33 (B) a11A11 + a12A21 + a13A31
(C) a21A11 + a22A12 + a23A13 (D) a11A11 + a21A21 + a31A31
ઉકેલ:
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ: “નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય એ કોઈ પણ એક હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકો અને તેમના અનુરૂપ સહઅવયવોના ગુણાકારના સરવાળા બરાબર હોય છે.”
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ: “નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય એ કોઈ પણ એક હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકો અને તેમના અનુરૂપ સહઅવયવોના ગુણાકારના સરવાળા બરાબર હોય છે.”
યાદ રાખો: જો ઘટકો એક હારના હોય અને સહઅવયવો બીજી કોઈ હારના હોય, તો તેમનો સરવાળો હંમેશા શૂન્ય (0) થાય છે. ઘટક aij સાથે તેનો જ સહઅવયવ Aij ગુણાયેલો હોવો જોઈએ.
હવે વિકલ્પો ચકાસીએ:
- (A) a11A31 + a12A32 + a13A33 : અહીં 1લી હારના ઘટકો સાથે 3જી હારના સહઅવયવો છે, તેથી આનું મૂલ્ય 0 થશે.
- (B) a11A11 + a12A21 + a13A31 : અહીં ઘટકો અને સહઅવયવોના ઇન્ડેક્સ અલગ અલગ છે (1લી હારના ઘટકો અને 1લા સ્તંભના સહઅવયવો). આ યોગ્ય વિસ્તરણ નથી.
- (C) a21A11 + a22A12 + a23A13 : અહીં 2જી હારના ઘટકો સાથે 1લી હારના સહઅવયવો છે, તેથી આનું મૂલ્ય 0 થશે.
- (D) a11A11 + a21A21 + a31A31 : અહીં 1લા સ્તંભ (Column 1) ના ઘટકોનો તેમના જ અનુરૂપ સહઅવયવો સાથે ગુણાકાર કરીને સરવાળો કરેલ છે. આ પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષે નિશ્ચાયકનું સાચું વિસ્તરણ છે.
✅ સાચો વિકલ્પ: (D) a11A11 + a21A21 + a31A31
4.4
શ્રેણિક અને નિશ્ચાયક : દાખલા 15 થી 18
પ્રશ્ન 15: શ્રેણિક A =
માટે સાબિત કરો કે A3 – 6A2 + 5A + 11I = O
અને તે પરથી A-1 શોધો.
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | -3 |
| 2 | -1 | 3 |
અને તે પરથી A-1 શોધો.
ઉકેલ:
સૌપ્રથમ A2 = A × A શોધીએ:
સૌપ્રથમ A2 = A × A શોધીએ:
A2 =
×
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | -3 |
| 2 | -1 | 3 |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | -3 |
| 2 | -1 | 3 |
=
=
| (1+1+2) | (1+2-1) | (1-3+3) |
| (1+2-6) | (1+4+3) | (1-6-9) |
| (2-1+6) | (2-2-3) | (2+3+9) |
| 4 | 2 | 1 |
| -3 | 8 | -14 |
| 7 | -3 | 14 |
હવે A3 = A2 × A શોધીએ:
A3 =
×
| 4 | 2 | 1 |
| -3 | 8 | -14 |
| 7 | -3 | 14 |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | -3 |
| 2 | -1 | 3 |
=
=
| (4+2+2) | (4+4-1) | (4-6+3) |
| (-3+8-28) | (-3+16+14) | (-3-24-42) |
| (7-3+28) | (7-6-14) | (7+9+42) |
| 8 | 7 | 1 |
| -23 | 27 | -69 |
| 32 | -13 | 58 |
હવે ડાબી બાજુ (L.H.S.) = A3 – 6A2 + 5A + 11I માં કિંમતો મુકતાં:
=
–
+
+
| 8 | 7 | 1 |
| -23 | 27 | -69 |
| 32 | -13 | 58 |
| 24 | 12 | 6 |
| -18 | 48 | -84 |
| 42 | -18 | 84 |
| 5 | 5 | 5 |
| 5 | 10 | -15 |
| 10 | -5 | 15 |
| 11 | 0 | 0 |
| 0 | 11 | 0 |
| 0 | 0 | 11 |
દરેક અનુરૂપ ઘટકોનો સરવાળો/બાદબાકી કરતાં:
=
| (8 – 24 + 5 + 11) | (7 – 12 + 5 + 0) | (1 – 6 + 5 + 0) |
| (-23 + 18 + 5 + 0) | (27 – 48 + 10 + 11) | (-69 + 84 – 15 + 0) |
| (32 – 42 + 10 + 0) | (-13 + 18 – 5 + 0) | (58 – 84 + 15 + 11) |
=
= O (શૂન્ય શ્રેણિક)
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
✅ આમ, A3 – 6A2 + 5A + 11I = O સાબિત થાય છે.
A-1 શોધવા માટે:
સમીકરણની બંને બાજુને A-1 વડે ગુણતાં:
A-1(A3 – 6A2 + 5A + 11I) = A-1O
A2 – 6A + 5I + 11A-1 = O
11A-1 = -A2 + 6A – 5I
A2 – 6A + 5I + 11A-1 = O
11A-1 = -A2 + 6A – 5I
જમણી બાજુ કિંમતો મુકતાં:
11A-1 =
+
–
| -4 | -2 | -1 |
| 3 | -8 | 14 |
| -7 | 3 | -14 |
| 6 | 6 | 6 |
| 6 | 12 | -18 |
| 12 | -6 | 18 |
| 5 | 0 | 0 |
| 0 | 5 | 0 |
| 0 | 0 | 5 |
11A-1 =
| (-4 + 6 – 5) | (-2 + 6 – 0) | (-1 + 6 – 0) |
| (3 + 6 – 0) | (-8 + 12 – 5) | (14 – 18 – 0) |
| (-7 + 12 – 0) | (3 – 6 – 0) | (-14 + 18 – 5) |
11A-1 =
| -3 | 4 | 5 |
| 9 | -1 | -4 |
| 5 | -3 | -1 |
✅ જવાબ:
A-1 =
1
11
| -3 | 4 | 5 |
| 9 | -1 | -4 |
| 5 | -3 | -1 |
પ્રશ્ન 16: જો A =
હોય, તો સાબિત કરો કે A3 – 6A2 + 9A – 4I = O
અને તે પરથી A-1 શોધો.
| 2 | -1 | 1 |
| -1 | 2 | -1 |
| 1 | -1 | 2 |
અને તે પરથી A-1 શોધો.
ઉકેલ:
અગાઉના દાખલાની જેમ જ સૌપ્રથમ A2 શોધીએ:
અગાઉના દાખલાની જેમ જ સૌપ્રથમ A2 શોધીએ:
A2 =
×
| 2 | -1 | 1 |
| -1 | 2 | -1 |
| 1 | -1 | 2 |
| 2 | -1 | 1 |
| -1 | 2 | -1 |
| 1 | -1 | 2 |
A2 =
=
| (4+1+1) | (-2-2-1) | (2+1+2) |
| (-2-2-1) | (1+4+1) | (-1-2-2) |
| (2+1+2) | (-1-2-2) | (1+1+4) |
| 6 | -5 | 5 |
| -5 | 6 | -5 |
| 5 | -5 | 6 |
હવે A3 = A2 × A શોધીએ:
A3 =
×
| 6 | -5 | 5 |
| -5 | 6 | -5 |
| 5 | -5 | 6 |
| 2 | -1 | 1 |
| -1 | 2 | -1 |
| 1 | -1 | 2 |
=
=
| (12+5+5) | (-6-10-5) | (6+5+10) |
| (-10-6-5) | (5+12+5) | (-5-6-10) |
| (10+5+6) | (-5-10-6) | (5+5+12) |
| 22 | -21 | 21 |
| -21 | 22 | -21 |
| 21 | -21 | 22 |
હવે ડાબી બાજુ (L.H.S.) = A3 – 6A2 + 9A – 4I માં કિંમતો મુકતાં:
=
–
+
–
| 22 | -21 | 21 |
| -21 | 22 | -21 |
| 21 | -21 | 22 |
| 36 | -30 | 30 |
| -30 | 36 | -30 |
| 30 | -30 | 36 |
| 18 | -9 | 9 |
| -9 | 18 | -9 |
| 9 | -9 | 18 |
| 4 | 0 | 0 |
| 0 | 4 | 0 |
| 0 | 0 | 4 |
=
| (22 – 36 + 18 – 4) | (-21 + 30 – 9 – 0) | (21 – 30 + 9 – 0) |
| (-21 + 30 – 9 – 0) | (22 – 36 + 18 – 4) | (-21 + 30 – 9 – 0) |
| (21 – 30 + 9 – 0) | (-21 + 30 – 9 – 0) | (22 – 36 + 18 – 4) |
=
= O (શૂન્ય શ્રેણિક)
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
✅ આમ, A3 – 6A2 + 9A – 4I = O સાબિત થાય છે.
A-1 શોધવા માટે:
સમીકરણની બંને બાજુને A-1 વડે ગુણતાં:
A-1(A3 – 6A2 + 9A – 4I) = A-1O
A2 – 6A + 9I – 4A-1 = O
4A-1 = A2 – 6A + 9I
A2 – 6A + 9I – 4A-1 = O
4A-1 = A2 – 6A + 9I
જમણી બાજુ કિંમતો મુકતાં:
4A-1 =
–
+
| 6 | -5 | 5 |
| -5 | 6 | -5 |
| 5 | -5 | 6 |
| 12 | -6 | 6 |
| -6 | 12 | -6 |
| 6 | -6 | 12 |
| 9 | 0 | 0 |
| 0 | 9 | 0 |
| 0 | 0 | 9 |
4A-1 =
| (6 – 12 + 9) | (-5 + 6 + 0) | (5 – 6 + 0) |
| (-5 + 6 + 0) | (6 – 12 + 9) | (-5 + 6 + 0) |
| (5 – 6 + 0) | (-5 + 6 + 0) | (6 – 12 + 9) |
4A-1 =
| 3 | 1 | -1 |
| 1 | 3 | 1 |
| -1 | 1 | 3 |
✅ જવાબ:
A-1 =
1
4
| 3 | 1 | -1 |
| 1 | 3 | 1 |
| -1 | 1 | 3 |
પ્રશ્ન 17: જો A એ 3 × 3 કક્ષાવાળો સામાન્ય ચોરસ શ્રેણિક હોય, તો |adj A| = ……….
(A) |A| (B) |A|2 (C) |A|3 (D) 3|A|
(A) |A| (B) |A|2 (C) |A|3 (D) 3|A|
ઉકેલ:
આપણે જાણીએ છીએ કે n × n કક્ષાવાળા શ્રેણિક માટે, |adj A| = |A|n-1 થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે n × n કક્ષાવાળા શ્રેણિક માટે, |adj A| = |A|n-1 થાય.
અહીં શ્રેણિકની કક્ષા 3 × 3 છે, એટલે કે n = 3.
તેથી, |adj A| = |A|3-1 = |A|2
તેથી, |adj A| = |A|3-1 = |A|2
✅ સાચો વિકલ્પ: (B) |A|2
પ્રશ્ન 18: જો A એ 2 કક્ષાવાળો સામાન્ય શ્રેણિક હોય, તો det(A-1) નો નિશ્ચાયક ………. છે.
(A) det(A) (B) (C) 1 (D) 0
(A) det(A) (B)
1
det(A)
ઉકેલ:
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મો મુજબ આપણે જાણીએ છીએ કે A × A-1 = I (જ્યાં I એ એકમ શ્રેણિક છે).
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મો મુજબ આપણે જાણીએ છીએ કે A × A-1 = I (જ્યાં I એ એકમ શ્રેણિક છે).
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતાં:
|A × A-1| = |I|
|A| × |A-1| = 1
તેથી, |A-1| =
|A × A-1| = |I|
|A| × |A-1| = 1
તેથી, |A-1| =
1
|A|
આને det(A-1) = પણ લખી શકાય.
1
det(A)
✅ સાચો વિકલ્પ: (B)
1
det(A)
4.5
સમીકરણ સંહતિની સુસંગતતા ચકાસવી
નિયમો: સમીકરણ સંહતિ AX = B માટે:
1. જો |A| ≠ 0 હોય, તો સંહતિ સુસંગત છે (અનન્ય ઉકેલ મળે).
2. જો |A| = 0 અને (adj A)B ≠ O હોય, તો સંહતિ સુસંગત નથી (ઉકેલ ન મળે).
3. જો |A| = 0 અને (adj A)B = O હોય, તો સંહતિ સુસંગત હોઈ પણ શકે અથવા ન પણ હોય.
1. જો |A| ≠ 0 હોય, તો સંહતિ સુસંગત છે (અનન્ય ઉકેલ મળે).
2. જો |A| = 0 અને (adj A)B ≠ O હોય, તો સંહતિ સુસંગત નથી (ઉકેલ ન મળે).
3. જો |A| = 0 અને (adj A)B = O હોય, તો સંહતિ સુસંગત હોઈ પણ શકે અથવા ન પણ હોય.
પ્રશ્ન 1:
x + 2y = 2
2x + 3y = 3
x + 2y = 2
2x + 3y = 3
ઉકેલ: અહીં આપેલ સમીકરણોને શ્રેણિક સ્વરૂપ AX = B માં લખતાં,
A =
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
હવે શ્રેણિક A નો નિશ્ચાયક |A| શોધીએ:
|A| =
= (1)(3) – (2)(2) = 3 – 4 = -1
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
અહીં |A| = -1 ≠ 0 છે.
✅ તેથી, આપેલ સમીકરણોની સંહતિ સુસંગત છે.
પ્રશ્ન 2:
2x – y = 5
x + y = 4
2x – y = 5
x + y = 4
ઉકેલ: અહીં આપેલ સમીકરણો પરથી,
A =
| 2 | -1 |
| 1 | 1 |
શ્રેણિક A નો નિશ્ચાયક |A| શોધીએ:
|A| =
= (2)(1) – (-1)(1) = 2 + 1 = 3
| 2 | -1 |
| 1 | 1 |
અહીં |A| = 3 ≠ 0 છે.
✅ તેથી, આપેલ સમીકરણોની સંહતિ સુસંગત છે.
પ્રશ્ન 3:
x + 3y = 5
2x + 6y = 8
x + 3y = 5
2x + 6y = 8
ઉકેલ: અહીં આપેલ સમીકરણો પરથી,
A =
, B =
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 5 |
| 8 |
નિશ્ચાયક |A| શોધીએ:
|A| = (1)(6) – (3)(2) = 6 – 6 = 0
અહીં |A| = 0 હોવાથી આપણે (adj A)B શોધવું પડશે.
adj A (સહઅવયવજ શ્રેણિક) માટે મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકો બદલો અને ગૌણ વિકર્ણના ચિહ્નો બદલો:
adj A =
| 6 | -3 |
| -2 | 1 |
(adj A) B =
=
=
=
| 6 | -3 |
| -2 | 1 |
| 5 |
| 8 |
| (6)(5) + (-3)(8) |
| (-2)(5) + (1)(8) |
| 30 – 24 |
| -10 + 8 |
| 6 |
| -2 |
અહીં (adj A)B ≠ O (શૂન્ય શ્રેણિક) છે.
✅ તેથી, આપેલ સમીકરણોની સંહતિ સુસંગત નથી.
પ્રશ્ન 4:
x + y + z = 1
2x + 3y + 2z = 2
ax + ay + 2az = 4
x + y + z = 1
2x + 3y + 2z = 2
ax + ay + 2az = 4
ઉકેલ: સમીકરણો પરથી શ્રેણિક A,
A =
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 2 |
| a | a | 2a |
નિશ્ચાયક |A| શોધીએ (પ્રથમ હારથી વિસ્તરણ કરતાં):
|A| = 1(6a – 2a) – 1(4a – 2a) + 1(2a – 3a)
|A| = 1(4a) – 1(2a) + 1(-a) = 4a – 2a – a = a
અહીં a એ અચળ છે. જો a ≠ 0 હોય, તો |A| ≠ 0 થશે.
✅ તેથી, a ≠ 0 માટે આપેલ સમીકરણોની સંહતિ સુસંગત છે.
પ્રશ્ન 5:
3x – y – 2z = 2
2y – z = -1
3x – 5y = 3
3x – y – 2z = 2
2y – z = -1
3x – 5y = 3
ઉકેલ: અહીં ખૂટતા પદોને શૂન્ય સહગુણક સાથે લખતાં:
A =
, B =
| 3 | -1 | -2 |
| 0 | 2 | -1 |
| 3 | -5 | 0 |
| 2 |
| -1 |
| 3 |
નિશ્ચાયક |A| શોધીએ (પ્રથમ સ્તંભથી વિસ્તરણ વધુ સરળ રહેશે):
|A| = 3(0 – 5) – 0 + 3(1 – (-4)) = 3(-5) + 3(5) = -15 + 15 = 0
અહીં |A| = 0 હોવાથી (adj A)B શોધવું પડશે. A ના સહઅવયવો (Cofactors) શોધીએ:
A11 = -5, A12 = -3, A13 = -6
A21 = 10, A22 = 6, A23 = 12
A31 = 5, A32 = 3, A33 = 6
A21 = 10, A22 = 6, A23 = 12
A31 = 5, A32 = 3, A33 = 6
adj A =
| -5 | 10 | 5 |
| -3 | 6 | 3 |
| -6 | 12 | 6 |
હવે ગુણાકાર કરીએ:
(adj A) B =
=
=
| -5 | 10 | 5 |
| -3 | 6 | 3 |
| -6 | 12 | 6 |
| 2 |
| -1 |
| 3 |
| (-10) – 10 + 15 |
| (-6) – 6 + 9 |
| (-12) – 12 + 18 |
| -5 |
| -3 |
| -6 |
અહીં (adj A)B ≠ O (શૂન્ય શ્રેણિક) છે.
✅ તેથી, આપેલ સમીકરણોની સંહતિ સુસંગત નથી.
પ્રશ્ન 6:
5x – y + 4z = 5
2x + 3y + 5z = 2
5x – 2y + 6z = -1
5x – y + 4z = 5
2x + 3y + 5z = 2
5x – 2y + 6z = -1
ઉકેલ: સમીકરણો પરથી શ્રેણિક A,
A =
| 5 | -1 | 4 |
| 2 | 3 | 5 |
| 5 | -2 | 6 |
નિશ્ચાયક |A| શોધીએ (પ્રથમ હારથી વિસ્તરણ કરતાં):
|A| = 5(18 – (-10)) – (-1)(12 – 25) + 4(-4 – 15)
|A| = 5(28) + 1(-13) + 4(-19)
|A| = 140 – 13 – 76 = 140 – 89 = 51
અહીં |A| = 51 ≠ 0 છે.
✅ તેથી, આપેલ સમીકરણોની સંહતિ સુસંગત છે.
નિશ્ચાયક / શ્રેણિક : કૂટપ્રશ્ન ઉકેલ (દાખલો 16)
પ્રશ્ન 16: 4 કિગ્રા ડુંગળી, 3 કિગ્રા ઘઉં અને 2 કિગ્રા ચોખાની કિંમત ₹ 60 છે. 2 કિગ્રા ડુંગળી, 4 કિગ્રા ઘઉં અને 6 કિગ્રા ચોખાની કિંમત ₹ 90 છે. 6 કિગ્રા ડુંગળી, 2 કિગ્રા ઘઉં અને 3 કિગ્રા ચોખાની કિંમત ₹ 70 છે. શ્રેણિકની રીતે દરેક વસ્તુનો પ્રતિકિગ્રા ભાવ શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે 1 કિગ્રા ડુંગળીનો ભાવ = ₹ x
1 કિગ્રા ઘઉંનો ભાવ = ₹ y
1 કિગ્રા ચોખાનો ભાવ = ₹ z
ધારો કે 1 કિગ્રા ડુંગળીનો ભાવ = ₹ x
1 કિગ્રા ઘઉંનો ભાવ = ₹ y
1 કિગ્રા ચોખાનો ભાવ = ₹ z
આપેલી માહિતી મુજબ આપણે ત્રણ સમીકરણો બનાવીશું:
4x + 3y + 2z = 60
2x + 4y + 6z = 90
6x + 2y + 3z = 70
2x + 4y + 6z = 90
6x + 2y + 3z = 70
આ સમીકરણોને શ્રેણિક સ્વરૂપ AX = B માં દર્શાવતાં:
| 4 | 3 | 2 |
| 2 | 4 | 6 |
| 6 | 2 | 3 |
| x |
| y |
| z |
| 60 |
| 90 |
| 70 |
પગલું 1: |A| શોધીએ (નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય)
|A| = 4(12 – 12) – 3(6 – 36) + 2(4 – 24)
|A| = 4(0) – 3(-30) + 2(-20)
|A| = 0 + 90 – 40 = 50
|A| = 4(0) – 3(-30) + 2(-20)
|A| = 0 + 90 – 40 = 50
અહીં |A| = 50 ≠ 0 હોવાથી A-1 અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને સમીકરણ સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ મળશે.
પગલું 2: A ના સહઅવયવો (Cofactors) શોધીએ
A11 = +(12 – 12) = 0
A12 = -(6 – 36) = 30
A13 = +(4 – 24) = -20
A21 = -(9 – 4) = -5
A22 = +(12 – 12) = 0
A23 = -(8 – 18) = 10
A31 = +(18 – 8) = 10
A32 = -(24 – 4) = -20
A33 = +(16 – 6) = 10
A12 = -(6 – 36) = 30
A13 = +(4 – 24) = -20
A21 = -(9 – 4) = -5
A22 = +(12 – 12) = 0
A23 = -(8 – 18) = 10
A31 = +(18 – 8) = 10
A32 = -(24 – 4) = -20
A33 = +(16 – 6) = 10
પગલું 3: adj(A) અને A-1 શોધીએ
સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્ત (Transpose) લેતાં adj(A) મળે છે:
adj(A) =
| 0 | -5 | 10 |
| 30 | 0 | -20 |
| -20 | 10 | 10 |
A-1 = adj(A) =
1
|A|
1
50
| 0 | -5 | 10 |
| 30 | 0 | -20 |
| -20 | 10 | 10 |
પગલું 4: X = A-1B નો ઉપયોગ કરી ઉકેલ મેળવીએ
| x |
| y |
| z |
1
50
| 0 | -5 | 10 |
| 30 | 0 | -20 |
| -20 | 10 | 10 |
| 60 |
| 90 |
| 70 |
હાર અને સ્તંભનો ગુણાકાર કરતાં:
=
1
50
| 0(60) – 5(90) + 10(70) |
| 30(60) + 0(90) – 20(70) |
| -20(60) + 10(90) + 10(70) |
=
1
50
| 0 – 450 + 700 |
| 1800 + 0 – 1400 |
| -1200 + 900 + 700 |
| x |
| y |
| z |
1
50
| 250 |
| 400 |
| 400 |
| 5 |
| 8 |
| 8 |
તેથી, x = 5, y = 8, z = 8.
✅ અંતિમ જવાબ:
ડુંગળીનો ભાવ = ₹ 5 પ્રતિ કિગ્રા
ઘઉંનો ભાવ = ₹ 8 પ્રતિ કિગ્રા
ચોખાનો ભાવ = ₹ 8 પ્રતિ કિગ્રા
ડુંગળીનો ભાવ = ₹ 5 પ્રતિ કિગ્રા
ઘઉંનો ભાવ = ₹ 8 પ્રતિ કિગ્રા
ચોખાનો ભાવ = ₹ 8 પ્રતિ કિગ્રા
પ્રશ્ન 9: જો 0 ≤ θ ≤ 2π માટે
A =
હોય, તો
(A) det (A) = 0 (B) det (A) ∈ (2, ∞)
(C) det (A) ∈ (2, 4) (D) det (A) ∈ [2, 4]
| 1 | sin θ | 1 |
| –sin θ | 1 | sin θ |
| -1 | –sin θ | 1 |
(A) det (A) = 0 (B) det (A) ∈ (2, ∞)
(C) det (A) ∈ (2, 4) (D) det (A) ∈ [2, 4]
ઉકેલ: સૌથી પહેલાં આપણે શ્રેણિક A નો નિશ્ચાયક det (A) એટલે કે |A| શોધીએ.
પ્રથમ હાર (Row 1) ની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતાં:
det (A) =
| 1 | sin θ | 1 |
| –sin θ | 1 | sin θ |
| -1 | –sin θ | 1 |
= 1 [ (1)(1) – (sin θ)(-sin θ) ] – sin θ [ (-sin θ)(1) – (sin θ)(-1) ] + 1 [ (-sin θ)(-sin θ) – (1)(-1) ]
= 1 (1 + sin2θ) – sin θ (-sin θ + sin θ) + 1 (sin2θ + 1)
= (1 + sin2θ) – sin θ (0) + (sin2θ + 1)
= 1 + sin2θ + sin2θ + 1
det (A) = 2 + 2sin2θ = 2(1 + sin2θ)
હવે det (A) નો વિસ્તાર (Range) નક્કી કરીએ:
આપણને શરત આપેલી છે કે 0 ≤ θ ≤ 2π.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ θ માટે sin θ ની કિંમત -1 થી 1 ની વચ્ચે જ હોય છે.
-1 ≤ sin θ ≤ 1
તેથી sin θ નો વર્ગ (Square) હંમેશા 0 થી 1 ની વચ્ચે જ રહેશે (વર્ગ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે).
0 ≤ sin2θ ≤ 1
આ અસમતાના દરેક પદમાં 1 ઉમેરતાં:
0 + 1 ≤ 1 + sin2θ ≤ 1 + 1
1 ≤ 1 + sin2θ ≤ 2
1 ≤ 1 + sin2θ ≤ 2
હવે અસમતાના દરેક પદને 2 વડે ગુણતાં:
2(1) ≤ 2(1 + sin2θ) ≤ 2(2)
2 ≤ det (A) ≤ 4
2 ≤ det (A) ≤ 4
આમ, det (A) ની કિંમત 2 થી 4 ની વચ્ચે (2 અને 4 સહિત) છે, જેને સંવૃત અંતરાલ [2, 4] સ્વરૂપે લખી શકાય.
✅ સાચો વિકલ્પ: (D) det (A) ∈ [2, 4]