3.1 : 10
સ્વાધ્યાય 3.1 : શ્રેણિક (Matrix)
પ્રશ્ન 10: પ્રત્યેક ઘટક 0 અથવા 1 હોય તેવા 3 × 3 કક્ષાવાળા શ્રેણિકની સંખ્યા ………. .
(A) 27 (B) 18 (C) 81 (D) 512
(A) 27 (B) 18 (C) 81 (D) 512
ઉકેલ:
અહીં પૂછવામાં આવેલા શ્રેણિકની કક્ષા (Order) 3 × 3 છે.
આથી, આ શ્રેણિકમાં રહેલા કુલ ઘટકોની સંખ્યા = 3 × 3 = 9 ઘટકો થશે.
આપણને શરત આપેલી છે કે શ્રેણિકનો પ્રત્યેક ઘટક કાં તો 0 હોવો જોઈએ અથવા 1 હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ થાય કે, શ્રેણિકના દરેકે-દરેક 9 સ્થાનો ભરવા માટે આપણી પાસે 2 વિકલ્પો (Options) છે.
ક્રમચય-સંચયના ગુણાકારના મૂળભૂત સિદ્ધાંત (Fundamental Principle of Counting) મુજબ:
શક્ય શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા = (દરેક સ્થાન માટેના વિકલ્પો)કુલ સ્થાનોની સંખ્યા
કુલ સંખ્યા = 29
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 512
= 512
✅ સાચો વિકલ્પ: (D) 512
3.2 : 19 – 22
શ્રેણિક (Matrices) : દાખલા 19 થી 22
પ્રશ્ન 19: એક ટ્રસ્ટ પાસે ₹ 30,000 નું ભંડોળ છે. ટ્રસ્ટને આ ભંડોળ બે જુદા-જુદા પ્રકારના બોન્ડમાં રોકવું છે. પ્રથમ બોન્ડ પ્રતિ વર્ષ 5% વ્યાજ આપે છે અને બીજું બોન્ડ પ્રતિ વર્ષ 7% વ્યાજ આપે છે. જો ટ્રસ્ટને વાર્ષિક વ્યાજ (a) ₹ 1800 (b) ₹ 2000 મેળવવું હોય, તો ટ્રસ્ટે ₹ 30,000 બે બોન્ડમાં રોકવા માટે મૂડીના કેવા ભાગ કરવા પડશે, તે શ્રેણિક ગુણાકારના ઉપયોગથી નક્કી કરો.
ઉકેલ:
ધારો કે ટ્રસ્ટ પ્રથમ બોન્ડમાં ₹ x નું રોકાણ કરે છે.
કુલ ભંડોળ ₹ 30,000 હોવાથી, બીજા બોન્ડમાં રોકાણ ₹ (30000 – x) થશે.
ધારો કે ટ્રસ્ટ પ્રથમ બોન્ડમાં ₹ x નું રોકાણ કરે છે.
કુલ ભંડોળ ₹ 30,000 હોવાથી, બીજા બોન્ડમાં રોકાણ ₹ (30000 – x) થશે.
આ રોકાણ દર્શાવતો શ્રેણિક A (1 × 2 કક્ષાનો) નીચે મુજબ બને:
A =
| x | 30000 – x |
બંને બોન્ડ પર મળતા વાર્ષિક વ્યાજનો દર અનુક્રમે 5% અને 7% છે. તેને દર્શાવતો શ્રેણિક R (2 × 1 કક્ષાનો) બનાવીએ:
R =
5 100 |
7 100 |
વાર્ષિક વ્યાજ = A × R.
(a) જો વાર્ષિક વ્યાજ ₹ 1800 હોય:
| x | 30000 – x |
5 100 |
7 100 |
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
x ( ) + (30000 – x) ( ) = 1800
5
100
7
100
બંને બાજુ 100 વડે ગુણતાં:
5x + 7(30000 – x) = 180000
5x + 210000 – 7x = 180000
-2x = 180000 – 210000
-2x = -30000
x = 15000
5x + 210000 – 7x = 180000
-2x = 180000 – 210000
-2x = -30000
x = 15000
✅ જવાબ (a): પ્રથમ બોન્ડમાં ₹ 15,000 અને બીજા બોન્ડમાં (30000 – 15000) = ₹ 15,000 રોકવા પડશે.
(b) જો વાર્ષિક વ્યાજ ₹ 2000 હોય:
શ્રેણિક સમીકરણમાં બરાબરની સામે 2000 મુકતાં:
x ( ) + (30000 – x) ( ) = 2000
5
100
7
100
બંને બાજુ 100 વડે ગુણતાં:
5x + 210000 – 7x = 200000
-2x = 200000 – 210000
-2x = -10000
x = 5000
-2x = 200000 – 210000
-2x = -10000
x = 5000
✅ જવાબ (b): પ્રથમ બોન્ડમાં ₹ 5,000 અને બીજા બોન્ડમાં (30000 – 5000) = ₹ 25,000 રોકવા પડશે.
પ્રશ્ન 20: એક સવિશેષ શાળાના પુસ્તકભંડારમાં 10 ડઝન રસાયણવિજ્ઞાનનાં પુસ્તકો, 8 ડઝન ભૌતિકવિજ્ઞાનનાં પુસ્તકો અને 10 ડઝન અર્થશાસ્ત્રનાં પુસ્તકો છે. તેમની વેચાણકિંમત અનુક્રમે ₹ 80, ₹ 60 અને ₹ 40 છે. પુસ્તકભંડાર બધાં જ પુસ્તકોનું વેચાણ કરી દે, તો શ્રેણિક બીજગણિતની મદદથી ભંડારને કેટલી રકમ મળશે તે શોધો.
ઉકેલ:
અહીં જથ્થો “ડઝન” માં આપેલ છે, તેથી આપણે તેને 12 વડે ગુણીને નંગમાં ફેરવીશું.
– રસાયણવિજ્ઞાનનાં પુસ્તકો = 10 × 12 = 120
– ભૌતિકવિજ્ઞાનનાં પુસ્તકો = 8 × 12 = 96
– અર્થશાસ્ત્રનાં પુસ્તકો = 10 × 12 = 120
અહીં જથ્થો “ડઝન” માં આપેલ છે, તેથી આપણે તેને 12 વડે ગુણીને નંગમાં ફેરવીશું.
– રસાયણવિજ્ઞાનનાં પુસ્તકો = 10 × 12 = 120
– ભૌતિકવિજ્ઞાનનાં પુસ્તકો = 8 × 12 = 96
– અર્થશાસ્ત્રનાં પુસ્તકો = 10 × 12 = 120
આ પુસ્તકોની સંખ્યાને આપણે 1 × 3 કક્ષાના હાર શ્રેણિક (Row Matrix) Q તરીકે લઈએ:
Q =
| 120 | 96 | 120 |
આ પુસ્તકોની કિંમત અનુક્રમે ₹ 80, ₹ 60 અને ₹ 40 છે. તેને આપણે 3 × 1 કક્ષાના સ્તંભ શ્રેણિક (Column Matrix) P તરીકે લઈએ:
P =
| 80 |
| 60 |
| 40 |
કુલ મળતી રકમ = Q × P
=
×
| 120 | 96 | 120 |
| 80 |
| 60 |
| 40 |
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
= [ (120 × 80) + (96 × 60) + (120 × 40) ]
= [ 9600 + 5760 + 4800 ]
= [ 20160 ]
= [ 9600 + 5760 + 4800 ]
= [ 20160 ]
✅ જવાબ: પુસ્તકભંડારને કુલ ₹ 20,160 મળશે.
માહિતી (પ્રશ્ન 21 અને 22 માટે): ધારો કે X, Y, Z, W અને P અનુક્રમે 2 × n, 3 × k, 2 × p, n × 3 અને p × k કક્ષાવાળા શ્રેણિક છે.
પ્રશ્ન 21: PY + WY વ્યાખ્યાયિત થાય તે રીતે n, k અને p પર પ્રતિબંધ મૂકવામાં આવે તો :
(A) k = 3, p = n (B) k સ્વૈર, p = 2 (C) p સ્વૈર, k = 3 (D) k = 2, p = 3
(A) k = 3, p = n (B) k સ્વૈર, p = 2 (C) p સ્વૈર, k = 3 (D) k = 2, p = 3
ઉકેલ:
અહીં P ની કક્ષા p × k છે અને Y ની કક્ષા 3 × k છે.
શ્રેણિક ગુણાકાર PY વ્યાખ્યાયિત થવા માટે, પ્રથમ શ્રેણિકના સ્તંભની સંખ્યા બીજા શ્રેણિકની હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
તેથી, k = 3 થવું ફરજિયાત છે. અને મળતા નવા શ્રેણિક PY ની કક્ષા p × k થશે.
અહીં P ની કક્ષા p × k છે અને Y ની કક્ષા 3 × k છે.
શ્રેણિક ગુણાકાર PY વ્યાખ્યાયિત થવા માટે, પ્રથમ શ્રેણિકના સ્તંભની સંખ્યા બીજા શ્રેણિકની હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
તેથી, k = 3 થવું ફરજિયાત છે. અને મળતા નવા શ્રેણિક PY ની કક્ષા p × k થશે.
તે જ રીતે, W ની કક્ષા n × 3 છે અને Y ની કક્ષા 3 × k છે.
ગુણાકાર WY વ્યાખ્યાયિત થવા માટે 3 = 3 થાય છે (જે સત્ય છે). અને નવા શ્રેણિક WY ની કક્ષા n × k થશે.
ગુણાકાર WY વ્યાખ્યાયિત થવા માટે 3 = 3 થાય છે (જે સત્ય છે). અને નવા શ્રેણિક WY ની કક્ષા n × k થશે.
હવે, સરવાળો PY + WY થવા માટે બંને શ્રેણિકની કક્ષા સમાન હોવી જોઈએ.
એટલે કે, PY ની કક્ષા (p × k) = WY ની કક્ષા (n × k) હોવી જોઈએ.
આ પરથી આપણને p = n મળે છે.
એટલે કે, PY ની કક્ષા (p × k) = WY ની કક્ષા (n × k) હોવી જોઈએ.
આ પરથી આપણને p = n મળે છે.
આમ, બે શરતો મળે છે: k = 3 અને p = n.
✅ સાચો વિકલ્પ: (A) k = 3, p = n
પ્રશ્ન 22: જો n = p હોય, તો શ્રેણિક 7X – 5Z ની કક્ષા :
(A) p × 2 (B) 2 × n (C) n × 3 (D) p × n
(A) p × 2 (B) 2 × n (C) n × 3 (D) p × n
ઉકેલ:
અહીં શ્રેણિક X ની કક્ષા 2 × n છે. કોઈ શ્રેણિકને અચળ સંખ્યા (7) વડે ગુણવાથી તેની કક્ષા બદલાતી નથી. તેથી 7X ની કક્ષા 2 × n જ રહેશે.
અહીં શ્રેણિક X ની કક્ષા 2 × n છે. કોઈ શ્રેણિકને અચળ સંખ્યા (7) વડે ગુણવાથી તેની કક્ષા બદલાતી નથી. તેથી 7X ની કક્ષા 2 × n જ રહેશે.
શ્રેણિક Z ની કક્ષા 2 × p છે. તેવી જ રીતે 5Z ની કક્ષા પણ 2 × p રહેશે.
બે શ્રેણિકોની બાદબાકી (7X – 5Z) માત્ર ત્યારે જ શક્ય છે જો બંનેની કક્ષા સમાન હોય. અહીં આપણને રકમમાં પહેલેથી જ આપેલું છે કે n = p.
તેથી બાદબાકી કર્યા પછી મળતા પરિણામી શ્રેણિકની કક્ષા કાં તો 2 × n હશે અથવા 2 × p હશે (કારણ કે બંને સરખા જ છે).
તેથી બાદબાકી કર્યા પછી મળતા પરિણામી શ્રેણિકની કક્ષા કાં તો 2 × n હશે અથવા 2 × p હશે (કારણ કે બંને સરખા જ છે).
આપેલા વિકલ્પો જોતાં, તેમાં 2 × n આપેલો છે.
✅ સાચો વિકલ્પ: (B) 2 × n
3.3 : 11
શ્રેણિક (Matrices) : અગત્યનો MCQ
પ્રશ્ન 11: જો A અને B સમાન કક્ષાવાળા સંમિત શ્રેણિક હોય, તો AB – BA એ
(A) વિસંમિત શ્રેણિક છે. (B) સંમિત શ્રેણિક છે.
(C) શૂન્ય શ્રેણિક છે. (D) એકમ શ્રેણિક છે.
(A) વિસંમિત શ્રેણિક છે. (B) સંમિત શ્રેણિક છે.
(C) શૂન્ય શ્રેણિક છે. (D) એકમ શ્રેણિક છે.
ઉકેલ:
અહીં આપેલું છે કે A અને B સંમિત શ્રેણિક (Symmetric Matrices) છે.
સંમિત શ્રેણિકના નિયમ મુજબ, AT = A અને BT = B થશે.
અહીં આપેલું છે કે A અને B સંમિત શ્રેણિક (Symmetric Matrices) છે.
સંમિત શ્રેણિકના નિયમ મુજબ, AT = A અને BT = B થશે.
હવે આપણે (AB – BA) કયા પ્રકારનો શ્રેણિક છે તે ચકાસવા માટે તેનો પરિવર્ત શ્રેણિક (Transpose) એટલે કે (AB – BA)T શોધીશું:
(AB – BA)T = (AB)T – (BA)T
પરિવર્ત શ્રેણિકના ગુણાકારના નિયમ (XY)T = YTXT નો ઉપયોગ કરતાં:
= BTAT – ATBT
હવે, આપણી પાસે રહેલી કિંમતો AT = A અને BT = B મુકતાં:
= BA – AB
આ પદમાંથી માઇનસ (-) નિશાની સામાન્ય (Common) કાઢતાં:
= -(AB – BA)
આપણને છેલ્લે (AB – BA)T = -(AB – BA) મળ્યું.
શ્રેણિકના મૂળભૂત નિયમ મુજબ, જો કોઈ શ્રેણિક X માટે XT = -X થાય, તો તે શ્રેણિકને વિસંમિત શ્રેણિક (Skew-symmetric Matrix) કહેવાય છે.
શ્રેણિકના મૂળભૂત નિયમ મુજબ, જો કોઈ શ્રેણિક X માટે XT = -X થાય, તો તે શ્રેણિકને વિસંમિત શ્રેણિક (Skew-symmetric Matrix) કહેવાય છે.
✅ સાચો વિકલ્પ: (A) વિસંમિત શ્રેણિક છે.