Chapter 2: ત્રિકોણમિતિય પ્રતિવિધેય (Inverse Trigonometric Functions)

સારાંશ: ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયો

ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયના પ્રદેશ અને વિસ્તાર (મુખ્ય કિંમતવાળી શાખા) નીચેના કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે:

વિધેય	પ્રદેશ	વિસ્તાર (મુખ્ય કિંમતવાળી શાખા)
y = sin^-1x	[-1, 1]	[-π/2, π/2]
y = cos^-1x	[-1, 1]	[0, π]
y = cosec^-1x	R – (-1, 1)	[-π/2, π/2] – {0}
y = sec^-1x	R – (-1, 1)	[0, π] – {π/2}
y = tan^-1x	R	(-π/2, π/2)
y = cot^-1x	R	(0, π)

sin^-1x ને ભૂલથી (sin x)^-1 તરીકે ના લેવાય. ખરેખર (sin x)^-1 = 1 / sin x અને આ જ વાત બાકીનાં ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયો માટે સત્ય છે.
ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયનું મૂલ્ય મુખ્ય શાખામાં હોય, તો તેને તે ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયની મુખ્ય કિંમત કહેવાય.

યોગ્ય પ્રદેશનાં મૂલ્યો માટે અગત્યના સૂત્રો:

y = sin^-1x ⇒ x = sin y
sin(sin^-1x) = x
sin^-1(1/x) = cosec^-1x
cos^-1(1/x) = sec^-1x
tan^-1(1/x) = cot^-1x
sin^-1(-x) = -sin^-1x
tan^-1x + cot^-1x = π/2
sin^-1x + cos^-1x = π/2
tan^-1x + tan^-1y = tan^-1[ (x + y) / (1 – xy) ]
tan^-1x – tan^-1y = tan^-1[ (x – y) / (1 + xy) ]

x = sin y ⇒ y = sin^-1x
sin^-1(sin x) = x
cos^-1(-x) = π – cos^-1x
cot^-1(-x) = π – cot^-1x
sec^-1(-x) = π – sec^-1x
tan^-1(-x) = -tan^-1x
cosec^-1(-x) = -cosec^-1x
cosec^-1x + sec^-1x = π/2
2tan^-1x = tan^-1[ (2x) / (1 – x²) ]
2tan^-1x = sin^-1[ (2x) / (1 + x²) ]
= cos^-1[ (1 – x²) / (1 + x²) ]

2.1

સ્વાધ્યાય 2.1 : ત્રિકોણમિતિય પ્રતિવિધેયો (મુખ્ય કિંમતો)

યાદ રાખો (મુખ્ય કિંમત શાખાઓ – Principal Value Branches):
• sin^-1x, cosec^-1x, tan^-1x માટે વિસ્તાર [-π/2, π/2] ની આસપાસ હોય છે. (ઋણ કિંમત માટે -θ લેવાય).
• cos^-1x, sec^-1x, cot^-1x માટે વિસ્તાર [0, π] ની આસપાસ હોય છે. (ઋણ કિંમત માટે π – θ લેવાય).

પ્રશ્ન 1 થી 10: નીચેના પ્રતિવિધેય માટે તેની મુખ્ય કિંમત શોધો:

1. sin^-1(-1/2)

આપણે જાણીએ છીએ કે sin(π/6) = 1/2. અને sin^-1(-x) = -sin^-1(x) થાય.
તેથી, sin^-1(-1/2) = -sin^-1(1/2) = -π/6.
આ કિંમત મુખ્ય શાખા [-π/2, π/2] માં આવેલી છે.

✅ જવાબ: -π/6

2. cos^-1(√3 / 2)

આપણે જાણીએ છીએ કે cos(π/6) = √3 / 2.
આ કિંમત મુખ્ય શાખા [0, π] માં આવેલી છે.

✅ જવાબ: π/6

3. cosec^-1(2)

આપણે જાણીએ છીએ કે cosec(π/6) = 2.
આ કિંમત મુખ્ય શાખા [-π/2, π/2] – {0} માં આવેલી છે.

✅ જવાબ: π/6

4. tan^-1(-√3)

tan(π/3) = √3. અને tan^-1(-x) = -tan^-1(x) થાય.
તેથી, tan^-1(-√3) = -π/3.
આ કિંમત મુખ્ય શાખા (-π/2, π/2) માં આવેલી છે.

✅ જવાબ: -π/3

5. cos^-1(-1/2)

cos(π/3) = 1/2. અને cos^-1(-x) = π – cos^-1(x) થાય.
તેથી, cos^-1(-1/2) = π – π/3 = 2π/3.
આ કિંમત મુખ્ય શાખા [0, π] માં આવેલી છે.

✅ જવાબ: 2π/3

6. tan^-1(-1)

tan(π/4) = 1. અને tan^-1(-x) = -tan^-1(x).
તેથી, tan^-1(-1) = -π/4.

✅ જવાબ: -π/4

7. sec^-1(2 / √3)

આપણે જાણીએ છીએ કે sec(π/6) = 2 / √3.
આ કિંમત મુખ્ય શાખા [0, π] – {π/2} માં આવેલી છે.

✅ જવાબ: π/6

8. cot^-1(√3)

આપણે જાણીએ છીએ કે cot(π/6) = √3.
આ કિંમત મુખ્ય શાખા (0, π) માં આવેલી છે.

✅ જવાબ: π/6

9. cos^-1(-1 / √2)

cos(π/4) = 1/√2. સૂત્ર cos^-1(-x) = π – cos^-1(x) મુજબ:
cos^-1(-1 / √2) = π – π/4 = 3π/4.

✅ જવાબ: 3π/4

10. cosec^-1(-√2)

cosec(π/4) = √2. સૂત્ર cosec^-1(-x) = -cosec^-1(x) મુજબ:
cosec^-1(-√2) = -π/4.

✅ જવાબ: -π/4

પ્રશ્ન 11: નીચેની અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય મેળવો: tan^-1(1) + cos^-1(-1/2) + sin^-1(-1/2)

ઉકેલ: આપણે ત્રણેય પદોની મુખ્ય કિંમતો શોધીને સરવાળો કરીશું.

• tan^-1(1) = π/4
• cos^-1(-1/2) = π – π/3 = 2π/3
• sin^-1(-1/2) = -π/6

સરવાળો કરતાં:

2π

–

છેદનો લ.સા.અ. (LCM) 12 લેતાં:

3π + 8π – 2π

9π

3 વડે છેદ ઉડાડતાં:

✅ જવાબ: 3π/4

પ્રશ્ન 12: નીચેની અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય મેળવો: cos^-1(1/2) + 2sin^-1(1/2)

ઉકેલ: મુખ્ય કિંમતો મૂકતાં:

• cos^-1(1/2) = π/3
• sin^-1(1/2) = π/6

+ 2(

)

=

✅ જવાબ: 2π/3

પ્રશ્ન 13: જો sin^-1x = y હોય, તો … (યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો)

ઉકેલ:
અહીં y એ sin^-1x નો વિસ્તાર (Range) દર્શાવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે sin^-1 ની મુખ્ય કિંમતની શાખાનો વિસ્તાર [-π/2, π/2] છે.
તેથી, y ની કિંમત -π/2 થી π/2 ની વચ્ચે અથવા તેના જેટલી હોઈ શકે.

✅ સાચો વિકલ્પ: (B) -π/2 ≤ y ≤ π/2

પ્રશ્ન 14: tan^-1(√3) – sec^-1(-2) નું મૂલ્ય ……… છે.

ઉકેલ: બંને પદોની મુખ્ય કિંમતો શોધીએ:

• tan^-1(√3) = π/3
• sec^-1(-2) માટે: sec^-1(-x) = π – sec^-1(x) સૂત્ર વાપરતાં,
sec^-1(-2) = π – sec^-1(2) = π – π/3 = 2π/3.

હવે બાદબાકી કરતાં:

–

2π

= –
π
3

✅ સાચો વિકલ્પ: (B) -π/3

2.2

સ્વાધ્યાય 2.2 : ત્રિકોણમિતિય પ્રતિવિધેયો (દાખલા 1 થી 15)

પ્રશ્ન 1: સાબિત કરો : 3sin^-1 x = sin^-1(3x – 4x³), x ∈ [ –

]

ઉકેલ:
ધારો કે sin^-1 x = θ. તેથી x = sin θ થાય.
જમણી બાજુ (R.H.S.) = sin^-1(3x – 4x³)
x ની કિંમત મૂકતાં,
= sin^-1(3sin θ – 4sin³ θ)

સૂત્ર: sin 3θ = 3sin θ – 4sin³ θ

= sin^-1(sin 3θ)
= 3θ
= 3sin^-1 x
= ડાબી બાજુ (L.H.S.)

✅ સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 2: સાબિત કરો : 3cos^-1 x = cos^-1(4x³ – 3x), x ∈ [

, 1 ]

ઉકેલ:
ધારો કે cos^-1 x = θ. તેથી x = cos θ થાય.
જમણી બાજુ (R.H.S.) = cos^-1(4x³ – 3x)
x ની કિંમત મૂકતાં,
= cos^-1(4cos³ θ – 3cos θ)

સૂત્ર: cos 3θ = 4cos³ θ – 3cos θ

= cos^-1(cos 3θ)
= 3θ
= 3cos^-1 x
= ડાબી બાજુ (L.H.S.)

✅ સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 3: સાદા સ્વરૂપમાં લખો : tan^-1 [

√(1+x²) – 1

], x ≠ 0

ઉકેલ:
અહીં √(1+x²) હોવાથી, આદેશ x = tan θ લઈશું. તેથી θ = tan^-1 x.
આપેલ પદ = tan^-1 [

√(1+tan² θ) – 1

tan θ

]

= tan^-1 [

sec θ – 1

tan θ

]

બધાને sin અને cos માં ફેરવતાં,
= tan^-1 [

(1/cos θ) – 1

sin θ / cos θ

]

= tan^-1 [

1 – cos θ

sin θ

]

સૂત્રો: 1 – cos θ = 2sin²(θ/2) અને sin θ = 2sin(θ/2)cos(θ/2)

= tan^-1 [

2sin²(θ/2)

2sin(θ/2)cos(θ/2)

]

= tan^-1 [

sin(θ/2)

cos(θ/2)

]

= tan^-1 [ tan(θ/2) ]
= θ/2 =

tan^-1 x

✅ જવાબ:

tan^-1 x

પ્રશ્ન 4: સાદા સ્વરૂપમાં લખો : tan^-1 √(

1 – cos x

1 + cos x

), 0 < x < π

ઉકેલ:
સીધા ત્રિકોણમિતિના અડધા ખૂણાના સૂત્રો વાપરતાં:
1 – cos x = 2sin²(x/2)
1 + cos x = 2cos²(x/2)

આપેલ પદ = tan^-1 √(

2sin²(x/2)

2cos²(x/2)

)

= tan^-1 √(tan²(x/2))
અહીં 0 < x < π હોવાથી 0 < x/2 < π/2 (પ્રથમ ચરણ). પ્રથમ ચરણમાં tan ધન હોય છે.
= tan^-1 [ tan(x/2) ]
= x/2

✅ જવાબ: x/2

પ્રશ્ન 5: સાદા સ્વરૂપમાં લખો : tan^-1 (

cos x – sin x

cos x + sin x

), -π/4 < x < π/4

ઉકેલ:
કૌંસની અંદર અંશ અને છેદના દરેક પદને cos x વડે ભાગતાં:
= tan^-1 (

(cos x/cos x) – (sin x/cos x)

(cos x/cos x) + (sin x/cos x)

)

= tan^-1 (

1 – tan x

1 + tan x

)
આપણે 1 ની જગ્યાએ tan(π/4) લખી શકીએ:
= tan^-1 (

tan(π/4) – tan x

1 + tan(π/4) · tan x

)

સૂત્ર: (tan A – tan B) / (1 + tan A · tan B) = tan(A – B)

= tan^-1 [ tan(π/4 – x) ]
= π/4 – x

✅ જવાબ: π/4 – x

પ્રશ્ન 6: સાદા સ્વરૂપમાં લખો : tan^-1 [

√(a² – x²)

], |x| < a

ઉકેલ:
અહીં √(a² – x²) સ્વરૂપ હોવાથી, આદેશ x = a sin θ લઈશું. તેથી sin θ = x/a ⇒ θ = sin^-1(x/a).
આપેલ પદ = tan^-1 [

a sin θ

√(a² – (a sin θ)²)

]

= tan^-1 [

a sin θ

√(a²(1 – sin² θ))

]

= tan^-1 [

a sin θ

√(a² cos² θ)

]

= tan^-1 [

a sin θ

a cos θ

]

= tan^-1(tan θ) = θ
θ ની કિંમત પાછી મૂકતાં, = sin^-1(x/a)

✅ જવાબ: sin^-1(x/a)

પ્રશ્ન 7: સાદા સ્વરૂપમાં લખો : tan^-1 (

3a²x – x³

a³ – 3ax²

), a > 0;

–a

√3

< x <

√3

ઉકેલ:
અંશ અને છેદને a³ વડે ભાગતાં:
= tan^-1 (

3(x/a) – (x/a)³

1 – 3(x/a)²

)

હવે, આદેશ (x/a) = tan θ લઈએ. તેથી θ = tan^-1(x/a).
= tan^-1 (

3tan θ – tan³ θ

1 – 3tan² θ

)

સૂત્ર: tan 3θ = (3tan θ – tan³ θ) / (1 – 3tan² θ)

= tan^-1(tan 3θ)
= 3θ
θ ની કિંમત મૂકતાં, = 3tan^-1(x/a)

✅ જવાબ: 3tan^-1(x/a)

પ્રશ્ન 8: કિંમત શોધો : tan^-1 [ 2cos ( 2sin^-1(1/2) ) ]

ઉકેલ:
સૌથી અંદરના કૌંસથી શરૂઆત કરીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે sin^-1(1/2) = π/6 થાય.
= tan^-1 [ 2cos ( 2 × π/6 ) ]
= tan^-1 [ 2cos ( π/3 ) ]
હવે, cos(π/3) = 1/2 મૂકતાં,
= tan^-1 [ 2 × (1/2) ]
= tan^-1(1)
= π/4

✅ જવાબ: π/4

પ્રશ્ન 9: કિંમત શોધો : tan (

) [ sin^-1 (

1+x²

) + cos^-1 (

1-y²

1+y²

) ]

ઉકેલ:
ત્રિકોણમિતિય પ્રતિવિધેયોના સીધા પ્રમાણિત સૂત્રો છે:
sin^-1(2x / (1+x²)) = 2tan^-1 x
cos^-1((1-y²) / (1+y²)) = 2tan^-1 y

આ કિંમતો રકમમાં મૂકતાં:
= tan(1/2) [ 2tan^-1 x + 2tan^-1 y ]
કૌંસમાંથી 2 સામાન્ય કાઢી 1/2 સાથે ઉડાડતાં,
= tan( tan^-1 x + tan^-1 y )

સૂત્ર: tan^-1 x + tan^-1 y = tan^-1( (x+y) / (1-xy) )

= tan [ tan^-1 (

x+y

1-xy

) ]

=

x+y

1-xy

✅ જવાબ:

x+y

1-xy

પ્રશ્ન 10: અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો : sin^-1 ( sin(2π/3) )

ઉકેલ:
sin^-1 ની મુખ્ય કિંમતની શાખા [-π/2, π/2] છે.
પરંતુ અહીં ખૂણો 2π/3 એ આ અંતરાલની બહાર છે. તેથી આપણે તેને યોગ્ય અંતરાલમાં લાવવો પડશે.
sin(2π/3) = sin(π – π/3)
બીજા ચરણમાં sin ધન હોય છે, તેથી sin(π – π/3) = sin(π/3).

હવે રકમમાં કિંમત મૂકતાં,
= sin^-1 ( sin(π/3) )
અહીં π/3 ∈ [-π/2, π/2] હોવાથી,
= π/3

✅ જવાબ: π/3

પ્રશ્ન 11: અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો : tan^-1 ( tan(3π/4) )

ઉકેલ:
tan^-1 ની મુખ્ય કિંમતની શાખા (-π/2, π/2) છે. ખૂણો 3π/4 આ અંતરાલની બહાર છે.
tan(3π/4) = tan(π – π/4)
બીજા ચરણમાં tan ઋણ હોય છે, તેથી tan(π – π/4) = -tan(π/4) = tan(-π/4).

હવે રકમમાં કિંમત મૂકતાં,
= tan^-1 [ tan(-π/4) ]
અહીં -π/4 ∈ (-π/2, π/2) હોવાથી,
= -π/4

✅ જવાબ: -π/4

પ્રશ્ન 12: અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો : tan [ sin^-1(3/5) + cot^-1(3/2) ]

ઉકેલ:
આપણે કૌંસમાં રહેલા બંને પદોને tan^-1 માં ફેરવીશું.
1. sin^-1 માટે: ધારો કે sin^-1(3/5) = θ ⇒ sin θ = 3/5.
કાટકોણ ત્રિકોણ મુજબ, સામેની બાજુ = 3, કર્ણ = 5, તો પાસેની બાજુ = √(5² – 3²) = 4.
તેથી tan θ = 3/4 ⇒ θ = tan^-1(3/4).
2. cot^-1 માટે: સીધું વ્યસ્ત કરતાં, cot^-1(3/2) = tan^-1(2/3).

હવે રકમમાં મૂકતાં,
= tan [ tan^-1(3/4) + tan^-1(2/3) ]

સૂત્ર: tan^-1 x + tan^-1 y = tan^-1( (x+y) / (1-xy) )

= tan [ tan^-1 (

(3/4) + (2/3)

1 – (3/4)(2/3)

) ]

લ.સા.અ. લેતાં,
= tan [ tan^-1 (

(9+8)/12

(12-6)/12

) ]

= tan [ tan^-1(17/6) ]
= 17/6

✅ જવાબ: 17/6

પ્રશ્ન 13: cos^-1(cos 7π/6) = …….. (સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો)

ઉકેલ:
cos^-1 નો વિસ્તાર [0, π] છે. 7π/6 એ આ વિસ્તારમાં નથી.
cos(7π/6) = cos(2π – 5π/6) = cos(5π/6)
તેથી, cos^-1[cos(5π/6)] = 5π/6 (કારણ કે 5π/6 ∈ [0, π]).

✅ યોગ્ય વિકલ્પ: (B) 5π/6

પ્રશ્ન 14: sin [ π/3 – sin^-1(-1/2) ] = …….. (સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો)

ઉકેલ:
આપણે જાણીએ છીએ કે sin^-1(-x) = -sin^-1(x).
તેથી sin^-1(-1/2) = -sin^-1(1/2) = -π/6.

રકમમાં કિંમત મૂકતાં,
= sin [ π/3 – (-π/6) ]
= sin [ π/3 + π/6 ]
= sin [ 2π/6 + π/6 ] = sin(3π/6) = sin(π/2)
આપણે જાણીએ છીએ કે sin(π/2) = 1.

✅ યોગ્ય વિકલ્પ: (D) 1

પ્રશ્ન 15: tan^-1(√3) – cot^-1(-√3) = …….. (સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો)

ઉકેલ:
tan^-1(√3) = π/3.

cot^-1(-x) માટેનું સૂત્ર: cot^-1(-x) = π – cot^-1(x).
તેથી, cot^-1(-√3) = π – cot^-1(√3) = π – π/6 = 5π/6.

હવે બંનેની બાદબાકી કરીએ:
= π/3 – 5π/6
લ.સા.અ. 6 લેતાં,
= (2π – 5π) / 6
= -3π/6
= -π/2

✅ યોગ્ય વિકલ્પ: (B) -π/2

પ્રકીર્ણન

પ્રકીર્ણ સ્વાધ્યાય 2 : દાખલા 1 થી 14

નીચેનાં પ્રતિવિધેયનાં મૂલ્ય શોધો :

પ્રશ્ન 1: cos^-1 ( cos

13π

)

ઉકેલ:
cos^-1 ની મુખ્ય કિંમતની શાખા [0, π] છે.

13π

એ આ અંતરાલમાં નથી.
13π / 6 = 2π + π/6
cos(2π + π/6) = cos(π/6) (કારણ કે પ્રથમ ચરણમાં cos ધન હોય છે).

તેથી, cos^-1[cos(π/6)] = π/6. (અહીં π/6 ∈ [0, π] છે).

✅ જવાબ: π/6

પ્રશ્ન 2: tan^-1 ( tan

7π

)

ઉકેલ:
tan^-1 ની મુખ્ય કિંમતની શાખા (-π/2, π/2) છે.

7π

એ આ અંતરાલમાં નથી.
7π / 6 = π + π/6
tan(π + π/6) = tan(π/6) (કારણ કે ત્રીજા ચરણમાં tan ધન હોય છે).

તેથી, tan^-1[tan(π/6)] = π/6. (અહીં π/6 ∈ (-π/2, π/2) છે).

✅ જવાબ: π/6

સાબિત કરો :

પ્રશ્ન 3: 2sin^-1

= tan^-1

ઉકેલ:
ધારો કે sin^-1(3/5) = x ⇒ sin x = 3/5.
કાટકોણ ત્રિકોણ મુજબ: સામેની બાજુ = 3, કર્ણ = 5. પાયથાગોરસ પરથી પાસેની બાજુ = √(5² – 3²) = 4 થાય.
આથી, tan x = 3/4 ⇒ x = tan^-1(3/4).

ડાબી બાજુ (LHS) = 2tan^-1(3/4)

સૂત્ર: 2tan^-1A = tan^-1[ 2A / (1 – A²) ]

= tan^-1 [

2 × (3/4)

1 – (3/4)²

]

= tan^-1 [

6/4

1 – 9/16

]

= tan^-1 [

6/4

7/16

]

= tan^-1 [

6 × 16

4 × 7

] = tan^-1 (

) = જમણી બાજુ (RHS)

✅ સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 4: sin^-1

+ sin^-1

= tan^-1

ઉકેલ:
બંને પદોને tan^-1 માં ફેરવીએ:
1) sin x = 8/17 ⇒ સામેની બાજુ = 8, કર્ણ = 17, પાસેની બાજુ = 15. ⇒ tan x = 8/15 ⇒ x = tan^-1(8/15).
2) sin y = 3/5 ⇒ સામેની બાજુ = 3, કર્ણ = 5, પાસેની બાજુ = 4. ⇒ tan y = 3/4 ⇒ y = tan^-1(3/4).

ડાબી બાજુ (LHS) = tan^-1(8/15) + tan^-1(3/4)

સૂત્ર: tan^-1x + tan^-1y = tan^-1[ (x+y) / (1-xy) ]

= tan^-1 [

(8/15) + (3/4)

1 – (8/15)(3/4)

]

લ.સા.અ. (LCM) 60 લેતાં,
= tan^-1 [

(32 + 45) / 60

(60 – 24) / 60

]

= tan^-1 (

) = જમણી બાજુ (RHS)

✅ સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 5: cos^-1

+ cos^-1

= cos^-1

ઉકેલ:
અહીં આપણે cos માટેનું સીધું સૂત્ર વાપરીશું.

સૂત્ર: cos^-1x + cos^-1y = cos^-1[ xy – √(1-x²)√(1-y²) ]

ડાબી બાજુ (LHS) = cos^-1 [ (

)(

) – √(1 –

) · √(1 –

144

169

) ]

= cos^-1 [

– √(

) · √(

169

) ]

= cos^-1 [

– (

)(

) ]

= cos^-1 [

–

]

= cos^-1 (

) = જમણી બાજુ (RHS)

✅ સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 6: cos^-1

+ sin^-1

= sin^-1

ઉકેલ:
પ્રથમ પદ cos^-1 ને sin^-1 માં ફેરવીએ:
cos x = 12/13 ⇒ પાસેની બાજુ = 12, કર્ણ = 13. ⇒ સામેની બાજુ = 5.
તેથી, sin x = 5/13 ⇒ x = sin^-1(5/13).

ડાબી બાજુ (LHS) = sin^-1(5/13) + sin^-1(3/5)

સૂત્ર: sin^-1x + sin^-1y = sin^-1[ x√(1-y²) + y√(1-x²) ]

= sin^-1 [

√(1 –

) +

√(1 –

169

) ]

= sin^-1 [

]

= sin^-1 [

]

= sin^-1 (

) = જમણી બાજુ (RHS)

✅ સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 7: tan^-1

= sin^-1

+ cos^-1

ઉકેલ:
અહીં જમણી બાજુ (RHS) થી શરૂઆત કરવી સરળ રહેશે. બંને પદોને tan^-1 માં ફેરવીએ:
1) sin x = 5/13 ⇒ tan x = 5/12 ⇒ x = tan^-1(5/12)
2) cos y = 3/5 ⇒ tan y = 4/3 ⇒ y = tan^-1(4/3)

જમણી બાજુ (RHS) = tan^-1(5/12) + tan^-1(4/3)

સૂત્ર: tan^-1x + tan^-1y = tan^-1[ (x+y) / (1-xy) ]

= tan^-1 [

(5/12) + (4/3)

1 – (5/12)(4/3)

]

અંશનો લ.સા.અ. 12: (5 + 16)/12 = 21/12.
છેદ: 1 – 20/36 = (36 – 20)/36 = 16/36.

= tan^-1 [

21/12

16/36

] = tan^-1 [

21 × 36

12 × 16

]

(12 તારી 36 ઉડાડતાં),
= tan^-1 (

21 × 3

) = tan^-1 (

) = ડાબી બાજુ (LHS)

✅ સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 8: tan^-1 √x =

cos^-1 [

1 – x

1 + x

], x ∈ [0, 1]

ઉકેલ:
ધારો કે √x = tan θ. તેથી x = tan² θ થાય.
જમણી બાજુ (RHS) =

cos^-1 [

1 – tan² θ

1 + tan² θ

]

સૂત્ર: cos 2θ = (1 – tan² θ) / (1 + tan² θ)

cos^-1(cos 2θ)
=

(2θ)
= θ
θ ની કિંમત પાછી મૂકતાં, = tan^-1 √x = ડાબી બાજુ (LHS)

✅ સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 9: cot^-1 [

√(1+sin x) + √(1-sin x)

√(1+sin x) – √(1-sin x)

] =

, x ∈ (0, π/4)

ઉકેલ:
પહેલાં આપણે √(1 ± sin x) નું સાદુંરૂપ આપીએ.
1 + sin x = cos²(x/2) + sin²(x/2) + 2sin(x/2)cos(x/2)
= (cos(x/2) + sin(x/2))²
તે જ રીતે, 1 – sin x = (cos(x/2) – sin(x/2))².
અહીં x ∈ (0, π/4) હોવાથી, x/2 ∈ (0, π/8) થાય. આ અંતરાલમાં cos(x/2) > sin(x/2) > 0 હોય છે.

તેથી, વર્ગમૂળ લેતાં:
√(1+sin x) = cos(x/2) + sin(x/2)
√(1-sin x) = cos(x/2) – sin(x/2)

આ કિંમતો ડાબી બાજુ (LHS) માં મૂકતાં:
LHS = cot^-1 [

(cos(x/2) + sin(x/2)) + (cos(x/2) – sin(x/2))

(cos(x/2) + sin(x/2)) – (cos(x/2) – sin(x/2))

]

અંશમાં sin ઉડી જશે, અને છેદમાં cos ઉડી જશે:
= cot^-1 [

2 cos(x/2)

2 sin(x/2)

]

= cot^-1 [ cot(x/2) ]
= x / 2 = જમણી બાજુ (RHS)

✅ સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 10: tan^-1 [

√(1+x) – √(1-x)

√(1+x) + √(1-x)

] =

–

cos^-1 x, –

√2

≤ x ≤ 1

ઉકેલ:
સૂચન મુજબ, ધારો કે x = cos 2θ. આથી 2θ = cos^-1 x ⇒ θ = (1/2) cos^-1 x.
√(1+x) = √(1+cos 2θ) = √(2cos²θ) = √2 cos θ
√(1-x) = √(1-cos 2θ) = √(2sin²θ) = √2 sin θ

ડાબી બાજુ (LHS) માં કિંમત મૂકતાં:
= tan^-1 [

√2 cos θ – √2 sin θ

√2 cos θ + √2 sin θ

]

અંશ અને છેદમાંથી √2 સામાન્ય કાઢીને ઉડાડતાં:
= tan^-1 [

cos θ – sin θ

cos θ + sin θ

]

આ 5મા દાખલા જેવું જ સ્વરૂપ છે. અંશ-છેદને cos θ વડે ભાગતાં:
= tan^-1 [

1 – tan θ

1 + tan θ

]

= tan^-1 [ tan(π/4 – θ) ]
= π/4 – θ
θ ની કિંમત પાછી મૂકતાં:
=

–

cos^-1 x = જમણી બાજુ (RHS)

✅ સાબિત થાય છે.

નીચેનાં સમીકરણો ઉકેલો :

પ્રશ્ન 11: 2tan^-1(cos x) = tan^-1(2cosec x)

ઉકેલ:
ડાબી બાજુ માટે સૂત્ર: 2tan^-1A = tan^-1[ 2A / (1 – A²) ]
tan^-1 [

2cos x

1 – cos² x

] = tan^-1(2cosec x)

tan^-1 [

2cos x

sin² x

] = tan^-1 (

sin x

)

બંને બાજુથી tan^-1 દૂર કરતાં અને 2 ઉડાડતાં:

cos x

sin² x

sin x

અહીં છેદમાં sin x હોવાથી sin x ≠ 0. બંને બાજુ sin x વડે ગુણતાં:

cos x

sin x

= 1
cot x = 1 ⇒ tan x = 1
તેથી x = π/4.

✅ જવાબ: x = π/4

પ્રશ્ન 12: tan^-1 (

1 – x

1 + x

) =

tan^-1 x, (x > 0)

ઉકેલ:
ડાબી બાજુ એ tan^-1x – tan^-1y ના સૂત્રનું સ્વરૂપ છે.
tan^-1(1) – tan^-1(x) =

tan^-1 x

π/4 – tan^-1 x =

tan^-1 x

π/4 = tan^-1 x +

tan^-1 x

π/4 =

tan^-1 x

tan^-1 x =

π × 2

4 × 3

x = tan(π/6) = 1/√3

✅ જવાબ: x = 1/√3

યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 13: sin(tan^-1 x), |x| < 1 = ……..

ઉકેલ:
ધારો કે tan^-1 x = θ ⇒ tan θ = x/1.
કાટકોણ ત્રિકોણ મુજબ: સામેની બાજુ = x, પાસેની બાજુ = 1. કર્ણ = √(1 + x²).
આપણે sin θ શોધવાનું છે.
sin θ = સામેની બાજુ / કર્ણ = x / √(1 + x²).

✅ યોગ્ય વિકલ્પ: (D)

√(1 + x²)

પ્રશ્ન 14: sin^-1(1 – x) – 2sin^-1 x = π/2, તો x = ……..

ઉકેલ:
આવા દાખલામાં વિકલ્પોની કિંમત મૂકીને ચકાસણી કરવી સહેલી રહે છે.
વિકલ્પોમાં 0 અને 1/2 કિંમતો છે.

1) જો x = 0 લઈએ:
sin^-1(1 – 0) – 2sin^-1(0)
= sin^-1(1) – 2(0)
= π/2 – 0 = π/2. (આ શરતનું પાલન કરે છે).

2) જો x = 1/2 લઈએ:
sin^-1(1 – 1/2) – 2sin^-1(1/2)
= sin^-1(1/2) – 2sin^-1(1/2)
= π/6 – 2(π/6) = -π/6. (આ π/2 બરાબર નથી).

તેથી માત્ર x = 0 જ ઉકેલ છે.

✅ યોગ્ય વિકલ્પ: (C) 0

સારાંશ: ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયો

યોગ્ય પ્રદેશનાં મૂલ્યો માટે અગત્યના સૂત્રો:

2.1

2.2

પ્રકીર્ણન

Leave a Comment Cancel Reply