Chapter 14: સંભાવના

Leave a Comment / By /

14.2

સંભાવના (Probability)
પ્રશ્ન 7: એક સમતોલ સિક્કાને ચાર-વાર ઉછાળવામાં આવે છે અને એક વ્યક્તિ પ્રત્યેક છાપ (H) પર ₹ 1 જીતે છે અને પ્રત્યેક કાંટા (T) પર ₹ 1.50 હારે છે. આ પ્રયોગનાં નિદર્શાવકાશ પરથી શોધો કે ચાર વાર સિક્કાને ઉછાળ્યા પછી તે કેટલી રકમ પ્રાપ્ત કરી શકે છે તથા આ પ્રત્યેક રકમની સંભાવના શોધો.
ઉકેલ:
એક સમતોલ સિક્કાને 4 વાર ઉછાળવામાં આવે, તો કુલ શક્ય પરિણામો (નિદર્શાવકાશના ઘટકો) ની સંખ્યા n(S) = 24 = 16 થાય.
રકમ મુજબ નિયમો:
– 1 છાપ (H) મળે = + ₹ 1.00 (જીત)
– 1 કાંટો (T) મળે = – ₹ 1.50 (હાર)
સિક્કો 4 વાર ઉછાળતાં નીચે મુજબના 5 વિકલ્પો મળી શકે:
વિકલ્પ 1: 4 છાપ (H) અને 0 કાંટો (T) મળે
પ્રાપ્ત થતી રકમ: 4(₹ 1.00) – 0(₹ 1.50) = ₹ 4.00 – 0 = ₹ 4.00 ની જીત
પરિણામો: {HHHH} (કુલ 1 પરિણામ)
સંભાવના:
1
16
વિકલ્પ 2: 3 છાપ (H) અને 1 કાંટો (T) મળે
પ્રાપ્ત થતી રકમ: 3(₹ 1.00) – 1(₹ 1.50) = ₹ 3.00 – ₹ 1.50 = ₹ 1.50 ની જીત
પરિણામો: {HHHT, HHTH, HTHH, THHH} (કુલ 4 પરિણામો)
સંભાવના:
4
16
=
1
4
વિકલ્પ 3: 2 છાપ (H) અને 2 કાંટા (T) મળે
પ્રાપ્ત થતી રકમ: 2(₹ 1.00) – 2(₹ 1.50) = ₹ 2.00 – ₹ 3.00 = – ₹ 1.00 (એટલે કે ₹ 1 ની હાર)
પરિણામો: {HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH} (કુલ 6 પરિણામો)
સંભાવના:
6
16
=
3
8
વિકલ્પ 4: 1 છાપ (H) અને 3 કાંટા (T) મળે
પ્રાપ્ત થતી રકમ: 1(₹ 1.00) – 3(₹ 1.50) = ₹ 1.00 – ₹ 4.50 = – ₹ 3.50 (એટલે કે ₹ 3.50 ની હાર)
પરિણામો: {HTTT, THTT, TTHT, TTTH} (કુલ 4 પરિણામો)
સંભાવના:
4
16
=
1
4
વિકલ્પ 5: 0 છાપ (H) અને 4 કાંટા (T) મળે
પ્રાપ્ત થતી રકમ: 0(₹ 1.00) – 4(₹ 1.50) = 0 – ₹ 6.00 = – ₹ 6.00 (એટલે કે ₹ 6 ની હાર)
પરિણામો: {TTTT} (કુલ 1 પરિણામ)
સંભાવના:
1
16
✅ સારાંશ (અંતિમ જવાબ):

પરિણામ પ્રાપ્ત થતી રકમ સંભાવના
4 છાપ ₹ 4.00 (જીત) 1/16
3 છાપ ₹ 1.50 (જીત) 1/4
2 છાપ – ₹ 1.00 (હાર) 3/8
1 છાપ – ₹ 3.50 (હાર) 1/4
0 છાપ – ₹ 6.00 (હાર) 1/16
સંભાવના (Probability) : દાખલા 10 થી 18
પ્રશ્ન 10: શબ્દ ‘ASSASSINATION’ માંથી એક અક્ષર યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. (i) તે એક સ્વર હોય (ii) એક વ્યંજન હોય તો પસંદ કરેલા અક્ષરની સંભાવના શોધો.
ઉકેલ:
શબ્દ ASSASSINATION માં કુલ અક્ષરોની સંખ્યા n = 13 છે.
(i) પસંદ કરેલ અક્ષર સ્વર (Vowel) હોય:
આ શબ્દમાં સ્વરો: A, A, I, A, I, O છે. એટલે કે સ્વરોની કુલ સંખ્યા m = 6 છે.
P(સ્વર) =
m
n
=
6
13
(ii) પસંદ કરેલ અક્ષર વ્યંજન (Consonant) હોય:
આ શબ્દમાં વ્યંજનો: S, S, S, S, N, T, N છે. એટલે કે વ્યંજનોની કુલ સંખ્યા m = 7 છે.
P(વ્યંજન) =
m
n
=
7
13
પ્રશ્ન 11: એક લોટરીમાં એક વ્યક્તિ 1 થી 20 સુધીની સંખ્યાઓમાંથી 6 જુદી જુદી સંખ્યાઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરે છે… આ લોટરીની રમતમાં ઇનામ જીતવાની સંભાવના શું છે? [સૂચન: સંખ્યાઓ પ્રાપ્ત થવાનો ક્રમ મહત્ત્વપૂર્ણ નથી.]
ઉકેલ:
1 થી 20 સંખ્યાઓમાંથી કોઈપણ 6 સંખ્યાઓ પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો (સંચય) n = 20C6 થશે.
20C6 =
20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 38760
ઇનામ જીતવા માટે, વ્યક્તિએ પસંદ કરેલી 6 સંખ્યાઓ લોટરી સમિતિએ નક્કી કરેલી 6 સંખ્યાઓ સાથે બરાબર મળવી જોઈએ. આવો માત્ર 1 જ વિકલ્પ (m = 1) હોય.
P(જીતવાની સંભાવના) =
m
n
=
1
38760
પ્રશ્ન 12: ચકાસો કે નીચેની સંભાવનાઓ P(A) અને P(B) સુસંગત (Consistent) રીતે વ્યાખ્યાયિત છે.
ઉકેલ:
સંભાવનાની સુસંગતતા માટેનો નિયમ: P(A ∩ B) ≤ P(A) અને P(A ∩ B) ≤ P(B) હોવું જોઈએ. (એટલે કે છેદગણની સંભાવના મૂળ ગણ કરતા મોટી ન હોઈ શકે).
(i) P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.6
અહીં P(A ∩ B) = 0.6 છે, જે P(A) = 0.5 કરતા મોટું છે (0.6 > 0.5). આ શક્ય નથી.
✅ જવાબ (i): આપેલ માહિતી સુસંગત નથી.
(ii) P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∪ B) = 0.8
આપણે સૂત્ર P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) નો ઉપયોગ કરીએ:
0.8 = 0.5 + 0.4 – P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = 0.9 – 0.8 = 0.1
અહીં P(A ∩ B) = 0.1 એ P(A) અને P(B) બંને કરતા નાનું છે, અને P(A ∪ B) પણ 1 કરતા નાનું છે.
✅ જવાબ (ii): આપેલ માહિતી સુસંગત છે.
પ્રશ્ન 13: નીચે આપેલા કોષ્ટકમાં ખાલી જગ્યા ભરો:
ઉકેલ:
આપણે સરવાળાના નિયમ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) નો ઉપયોગ કરીશું.
(i) P(A) = 1/3, P(B) = 1/5, P(A ∩ B) = 1/15. P(A ∪ B) = ?
P(A ∪ B) =
1
3
+
1
5
–
1
15


=
5 + 3 – 1
15
=
7
15
(ii) P(A) = 0.35, P(A ∩ B) = 0.25, P(A ∪ B) = 0.6. P(B) = ?
0.6 = 0.35 + P(B) – 0.25
0.6 = 0.10 + P(B)
P(B) = 0.6 – 0.10 = 0.5
(iii) P(A) = 0.5, P(B) = 0.35, P(A ∪ B) = 0.7. P(A ∩ B) = ?
0.7 = 0.5 + 0.35 – P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = 0.85 – 0.7 = 0.15
પ્રશ્ન 14: P(A) = 3/5 અને P(B) = 1/5 આપેલ છે. જો A અને B પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોય તો P(A અથવા B) શોધો.
ઉકેલ:
A અને B પરસ્પર નિવારક (Mutually Exclusive) છે, તેનો અર્થ છે કે P(A ∩ B) = 0.
P(A અથવા B) એટલે કે P(A ∪ B).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
=
3
5
+
1
5
– 0 =
4
5
✅ જવાબ: 4/5
પ્રશ્ન 15: ઘટનાઓ E અને F એવા પ્રકારની છે કે P(E) = 1/4, P(F) = 1/2 અને P(E અને F) = 1/8, તો (i) P(E અથવા F), (ii) P(E-નહિ અને F-નહિ) શોધો.
ઉકેલ:
અહીં P(E) = 1/4, P(F) = 1/2 અને P(E ∩ F) = 1/8 આપેલ છે.
(i) P(E અથવા F) એટલે કે P(E ∪ F):
P(E ∪ F) = P(E) + P(F) – P(E ∩ F)
=
1
4
+
1
2
–
1
8


=
2 + 4 – 1
8
=
5
8
(ii) P(E-નહિ અને F-નહિ) એટલે કે P(E’ ∩ F’):
દ’ મોર્ગન (De Morgan) ના નિયમ મુજબ, P(E’ ∩ F’) = P((E ∪ F)’) થાય.
P((E ∪ F)’) = 1 – P(E ∪ F)
= 1 –
5
8
=
3
8
પ્રશ્ન 16: ઘટનાઓ E અને F એવા પ્રકારની છે કે P(E-નહિ અથવા F-નહિ) = 0.25, ચકાસો કે E અને F પરસ્પર નિવારક છે કે નહિ?
ઉકેલ:
આપણને P(E’ ∪ F’) = 0.25 આપેલું છે.
દ’ મોર્ગનના નિયમ મુજબ: P(E’ ∪ F’) = P((E ∩ F)’)
P((E ∩ F)’) = 0.25
1 – P(E ∩ F) = 0.25
P(E ∩ F) = 1 – 0.25 = 0.75
કોઈપણ બે ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોય તો તેમનો છેદગણ શૂન્ય હોવો જોઈએ (એટલે કે P(E ∩ F) = 0).
પરંતુ અહીં P(E ∩ F) = 0.75 (≠ 0) છે.
✅ જવાબ: ના, E અને F પરસ્પર નિવારક નથી.
પ્રશ્ન 17: ઘટનાઓ A અને B એવા પ્રકારની છે કે P(A) = 0.42, P(B) = 0.48 અને P(A અને B) = 0.16. (i) P(A-નહિ), (ii) P(B-નહિ) અને (iii) P(A અથવા B) શોધો.
ઉકેલ:
(i) P(A-નહિ) એટલે P(A’):
= 1 – P(A) = 1 – 0.42 = 0.58
(ii) P(B-નહિ) એટલે P(B’):
= 1 – P(B) = 1 – 0.48 = 0.52
(iii) P(A અથવા B) એટલે P(A ∪ B):
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.42 + 0.48 – 0.16
= 0.90 – 0.16 = 0.74
પ્રશ્ન 18: એક શાળાના ધોરણ XI નાં 40 % વિદ્યાર્થી ગણિત ભણે છે અને 30 % જીવવિજ્ઞાન ભણે છે. વર્ગના 10 % વિદ્યાર્થી ગણિત અને જીવવિજ્ઞાન બંને ભણે છે… આ વિદ્યાર્થી ગણિત અથવા જીવવિજ્ઞાન ભણતો હોય તેની સંભાવના શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે M = ગણિત ભણતા વિદ્યાર્થી અને B = જીવવિજ્ઞાન ભણતા વિદ્યાર્થી.
આપેલી માહિતી મુજબ:
P(M) = 40% = 0.40
P(B) = 30% = 0.30
P(M ∩ B) = 10% = 0.10
આપણે P(ગણિત અથવા જીવવિજ્ઞાન) એટલે કે P(M ∪ B) શોધવાનું છે.
P(M ∪ B) = P(M) + P(B) – P(M ∩ B)
= 0.40 + 0.30 – 0.10
= 0.70 – 0.10 = 0.60
✅ જવાબ: વિદ્યાર્થી ગણિત અથવા જીવવિજ્ઞાન ભણતો હોય તેની સંભાવના 0.60 (અથવા 60% અથવા 3/5) છે.
સંભાવના (Probability) : દાખલા 19 થી 21
પ્રશ્ન 19: એક પ્રવેશ કસોટીને બે પરીક્ષાના આધાર પર શ્રેણીબદ્ધ કરવામાં આવે છે. યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા વિદ્યાર્થીની પહેલી પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના 0.8 છે અને બીજી પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના 0.7 છે. બંનેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના 0.95 છે. બંને પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના શું છે?
ઉકેલ:
ધારો કે ઘટના A = વિદ્યાર્થી પહેલી પરીક્ષામાં પાસ થાય અને ઘટના B = વિદ્યાર્થી બીજી પરીક્ષામાં પાસ થાય.
આપેલી માહિતી મુજબ:
P(A) = 0.8
P(B) = 0.7
“ઓછામાં ઓછી એક” એટલે કે યોગગણ (Union). તેથી, P(A ∪ B) = 0.95
આપણે “બંને પરીક્ષામાં” પાસ થવાની સંભાવના એટલે કે છેદગણ P(A ∩ B) શોધવાનું છે. સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
0.95 = 0.8 + 0.7 – P(A ∩ B)
0.95 = 1.5 – P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = 1.5 – 0.95 = 0.55
✅ જવાબ: બંને પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના 0.55 છે.
પ્રશ્ન 20: એક વિદ્યાર્થીની અંતિમ પરીક્ષાના અંગ્રેજી અને હિંદી બંને વિષયો પાસ કરવાની સંભાવના 0.5 છે અને બંનેમાંથી કોઈ પણ વિષય પાસ ન કરવાની સંભાવના 0.1 છે. જો અંગ્રેજીની પરીક્ષા પાસ કરવાની સંભાવના 0.75 હોય, તો હિંદીની પરીક્ષા પાસ કરવાની સંભાવના શું છે?
ઉકેલ:
ધારો કે ઘટના E = અંગ્રેજીની પરીક્ષા પાસ કરે અને H = હિંદીની પરીક્ષા પાસ કરે.
આપેલી માહિતી મુજબ:
બંને વિષયો પાસ કરવાની સંભાવના P(E ∩ H) = 0.5
અંગ્રેજીની પરીક્ષા પાસ કરવાની સંભાવના P(E) = 0.75
કોઈ પણ વિષય પાસ ન કરવાની સંભાવના (એટલે કે E નહિ અને H નહિ) P(E’ ∩ H’) = 0.1
સૌપ્રથમ દ’ મોર્ગનના નિયમ (De Morgan’s Law) નો ઉપયોગ કરીએ: P(E’ ∩ H’) = P((E ∪ H)’)
P((E ∪ H)’) = 1 – P(E ∪ H)
0.1 = 1 – P(E ∪ H)
P(E ∪ H) = 1 – 0.1 = 0.9
હવે સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ મુજબ P(H) શોધીએ:
P(E ∪ H) = P(E) + P(H) – P(E ∩ H)
0.9 = 0.75 + P(H) – 0.5
0.9 = 0.25 + P(H)
P(H) = 0.9 – 0.25 = 0.65
✅ જવાબ: હિંદીની પરીક્ષા પાસ કરવાની સંભાવના 0.65 છે.
પ્રશ્ન 21: એક ધોરણના 60 વિદ્યાર્થીઓમાંથી NCC ને 30, NSS ને 32 અને બંનેને 24 વિદ્યાર્થીઓએ પસંદ કર્યા છે. જો આ બધામાંથી એક વિદ્યાર્થી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે, તો તો આપેલ ઘટનાઓની સંભાવના શોધો.
(i) વિદ્યાર્થીએ NCC અથવા NSS ને પસંદ કર્યા છે.
(ii) વિદ્યાર્થીએ NCC અને NSS માંથી એક પણ પસંદ કર્યા નથી.
(iii) વિદ્યાર્થીએ NSS ને પસંદ કર્યું છે. પરંતુ NCC ને પસંદ કર્યું નથી.
ઉકેલ:
અહીં કુલ વિદ્યાર્થીઓ n(S) = 60 છે.
ધારો કે A = વિદ્યાર્થી NCC પસંદ કરે અને B = વિદ્યાર્થી NSS પસંદ કરે.
n(A) = 30  ⇒  P(A) = 30/60
n(B) = 32  ⇒  P(B) = 32/60
બંને (A અને B) n(A ∩ B) = 24  ⇒  P(A ∩ B) = 24/60
(i) વિદ્યાર્થીએ NCC અથવા NSS ને પસંદ કર્યા છે (એટલે કે P(A ∪ B)):
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

=
30
60
+
32
60
–
24
60


=
30 + 32 – 24
60
=
38
60
=
19
30
(ii) વિદ્યાર્થીએ NCC અને NSS માંથી એક પણ પસંદ કર્યા નથી (એટલે કે P(A’ ∩ B’)):
દ’ મોર્ગનના નિયમ મુજબ P(A’ ∩ B’) = P((A ∪ B)’) = 1 – P(A ∪ B).
= 1 –
19
30
=
30 – 19
30
=
11
30
(iii) વિદ્યાર્થીએ NSS ને પસંદ કર્યું છે, પરંતુ NCC ને પસંદ કર્યું નથી (એટલે કે P(B ∩ A’)):
સૂત્ર: P(B ∩ A’) = P(B) – P(A ∩ B)
=
32
60
–
24
60


=
8
60
=
2
15
✅ જવાબ: (i) 19/30, (ii) 11/30, (iii) 2/15

પ્રકીર્ણન

પ્રકીર્ણ સ્વાધ્યાય 14 : દાખલા 1 થી 7
પ્રશ્ન 1: એક પેટીમાં 10 લાલ, 20 ભૂરી અને 30 લીલી લખોટીઓ છે. તે પેટીમાંથી 5 લખોટીઓ યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. તો
(i) બધી લખોટીઓ ભૂરી હોય. (ii) ઓછામાં ઓછી એક લખોટી લીલી હોય તેની સંભાવના કેટલી ?
ઉકેલ:
પેટીમાં કુલ લખોટીઓ = 10 (લાલ) + 20 (ભૂરી) + 30 (લીલી) = 60
60 માંથી 5 લખોટીઓ પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો (નિદર્શાવકાશ) n = 60C5
(i) બધી જ (5) લખોટીઓ ભૂરી હોય:
ભૂરી લખોટીઓની સંખ્યા 20 છે. તેમાંથી 5 પસંદ કરવાના સાનુકૂળ પરિણામો m = 20C5 થાય.
સંભાવના P(A) =
m
n
=
20C5
60C5
(ii) ઓછામાં ઓછી એક લખોટી લીલી હોય:
આ શોધવા માટે આપણે પૂરક ઘટના (Complementary Event) નો ઉપયોગ કરીશું.
P(ઓછામાં ઓછી 1 લીલી) = 1 – P(એક પણ લીલી લખોટી ન હોય)
“એક પણ લીલી ન હોય” તેનો અર્થ છે કે બધી 5 લખોટીઓ બાકીની 30 (10 લાલ + 20 ભૂરી) માંથી જ પસંદ થાય.
તેના પરિણામો = 30C5
P(એક પણ લીલી ન હોય) =
30C5
60C5


P(ઓછામાં ઓછી 1 લીલી) = 1 –
30C5
60C5
પ્રશ્ન 2: સરખી રીતે ચીપેલાં 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી યાદચ્છિક રીતે 4 પત્તાં ખેંચવામાં આવે છે. ખેંચવામાં આવેલાં પત્તાંમાં 3 ચોકટના અને એક કાળીનું પત્તું હોય એ ઘટનાની સંભાવના કેટલી ?
ઉકેલ:
52 પત્તાંમાંથી 4 પત્તાં પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો n = 52C4.
આપણે 3 ચોકટ (Diamond) અને 1 કાળી (Spade) નું પત્તું જોઈએ છે.
– કુલ ચોકટનાં પત્તાં = 13. તેમાંથી 3 પસંદ કરવાના પ્રકાર = 13C3
– કુલ કાળીનાં પત્તાં = 13. તેમાંથી 1 પસંદ કરવાના પ્રકાર = 13C1
ગુણાકારના નિયમ મુજબ સાનુકૂળ પરિણામો m = 13C3 × 13C1
માંગેલ સંભાવના =
13C3 × 13C1
52C4
✅ જવાબ: સંભાવના
13C3 × 13C1
52C4
છે.
પ્રશ્ન 3: એક પાસાની બે બાજુઓમાંથી પ્રત્યેક પર સંખ્યા ‘1’ દર્શાવેલ છે, ત્રણ બાજુઓમાં પ્રત્યેક પર સંખ્યા ‘2’ દર્શાવેલ છે અને એક બાજુ પર સંખ્યા ‘3’ છે. જો આ પાસાને એકવાર ફેંકવામાં આવે તો નીચે આપેલ શોધો :
(i) P(2)      (ii) P(1 અથવા 3)      (iii) P(3 નહિ)
ઉકેલ:
પાસાની કુલ 6 બાજુઓ છે, તેથી કુલ પરિણામો n = 6.
બાજુઓ પરના અંકો: { 1, 1, 2, 2, 2, 3 }
(i) P(2):
‘2’ દર્શાવતી બાજુઓ 3 છે. તેથી સાનુકૂળ પરિણામ m = 3.
P(2) =
3
6
=
1
2
(ii) P(1 અથવા 3):
‘1’ દર્શાવતી 2 બાજુઓ છે અને ‘3’ દર્શાવતી 1 બાજુ છે. કુલ સાનુકૂળ પરિણામ m = 2 + 1 = 3.
P(1 અથવા 3) =
3
6
=
1
2
(iii) P(3 નહિ):
‘3 નહિ’ એટલે 1 અથવા 2 પડે. અથવા પૂરક ઘટનાના સૂત્રથી: P(3 નહિ) = 1 – P(3)
P(3) =
1
6

P(3 નહિ) = 1 –
1
6
=
5
6
પ્રશ્ન 4: એક લોટરીની 10 સમાન ઇનામવાળી 10,000 ટિકિટ વેચવામાં આવી છે. જો તમે (a) એક ટિકિટ (b) બે ટિકિટ (c) 10 ટિકિટ ખરીદી છો તો કોઈ પણ ઇનામ ન મળે તેની સંભાવના શોધો.
ઉકેલ:
કુલ ટિકિટો = 10,000.
ઇનામવાળી ટિકિટો = 10.
ઇનામ વગરની ટિકિટો = 10,000 – 10 = 9,990.
આપણે “ઇનામ ન મળે” તેની સંભાવના શોધવાની છે, એટલે કે બધી જ ખરીદેલી ટિકિટો પેલી 9,990 ટિકિટોમાંથી જ પસંદ થવી જોઈએ.
(a) એક ટિકિટ ખરીદતાં:
P(ઇનામ ન મળે) =
9990C1
10000C1
=
9990
10000
=
999
1000
(b) બે ટિકિટ ખરીદતાં:
P(ઇનામ ન મળે) =
9990C2
10000C2
(c) 10 ટિકિટ ખરીદતાં:
P(ઇનામ ન મળે) =
9990C10
10000C10
પ્રશ્ન 5: 100 વિદ્યાર્થીઓમાંથી 40 અને 60 વિદ્યાર્થીઓના બે વર્ગ બનાવ્યા છે. જો તમે અને તમારો એક મિત્ર 100 વિદ્યાર્થીઓમાં છો, તો
(a) તમે બંને એક જ વર્ગમાં છો તેની સંભાવના શું છે ?
(b) તમે બંને અલગ અલગ વર્ગોમાં છો તેની સંભાવના શું છે ?
ઉકેલ:
100 વિદ્યાર્થીઓમાંથી કોઈપણ 2 વિદ્યાર્થીઓ (તમે અને તમારો મિત્ર) પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો n = 100C2 થાય.
n =
100 × 99
2
= 4950
(a) તમે બંને એક જ વર્ગમાં હોવ:
આનો અર્થ એ છે કે તમે બંને કાં તો 40 વાળા વર્ગમાં છો અથવા 60 વાળા વર્ગમાં છો.
સાનુકૂળ પરિણામો m = 40C2 + 60C2
m =
40 × 39
2
+
60 × 59
2
= 780 + 1770 = 2550

P(એક જ વર્ગમાં) =
m
n
=
2550
4950
=
255
495
=
17
33
(b) તમે બંને અલગ અલગ વર્ગોમાં હોવ:
આ ઘટના ઉપરની ઘટનાની પૂરક ઘટના છે.
P(અલગ વર્ગમાં) = 1 – P(એક જ વર્ગમાં)
= 1 –
17
33
=
16
33
✅ જવાબ: (a) 17/33 અને (b) 16/33.
પ્રશ્ન 6: ત્રણ વ્યક્તિઓને માટે ત્રણ પત્ર લખાઈ ગયા છે અને દરેક માટે સરનામું લખેલ એક-એક પરબીડિયું છે. પત્રોને યાદચ્છિક રીતે પરબીડિયામાં મૂક્યા છે. પ્રત્યેક પરબીડિયામાં એક જ પત્ર છે. ઓછામાં ઓછો એક પત્ર પોતાના સાચા પરબીડિયામાં મુકાયો છે તેની સંભાવના શોધો.
ઉકેલ:
ત્રણ પત્રોને ત્રણ પરબીડિયામાં મૂકવાના કુલ શક્ય પ્રકારો n = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 છે.
આપણે “ઓછામાં ઓછો એક પત્ર સાચા પરબીડિયામાં હોય” તેની સંભાવના શોધવી છે. આ માટે પૂરક ઘટના “એક પણ પત્ર સાચા પરબીડિયામાં ન હોય” શોધવી સહેલી પડશે.
ધારો કે પત્રો L1, L2, L3 છે અને પરબીડિયા E1, E2, E3 છે. સાચો ક્રમ (L1, L2, L3) છે.
બધા જ પત્રો ખોટા કવરમાં હોય તેના માત્ર 2 વિકલ્પો છે: (L2, L3, L1) અને (L3, L1, L2). (આને Derangement કહેવાય છે).
P(બધા પત્રો ખોટા) =
2
6
=
1
3
તેથી, ઓછામાં ઓછો એક પત્ર સાચો હોય તેની સંભાવના:
P(ઓછામાં ઓછો એક સાચો) = 1 – P(બધા ખોટા)
= 1 –
1
3
=
2
3
✅ જવાબ: 2/3
પ્રશ્ન 7: A અને B બે ઘટનાઓ એવા પ્રકારની છે કે P(A) = 0.54, P(B) = 0.69 અને P(A ∩ B) = 0.35.
(i) P(A ∪ B) (ii) P(A’ ∩ B’) (iii) P(A ∩ B’) (iv) P(B ∩ A’) શોધો.
ઉકેલ: અહીં આપેલ છે: P(A) = 0.54, P(B) = 0.69, P(A ∩ B) = 0.35
(i) P(A ∪ B) :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.54 + 0.69 – 0.35 = 1.23 – 0.35 = 0.88
(ii) P(A’ ∩ B’) :
દ’ મોર્ગનનો નિયમ: P(A’ ∩ B’) = P((A ∪ B)’)
= 1 – P(A ∪ B)
= 1 – 0.88 = 0.12
(iii) P(A ∩ B’) : (ફક્ત A)
P(A ∩ B’) = P(A) – P(A ∩ B)
= 0.54 – 0.35 = 0.19
(iv) P(B ∩ A’) : (ફક્ત B)
P(B ∩ A’) = P(B) – P(A ∩ B)
= 0.69 – 0.35 = 0.34
પ્રકીર્ણ સ્વાધ્યાય 16 : દાખલા 8 થી 10
પ્રશ્ન 8: એક સંસ્થાનાં કર્મીઓમાંથી 5 કર્મીઓને વ્યવસ્થા સમિતિ માટે પસંદ કરવામાં આવ્યા છે. આ પાંચ કર્મીઓની વિગતો નીચે દર્શાવેલ છે :
(1. હરીશ – પુ – 30), (2. રોહન – પુ – 33), (3. શીતલ – સ્ત્રી – 46), (4. એલિસ – સ્ત્રી – 28), (5. સલીમ – પુ – 41).
આ સમૂહમાંથી પ્રવક્તાનાં પદ માટે યાદચ્છિક રીતે એક વ્યક્તિને પસંદ કરવામાં આવી છે. પ્રવક્તા પુરુષ હોય અથવા 35 વર્ષથી વધારે ઉંમરના હોય તેની સંભાવના શું થશે?
ઉકેલ:
અહીં કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા n(S) = 5 છે.
આપણે સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) નો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે ઘટના A = પ્રવક્તા પુરુષ હોય.
સમિતિમાં પુરુષો: હરીશ, રોહન, સલીમ (કુલ 3). તેથી n(A) = 3.
P(A) =
3
5
ધારો કે ઘટના B = પ્રવક્તા 35 વર્ષથી વધારે ઉંમરના હોય.
35 થી વધુ ઉંમરવાળા: શીતલ (46) અને સલીમ (41) (કુલ 2). તેથી n(B) = 2.
P(B) =
2
5
હવે ઘટના (A ∩ B) = પ્રવક્તા પુરુષ પણ હોય અને 35 વર્ષથી વધુ ઉંમરના પણ હોય.
આ શરત માત્ર ‘સલીમ’ (પુરુષ, 41 વર્ષ) સંતોષે છે. તેથી n(A ∩ B) = 1.
P(A ∩ B) =
1
5
પ્રવક્તા પુરુષ હોય અથવા 35 વર્ષથી વધુ ઉંમરના હોય (એટલે કે P(A ∪ B)):
P(A ∪ B) =
3
5
+
2
5
–
1
5
=
3 + 2 – 1
5
=
4
5
✅ જવાબ: માંગેલ સંભાવના 4/5 છે.
પ્રશ્ન 9: 0, 1, 3, 5 અને 7 અંકોના ઉપયોગથી (i) પુનરાવર્તન સિવાય (ii) પુનરાવર્તન સહિત ગોઠવણી કરતાં 5 વડે વિભાજ્ય હોય એવી 4 અંકોની 5000 કરતાં મોટી સંખ્યા બને તેની સંભાવના શોધો.
ઉકેલ:
આપેલા અંકો: {0, 1, 3, 5, 7} (કુલ 5 અંકો). 4 અંકોની સંખ્યા બનાવવાની છે. સંખ્યા 4 અંકની હોવાથી પ્રથમ સ્થાને ‘0’ ન આવી શકે.
(i) પુનરાવર્તન સિવાય (Without Repetition):
કુલ શક્ય પરિણામો n(S):
પ્રથમ સ્થાન માટે 4 વિકલ્પો (1, 3, 5, 7). બાકીનાં 3 સ્થાનો માટે વધેલા 4 અંકોમાંથી ગોઠવણી = 4P3 = 24.
તેથી કુલ સંખ્યાઓ = 4 × 24 = 96.
સાનુકૂળ પરિણામો n(E): (5000 થી મોટી અને 5 વડે વિભાજ્ય)
– 5000 થી મોટી હોવા માટે પ્રથમ અંક 5 કે 7 હોવો જોઈએ.
– 5 વડે વિભાજ્ય હોવા માટે અંતિમ અંક 0 કે 5 હોવો જોઈએ.
અહીં બે વિકલ્પો બને છે:
વિકલ્પ A: અંતિમ અંક 0 હોય.
અંતિમ સ્થાને 0 ફિક્સ (1 વિકલ્પ). પ્રથમ સ્થાને 5 કે 7 આવી શકે (2 વિકલ્પો). બાકીનાં વચ્ચેનાં 2 સ્થાનો માટે વધેલા 3 અંકોમાંથી ગોઠવણી 3P2 = 6.
સંખ્યાઓ = 2 × 6 × 1 = 12.
વિકલ્પ B: અંતિમ અંક 5 હોય.
અંતિમ સ્થાને 5 ફિક્સ (1 વિકલ્પ). પુનરાવર્તન ન હોવાથી પ્રથમ સ્થાને હવે 5 ન આવી શકે, તેથી ફરજિયાત 7 જ આવશે (1 વિકલ્પ). વચ્ચેનાં 2 સ્થાનો માટે ગોઠવણી 3P2 = 6.
સંખ્યાઓ = 1 × 6 × 1 = 6.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો m = 12 + 6 = 18.
P(પુનરાવર્તન સિવાય) =
18
96
=
3
16
(ii) પુનરાવર્તન સહિત (With Repetition):
કુલ શક્ય પરિણામો n(S):
પ્રથમ સ્થાને 0 સિવાય કોઈ પણ (4 વિકલ્પો). બાકીનાં ત્રણેય સ્થાને 5 માંથી કોઈ પણ અંક આવી શકે (5 × 5 × 5 = 125).
કુલ સંખ્યાઓ = 4 × 125 = 500.
સાનુકૂળ પરિણામો n(E):
પ્રથમ અંક 5 કે 7 (2 વિકલ્પો). અંતિમ અંક 0 કે 5 (2 વિકલ્પો). વચ્ચેનાં બે સ્થાને 5 માંથી કોઈ પણ (5 × 5 = 25).
કુલ સંખ્યાઓ = 2 × 5 × 5 × 2 = 100.
અગત્યની નોંધ: આ 100 સંખ્યાઓમાં એક સંખ્યા 5000 (5-0-0-0) પણ બની જશે. પરંતુ રકમમાં સ્પષ્ટ પૂછ્યું છે કે સંખ્યા 5000 કરતાં મોટી હોવી જોઈએ (એટલે કે 5000 ન ચાલે).
તેથી સાનુકૂળ પરિણામો m = 100 – 1 = 99 થશે.
P(પુનરાવર્તન સહિત) =
99
500
✅ જવાબ: (i) 3/16 અને (ii) 99/500
પ્રશ્ન 10: કોઈ પેટીના તાળામાં ચાર આંટા લાગે છે. તેનામાં પ્રત્યેક પર 0 થી 9 સુધી 10 અંક છાપેલા છે. તાળું ચાર આંકડાઓના એક વિશેષ ક્રમ (આંકડાઓના પુનરાવર્તન સિવાય) અનુસાર જ ખૂલે છે. એ વાતની શું સંભાવના છે કે કોઈ વ્યક્તિ પેટી ખોલવા માટે સાચા ક્રમની જાણ મેળવી લે?
ઉકેલ:
તાળામાં કુલ 4 આંટા (Dials) છે અને દરેક પર 0 થી 9 એટલે કે કુલ 10 અંકો છે.
રકમમાં સ્પષ્ટ આપેલું છે કે તાળું “આંકડાઓના પુનરાવર્તન સિવાય” (Without Repetition) ખૂલે છે.
તેથી 4 અંકોનો પાસવર્ડ બનાવવાના કુલ શક્ય પ્રકારો (નિદર્શાવકાશ):
– પહેલા આંટા માટે = 10 વિકલ્પો
– બીજા આંટા માટે = 9 વિકલ્પો
– ત્રીજા આંટા માટે = 8 વિકલ્પો
– ચોથા આંટા માટે = 7 વિકલ્પો
કુલ શક્ય પરિણામો n(S) = 10 × 9 × 8 × 7 = 5040
આ 5040 શક્યતાઓમાંથી તાળું ખોલવા માટેનો સાચો ક્રમ માત્ર 1 જ હોય છે. તેથી સાનુકૂળ પરિણામ m = 1.
માંગેલ સંભાવના =
m
n
=
1
5040
✅ જવાબ: સાચો ક્રમ મળવાની સંભાવના 1/5040 છે.

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *