10.1
શંકવો: વર્તુળના દાખલા (પ્રશ્નો 6 થી 15)
પ્રશ્ન 6: વર્તુળનું કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા શોધો: (x + 5)2 + (y – 3)2 = 36
ઉકેલ:
આપેલ સમીકરણને વર્તુળના પ્રમાણિત સમીકરણ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 સાથે સરખાવતાં, જ્યાં (h, k) એ કેન્દ્ર અને r એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ સમીકરણને વર્તુળના પ્રમાણિત સમીકરણ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 સાથે સરખાવતાં, જ્યાં (h, k) એ કેન્દ્ર અને r એ ત્રિજ્યા છે.
(x – (-5))2 + (y – 3)2 = 62
સરખામણી કરતાં: h = -5, k = 3 અને r = 6.
✅ જવાબ: કેન્દ્ર (-5, 3) અને ત્રિજ્યા 6 છે.
પ્રશ્ન 7: વર્તુળનું કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા શોધો: x2 + y2 – 4x – 8y – 45 = 0
ઉકેલ:
આપેલ સમીકરણને વર્તુળના વ્યાપક સમીકરણ x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 સાથે સરખાવતાં:
આપેલ સમીકરણને વર્તુળના વ્યાપક સમીકરણ x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 સાથે સરખાવતાં:
2g = -4 ⇒ g = -2
2f = -8 ⇒ f = -4
c = -45
2f = -8 ⇒ f = -4
c = -45
વર્તુળનું કેન્દ્ર = (-g, -f) થાય. તેથી કેન્દ્ર = (2, 4).
વર્તુળની ત્રિજ્યા r = √(g2 + f2 – c) થાય.
વર્તુળની ત્રિજ્યા r = √(g2 + f2 – c) થાય.
r = √((-2)2 + (-4)2 – (-45))
r = √(4 + 16 + 45)
r = √65
r = √(4 + 16 + 45)
r = √65
✅ જવાબ: કેન્દ્ર (2, 4) અને ત્રિજ્યા √65 છે.
પ્રશ્ન 8: વર્તુળનું કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા શોધો: x2 + y2 – 8x + 10y – 12 = 0
ઉકેલ:
વ્યાપક સમીકરણ x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 સાથે સરખાવતાં:
વ્યાપક સમીકરણ x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 સાથે સરખાવતાં:
2g = -8 ⇒ g = -4
2f = 10 ⇒ f = 5
c = -12
2f = 10 ⇒ f = 5
c = -12
કેન્દ્ર (-g, -f) = (4, -5).
ત્રિજ્યા r = √(g2 + f2 – c):
ત્રિજ્યા r = √(g2 + f2 – c):
r = √((-4)2 + (5)2 – (-12))
r = √(16 + 25 + 12)
r = √53
r = √(16 + 25 + 12)
r = √53
✅ જવાબ: કેન્દ્ર (4, -5) અને ત્રિજ્યા √53 છે.
પ્રશ્ન 9: વર્તુળનું કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા શોધો: 2x2 + 2y2 – x = 0
ઉકેલ:
સૌપ્રથમ, સમીકરણને x2 અને y2 ના સહગુણક 1 બને તે રીતે ગોઠવીએ. આખા સમીકરણને 2 વડે ભાગતાં:
સૌપ્રથમ, સમીકરણને x2 અને y2 ના સહગુણક 1 બને તે રીતે ગોઠવીએ. આખા સમીકરણને 2 વડે ભાગતાં:
x2 + y2 – x = 0
1
2
હવે x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 સાથે સરખાવતાં:
2g = – ⇒ g = –
2f = 0 ⇒ f = 0
c = 0
1
2
1
4
2f = 0 ⇒ f = 0
c = 0
કેન્દ્ર (-g, -f) = (1/4, 0).
ત્રિજ્યા r = √(g2 + f2 – c):
ત્રિજ્યા r = √(g2 + f2 – c):
r = √((-1/4)2 + 0 – 0) = √(1/16) =
1
4
✅ જવાબ: કેન્દ્ર (1/4, 0) અને ત્રિજ્યા 1/4 છે.
પ્રશ્ન 10: જેનું કેન્દ્ર રેખા 4x + y = 16 ઉપર હોય તથા જે (4, 1) અને (6, 5) માંથી પસાર થતું હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ મેળવો.
ઉકેલ:
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર (h, k) છે અને ત્રિજ્યા r છે.
આ વર્તુળ બિંદુઓ (4, 1) અને (6, 5) માંથી પસાર થાય છે, એટલે કે કેન્દ્રથી આ બંને બિંદુઓનું અંતર (ત્રિજ્યા) સમાન હોય:
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર (h, k) છે અને ત્રિજ્યા r છે.
આ વર્તુળ બિંદુઓ (4, 1) અને (6, 5) માંથી પસાર થાય છે, એટલે કે કેન્દ્રથી આ બંને બિંદુઓનું અંતર (ત્રિજ્યા) સમાન હોય:
(h – 4)2 + (k – 1)2 = r2 — (1)
(h – 6)2 + (k – 5)2 = r2 — (2)
(h – 6)2 + (k – 5)2 = r2 — (2)
બંને સમીકરણોને સરખાવતાં:
h2 – 8h + 16 + k2 – 2k + 1 = h2 – 12h + 36 + k2 – 10k + 25
-8h – 2k + 17 = -12h – 10k + 61
-8h – 2k + 17 = -12h – 10k + 61
h અને k વાળા પદોને એક બાજુ લાવતાં:
4h + 8k = 44
h + 2k = 11 — (સમીકરણ A)
h + 2k = 11 — (સમીકરણ A)
આપણને આપેલું છે કે કેન્દ્ર (h, k) એ રેખા 4x + y = 16 પર છે, તેથી:
4h + k = 16 — (સમીકરણ B)
હવે સમીકરણ A અને B નો ઉકેલ શોધીએ. સમીકરણ B માંથી k = 16 – 4h ને સમીકરણ A માં મૂકતાં:
h + 2(16 – 4h) = 11
h + 32 – 8h = 11
-7h = -21 ⇒ h = 3
h + 32 – 8h = 11
-7h = -21 ⇒ h = 3
h ની કિંમત પરથી k શોધીએ: k = 16 – 4(3) = 16 – 12 = 4.
તેથી વર્તુળનું કેન્દ્ર = (3, 4) મળ્યું.
હવે સમીકરણ (1) માં કિંમત મૂકી ત્રિજ્યાનો વર્ગ (r2) શોધીએ:
તેથી વર્તુળનું કેન્દ્ર = (3, 4) મળ્યું.
હવે સમીકરણ (1) માં કિંમત મૂકી ત્રિજ્યાનો વર્ગ (r2) શોધીએ:
r2 = (3 – 4)2 + (4 – 1)2 = (-1)2 + 32 = 1 + 9 = 10
વર્તુળનું સમીકરણ (x – h)2 + (y – k)2 = r2:
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 10
x2 – 6x + 9 + y2 – 8y + 16 = 10
x2 + y2 – 6x – 8y + 25 – 10 = 0
x2 – 6x + 9 + y2 – 8y + 16 = 10
x2 + y2 – 6x – 8y + 25 – 10 = 0
✅ જવાબ: માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ x2 + y2 – 6x – 8y + 15 = 0 છે.
પ્રશ્ન 11: જેનું કેન્દ્ર રેખા x – 3y – 11 = 0 ઉપર હોય તથા જે (2, 3) અને (-1, 1) માંથી પસાર થતું હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ મેળવો.
ઉકેલ:
આ દાખલો અગાઉના 10મા દાખલા જેવો જ છે. ધારો કે કેન્દ્ર (h, k) છે.
બિંદુઓ (2, 3) અને (-1, 1) થી સમાન અંતર લેતાં:
આ દાખલો અગાઉના 10મા દાખલા જેવો જ છે. ધારો કે કેન્દ્ર (h, k) છે.
બિંદુઓ (2, 3) અને (-1, 1) થી સમાન અંતર લેતાં:
(h – 2)2 + (k – 3)2 = (h + 1)2 + (k – 1)2
h2 – 4h + 4 + k2 – 6k + 9 = h2 + 2h + 1 + k2 – 2k + 1
-4h – 6k + 13 = 2h – 2k + 2
-6h – 4k = -11 ⇒ 6h + 4k = 11 — (સમીકરણ A)
h2 – 4h + 4 + k2 – 6k + 9 = h2 + 2h + 1 + k2 – 2k + 1
-4h – 6k + 13 = 2h – 2k + 2
-6h – 4k = -11 ⇒ 6h + 4k = 11 — (સમીકરણ A)
શરત મુજબ કેન્દ્ર (h, k) રેખા x – 3y – 11 = 0 પર આવેલું છે:
h – 3k – 11 = 0 ⇒ h = 3k + 11 — (સમીકરણ B)
h ની કિંમત સમીકરણ A માં મૂકતાં:
6(3k + 11) + 4k = 11
18k + 66 + 4k = 11
22k = -55 ⇒ k = – = –
18k + 66 + 4k = 11
22k = -55 ⇒ k = –
55
22
5
2
k ની કિંમત પરથી h શોધીએ:
h = 3(-5/2) + 11 = -15/2 + 22/2 =
7
2
તેથી કેન્દ્ર (h, k) = (7/2, -5/2) મળ્યું.
હવે ત્રિજ્યાનો વર્ગ (r2) શોધીએ (બિંદુ (-1, 1) સાથે અંતર લેતાં):
હવે ત્રિજ્યાનો વર્ગ (r2) શોધીએ (બિંદુ (-1, 1) સાથે અંતર લેતાં):
r2 = (7/2 + 1)2 + (-5/2 – 1)2 = (9/2)2 + (-7/2)2
r2 = 81/4 + 49/4 = 130/4 =
r2 = 81/4 + 49/4 = 130/4 =
65
2
વર્તુળનું સમીકરણ:
(x – 7/2)2 + (y + 5/2)2 = 65/2
x2 – 7x + 49/4 + y2 + 5y + 25/4 = 130/4
x2 + y2 – 7x + 5y + 74/4 – 130/4 = 0
x2 + y2 – 7x + 5y – 56/4 = 0
x2 – 7x + 49/4 + y2 + 5y + 25/4 = 130/4
x2 + y2 – 7x + 5y + 74/4 – 130/4 = 0
x2 + y2 – 7x + 5y – 56/4 = 0
✅ જવાબ: માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ x2 + y2 – 7x + 5y – 14 = 0 છે.
પ્રશ્ન 12: જેનું કેન્દ્ર x-અક્ષ પર હોય અને જે (2, 3) માંથી પસાર થતું હોય અને જેની ત્રિજ્યા 5 હોય એવા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.
ઉકેલ:
વર્તુળનું કેન્દ્ર x-અક્ષ પર હોવાથી તેનો y-યામ શૂન્ય થશે. ધારો કે કેન્દ્ર (h, 0) છે.
આપણને ત્રિજ્યા r = 5 આપેલી છે અને વર્તુળ (2, 3) માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર x-અક્ષ પર હોવાથી તેનો y-યામ શૂન્ય થશે. ધારો કે કેન્દ્ર (h, 0) છે.
આપણને ત્રિજ્યા r = 5 આપેલી છે અને વર્તુળ (2, 3) માંથી પસાર થાય છે.
(h – 2)2 + (0 – 3)2 = 52
(h – 2)2 + 9 = 25
(h – 2)2 = 16
(h – 2)2 + 9 = 25
(h – 2)2 = 16
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતાં:
h – 2 = ±4
આથી, h = 6 અથવા h = -2 મળે. એટલે કે બે કેન્દ્રો (6, 0) અને (-2, 0) શક્ય છે. આથી બે સમીકરણો મળશે:
વિકલ્પ 1: કેન્દ્ર (6, 0) લેતાં
(x – 6)2 + (y – 0)2 = 25
x2 – 12x + 36 + y2 = 25
x2 + y2 – 12x + 11 = 0
x2 – 12x + 36 + y2 = 25
x2 + y2 – 12x + 11 = 0
વિકલ્પ 2: કેન્દ્ર (-2, 0) લેતાં
(x + 2)2 + (y – 0)2 = 25
x2 + 4x + 4 + y2 = 25
x2 + y2 + 4x – 21 = 0
x2 + 4x + 4 + y2 = 25
x2 + y2 + 4x – 21 = 0
✅ જવાબ: માંગેલા વર્તુળોના સમીકરણો x2 + y2 – 12x + 11 = 0 અથવા x2 + y2 + 4x – 21 = 0 છે.
પ્રશ્ન 13: ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતાં અને અક્ષો પર અંતઃખંડ a અને b બનાવતા વર્તુળનું સમીકરણ મેળવો.
ઉકેલ:
વર્તુળ ઊગમબિંદુ (0, 0) માંથી પસાર થાય છે અને x-અક્ષ પર ‘a’ તથા y-અક્ષ પર ‘b’ અંતઃખંડ બનાવે છે.
આનો અર્થ એ કે વર્તુળ બિંદુઓ A(a, 0) અને B(0, b) માંથી પણ પસાર થાય છે.
અહીં ∠AOB એ કાટખૂણો (90°) છે (કારણ કે x અને y અક્ષો લંબ છે).
ભૂમિતિના નિયમ મુજબ, જો વર્તુળ પરનો ખૂણો કાટખૂણો હોય, તો તેને સમાવતો જીવા એ વર્તુળનો વ્યાસ (Diameter) હોય છે. તેથી રેખાખંડ AB એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વર્તુળ ઊગમબિંદુ (0, 0) માંથી પસાર થાય છે અને x-અક્ષ પર ‘a’ તથા y-અક્ષ પર ‘b’ અંતઃખંડ બનાવે છે.
આનો અર્થ એ કે વર્તુળ બિંદુઓ A(a, 0) અને B(0, b) માંથી પણ પસાર થાય છે.
અહીં ∠AOB એ કાટખૂણો (90°) છે (કારણ કે x અને y અક્ષો લંબ છે).
ભૂમિતિના નિયમ મુજબ, જો વર્તુળ પરનો ખૂણો કાટખૂણો હોય, તો તેને સમાવતો જીવા એ વર્તુળનો વ્યાસ (Diameter) હોય છે. તેથી રેખાખંડ AB એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ (x1, y1) અને (x2, y2) આપેલા હોય ત્યારે વર્તુળનું સમીકરણ:
(x – x1)(x – x2) + (y – y1)(y – y2) = 0
અહીં (a, 0) અને (0, b) કિંમતો મૂકતાં:
(x – a)(x – 0) + (y – 0)(y – b) = 0
x(x – a) + y(y – b) = 0
x2 – ax + y2 – by = 0
x(x – a) + y(y – b) = 0
x2 – ax + y2 – by = 0
✅ જવાબ: માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ x2 + y2 – ax – by = 0 છે.
પ્રશ્ન 14: કેન્દ્ર (2, 2) વાળા અને બિંદુ (4, 5) માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ મેળવો.
ઉકેલ:
અહીં કેન્દ્ર (h, k) = (2, 2) આપેલું છે.
વર્તુળ બિંદુ (4, 5) માંથી પસાર થતું હોવાથી, કેન્દ્ર અને આ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર એ ત્રિજ્યા (r) થશે.
અહીં કેન્દ્ર (h, k) = (2, 2) આપેલું છે.
વર્તુળ બિંદુ (4, 5) માંથી પસાર થતું હોવાથી, કેન્દ્ર અને આ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર એ ત્રિજ્યા (r) થશે.
r2 = (4 – 2)2 + (5 – 2)2
r2 = (2)2 + (3)2 = 4 + 9 = 13
r2 = (2)2 + (3)2 = 4 + 9 = 13
હવે વર્તુળનું સમીકરણ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 માં કિંમતો મૂકતાં:
(x – 2)2 + (y – 2)2 = 13
x2 – 4x + 4 + y2 – 4y + 4 = 13
x2 + y2 – 4x – 4y + 8 – 13 = 0
x2 – 4x + 4 + y2 – 4y + 4 = 13
x2 + y2 – 4x – 4y + 8 – 13 = 0
✅ જવાબ: માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ x2 + y2 – 4x – 4y – 5 = 0 છે.
પ્રશ્ન 15: બિંદુ (-2.5, 3.5) એ વર્તુળ x2 + y2 = 25 ની અંદર, બહાર કે ઉપર છે તે નક્કી કરો.
ઉકેલ:
આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ x2 + y2 = 25 છે. આ પરથી સ્પષ્ટ છે કે તેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ (0,0) છે અને ત્રિજ્યાનો વર્ગ r2 = 25 છે.
આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ x2 + y2 = 25 છે. આ પરથી સ્પષ્ટ છે કે તેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ (0,0) છે અને ત્રિજ્યાનો વર્ગ r2 = 25 છે.
કોઈપણ બિંદુ (x1, y1) વર્તુળની અંદર, બહાર કે ઉપર છે તે ચકાસવા માટે આપણે તે બિંદુનું કેન્દ્રથી અંતરનો વર્ગ (d2) શોધીએ અને તેને r2 સાથે સરખાવીએ:
d2 = x12 + y12
d2 = (-2.5)2 + (3.5)2
d2 = 6.25 + 12.25
d2 = 18.5
d2 = (-2.5)2 + (3.5)2
d2 = 6.25 + 12.25
d2 = 18.5
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે d2 (18.5) એ ત્રિજ્યાના વર્ગ r2 (25) કરતાં નાનો છે (d2 < r2).
✅ કેન્દ્રથી બિંદુનું અંતર ત્રિજ્યા કરતાં ઓછું હોવાથી, આપેલ બિંદુ (-2.5, 3.5) વર્તુળની અંદર આવેલું છે.
10.3
પ્રકરણ 10 : શંકવો (ઉપવલયનાં સમીકરણો)
પ્રશ્ન 19: કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ, પ્રધાન અક્ષ y-અક્ષ પર હોય અને બિંદુઓ (3, 2) અને (1, 6) માંથી પસાર થાય, તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ મેળવો.
ઉકેલ: અહીં ઉપવલયનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ (0, 0) છે અને પ્રધાન અક્ષ y-અક્ષ પર છે.
તેથી, ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ નીચે મુજબ થશે (જ્યાં a > b):
x2
b2
y2
a2
શરત 1: ઉપવલય બિંદુ (3, 2) માંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણમાં x = 3 અને y = 2 મૂકતાં:
9
b2
4
a2
શરત 2: ઉપવલય બિંદુ (1, 6) માંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણમાં x = 1 અને y = 6 મૂકતાં:
1
b2
36
a2
ગણતરી સરળ કરવા ધારો કે = u અને = v છે.
1
b2
1
a2
9u + 4v = 1 … (૩)
u + 36v = 1 … (૪)
u + 36v = 1 … (૪)
સમીકરણ (૪) પરથી: u = 1 – 36v. આ કિંમત સમીકરણ (૩) માં મૂકતાં:
9(1 – 36v) + 4v = 1
9 – 324v + 4v = 1
9 – 1 = 320v
8 = 320v ⇒ v = =
9 – 324v + 4v = 1
9 – 1 = 320v
8 = 320v ⇒ v =
8
320
1
40
આમ, = ⇒ a2 = 40
1
a2
1
40
હવે v ની કિંમત u ના સમીકરણમાં મૂકતાં:
u = 1 – 36( ) = 1 – = =
1
40
9
10
10 – 9
10
1
10
આમ, = ⇒ b2 = 10
1
b2
1
10
a2 અને b2 ની કિંમતો પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતાં:
✅ જવાબ: ઉપવલયનું સમીકરણ + = 1 છે.
x2
10
y2
40
પ્રશ્ન 20: પ્રધાન અક્ષ x-અક્ષ પર હોય અને બિંદુઓ (4, 3) અને (6, 2) માંથી પસાર થાય, તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ મેળવો.
ઉકેલ: અહીં ઉપવલયનું પ્રધાન અક્ષ x-અક્ષ પર છે. (અને કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ પર છે તેમ સ્વીકારીશું).
તેથી, ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ નીચે મુજબ થશે (જ્યાં a > b):
x2
a2
y2
b2
શરત 1: ઉપવલય બિંદુ (4, 3) માંથી પસાર થાય છે.
16
a2
9
b2
શરત 2: ઉપવલય બિંદુ (6, 2) માંથી પસાર થાય છે.
36
a2
4
b2
ધારો કે = u અને = v છે.
1
a2
1
b2
16u + 9v = 1 … (૩)
36u + 4v = 1 … (૪)
36u + 4v = 1 … (૪)
લોપની રીત વાપરવા માટે, સમીકરણ (૩) ને 4 વડે અને સમીકરણ (૪) ને 9 વડે ગુણીએ (જેથી v ના સહગુણક સમાન થાય 36):
64u + 36v = 4
324u + 36v = 9
324u + 36v = 9
બીજામાંથી પહેલું સમીકરણ બાદ કરતાં:
(324 – 64)u = 9 – 4
260u = 5 ⇒ u = =
260u = 5 ⇒ u =
5
260
1
52
આમ, = ⇒ a2 = 52
1
a2
1
52
હવે u ની કિંમત સમીકરણ (૩) માં મૂકતાં:
16( ) + 9v = 1
+ 9v = 1
9v = 1 – = =
v =
1
52
4
13
9v = 1 –
4
13
13 – 4
13
9
13
v =
1
13
આમ, = ⇒ b2 = 13
1
b2
1
13
a2 અને b2 ની કિંમતો પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતાં:
✅ જવાબ: ઉપવલયનું સમીકરણ + = 1 છે.
x2
52
y2
13
10.4 no 15
પ્રકરણ 10 : શંકવો (અતિવલયનાં સમીકરણો)
પ્રશ્ન 15: નાભિઓ (0, ± √10 ), અને બિંદુ (2, 3) માંથી પસાર થતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો.
ઉકેલ: અહીં અતિવલયની નાભિઓ (0, ±c) સ્વરૂપમાં y-અક્ષ પર છે.
તેથી, અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ નીચે મુજબ થશે:
y2
a2
x2
b2
શરત 1: નાભિઓ (0, ± √10 ) આપેલ છે.
સરખાવતાં, c = √10 ⇒ c2 = 10
અતિવલય માટે આપણે જાણીએ છીએ કે c2 = a2 + b2.
a2 + b2 = 10 ⇒ b2 = 10 – a2 … (સમીકરણ ૧)
શરત 2: અતિવલય બિંદુ (2, 3) માંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણમાં x = 2 અને y = 3 મૂકતાં:
9
a2
4
b2
સમીકરણ ૧ પરથી b2 ની કિંમત અહી મૂકતાં:
9
a2
4
10 – a2
લ.સા.અ. (LCM) લઈને સાદુંરૂપ આપતાં:
9(10 – a2) – 4a2
a2(10 – a2)
90 – 9a2 – 4a2 = a2(10 – a2)
90 – 13a2 = 10a2 – a4
બધા પદોને ડાબી બાજુ લાવતાં દ્વિઘાત સમીકરણ બનશે:
a4 – 23a2 + 90 = 0
90 ના એવા ભાગ પાડો જેનો સરવાળો 23 થાય (18 અને 5). અવયવ પાડતાં:
a4 – 18a2 – 5a2 + 90 = 0
(a2 – 18) (a2 – 5) = 0
(a2 – 18) (a2 – 5) = 0
a2 = 18 અથવા a2 = 5
બંને વિકલ્પો ચકાસીએ:
વિકલ્પ 1: જો a2 = 18 લઈએ, તો b2 = 10 – 18 = -8 થશે. પરંતુ કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ ન હોઈ શકે. તેથી આ શક્ય નથી.
વિકલ્પ 2: જો a2 = 5 લઈએ, તો b2 = 10 – 5 = 5 થશે. આ શક્ય છે.
તેથી a2 = 5 અને b2 = 5 ની કિંમતો પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતાં:
✅ જવાબ: અતિવલયનું માંગેલ સમીકરણ – = 1 છે. (અથવા y2 – x2 = 5)
y2
5
x2
5