સ્વાધ્યાય 9.1
સ્વાધ્યાય 9.1
પ્રશ્ન 1: યામ-સમતલમાં (-4, 5), (0, 7), (5, -5) અને (-4, -2) શિરોબિંદુઓવાળો ચતુષ્કોણ દોરો અને તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે ચતુષ્કોણનાં શિરોબિંદુઓ ક્રમમાં A(-4, 5), B(0, 7), C(5, -5) અને D(-4, -2) છે.
આપણે વિકર્ણ AC દોરીને ચતુષ્કોણને બે ત્રિકોણો ΔABC અને ΔACD માં વિભાજિત કરીશું.
ધારો કે ચતુષ્કોણનાં શિરોબિંદુઓ ક્રમમાં A(-4, 5), B(0, 7), C(5, -5) અને D(-4, -2) છે.
આપણે વિકર્ણ AC દોરીને ચતુષ્કોણને બે ત્રિકોણો ΔABC અને ΔACD માં વિભાજિત કરીશું.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: = ½ |x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)|
ΔABC નું ક્ષેત્રફળ: A(-4, 5), B(0, 7), C(5, -5)
= ½ |-4(7 – (-5)) + 0(-5 – 5) + 5(5 – 7)|
= ½ |-4(12) + 0 + 5(-2)|
= ½ |-48 – 10| = ½ |-58| = = 29 ચો. એકમ
= ½ |-4(12) + 0 + 5(-2)|
= ½ |-48 – 10| = ½ |-58| =
58
2
ΔACD નું ક્ષેત્રફળ: A(-4, 5), C(5, -5), D(-4, -2)
= ½ |-4(-5 – (-2)) + 5(-2 – 5) + (-4)(5 – (-5))|
= ½ |-4(-3) + 5(-7) – 4(10)|
= ½ |12 – 35 – 40| = ½ |-63| = ચો. એકમ
= ½ |-4(-3) + 5(-7) – 4(10)|
= ½ |12 – 35 – 40| = ½ |-63| =
63
2
ચતુષ્કોણ ABCD નું કુલ ક્ષેત્રફળ = ΔABC નું ક્ષેત્રફળ + ΔACD નું ક્ષેત્રફળ
= 29 + = =
63
2
58 + 63
2
121
2
✅ જવાબ: ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ (અથવા 60.5) ચોરસ એકમ છે.
121
2
પ્રશ્ન 2: એક સમબાજુ ત્રિકોણનો પાયો y-અક્ષ પર એવી રીતે આવેલો છે કે તેનું મધ્યબિંદુ ઊગમબિંદુ છે. આ સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ 2a હોય, તો તેનાં શિરોબિંદુઓ શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ ABC છે. તેનો પાયો y-અક્ષ પર છે અને તેનું મધ્યબિંદુ ઊગમબિંદુ O(0,0) છે.
ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ 2a છે. તેથી ઊગમબિંદુથી ઉપર અને નીચે a જેટલા અંતરે શિરોબિંદુઓ હશે.
ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ ABC છે. તેનો પાયો y-અક્ષ પર છે અને તેનું મધ્યબિંદુ ઊગમબિંદુ O(0,0) છે.
ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ 2a છે. તેથી ઊગમબિંદુથી ઉપર અને નીચે a જેટલા અંતરે શિરોબિંદુઓ હશે.
તેથી, બે શિરોબિંદુઓ y-અક્ષ પર મળશે: A(0, a) અને B(0, –a).
ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ C x-અક્ષ પર છે, જેના યામ (x, 0) છે.
આ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી તમામ બાજુઓ 2a થશે. તેથી AC = 2a.
આ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી તમામ બાજુઓ 2a થશે. તેથી AC = 2a.
અંતર સૂત્ર મુજબ:
√[ (x – 0)2 + (0 – a)2 ] = 2a
x2 + a2 = (2a)2
x2 + a2 = 4a2
x2 = 3a2 ⇒ x = ±√3 a
x2 + a2 = (2a)2
x2 + a2 = 4a2
x2 = 3a2 ⇒ x = ±√3 a
તેથી ત્રીજું શિરોબિંદુ (√3 a, 0) અથવા (-√3 a, 0) હોઈ શકે.
✅ જવાબ: ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ (0, a), (0, –a), અને (√3 a, 0) અથવા (0, a), (0, –a), અને (-√3 a, 0) છે.
પ્રશ્ન 3: જ્યારે (i) PQ, y-અક્ષને સમાંતર હોય (ii) PQ, x-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે બિંદુઓ P (x1, y1) અને Q (x2, y2) વચ્ચેનું અંતર શોધો.
ઉકેલ:
આપણને બે બિંદુઓ P (x1, y1) અને Q (x2, y2) વચ્ચેનું અંતર પૂછ્યું છે. અંતર સૂત્ર: PQ = √[ (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 ]
આપણને બે બિંદુઓ P (x1, y1) અને Q (x2, y2) વચ્ચેનું અંતર પૂછ્યું છે. અંતર સૂત્ર: PQ = √[ (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 ]
(i) જ્યારે PQ, y-અક્ષને સમાંતર હોય:
જો રેખા y-અક્ષને સમાંતર હોય, તો તેના તમામ બિંદુઓના x-યામ સમાન હોય.
તેથી, x1 = x2 થાય.
તેથી, x1 = x2 થાય.
PQ = √[ (0)2 + (y2 – y1)2 ] = √[ (y2 – y1)2 ] = | y2 – y1 |
✅ (i) નો જવાબ: PQ = | y2 – y1 |
(ii) જ્યારે PQ, x-અક્ષને સમાંતર હોય:
જો રેખા x-અક્ષને સમાંતર હોય, તો તેના તમામ બિંદુઓના y-યામ સમાન હોય.
તેથી, y1 = y2 થાય.
તેથી, y1 = y2 થાય.
PQ = √[ (x2 – x1)2 + (0)2 ] = √[ (x2 – x1)2 ] = | x2 – x1 |
✅ (ii) નો જવાબ: PQ = | x2 – x1 |
પ્રશ્ન 4: (7, 6) અને (3, 4) થી સમાન અંતરે હોય એવું x-અક્ષ પરનું બિંદુ શોધો.
ઉકેલ:
x-અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુનો y-યામ શૂન્ય (0) હોય છે. ધારો કે માંગેલ બિંદુ P(x, 0) છે.
ધારો કે આપેલા બિંદુઓ A(7, 6) અને B(3, 4) છે.
શરત મુજબ, P એ A અને B થી સમાન અંતરે છે, તેથી PA = PB.
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં, PA2 = PB2.
x-અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુનો y-યામ શૂન્ય (0) હોય છે. ધારો કે માંગેલ બિંદુ P(x, 0) છે.
ધારો કે આપેલા બિંદુઓ A(7, 6) અને B(3, 4) છે.
શરત મુજબ, P એ A અને B થી સમાન અંતરે છે, તેથી PA = PB.
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં, PA2 = PB2.
(x – 7)2 + (0 – 6)2 = (x – 3)2 + (0 – 4)2
(x2 – 14x + 49) + 36 = (x2 – 6x + 9) + 16
(x2 – 14x + 49) + 36 = (x2 – 6x + 9) + 16
બંને બાજુથી x2 કેન્સલ કરતાં અને સાદુંરૂપ આપતાં:
-14x + 85 = -6x + 25
85 – 25 = 14x – 6x
60 = 8x ⇒ x = =
85 – 25 = 14x – 6x
60 = 8x ⇒ x =
60
8
15
2
✅ જવાબ: માંગેલ બિંદુ ( , 0) છે.
15
2
પ્રશ્ન 5: P (0, -4) અને B (8, 0) ને જોડતાં રેખાખંડના મધ્યબિંદુ અને ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ શોધો.
ઉકેલ:
સૌપ્રથમ, P(0, -4) અને B(8, 0) નું મધ્યબિંદુ (Midpoint – M) શોધીએ:
સૌપ્રથમ, P(0, -4) અને B(8, 0) નું મધ્યબિંદુ (Midpoint – M) શોધીએ:
M = ( , )
M =( , ) = (4, -2)
x1 + x2
2
y1 + y2
2
M =
0 + 8
2
-4 + 0
2
આપણે ઊગમબિંદુ O(0,0) અને મધ્યબિંદુ M(4, -2) માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ શોધવાનો છે.
બે બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ m =
y2 – y1
x2 – x1
m = = = –
-2 – 0
4 – 0
-2
4
1
2
✅ જવાબ: રેખાનો ઢાળ -1/2 છે.
પ્રશ્ન 6: પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કર્યા વગર બતાવો કે (4, 4), (3, 5) અને (-1, -1) કાટકોણ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
ઉકેલ:
ધારો કે ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ A(4, 4), B(3, 5) અને C(-1, -1) છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય વગર સાબિત કરવા માટે આપણે ત્રણેય બાજુઓના ઢાળ (Slope) શોધીશું. જો કોઈપણ બે બાજુઓના ઢાળનો ગુણાકાર -1 થાય, તો તે બે બાજુઓ એકબીજાને લંબ (90°) છે તેમ કહેવાય.
ધારો કે ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ A(4, 4), B(3, 5) અને C(-1, -1) છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય વગર સાબિત કરવા માટે આપણે ત્રણેય બાજુઓના ઢાળ (Slope) શોધીશું. જો કોઈપણ બે બાજુઓના ઢાળનો ગુણાકાર -1 થાય, તો તે બે બાજુઓ એકબીજાને લંબ (90°) છે તેમ કહેવાય.
1. AB નો ઢાળ (m1):
m1 = = = -1
5 – 4
3 – 4
1
-1
2. BC નો ઢાળ (m2):
m2 = = =
-1 – 5
-1 – 3
-6
-4
3
2
3. AC નો ઢાળ (m3):
m3 = = = 1
-1 – 4
-1 – 4
-5
-5
અહીં સ્પષ્ટ જોઈ શકાય છે કે m1 અને m3 નો ગુણાકાર:
m1 × m3 = (-1) × (1) = -1
✅ AB અને AC ના ઢાળનો ગુણાકાર -1 છે, તેથી રેખા AB અને AC એકબીજાને લંબ છે (∠A = 90°). સાબિત થાય છે કે આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પ્રશ્ન 7: એક રેખા y-અક્ષની ધન દિશા સાથે ઘડિયાળના કાંટાથી વિરુદ્ધ દિશામાં 30° નો ખૂણો બનાવે, તો તે રેખાનો ઢાળ શોધો.
ઉકેલ:
કોઈપણ રેખાનો ઢાળ શોધવા માટે આપણે તે રેખાનો x-અક્ષની ધન દિશા સાથેનો ખૂણો (θ) જાણવો જરૂરી છે.
અહીં રેખા y-અક્ષ સાથે 30° નો ખૂણો બનાવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે x-અક્ષ અને y-અક્ષ વચ્ચે 90° નો ખૂણો હોય છે.
કોઈપણ રેખાનો ઢાળ શોધવા માટે આપણે તે રેખાનો x-અક્ષની ધન દિશા સાથેનો ખૂણો (θ) જાણવો જરૂરી છે.
અહીં રેખા y-અક્ષ સાથે 30° નો ખૂણો બનાવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે x-અક્ષ અને y-અક્ષ વચ્ચે 90° નો ખૂણો હોય છે.
તેથી, રેખાએ x-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનાવેલો કુલ ખૂણો (θ) = 90° + 30° = 120° થશે.
હવે, ઢાળ m = tan(θ):
m = tan(120°)
m = tan(180° – 60°)
m = -tan(60°) (બીજા ચરણમાં tan ઋણ હોય છે)
m = -√3
m = tan(180° – 60°)
m = -tan(60°) (બીજા ચરણમાં tan ઋણ હોય છે)
m = -√3
✅ જવાબ: તે રેખાનો ઢાળ -√3 છે.
પ્રશ્ન 8: અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યા વગર બતાવો કે (-2, -1), (4, 0), (3, 3) અને (-3, 2) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
ઉકેલ:
ધારો કે શિરોબિંદુઓ A(-2, -1), B(4, 0), C(3, 3) અને D(-3, 2) છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ એકબીજાને સમાંતર હોય છે. જો બે રેખાઓ સમાંતર હોય તો તેમના ઢાળ સમાન હોય. આપણે ચારેય બાજુઓના ઢાળ શોધીશું.
ધારો કે શિરોબિંદુઓ A(-2, -1), B(4, 0), C(3, 3) અને D(-3, 2) છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ એકબીજાને સમાંતર હોય છે. જો બે રેખાઓ સમાંતર હોય તો તેમના ઢાળ સમાન હોય. આપણે ચારેય બાજુઓના ઢાળ શોધીશું.
1. AB નો ઢાળ: =
0 – (-1)
4 – (-2)
1
6
2. CD નો ઢાળ: = =
2 – 3
-3 – 3
-1
-6
1
6
અહીં AB નો ઢાળ = CD નો ઢાળ, તેથી AB || CD.
3. BC નો ઢાળ: = = -3
3 – 0
3 – 4
3
-1
4. AD નો ઢાળ: = = -3
2 – (-1)
-3 – (-2)
3
-1
અહીં BC નો ઢાળ = AD નો ઢાળ, તેથી BC || AD.
✅ ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓની બંને જોડ સમાંતર હોવાથી, તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 9: (3, -1) અને (4, -2) ને જોડતી રેખા અને x-અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાનું માપ શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે A(3, -1) અને B(4, -2) છે.
x-અક્ષ સાથેનો ખૂણો શોધવા માટે આપણે પહેલા રેખાનો ઢાળ (m) શોધીશું, અને પછી સૂત્ર m = tan(θ) વાપરીશું.
ધારો કે A(3, -1) અને B(4, -2) છે.
x-અક્ષ સાથેનો ખૂણો શોધવા માટે આપણે પહેલા રેખાનો ઢાળ (m) શોધીશું, અને પછી સૂત્ર m = tan(θ) વાપરીશું.
રેખા AB નો ઢાળ (m):
m =
m =
m = = = -1
y2 – y1
x2 – x1
m =
-2 – (-1)
4 – 3
m =
-2 + 1
1
-1
1
હવે, tan(θ) = m મૂકતાં:
tan(θ) = -1
આપણે જાણીએ છીએ કે tan(45°) = 1 થાય. અહીં જવાબ ઋણ છે, એટલે ખૂણો બીજા ચરણમાં (ગુરુકોણ) હશે.
θ = 180° – 45° = 135°
(અથવા રેડિયનમાં 3π/4)
(અથવા રેડિયનમાં 3π/4)
✅ જવાબ: રેખા અને x-અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાનું માપ 135° છે.
પ્રશ્ન 10: જો બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાનું માપ α હોય અને tan α = હોય અને બે રેખાઓ પૈકીની એક રેખાનો ઢાળ બીજી રેખાના ઢાળ કરતાં બે ગણો હોય તો તે બે રેખાઓના ઢાળ શોધો.
1
3
ઉકેલ:
ધારો કે પ્રથમ રેખાનો ઢાળ m1 = m છે.
શરત મુજબ, બીજી રેખાનો ઢાળ એ પ્રથમ કરતાં બે ગણો છે. તેથી m2 = 2m થાય.
ધારો કે પ્રથમ રેખાનો ઢાળ m1 = m છે.
શરત મુજબ, બીજી રેખાનો ઢાળ એ પ્રથમ કરતાં બે ગણો છે. તેથી m2 = 2m થાય.
આપણને આપેલું છે કે tan α = 1/3.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાનું સૂત્ર: tan α = | |
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાનું સૂત્ર: tan α = |
m2 – m1
1 + m1m2
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં:
1
3
2m – m
1 + (m)(2m)
1
3
m
1 + 2m2
જ્યારે આપણે માનાંક (|…|) દૂર કરીએ, ત્યારે સામેની બાજુ ± (પ્લસ અથવા માઇનસ) નિશાની આવે છે. તેથી આપણને બે વિકલ્પો મળશે:
વિકલ્પ 1: ધન (+) ચિહ્ન લેતાં
m
1 + 2m2
1
3
3m = 1 + 2m2
2m2 – 3m + 1 = 0
અવયવ પાડતાં (ગુણાકાર 2, સરવાળો -3): -2 અને -1.
2m2 – 2m – m + 1 = 0
2m(m – 1) – 1(m – 1) = 0
(2m – 1)(m – 1) = 0
તેથી, m = 1/2 અથવા m = 1.
2m(m – 1) – 1(m – 1) = 0
(2m – 1)(m – 1) = 0
તેથી, m = 1/2 અથવા m = 1.
વિકલ્પ 2: ઋણ (-) ચિહ્ન લેતાં
m
1 + 2m2
1
3
-3m = 1 + 2m2
2m2 + 3m + 1 = 0
અવયવ પાડતાં (ગુણાકાર 2, સરવાળો 3): 2 અને 1.
2m2 + 2m + m + 1 = 0
2m(m + 1) + 1(m + 1) = 0
(2m + 1)(m + 1) = 0
તેથી, m = -1/2 અથવા m = -1.
2m(m + 1) + 1(m + 1) = 0
(2m + 1)(m + 1) = 0
તેથી, m = -1/2 અથવા m = -1.
બંને રેખાઓના ઢાળ (m અને 2m) ની શક્ય જોડ નીચે મુજબ થશે:
- જો m = 1/2 હોય, તો ઢાળ 1/2 અને 1 છે.
- જો m = 1 હોય, તો ઢાળ 1 અને 2 છે.
- જો m = -1/2 હોય, તો ઢાળ -1/2 અને -1 છે.
- જો m = -1 હોય, તો ઢાળ -1 અને -2 છે.
✅ આમ, ઢાળની 4 શક્ય જોડ મળે છે.
પ્રશ્ન 11: એક રેખા (x1, y1) અને (h, k) માંથી પસાર થાય છે. જો આ રેખાનો ઢાળ m હોય તો, સાબિત કરો કે k – y1 = m(h – x1).
ઉકેલ:
અહીં રેખા પર આવેલા બે બિંદુઓ P(x1, y1) અને Q(h, k) આપેલા છે.
અહીં રેખા પર આવેલા બે બિંદુઓ P(x1, y1) અને Q(h, k) આપેલા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો કોઈ રેખા બે બિંદુઓ (x1, y1) અને (x2, y2) માંથી પસાર થતી હોય, તો તેનો ઢાળ (m) શોધવાનું સૂત્ર:
m =
y2 – y1
x2 – x1
આ સૂત્રમાં (x2, y2) ની જગ્યાએ (h, k) મુકતાં:
m =
k – y1
h – x1
હવે, (h – x1) ને ડાબી બાજુ લઈ જઈને m સાથે ગુણાકાર કરતાં (ચોકડી ગુણાકાર):
m(h – x1) = k – y1
બંને બાજુ પલટાવીને લખતાં:
k – y1 = m(h – x1)
✅ જે સાબિત કરવાનું હતું તે મળી ગયું છે.
9.2
પ્રશ્ન 8: ΔPQR નાં શિરોબિંદુઓ P (2, 1), Q (-2, 3) અને R (4, 5) હોય, તો શિરોબિંદુ R માંથી દોરેલ મધ્યગાનું સમીકરણ મેળવો.
ઉકેલ:
ત્રિકોણ PQR માં શિરોબિંદુ R(4, 5) માંથી દોરેલી મધ્યગા (Median) સામેની બાજુ PQ ના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે બાજુ PQ નું મધ્યબિંદુ M છે. મધ્યબિંદુના સૂત્રથી M ના યામ શોધીએ:
ત્રિકોણ PQR માં શિરોબિંદુ R(4, 5) માંથી દોરેલી મધ્યગા (Median) સામેની બાજુ PQ ના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે બાજુ PQ નું મધ્યબિંદુ M છે. મધ્યબિંદુના સૂત્રથી M ના યામ શોધીએ:
M(x, y) = ( , ) = ( , ) = (0, 2)
2 + (-2)
2
1 + 3
2
0
2
4
2
હવે આપણે મધ્યગા RM નું સમીકરણ શોધવાનું છે, જે R(4, 5) અને M(0, 2) માંથી પસાર થાય છે. સૌપ્રથમ રેખા RM નો ઢાળ (m) શોધીએ:
m = =
5 – 2
4 – 0
3
4
બિંદુ-ઢાળ સમીકરણ y – y1 = m(x – x1) નો ઉપયોગ કરીને મધ્યગાનું સમીકરણ (બિંદુ M(0,2) લેતાં):
y – 2 = (x – 0)
4(y – 2) = 3x
4y – 8 = 3x
3
4
4(y – 2) = 3x
4y – 8 = 3x
✅ જવાબ: મધ્યગાનું સમીકરણ 3x – 4y + 8 = 0 છે.
પ્રશ્ન 9: (2, 5) અને (-3, 6) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાને લંબ અને (-3, 5) બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ મેળવો.
ઉકેલ:
ધારો કે A(2, 5) અને B(-3, 6) માંથી પસાર થતી રેખા L1 છે. તેનો ઢાળ (m1) શોધીએ:
ધારો કે A(2, 5) અને B(-3, 6) માંથી પસાર થતી રેખા L1 છે. તેનો ઢાળ (m1) શોધીએ:
m1 = = = –
6 – 5
-3 – 2
1
-5
1
5
આપણને માંગેલી રેખા L2 એ રેખા L1 ને લંબ (Perpendicular) છે. બે લંબ રેખાઓના ઢાળનો ગુણાકાર -1 થાય (m1 × m2 = -1).
તેથી, માંગેલી રેખાનો ઢાળ m2 = – = 5 થશે.
તેથી, માંગેલી રેખાનો ઢાળ m2 = –
1
m1
હવે માંગેલી રેખા બિંદુ P(-3, 5) માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ 5 છે. તેનું સમીકરણ:
y – y1 = m(x – x1)
y – 5 = 5(x – (-3))
y – 5 = 5(x + 3)
y – 5 = 5x + 15
y – 5 = 5(x – (-3))
y – 5 = 5(x + 3)
y – 5 = 5x + 15
✅ જવાબ: માંગેલી રેખાનું સમીકરણ 5x – y + 20 = 0 છે.
પ્રશ્ન 10: (1, 0) અને (2, 3) ને જોડતા રેખાખંડને લંબ અને તેનું 1 : n ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે A(1, 0) અને B(2, 3) બે બિંદુઓ છે. ધારો કે બિંદુ P આ રેખાખંડનું 1 : n ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્ર મુજબ P ના યામ:
ધારો કે A(1, 0) અને B(2, 3) બે બિંદુઓ છે. ધારો કે બિંદુ P આ રેખાખંડનું 1 : n ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્ર મુજબ P ના યામ:
P(x, y) = ( , ) = ( , )
1(2) + n(1)
1 + n
1(3) + n(0)
1 + n
n + 2
n + 1
3
n + 1
હવે રેખાખંડ AB નો ઢાળ (mAB) શોધીએ:
mAB = = = 3
3 – 0
2 – 1
3
1
માંગેલી રેખા AB ને લંબ છે, તેથી તેનો ઢાળ (m) = – થશે.
માંગેલી રેખા બિંદુ P માંથી પસાર થાય છે અને ઢાળ -1/3 છે, સમીકરણ:
1
3
માંગેલી રેખા બિંદુ P માંથી પસાર થાય છે અને ઢાળ -1/3 છે, સમીકરણ:
y – = – ( x – )
3
n + 1
1
3
n + 2
n + 1
બંને બાજુ 3(n+1) લ.સા.અ. લેતાં અને સાદુંરૂપ આપતાં:
3(n + 1)y – 9 = – (n + 1)x + (n + 2)
(n + 1)x + 3(n + 1)y = n + 2 + 9
(n + 1)x + 3(n + 1)y = n + 2 + 9
✅ જવાબ: માંગેલી રેખાનું સમીકરણ (n + 1)x + 3(n + 1)y = n + 11 છે.
પ્રશ્ન 11: (2, 3) બિંદુમાંથી પસાર થતી અને યામાક્ષો પર સમાન અંતઃખંડો કાપતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉકેલ:
અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં રેખાનું સમીકરણ: + = 1 હોય છે.
અહીં આપેલું છે કે રેખા યામાક્ષો પર સમાન અંતઃખંડો કાપે છે. એટલે કે a = b.
અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં રેખાનું સમીકરણ:
x
a
y
b
અહીં આપેલું છે કે રેખા યામાક્ષો પર સમાન અંતઃખંડો કાપે છે. એટલે કે a = b.
તેથી સમીકરણ થશે: + = 1 ⇒ x + y = a
x
a
y
a
હવે આ રેખા બિંદુ (2, 3) માંથી પસાર થાય છે, તેથી તેમાં x=2 અને y=3 મૂકતાં:
2 + 3 = a ⇒ a = 5
a ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતાં:
✅ જવાબ: રેખાનું સમીકરણ x + y = 5 (અથવા x + y – 5 = 0) છે.
પ્રશ્ન 12: જેના અક્ષો પરના અંતઃખંડોનો સરવાળો 9 હોય અને જે બિંદુ (2, 2) માંથી પસાર થતી હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે x-અંતઃખંડ = a અને y-અંતઃખંડ = b છે. અંતઃખંડોનો સરવાળો 9 છે, તેથી a + b = 9 ⇒ b = 9 – a.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ સમીકરણ:
ધારો કે x-અંતઃખંડ = a અને y-અંતઃખંડ = b છે. અંતઃખંડોનો સરવાળો 9 છે, તેથી a + b = 9 ⇒ b = 9 – a.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ સમીકરણ:
x
a
y
9 – a
આ રેખા બિંદુ (2, 2) માંથી પસાર થાય છે, તેમાં x=2 અને y=2 મૂકતાં:
2
a
2
9 – a
લ.સા.અ. લઈ સાદુંરૂપ આપતાં:
2(9 – a) + 2a
a(9 – a)
18 – 2a + 2a = a(9 – a)
18 = 9a – a2
a2 – 9a + 18 = 0
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતાં (ગુણાકાર 18, સરવાળો 9): 6 અને 3.
(a – 6)(a – 3) = 0
તેથી, a = 6 અથવા a = 3 મળે.
તેથી, a = 6 અથવા a = 3 મળે.
વિકલ્પ 1: જો a = 6 હોય, તો b = 9 – 6 = 3.
સમીકરણ: + = 1 ⇒ x + 2y = 6
સમીકરણ:
x
6
y
3
વિકલ્પ 2: જો a = 3 હોય, તો b = 9 – 3 = 6.
સમીકરણ: + = 1 ⇒ 2x + y = 6
સમીકરણ:
x
3
y
6
✅ જવાબ: આવી બે રેખાઓ શક્ય છે: x + 2y = 6 અને 2x + y = 6.
પ્રશ્ન 13: (0, 2) માંથી પસાર થતી અને x-અક્ષની ધન દિશા સાથે 2π/3 માપનો ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ મેળવો તથા તે રેખાને સમાંતર હોય અને y-અક્ષને ઊગમબિંદુથી નીચે 2 એકમ અંતરે છેદતી હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ પણ મેળવો.
ઉકેલ:
પ્રથમ રેખા: ખૂણો θ = 2π/3 (અથવા 120°). રેખાનો ઢાળ (m) = tan(120°) = -√3.
રેખા બિંદુ (0, 2) માંથી પસાર થાય છે (જે y-અંતઃખંડ c = 2 દર્શાવે છે). સમીકરણ y = mx + c વાપરતાં:
પ્રથમ રેખા: ખૂણો θ = 2π/3 (અથવા 120°). રેખાનો ઢાળ (m) = tan(120°) = -√3.
રેખા બિંદુ (0, 2) માંથી પસાર થાય છે (જે y-અંતઃખંડ c = 2 દર્શાવે છે). સમીકરણ y = mx + c વાપરતાં:
y = -√3 x + 2 ⇒ √3 x + y – 2 = 0 (આ પ્રથમ રેખા છે)
બીજી રેખા: તે પ્રથમ રેખાને સમાંતર છે, તેથી તેનો ઢાળ પણ સમાન એટલે કે m = -√3 જ રહેશે.
તે y-અક્ષને ઊગમબિંદુથી નીચે 2 એકમ અંતરે છેદે છે. એટલે કે તેનો y-અંતઃખંડ c = -2 છે (બિંદુ (0, -2) માંથી પસાર થાય).
સમીકરણ y = mx + c વાપરતાં:
તે y-અક્ષને ઊગમબિંદુથી નીચે 2 એકમ અંતરે છેદે છે. એટલે કે તેનો y-અંતઃખંડ c = -2 છે (બિંદુ (0, -2) માંથી પસાર થાય).
સમીકરણ y = mx + c વાપરતાં:
y = -√3 x – 2 ⇒ √3 x + y + 2 = 0
✅ જવાબ: પ્રથમ રેખાનું સમીકરણ √3 x + y – 2 = 0 અને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ √3 x + y + 2 = 0 છે.
પ્રશ્ન 14: ઊગમબિંદુમાંથી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ (-2, 9) હોય, તો તે રેખાનું સમીકરણ મેળવો.
ઉકેલ:
ઊગમબિંદુ O(0, 0) માંથી માંગેલી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ (Foot of perpendicular) P(-2, 9) છે.
આનો અર્થ એ કે માંગેલી રેખા રેખાખંડ OP ને લંબ છે અને બિંદુ P માંથી પસાર થાય છે. સૌપ્રથમ OP નો ઢાળ (mOP) શોધીએ:
ઊગમબિંદુ O(0, 0) માંથી માંગેલી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ (Foot of perpendicular) P(-2, 9) છે.
આનો અર્થ એ કે માંગેલી રેખા રેખાખંડ OP ને લંબ છે અને બિંદુ P માંથી પસાર થાય છે. સૌપ્રથમ OP નો ઢાળ (mOP) શોધીએ:
mOP = = –
9 – 0
-2 – 0
9
2
માંગેલી રેખા OP ને લંબ હોવાથી તેનો ઢાળ (m) = – 1 / mOP = થશે.
હવે, રેખા P(-2, 9) માંથી પસાર થાય છે અને ઢાળ 2/9 છે. સમીકરણ:
2
9
હવે, રેખા P(-2, 9) માંથી પસાર થાય છે અને ઢાળ 2/9 છે. સમીકરણ:
y – 9 = (x – (-2))
9(y – 9) = 2(x + 2)
9y – 81 = 2x + 4
2
9
9(y – 9) = 2(x + 2)
9y – 81 = 2x + 4
✅ જવાબ: રેખાનું સમીકરણ 2x – 9y + 85 = 0 છે.
પ્રશ્ન 15: તાંબાના તારની લંબાઈ L (સેમીમાં) અને તેના સેલ્સિયસ તાપમાન C વચ્ચે સુરેખ સંબંધ છે. એક પ્રયોગમાં જ્યારે L = 124.942 હોય ત્યારે C = 20 અને જ્યારે L = 125.134 હોય ત્યારે C = 110 છે. તો L અને C વચ્ચેનો સુરેખ સંબંધ મેળવો.
ઉકેલ:
અહીં બે ચલ C (x-અક્ષ) અને L (y-અક્ષ) છે. સુરેખ સંબંધ હોવાથી આપણે તેને બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા તરીકે ગણી શકીએ.
બિંદુ 1: (C1, L1) = (20, 124.942)
બિંદુ 2: (C2, L2) = (110, 125.134)
અહીં બે ચલ C (x-અક્ષ) અને L (y-અક્ષ) છે. સુરેખ સંબંધ હોવાથી આપણે તેને બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા તરીકે ગણી શકીએ.
બિંદુ 1: (C1, L1) = (20, 124.942)
બિંદુ 2: (C2, L2) = (110, 125.134)
બે બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણ y – y1 = (x – x1) નો ઉપયોગ કરીએ:
y2 – y1
x2 – x1
L – 124.942 = (C – 20)
L – 124.942 = (C – 20)
125.134 – 124.942
110 – 20
L – 124.942 =
0.192
90
આને સહેજ સાદુંરૂપ આપતા (0.192/90 ને 192/90000 લખીને છેદ ઉડાડતા 16/7500 મળે છે. પરંતુ દશાંશ સ્વરૂપ રાખવું પણ યોગ્ય છે):
✅ જવાબ: માંગેલ સંબંધ L = (C – 20) + 124.942 છે.
0.192
90
પ્રશ્ન 16: એક દૂધના વેચાણકેન્દ્રનો માલિક પ્રત્યેક અઠવાડિયે 980 લિટર દૂધ ₹ 14 પ્રતિ લિટર અને 1220 લિટર દૂધ ₹ 16 પ્રતિ લિટર વેચે છે. હવે દૂધની વેચાણકિંમત અને માંગ વચ્ચે સુરેખ સંબંધ છે તેમ માની લઈએ તો તે પ્રત્યેક અઠવાડિયે ₹ 17 પ્રતિ લિટરના ભાવે કેટલા લિટર દૂધ વેચી શકે ?
ઉકેલ:
અહીં ભાવ (Price – P) ને x-અક્ષ અને માંગ (Demand – D) ને y-અક્ષ પર લઈએ.
આપેલા બિંદુઓ: (P1, D1) = (14, 980) અને (P2, D2) = (16, 1220).
અહીં ભાવ (Price – P) ને x-અક્ષ અને માંગ (Demand – D) ને y-અક્ષ પર લઈએ.
આપેલા બિંદુઓ: (P1, D1) = (14, 980) અને (P2, D2) = (16, 1220).
બે બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ બનાવીએ:
D – D1 = (P – P1)
D – 980 = (P – 14)
D – 980 = (P – 14)
D – 980 = 120 (P – 14) (આ સુરેખ સંબંધ છે)
D2 – D1
P2 – P1
D – 980 =
1220 – 980
16 – 14
D – 980 =
240
2
D – 980 = 120 (P – 14) (આ સુરેખ સંબંધ છે)
હવે આપણને ₹ 17 ભાવ હોય ત્યારે માંગ પૂછી છે, તેથી સમીકરણમાં P = 17 મૂકતાં:
D – 980 = 120 (17 – 14)
D – 980 = 120 (3)
D – 980 = 360
D = 980 + 360 = 1340
D – 980 = 120 (3)
D – 980 = 360
D = 980 + 360 = 1340
✅ જવાબ: તે પ્રત્યેક અઠવાડિયે 1340 લિટર દૂધ વેચી શકશે.
પ્રશ્ન 17: અક્ષો વચ્ચે બનતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ P (a, b) હોય, તો તે રેખાનું સમીકરણ + = 2 છે તેમ બતાવો.
x
a
y
b
ઉકેલ:
ધારો કે માંગેલી રેખા x-અક્ષને બિંદુ A(h, 0) અને y-અક્ષને બિંદુ B(0, k) પર છેદે છે.
આમ અક્ષો વચ્ચે બનતો રેખાખંડ AB છે.
આ રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ P(a, b) આપેલું છે. મધ્યબિંદુના સૂત્ર પરથી:
ધારો કે માંગેલી રેખા x-અક્ષને બિંદુ A(h, 0) અને y-અક્ષને બિંદુ B(0, k) પર છેદે છે.
આમ અક્ષો વચ્ચે બનતો રેખાખંડ AB છે.
આ રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ P(a, b) આપેલું છે. મધ્યબિંદુના સૂત્ર પરથી:
h + 0
2
0 + k
2
h
2
k
2
અહીં રેખાના x-અંતઃખંડ (h) અને y-અંતઃખંડ (k) મળી ગયા છે. રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ સમીકરણ + = 1 વાપરતાં:
x
x-અંતઃખંડ
y
y-અંતઃખંડ
x
2a
y
2b
બંને બાજુ 2 વડે ગુણતાં:
x
a
y
b
✅ જે સાબિત કરવાનું હતું તે મળી ગયું છે.
પ્રશ્ન 18: જે રેખાના અક્ષો વચ્ચે બનતા રેખાખંડનું બિંદુ R (h, k), 1 : 2 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે તો તે રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે રેખા x-અક્ષને A(a, 0) પર અને y-અક્ષને B(0, b) પર છેદે છે.
સામાન્ય પ્રણાલી મુજબ, જો ગુણોત્તર 1:2 આપ્યો હોય અને રેખાખંડ ‘અક્ષો વચ્ચે’ કહ્યો હોય, તો વિભાજન x-અક્ષથી y-અક્ષ તરફ લેવામાં આવે છે (એટલે કે બિંદુ A થી B તરફ 1:2 માં વિભાજન).
ધારો કે રેખા x-અક્ષને A(a, 0) પર અને y-અક્ષને B(0, b) પર છેદે છે.
સામાન્ય પ્રણાલી મુજબ, જો ગુણોત્તર 1:2 આપ્યો હોય અને રેખાખંડ ‘અક્ષો વચ્ચે’ કહ્યો હોય, તો વિભાજન x-અક્ષથી y-અક્ષ તરફ લેવામાં આવે છે (એટલે કે બિંદુ A થી B તરફ 1:2 માં વિભાજન).
વિભાજન સૂત્ર મુજબ R ના યામ:
R(h, k) = ( , )
(h, k) =( , )
1(0) + 2(a)
1 + 2
1(b) + 2(0)
1 + 2
(h, k) =
2a
3
b
3
આ પરથી x-અંતઃખંડ (a) અને y-અંતઃખંડ (b) શોધીએ:
h = ⇒ a =
k = ⇒ b = 3k
2a
3
3h
2
k =
b
3
અંતઃખંડ સ્વરૂપ + = 1 માં આ કિંમતો મૂકતાં:
x
a
y
b
x
3h / 2
y
3k
2x
3h
y
3k
સમીકરણને 3hk વડે ગુણતાં:
2kx + hy = 3hk
✅ જવાબ: રેખાનું સમીકરણ 2kx + hy = 3hk છે.
પ્રશ્ન 19: રેખાના સમીકરણની સંકલ્પનાનો ઉપયોગ કરી સાબિત કરો કે (3, 0), (-2, -2) અને (8, 2) સમરેખ છે.
ઉકેલ:
આપણે કોઈપણ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ મેળવીશું અને ચકાસીશું કે ત્રીજું બિંદુ તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે કે નહીં.
ધારો કે બિંદુઓ A(3, 0), B(-2, -2) અને C(8, 2) છે.
આપણે કોઈપણ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ મેળવીશું અને ચકાસીશું કે ત્રીજું બિંદુ તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે કે નહીં.
ધારો કે બિંદુઓ A(3, 0), B(-2, -2) અને C(8, 2) છે.
સૌપ્રથમ A(3, 0) અને B(-2, -2) માંથી પસાર થતી રેખા AB નો ઢાળ શોધીએ:
m = = =
-2 – 0
-2 – 3
-2
-5
2
5
રેખા AB નું સમીકરણ (બિંદુ A(3,0) લેતાં):
y – 0 = (x – 3)
5y = 2x – 6
2x – 5y – 6 = 0
2
5
5y = 2x – 6
2x – 5y – 6 = 0
હવે ચકાસીએ કે ત્રીજું બિંદુ C(8, 2) આ રેખા પર છે કે નહીં. સમીકરણમાં x=8 અને y=2 મૂકતાં:
ડાબી બાજુ (L.H.S.) = 2(8) – 5(2) – 6
= 16 – 10 – 6
= 0 = જમણી બાજુ (R.H.S.)
= 16 – 10 – 6
= 0 = જમણી બાજુ (R.H.S.)
✅ બિંદુ C એ રેખા AB ના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે, તેથી C એ રેખા AB પર જ આવેલું છે. આમ, ત્રણેય બિંદુઓ સમરેખ (Collinear) છે. સાબિત થાય છે.
9.3
સ્વાધ્યાય 9.3
પ્રશ્ન 1: નીચે આપેલ સમીકરણોને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં (Slope-intercept form) દર્શાવો અને તેમના ઢાળ અને y-અંતઃખંડ શોધો.
(i) x + 7y = 0 (ii) 6x + 3y – 5 = 0 (iii) y = 0
(i) x + 7y = 0 (ii) 6x + 3y – 5 = 0 (iii) y = 0
ઉકેલ:
ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ એટલે સમીકરણને y = mx + c સ્વરૂપમાં ગોઠવવું, જ્યાં m એ ઢાળ (Slope) છે અને c એ y-અંતઃખંડ છે.
ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ એટલે સમીકરણને y = mx + c સ્વરૂપમાં ગોઠવવું, જ્યાં m એ ઢાળ (Slope) છે અને c એ y-અંતઃખંડ છે.
(i) x + 7y = 0
7y = -x
y = –x + 0
y = –
1
7
✅ ઢાળ (m) = -1/7 અને y-અંતઃખંડ (c) = 0
(ii) 6x + 3y – 5 = 0
3y = -6x + 5
y = –x +
y = -2x +
y = –
6
3
5
3
y = -2x +
5
3
✅ ઢાળ (m) = -2 અને y-અંતઃખંડ (c) = 5/3
(iii) y = 0
y = 0x + 0
✅ ઢાળ (m) = 0 અને y-અંતઃખંડ (c) = 0
પ્રશ્ન 2: નીચે આપેલ સમીકરણોને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં (Intercept form) દર્શાવો અને તેમના દ્વારા અક્ષો પર કપાતા અંતઃખંડો શોધો.
(i) 3x + 2y – 12 = 0 (ii) 4x – 3y = 6 (iii) 3y + 2 = 0
(i) 3x + 2y – 12 = 0 (ii) 4x – 3y = 6 (iii) 3y + 2 = 0
ઉકેલ:
અંતઃખંડ સ્વરૂપ એટલે + = 1 બનાવવું. જ્યાં a એ x-અંતઃખંડ અને b એ y-અંતઃખંડ છે.
અંતઃખંડ સ્વરૂપ એટલે
x
a
y
b
(i) 3x + 2y – 12 = 0
3x + 2y = 12
બધા પદોને 12 વડે ભાગતાં:
+ = 1 ⇒ + = 1
બધા પદોને 12 વડે ભાગતાં:
3x
12
2y
12
x
4
y
6
✅ x-અંતઃખંડ = 4 અને y-અંતઃખંડ = 6
(ii) 4x – 3y = 6
બધા પદોને 6 વડે ભાગતાં:
– = 1 ⇒ – = 1
+ = 1
4x
6
3y
6
2x
3
y
2
x
3/2
y
-2
✅ x-અંતઃખંડ = 3/2 અને y-અંતઃખંડ = -2
(iii) 3y + 2 = 0
3y = -2 ⇒ y = –
= 1
2
3
y
-2/3
✅ આ રેખા x-અક્ષને સમાંતર છે તેથી x-અંતઃખંડ નથી, અને y-અંતઃખંડ = -2/3 છે.
પ્રશ્ન 3: બિંદુ (-1, 1) નું રેખા 12(x + 6) = 5(y – 2) થી અંતર શોધો.
ઉકેલ:
પહેલા રેખાના સમીકરણનું સાદુંરૂપ (Simplify) કરીએ:
પહેલા રેખાના સમીકરણનું સાદુંરૂપ (Simplify) કરીએ:
12x + 72 = 5y – 10
12x – 5y + 82 = 0
12x – 5y + 82 = 0
બિંદુ P(x1, y1) નું રેખા Ax + By + C = 0 થી લંબ અંતર શોધવાનું સૂત્ર d = છે.
અહીં (x1, y1) = (-1, 1) છે.
|Ax1 + By1 + C|
√(A2 + B2)
અહીં (x1, y1) = (-1, 1) છે.
d =
d =
d = = = 5
|12(-1) – 5(1) + 82|
√(122 + (-5)2)
d =
|-12 – 5 + 82|
√(144 + 25)
d =
|65|
√169
65
13
✅ જવાબ: બિંદુનું રેખાથી અંતર 5 એકમ છે.
પ્રશ્ન 4: x-અક્ષ પરનું કયું બિંદુ + = 1 રેખાથી 4 એકમ અંતરે આવેલ છે ?
x
3
y
4
ઉકેલ:
x-અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુનો y-યામ શૂન્ય (0) હોય. ધારો કે તે બિંદુ (a, 0) છે.
આપેલ રેખાનું સમીકરણ: + = 1. લ.સા.અ. (12) લેતાં: 4x + 3y – 12 = 0 મળે.
x-અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુનો y-યામ શૂન્ય (0) હોય. ધારો કે તે બિંદુ (a, 0) છે.
આપેલ રેખાનું સમીકરણ:
x
3
y
4
હવે બિંદુ (a, 0) થી આ રેખાનું અંતર 4 આપેલું છે. અંતર સૂત્ર વાપરતાં:
4 =
4 =
4 = ⇒ |4a – 12| = 20
|4(a) + 3(0) – 12|
√(42 + 32)
4 =
|4a – 12|
√(16 + 9)
4 =
|4a – 12|
5
જ્યારે માનાંક (|…|) હટાવીએ ત્યારે સામેની સંખ્યા + અને – બંને હોઈ શકે:
વિકલ્પ 1: 4a – 12 = 20 ⇒ 4a = 32 ⇒ a = 8
વિકલ્પ 2: 4a – 12 = -20 ⇒ 4a = -8 ⇒ a = -2
✅ જવાબ: x-અક્ષ પરના તે બિંદુઓ (8, 0) અથવા (-2, 0) હોઈ શકે.
પ્રશ્ન 5: નીચેની સમાંતર (Parallel) રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો :
(i) 15x + 8y – 34 = 0 અને 15x + 8y + 31 = 0
(ii) l(x + y) + p = 0 અને l(x + y) – r = 0
(i) 15x + 8y – 34 = 0 અને 15x + 8y + 31 = 0
(ii) l(x + y) + p = 0 અને l(x + y) – r = 0
ઉકેલ:
બે સમાંતર રેખાઓ Ax + By + C1 = 0 અને Ax + By + C2 = 0 વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર d = છે.
બે સમાંતર રેખાઓ Ax + By + C1 = 0 અને Ax + By + C2 = 0 વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર d =
|C1 – C2|
√(A2 + B2)
(i) 15x + 8y – 34 = 0 અને 15x + 8y + 31 = 0
અહીં A = 15, B = 8, C1 = -34, C2 = 31 છે.
d = =
d = =
|-34 – 31|
√(152 + 82)
|-65|
√(225 + 64)
d =
65
√289
65
17
✅ (i) સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર 65/17 છે.
(ii) lx + ly + p = 0 અને lx + ly – r = 0
અહીં A = l, B = l, C1 = p, C2 = -r છે.
d = =
d =
|p – (-r)|
√(l2 + l2)
|p + r|
√(2l2)
d =
|p + r|
l√2
✅ (ii) સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર |p + r| / (l√2) છે.
પ્રશ્ન 6: બિંદુ (-2, 3) માંથી પસાર થતી અને 3x – 4y + 2 = 0 ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉકેલ:
આપેલ રેખા 3x – 4y + 2 = 0 નો ઢાળ (m) શોધીએ. ઢાળ m = -A/B થાય.
આપેલ રેખા 3x – 4y + 2 = 0 નો ઢાળ (m) શોધીએ. ઢાળ m = -A/B થાય.
m = – =
3
-4
3
4
માંગેલ રેખા આ રેખાને સમાંતર છે, તેથી તેનો ઢાળ પણ સમાન (3/4) જ રહેશે.
હવે માંગેલ રેખા બિંદુ (-2, 3) માંથી પસાર થાય છે. સમીકરણ:
હવે માંગેલ રેખા બિંદુ (-2, 3) માંથી પસાર થાય છે. સમીકરણ:
y – y1 = m(x – x1)
y – 3 =(x – (-2))
4(y – 3) = 3(x + 2)
4y – 12 = 3x + 6
y – 3 =
3
4
4(y – 3) = 3(x + 2)
4y – 12 = 3x + 6
✅ જવાબ: રેખાનું સમીકરણ 3x – 4y + 18 = 0 છે.
પ્રશ્ન 7: રેખા x – 7y + 5 = 0 ને લંબ (Perpendicular) અને જેનો x-અંતઃખંડ 3 હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉકેલ:
આપેલ રેખા x – 7y + 5 = 0 નો ઢાળ (m1) = -1/-7 = 1/7.
માંગેલ રેખા આ રેખાને લંબ છે. લંબ રેખાઓના ઢાળનો ગુણાકાર -1 થાય. તેથી માંગેલ રેખાનો ઢાળ (m2):
આપેલ રેખા x – 7y + 5 = 0 નો ઢાળ (m1) = -1/-7 = 1/7.
માંગેલ રેખા આ રેખાને લંબ છે. લંબ રેખાઓના ઢાળનો ગુણાકાર -1 થાય. તેથી માંગેલ રેખાનો ઢાળ (m2):
m2 = – = – 7
1
m1
આપેલ છે કે માંગેલ રેખાનો x-અંતઃખંડ 3 છે. એટલે કે તે x-અક્ષ પર બિંદુ (3, 0) માંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણ બનાવીએ:
સમીકરણ બનાવીએ:
y – 0 = -7(x – 3)
y = -7x + 21
y = -7x + 21
✅ જવાબ: રેખાનું સમીકરણ 7x + y – 21 = 0 છે.
પ્રશ્ન 8: રેખાઓ √3x + y = 1 અને x + √3y = 1 વચ્ચેના ખૂણાનું માપ શોધો.
ઉકેલ:
બંને રેખાઓના ઢાળ શોધીએ (સૂત્ર: m = -A/B):
પહેલી રેખાનો ઢાળ (m1) = -√3
બીજી રેખાનો ઢાળ (m2) = -1/√3
બંને રેખાઓના ઢાળ શોધીએ (સૂત્ર: m = -A/B):
પહેલી રેખાનો ઢાળ (m1) = -√3
બીજી રેખાનો ઢાળ (m2) = -1/√3
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા (θ) નું સૂત્ર: tan θ = |(m1 – m2) / (1 + m1m2)|
tan θ = | |
tan θ = | |
-√3 – (-1/√3)
1 + (-√3)(-1/√3)
tan θ = |
-√3 + 1/√3
1 + 1
અંશમાં લ.સા.અ. લેતાં:
tan θ = | | = | |
tan θ = | – | =
(-3 + 1)/√3
2
-2/√3
2
tan θ = | –
1
√3
1
√3
આપણે જાણીએ છીએ કે tan 30° = 1/√3 થાય.
✅ જવાબ: રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાનું માપ 30° (અથવા π/6) છે.
પ્રશ્ન 9: બિંદુઓ (h, 3) અને (4, 1) માંથી પસાર થતી રેખા અને રેખા 7x – 9y – 19 = 0 એકબીજાને કાટખૂણે (Perpendicular) છેદે, તો h શોધો.
ઉકેલ:
પહેલી રેખા કે જે બે બિંદુઓ (h, 3) અને (4, 1) માંથી પસાર થાય છે તેનો ઢાળ (m1) શોધીએ:
પહેલી રેખા કે જે બે બિંદુઓ (h, 3) અને (4, 1) માંથી પસાર થાય છે તેનો ઢાળ (m1) શોધીએ:
m1 = =
1 – 3
4 – h
-2
4 – h
બીજી રેખા 7x – 9y – 19 = 0 નો ઢાળ (m2) = -7/-9 = 7/9.
બંને રેખાઓ એકબીજાને કાટખૂણે (લંબ) છેદે છે, તેથી તેમના ઢાળનો ગુણાકાર -1 થાય:
m1 × m2 = -1
( ) × ( ) = -1
-2
4 – h
7
9
સાદુંરૂપ આપતાં:
-14
9(4 – h)
-14 = -9(4 – h)
14 = 36 – 9h
9h = 36 – 14
9h = 22 ⇒ h =
22
9
✅ જવાબ: h ની કિંમત 22/9 છે.
પ્રશ્ન 10: સાબિત કરો કે બિંદુ (x1, y1) માંથી પસાર થતી અને Ax + By + C = 0 ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ A(x – x1) + B(y – y1) = 0 છે.
ઉકેલ:
આપેલ રેખાનું સમીકરણ: Ax + By + C = 0
આ રેખાનો ઢાળ (m) = –
આપેલ રેખાનું સમીકરણ: Ax + By + C = 0
આ રેખાનો ઢાળ (m) = –
A
B
આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતર રેખાઓના ઢાળ સમાન હોય છે.
તેથી માંગેલી રેખાનો ઢાળ પણ m = – A/B થશે.
તેથી માંગેલી રેખાનો ઢાળ પણ m = – A/B થશે.
હવે માંગેલી રેખા બિંદુ (x1, y1) માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ -A/B છે.
બિંદુ-ઢાળ સમીકરણ y – y1 = m(x – x1) નો ઉપયોગ કરતાં:
બિંદુ-ઢાળ સમીકરણ y – y1 = m(x – x1) નો ઉપયોગ કરતાં:
y – y1 = – (x – x1)
A
B
B ને ડાબી બાજુ ગુણાકારમાં લઈ જતાં:
B(y – y1) = – A(x – x1)
A(x – x1) + B(y – y1) = 0
A(x – x1) + B(y – y1) = 0
✅ જે સાબિત કરવાનું હતું તે મળી ગયું છે.
પ્રશ્ન 11: બે રેખાઓ (2, 3) બિંદુમાંથી પસાર થતી હોય અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાનું માપ 60° હોય તથા તે પૈકીની એક રેખાનો ઢાળ 2 હોય, તો બીજી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે બીજી રેખાનો ઢાળ m છે. પ્રથમ રેખાનો ઢાળ m1 = 2 આપેલ છે.
બંને વચ્ચેના ખૂણાનું માપ θ = 60° છે. ખૂણાનું સૂત્ર: tan θ = | |
ધારો કે બીજી રેખાનો ઢાળ m છે. પ્રથમ રેખાનો ઢાળ m1 = 2 આપેલ છે.
બંને વચ્ચેના ખૂણાનું માપ θ = 60° છે. ખૂણાનું સૂત્ર: tan θ = |
m – m1
1 + m·m1
tan 60° = | |
√3 = | |
m – 2
1 + 2m
√3 = |
m – 2
1 + 2m
માનાંક દૂર કરતાં બે શક્યતાઓ મળશે:
વિકલ્પ 1: ધન કિંમત લેતાં (+)
m – 2
1 + 2m
m – 2 = √3 + 2√3m
m – 2√3m = 2 + √3
m(1 – 2√3) = 2 + √3 ⇒ m =
2 + √3
1 – 2√3
રેખાનું સમીકરણ (બિંદુ (2,3) માંથી પસાર થતી):
y – 3 = (x – 2)
(1 – 2√3)y – 3(1 – 2√3) = (2 + √3)x – 2(2 + √3)
(2 + √3)x – (1 – 2√3)y – (1 + 8√3) = 0
2 + √3
1 – 2√3
(1 – 2√3)y – 3(1 – 2√3) = (2 + √3)x – 2(2 + √3)
(2 + √3)x – (1 – 2√3)y – (1 + 8√3) = 0
વિકલ્પ 2: ઋણ કિંમત લેતાં (-)
m – 2
1 + 2m
m – 2 = -√3 – 2√3m
m + 2√3m = 2 – √3
m(1 + 2√3) = 2 – √3 ⇒ m =
2 – √3
1 + 2√3
રેખાનું સમીકરણ (બિંદુ (2,3) માંથી પસાર થતી):
y – 3 = (x – 2)
(1 + 2√3)y – 3(1 + 2√3) = (2 – √3)x – 2(2 – √3)
(2 – √3)x – (1 + 2√3)y + (7 + 4√3) = 0
2 – √3
1 + 2√3
(1 + 2√3)y – 3(1 + 2√3) = (2 – √3)x – 2(2 – √3)
(2 – √3)x – (1 + 2√3)y + (7 + 4√3) = 0
✅ જવાબ: બીજી રેખા માટે ઉપર મુજબના બે સમીકરણો શક્ય છે.
પ્રશ્ન 12: જેનાં અંત્યબિંદુઓ (3, 4) અને (-1, 2) હોય તેવા રેખાખંડના લંબદ્વિભાજકનું (Perpendicular bisector) સમીકરણ શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે A(3, 4) અને B(-1, 2) આપેલાં બિંદુઓ છે.
લંબદ્વિભાજક એટલે એવી રેખા જે (1) રેખાખંડના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય અને (2) રેખાખંડને લંબ હોય.
ધારો કે A(3, 4) અને B(-1, 2) આપેલાં બિંદુઓ છે.
લંબદ્વિભાજક એટલે એવી રેખા જે (1) રેખાખંડના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય અને (2) રેખાખંડને લંબ હોય.
1) રેખાખંડ AB નું મધ્યબિંદુ (M):
M = ( , ) = ( , ) = (1, 3)
3 + (-1)
2
4 + 2
2
2
2
6
2
2) રેખાખંડ AB નો ઢાળ (mAB):
mAB = = =
2 – 4
-1 – 3
-2
-4
1
2
આપણો લંબદ્વિભાજક AB ને લંબ છે, તેથી તેનો ઢાળ m = -2 થશે.
હવે લંબદ્વિભાજક બિંદુ M(1, 3) માંથી પસાર થાય છે અને ઢાળ -2 છે. સમીકરણ:
y – 3 = -2(x – 1)
y – 3 = -2x + 2
2x + y – 5 = 0
y – 3 = -2x + 2
2x + y – 5 = 0
✅ જવાબ: લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ 2x + y – 5 = 0 છે.
પ્રશ્ન 13: બિંદુ (-1, 3) માંથી રેખા 3x – 4y – 16 = 0 પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ (Foot of perpendicular) શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે બિંદુ P(-1, 3) માંથી આપેલ રેખા 3x – 4y – 16 = 0 પર દોરેલ લંબનો લંબપાદ M(h, k) છે.
ધારો કે બિંદુ P(-1, 3) માંથી આપેલ રેખા 3x – 4y – 16 = 0 પર દોરેલ લંબનો લંબપાદ M(h, k) છે.
શરત 1: બિંદુ M(h, k) આપેલ રેખા પર આવેલું છે. તેથી:
3h – 4k – 16 = 0 ⇒ 3h – 4k = 16 — (સમીકરણ 1)
શરત 2: રેખાખંડ PM નો ઢાળ આપેલ રેખાના ઢાળને લંબ હશે.
આપેલ રેખાનો ઢાળ = 3/4. તેથી PM નો ઢાળ = -4/3 થશે.
આપેલ રેખાનો ઢાળ = 3/4. તેથી PM નો ઢાળ = -4/3 થશે.
PM નો ઢાળ સૂત્ર પરથી:
k – 3
h – (-1)
4
3
3(k – 3) = -4(h + 1)
3k – 9 = -4h – 4
4h + 3k = 5 — (સમીકરણ 2)
હવે સમીકરણ 1 અને 2 નો લોપની રીતે ઉકેલ શોધીએ:
સમીકરણ (1) ને 3 વડે અને સમીકરણ (2) ને 4 વડે ગુણતાં:
સમીકરણ (1) ને 3 વડે અને સમીકરણ (2) ને 4 વડે ગુણતાં:
9h – 12k = 48
16h + 12k = 20
—————-
25h = 68 ⇒ h =
16h + 12k = 20
—————-
25h = 68 ⇒ h =
68
25
h ની કિંમત સમીકરણ 2 માં મૂકતાં:
4( ) + 3k = 5
+ 3k = 5 ⇒ 3k = 5 – =
3k = – ⇒ k = –
68
25
272
25
272
25
125 – 272
25
3k = –
147
25
49
25
✅ જવાબ: લંબપાદના યામ (68/25, -49/25) છે.
પ્રશ્ન 14: ઉગમબિંદુમાંથી રેખા y = mx + c પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ (-1, 2) હોય, તો m અને c શોધો.
ઉકેલ:
લંબપાદ (-1, 2) આપેલ રેખા y = mx + c પર આવેલો છે. તેમાં કિંમતો મૂકતાં:
લંબપાદ (-1, 2) આપેલ રેખા y = mx + c પર આવેલો છે. તેમાં કિંમતો મૂકતાં:
2 = m(-1) + c
-m + c = 2 — (સમીકરણ 1)
-m + c = 2 — (સમીકરણ 1)
ઉગમબિંદુ O(0,0) થી લંબપાદ P(-1, 2) ને જોડતી રેખા OP નો ઢાળ શોધીએ:
mOP = = -2
2 – 0
-1 – 0
આપેલ રેખા (જેનો ઢાળ m છે) એ OP ને લંબ છે. તેથી લંબ રેખાઓના નિયમ મુજબ:
m × mOP = -1
m × (-2) = -1 ⇒ m =
m × (-2) = -1 ⇒ m =
1
2
હવે m ની કિંમત સમીકરણ 1 માં મૂકતાં:
– + c = 2
c = 2 + =
1
2
c = 2 +
1
2
5
2
✅ જવાબ: m = 1/2 અને c = 5/2 છે.
પ્રશ્ન 15: રેખાઓ x cos θ – y sin θ = k cos 2θ અને x sec θ + y cosec θ = k નાં ઉગમબિંદુથી લંબઅંતર અનુક્રમે p અને q હોય, તો સાબિત કરો કે p2 + 4q2 = k2.
ઉકેલ:
ઉગમબિંદુ (0,0) થી રેખા Ax + By + C = 0 નું લંબઅંતર d = થાય.
ઉગમબિંદુ (0,0) થી રેખા Ax + By + C = 0 નું લંબઅંતર d =
|C|
√(A2 + B2)
રેખા 1: x cos θ – y sin θ – k cos 2θ = 0 (અંતર p છે)
p =
p = = = k |cos 2θ|
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં: p2 = k2 cos2(2θ) — (1)
|-k cos 2θ|
√(cos2θ + (-sinθ)2)
p =
k |cos 2θ|
√(cos2θ + sin2θ)
k |cos 2θ|
√1
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં: p2 = k2 cos2(2θ) — (1)
રેખા 2: x sec θ + y cosec θ – k = 0 (અંતર q છે)
q =
|-k|
√(sec2θ + cosec2θ)
અહીં sec અને cosec ને sin-cos માં ફેરવતાં:
q = =
q = = k |sin θ cos θ|
k
√( + )
1
cos2θ
1
sin2θ
k
√()
sin2θ + cos2θ
sin2θ cos2θ
q =
k
√()
1
sin2θ cos2θ
બંને બાજુ 2 વડે ગુણતાં અને ભાગતાં (સૂત્ર 2sinθcosθ = sin 2θ બનાવવા):
q = |2 sin θ cos θ| = |sin 2θ|
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં: q2 = sin2(2θ) ⇒ 4q2 = k2 sin2(2θ) — (2)
k
2
k
2
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં: q2 =
k2
4
હવે સમીકરણ (1) અને (2) નો સરવાળો કરતાં:
p2 + 4q2 = k2 cos2(2θ) + k2 sin2(2θ)
p2 + 4q2 = k2 (cos2(2θ) + sin2(2θ))
p2 + 4q2 = k2 (cos2(2θ) + sin2(2θ))
નિત્યસમ (cos²x + sin²x = 1) મુજબ:
p2 + 4q2 = k2
✅ જે સાબિત કરવાનું હતું તે મળી ગયું છે.
પ્રશ્ન 16: A(2, 3), B(4, -1) અને C(1, 2) એ ΔABC નાં શિરોબિંદુઓ છે. ΔABC ના શિરોબિંદુ A માંથી દોરેલા વેધની લંબાઈ અને તેનું સમીકરણ શોધો.
ઉકેલ:
શિરોબિંદુ A માંથી દોરેલો વેધ (Altitude) એ સામેની બાજુ BC પર લંબ હોય છે.
સૌપ્રથમ બાજુ BC નો ઢાળ (mBC) શોધીએ:
શિરોબિંદુ A માંથી દોરેલો વેધ (Altitude) એ સામેની બાજુ BC પર લંબ હોય છે.
સૌપ્રથમ બાજુ BC નો ઢાળ (mBC) શોધીએ:
mBC = = = -1
2 – (-1)
1 – 4
3
-3
બાજુ BC નું સમીકરણ (બિંદુ C(1,2) લઈને):
y – 2 = -1(x – 1)
y – 2 = -x + 1
x + y – 3 = 0 (આ રેખા BC છે)
y – 2 = -x + 1
x + y – 3 = 0 (આ રેખા BC છે)
વેધ એ BC ને લંબ હોવાથી, વેધનો ઢાળ m = 1 થશે (-1 નો વિરોધી વ્યસ્ત).
વેધ શિરોબિંદુ A(2, 3) માંથી પસાર થાય છે, તેથી વેધનું સમીકરણ:
વેધ શિરોબિંદુ A(2, 3) માંથી પસાર થાય છે, તેથી વેધનું સમીકરણ:
y – 3 = 1(x – 2)
x – y + 1 = 0
x – y + 1 = 0
વેધની લંબાઈ એટલે બિંદુ A(2, 3) નું રેખા BC (x + y – 3 = 0) થી લંબ અંતર:
d = = = √2
|1(2) + 1(3) – 3|
√(12 + 12)
|2|
√2
✅ જવાબ: વેધનું સમીકરણ x – y + 1 = 0 છે અને લંબાઈ √2 એકમ છે.
પ્રશ્ન 17: જો રેખાના અક્ષો પરના અંતઃખંડો a અને b હોય તેવી રેખા પર ઉગમબિંદુમાંથી દોરેલા લંબની લંબાઈ p હોય, તો સાબિત કરો કે = + .
1
p2
1
a2
1
b2
ઉકેલ:
a અને b અંતઃખંડ વાળી રેખાનું સમીકરણ: + = 1
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતાં:x + y – 1 = 0
a અને b અંતઃખંડ વાળી રેખાનું સમીકરણ:
x
a
y
b
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતાં:
1
a
1
b
આ રેખાનું ઉગમબિંદુ O(0,0) થી લંબ અંતર p છે. સૂત્ર મુજબ:
p =
p =
| -1 |
√( (1/a)2 + (1/b)2 )
p =
1
√( 1/a2 + 1/b2 )
બંને બાજુ વર્ગ (Square) કરતાં:
p2 =
1
1/a2 + 1/b2
હવે આખું સમીકરણ ઉલટાવતા (વ્યસ્ત કરતાં):
1
p2
1
a2
1
b2
✅ જે સાબિત કરવાનું હતું તે મળી ગયું છે.