પ્રકીર્ણન દાખલો 4
પ્રશ્ન 4: જો x – iy = √[ ] હોય, તો સાબિત કરો કે (x2 + y2)2 = .
a – ib
c – id
a2 + b2
c2 + d2
બીજી રીત (માનાંકની રીત – Modulus Method):
આપણને રકમમાં આપેલું છે કે,
x – iy = √[ ]
a – ib
c – id
સૌથી પહેલાં, વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ (Square) કરતાં:
(x – iy)2 =
a – ib
c – id
હવે સમીકરણની બંને બાજુ માનાંક (Modulus |…|) લેતાં:
|(x – iy)2| = | |
a – ib
c – id
માનાંકના નિયમો |zn| = |z|n અને |z1 / z2| = |z1| / |z2| નો ઉપયોગ કરતાં:
|x – iy|2 =
|a – ib|
|c – id|
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સંકર સંખ્યા z = x + iy અથવા x – iy નો માનાંક |z| = √(x2 + y2) થાય છે. આ સૂત્ર મૂકતાં:
( √(x2 + (-y)2) )2 =
x2 + y2 =
√(a2 + (-b)2)
√(c2 + (-d)2)
x2 + y2 =
√(a2 + b2)
√(c2 + d2)
છેલ્લે, જમણી બાજુથી વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ (Square) કરતાં:
(x2 + y2)2 =
a2 + b2
c2 + d2
✅ જે સાબિત કરવાનું હતું તે મળી ગયું છે.
પ્રશ્ન 5: જો z1 = 2 – i, z2 = 1 + i, તો | | શોધો.
z1 + z2 + 1
z1 – z2 + 1
ઉકેલ:
સૌપ્રથમ આપણે અંશ અને છેદની કિંમતો અલગથી શોધીશું.
સૌપ્રથમ આપણે અંશ અને છેદની કિંમતો અલગથી શોધીશું.
અંશ: z1 + z2 + 1
= (2 – i) + (1 + i) + 1
= 2 – i + 1 + i + 1 = 4
= 2 – i + 1 + i + 1 = 4
છેદ: z1 – z2 + 1
= (2 – i) – (1 + i) + 1
= 2 – i – 1 – i + 1 = 2 – 2i
= 2 – i – 1 – i + 1 = 2 – 2i
હવે બંનેને માનાંકમાં મૂકતાં:
| | =
4
2 – 2i
|4|
|2 – 2i|
માનાંક શોધવાનું સૂત્ર |x + iy| = √(x2 + y2) વાપરતાં:
= = =
= = = √2
4
√(22 + (-2)2)
4
√(4 + 4)
4
√8
=
4
2√2
2
√2
✅ જવાબ: √2
પ્રશ્ન 6: જો a + ib = , તો સાબિત કરો કે a2 + b2 = .
(x + i)2
2x2 + 1
(x2 + 1)2
(2x2 + 1)2
ઉકેલ (માનાંકની રીત):
આપેલ સમીકરણની બંને બાજુ માનાંક (Modulus) લેતાં:
આપેલ સમીકરણની બંને બાજુ માનાંક (Modulus) લેતાં:
|a + ib| = | |
(x + i)2
2x2 + 1
માનાંકના નિયમો |z2| = |z|2 નો ઉપયોગ કરતાં:
√(a2 + b2) =
√(a2 + b2) =
√(a2 + b2) =
|x + i|2
|2x2 + 1|
√(a2 + b2) =
(√(x2 + 12))2
2x2 + 1
√(a2 + b2) =
x2 + 1
2x2 + 1
હવે બંને બાજુ વર્ગ (Square) કરતાં:
a2 + b2 =
(x2 + 1)2
(2x2 + 1)2
✅ જે સાબિત કરવાનું હતું તે મળી ગયું છે.
પ્રશ્ન 7: ધારો કે z1 = 2 – i, z2 = -2 + i.
(i) Re( ) (ii) Im( ) શોધો.
(i) Re
z1z2
z̅1
1
z1z̅1
ઉકેલ (i):
z1 = 2 – i છે, તેથી તેની અનુબદ્ધ સંખ્યા z̅1 = 2 + i થાય.
z1 = 2 – i છે, તેથી તેની અનુબદ્ધ સંખ્યા z̅1 = 2 + i થાય.
z1z2 = (2 – i)(-2 + i) = -4 + 2i + 2i – i2 = -4 + 4i – (-1) = -3 + 4i
હવે ગુણોત્તર લઈએ:
z1z2
z̅1
-3 + 4i
2 + i
છેદમાંથી i દૂર કરવા (2 – i) વડે ગુણતા અને ભાગતાં:
= =
= = = – + i
(-3 + 4i)(2 – i)
(2 + i)(2 – i)
-6 + 3i + 8i – 4i2
22 – i2
=
-6 + 11i + 4
4 + 1
-2 + 11i
5
2
5
11
5
આપણને માત્ર વાસ્તવિક ભાગ (Re) પૂછ્યો છે:
✅ (i) નો જવાબ: – 2/5
ઉકેલ (ii):
આપણે જાણીએ છીએ કે z z̅ = |z|2 થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે z z̅ = |z|2 થાય.
z1z̅1 = |2 – i|2 = (2)2 + (-1)2 = 4 + 1 = 5
તેથી, 1 / (z1z̅1) = 1 / 5. આ એક શુદ્ધ વાસ્તવિક સંખ્યા છે, તેમાં કાલ્પનિક ભાગ (i) નથી.
✅ (ii) નો જવાબ: Im (કાલ્પનિક ભાગ) = 0
પ્રશ્ન 8: જો (x – iy)(3 + 5i) એ -6 – 24i ની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા હોય, તો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ x અને y શોધો.
ઉકેલ:
-6 – 24i ની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા -6 + 24i થાય.
રકમ મુજબ:
-6 – 24i ની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા -6 + 24i થાય.
રકમ મુજબ:
(x – iy)(3 + 5i) = -6 + 24i
x – iy =
x – iy =
-6 + 24i
3 + 5i
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા (3 – 5i) વડે ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરતાં:
x – iy =
x – iy =
x – iy = =
x – iy = 3 + 3i
(-6 + 24i)(3 – 5i)
(3 + 5i)(3 – 5i)
x – iy =
-18 + 30i + 72i – 120i2
9 – 25i2
x – iy =
-18 + 102i + 120
9 + 25
102 + 102i
34
x – iy = 3 + 3i
બંને બાજુના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગ સરખાવતાં: x = 3 અને –y = 3 ⇒ y = -3
✅ જવાબ: x = 3, y = -3
પ્રશ્ન 9: – નો માનાંક શોધો.
1 + i
1 – i
1 – i
1 + i
ઉકેલ:
સૌપ્રથમ લ.સા.અ. (LCM) લઈને સાદુંરૂપ આપીએ:
સૌપ્રથમ લ.સા.અ. (LCM) લઈને સાદુંરૂપ આપીએ:
=
(1 + i)2 – (1 – i)2
(1 – i)(1 + i)
કૌંસ છોડતાં:
=
=
= = = 2i
(1 + 2i + i2) – (1 – 2i + i2)
12 – i2
=
(1 + 2i – 1) – (1 – 2i – 1)
1 – (-1)
=
2i – (-2i)
2
4i
2
હવે 2i નો માનાંક શોધવાનો છે:
|2i| = √(02 + 22) = √4 = 2
✅ જવાબ: 2
પ્રશ્ન 10: જો (x + iy)3 = u + iv હોય, તો બતાવો કે + = 4(x2 – y2).
u
x
v
y
ઉકેલ:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં:
(x + iy)3 = x3 + 3x2(iy) + 3x(iy)2 + (iy)3
= x3 + 3x2yi + 3x(i2y2) + i3y3
= x3 + 3x2yi – 3xy2 – iy3 (કારણ કે i2 = -1, i3 = –i)
= (x3 – 3xy2) + i(3x2y – y3)
= x3 + 3x2yi + 3x(i2y2) + i3y3
= x3 + 3x2yi – 3xy2 – iy3 (કારણ કે i2 = -1, i3 = –i)
= (x3 – 3xy2) + i(3x2y – y3)
આપણને આપેલું છે કે આ કિંમત u + iv બરાબર છે. વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગ સરખાવતાં:
u = x3 – 3xy2 ⇒ u = x(x2 – 3y2) ⇒ = x2 – 3y2
v = 3x2y – y3 ⇒ v = y(3x2 – y2) ⇒ = 3x2 – y2
u
x
v = 3x2y – y3 ⇒ v = y(3x2 – y2) ⇒
v
y
હવે બંનેનો સરવાળો કરતાં:
u
x
v
y
= 4x2 – 4y2
= 4(x2 – y2)
✅ જે સાબિત કરવાનું હતું તે મળી ગયું છે.